江苏扬州市广陵区扬州大学附属中学2025-2026学年高一下学期阶段练习二数学试题

扬州大学附属中学2025-2026学年度第二学期 高一数学阶般练习二 一、单选题：本题共8小题。每小题5分，共计40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的， 1.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，若a=2W5,b=2W2,A=60°，则角B=() A.45 B.1359 C.60 D.45°或135 2.如图，已知AB=3BP,用OA,OB表示OP,则OP等于（) A.-4o B. 1o+4o丽 c号oi+o D.-10A-40i 3 3 3.如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形 AB'O',若OA'=1,那么原三角形ABO面积是（) A. B.② C.2 D.2√2 4.已知a,b,c表示三条不同直线，a表示平面，下列说法正确的是（) A.若a/1a,a//b,则b/1 B.若a⊥b,a/1c,则b⊥c C.若a//a,bca,则a/1b D若a⊥b,ba,则a⊥a 5若ae04:sma+元 +45,则cosa=() A.72 B.-7V2 D、 2 10 10 10 10 6.把一个正四面体的四个面按如下方案涂色：第一个面涂红色，第二个面涂黄色，第三个面涂 蓝色，第四个面分成三块区域分别涂上述三种颜色.将该四面体抛掷在一个平面上，记事件 A=“四面体有红色的面落在平面上”，记事件B“四面体有黄色的面落在平面上”，则P(AB) 的值为() B. C. 1-2 D. 1 7.如图，在长方体ABCD-4BCD中，AB=AD=1,A4=2,且E为DD的 A 中点，则直线BD与AE所成角的大小为() A月 B. C. 6 D.5 6 8.在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若△ABC的面积S= 4 则tanAtanBtanC的最小值为（) A.4 B.8 C.12 D.35 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共计18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列等式正确的是() A,sim15°c0s15°=月 82sim22.5°-1=2 C.cos26°cos34°+sin26°sin34°=1 tan71°-tan26° D. =1 1+tan71°tan26° R 10.如图，在三棱柱ABC-A4BC中，E,F,G,H分别为BB,CC,AB,AC1的中点， 则下列说法正确的是() A.E,F,G,H四点共面 B.EF//GH G C.EG,FH,AA三线共点 D.∠EGB,=∠FHC 11.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，则下列说法中正确的是 () A.若bcos C+ccos B=b,则△ABC是等腰三角形 B.若a=2,b=3,A=名，则符合条件的△ABC有两个 C.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形 D.若sin2B+sin2C=sin2A,则△ABC为直角三角形 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.一名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取在一轮答题中，能够通 过测试的概率是：，若该同学答题两轮，则恰有一轮通过测试的概率为 ,（结果以既 约分数表示) 2 13.如图，在三棱柱ABC-4BC中，E是棱CG上的一点，且C二=2 EC-3 D 是棱BC上一点若4B11平面ADE,则的值为 14.已知△ABC的外接圆圆心为O,点G满足GA+GB+GC=0,若AB=4, AC=2,则AO.AG= 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分)一个学习小组有5名同学，其中3名男生、2名女生，从这个小组中任意选出3名同 学，求： (1)男生甲被选中的概率； (2)选出的同学中至少有一名女生的概率. 16.(15分)已知向量a=1,V3,五=(sina,cosa) D若a/,求a+到： a)若a万-名*m2a+) 3 17。（15分)某社区规划在小区内建立一个如图所示的圆形休闲区，经调研确定，该圆内接四边 形ABCD为儿童娱乐设施建筑用地，AB=AD=2CD=6,BC=9. (1)求∠ABC和∠ADC (2)若A,C,D不动，在圆弧ABC上取一点E,使得儿童娱乐设施的新建筑用地AECD 的面积最大，并求出最大值. 18.(17分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形且CD=2, PD=AD=I,E、F分别是CD、PB的中点. (1)求证：直线EF∥平面PAD; (2)求证：直线EF⊥平面PAB. 19.(17分)在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2a-b=2 ccos B. (1)求角C; (2)若b=4,点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且CD=2W3,求边长a的值； (3)若b=4,求△ABC的周长取值范围. 扬州大学附属中学2025-2026学年度第二学期 高一数学阶段练习二参考答案 一、单选题 1.【答案】A【详解】在△4BC中，a=25,b=2V反，A=60,由正弦定理得s如B=bsim4_25×s血60-互 2W5 2 由a>b,得A>B,所以B=45°. 2【答案】c【详解1解，=丽，0P=06+那-0丽+亚=05+O5-0网-号08-0。 3 3.【答案】B【详解】由直观图作出原图如图所示：直观图中：△AB0是等腰直角三角形，O'A=1, ∠4OB=45所以0B=5在原图R1△40B中，OB=0B=5,OA=20A=2,且OA⊥OB,所以 A 2 2 原三角形AB0面积是04：OB=×22_点，故选：B 2 2 22 4.【答案】B 5.【答案】A 【1因为e0则经a+受所以w+引--e+图--图-因 4 42 此， cosa=cos a+升引owa+引m好me+}mg-x号+9-7故进A 4月 4"525210 6.【答案】D 【详解】根据题意，正四面体的四个面中，有红色的面有2个，有黄色的面有2个，有蓝色的面有2 个则P()=P(B)=PC=2,且PMB)=P(BC=P4BC)=4 7.【答案】C【详解】取CC的中点F,连接DF、BF,所以AE∥BF,直线BD与AE所成角即为 D 直线BD与AF所成的∠DBF,所以D,F2=D,C?+FC=2,BF2=BC2+CF2=2, D D,B2=DC2+D,A+D,D2=1+1+22=6,在△DBF中由余弦定理可得 C08LD.BF-DB+BP-DF=6+2-2- 所以∠D,BF=.故选：C 2DBx BF 2N2x69因为∠DF0, 【答案】B【详解】在△ABC中，S=besinA=,即aP=2 sin.4,由正弦定理 2 动8c得： Sim2A=2sinM4 sinBsinC,由0<A<元知sinA>0,于是得sin4e2 sinBsinC:因A4BC是锐角三角形，则B+C分，即 0<登-C<B<受面函数)y=mx在Q孕上单调递增，则有 sin( m-0)<mB -C) 2 cos(石-C) tan BcosC sinC <tanB台tan BtanC>l,由sinA=2 sinBsinC得： sin(B+C)=2sinBsinC sin B cosC+cos B sin C=2sinBsinC,tan B+tan C=2tan Btan C, 1 tandftanbtanC=-tan(B+C)tan B tan Cta BtanCC(an tanC tan Bian C-1 tan Btan C-1 =2[(tan B tan C-1)+- mC+222mC-0nBmC云21-8，当且仅当 1 tan Btan C-1=. tan B tan C-.,即tan BtanC=2时取，所以，当tamA=4,tan BtanC=2时，amM:tanB-anC取最 1 小值8.故选：B 二、多选题 9.【答案】AD 【详解】血159cos15°=如30-牙A正确：22250-1=-0s45°。- ,B错误； 2 cas26c0s34p+sn26sm34r=6or(260-34p）=cos(-8)-6os”￥分，C结误： 1+m71m260=am(71°-26)=am45=1,D正确；故选：AD tan71°-tan26° 10.【答案】ABC【解析】对于AB,如图，连接EF,GH,因为GH是△AB,C的中位线，所以GHB,C,因为 BE//CF,且B,E=C,F,所以四边形BEFC是平行四边形，所以EFIB,C,所以EFIIGH,所以 E,F,G,HH四点共面，故AB正确：对于C,如图，延长EG,FH相交于点P,因为P∈EG,EGC 平面ABBA,所以P∈平面ABB,A,因为P∈FH,FHc平面ACC,A,所以P∈平面ACC4,因为 平面ABB,A∩平面ACC,4=AA,所以PEAA,所以EG,FH,A4三线共点，故C正确：对于D,因 为EB=FG,当GB≠HC时，am∠BGB≠am∠FHC,又0<∠EGB,∠FHC<乏，则∠EGB*∠FHG,故D错误. 11.【答案】ABD【详解】对于A,由正弦定理，得sinB=sin B cos C十sin C cos B=sin(B+C=sinA,所以b =a,故A正确：对于B,由余弦定理知a2=+c2-2bec0s4,即4=9+c2-3N5c,解得c=35h ,故B正确： 2 对于C若4看B-骨C-受则s加24=sn=m-如2B,但△1BC不是等腰三角形，故C错误：对于D, 3 sin 2B+sin 2C=sin 24,2sin 4 cos A=sin 24=sin 2B+sin 2C=2sin (B+C)cos (B-C)=2sin A cos (B- C),故cosA=cos(B-C),从而0=cos(B-C)-cosA=cos(B-C)+coS(B+C)=2 cos B cos C,所以cosB=0或 cosC=0,即B=或C=受故D正确.故选ABD, 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】 15.【答案】日 【详解】连接AC、AE相交于点O,连接OD,因为AB∥平面ADE,平面ABC∩ CO DC 平面ADE=OD,ABc平面ABC,所以ABIIOD,所以 40=8D,因为A41CE,所以 4040E,所以8·告号即%可得2-号 5 配8故答案为： 4.【答案】， 【详解】如图所示，设D,E,F分别为BC,AC,AB的中点，连接AD,OE,因 为点G满足GA+GB+GC=0,可得点G为△ABC的重心，所以AG=2AD,又因为 D=(AB+AC),所以MG=(AB+AC),又因为O是△ABC的外心，所以 ● OE⊥AC,OF⊥AB,因为AB=4,AC=2,则 0G(4B+C)0(AB.0+C.40) 0sZ04F+4OSZO4E)-)-4x2 四、解答题 1P-合-号a)P-8 10 16.【详解】(1)因为a/1b,所以√3sina=cosa, 5 sina。V5 +1 所以ana 所以tana+ tana+tanπj 4=3 =2+√5 cosa 3 4 1-tan a tan 13 4 3 所以如a+争= ao引引-@2+引-2a+}-12x)= ]7.【详解】(1)连接AC,由题意可得∠ABC+∠ADC=π，则cos∠ABC+cos∠ADC=0.①由余弦定 理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos.∠ABC=AD+CD2-2AD·CDcos∠ADC,则 AC2=62+92-2×6×9c0s∠ABC=62+32-2×6×3c0s∠ADC.②由①②可得 s∠-os∠40C=-分从面∠ABC=号∠A0c=行 3 (2)由余弦定理可得AC2=62+32-2×6×3× 1 》=6的.由1)可得∠ABC-骨 由余弦定理可得 AC2=AE2+CE2-AE·CE≥AE·CE,则AE·CE≤63，当且仅当AE=CE时取等号，从而△AEC的面积 9=AE-CEsin∠HBc-5 E·CE≤63V5 4 4 由(1)）可知A4CD的面积为S,=W5 2 ,则儿童娱乐设施的新建筑用 地ABCD的面积为S+S,≤81W5 4 18.【详解】证明：(I)取PA中点H,连接FH,DH,易知FH为△PAD的一条中位线，故FHMB,且FH=AB, 又E为CD中点，ABCD为矩，形DEMB,且DE=4,DEUFH,且DE=FH,四边形BFHD 为平行四边形，∴.EFIHD,EF不在平面PAD内，HD在平面PAD内，.EF∥平面PAD (2),PD=AD,H为PA中点，HD⊥PA,又PD⊥平面ABCD,AB在平面ABCD内， PD⊥AB、又AB⊥AD,PDOAD=D,且PD,AD均在平面PAD内，∴AB⊥平面PAD,又HD在平面PAD内， .AB⊥IHD,又PA∩AB=A,且都在平面PAB内，.HD⊥平面PAB,又EF IHD,EF⊥平面PAB. 19.【详解】(1)已知2a-b=2 ccos B,由正弦定理得2sinA-sinB=2 sinCcos B, 又sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin B cosC+cos BsinC,所以2 sin BcosC+2 cos Bsin C-sinB=2 sinCcosB,即 2如B0sC-smB=0,因为Be包小.所以sn8>0,放2asC-1=0,即csC-号又Ce0小，所以C-子 (2)由(1)知，C-号，又CD为∠4CB的平分线，故∠CD=∠BCD-名，其中CD=25,由三角形面积公式得 ccDACD-..c.cc 2 -0, 22 又5x-4C8Csm乙4CB=x4a5=g,显然Sm=5m+5m,即5a=25+5a, 2 2 已a,解得a=4. c 4sinB++2 3 a+c=- 2sin8+2W5cos8+25-2+25（(cos8+1） sinB sinB sinB a+c=2+2g tan 由△ABC是锐角三角形得”<B<,工<是<工】 6 2’1224’ (34 -mm52-5.号e-6到iaes+284w同 1+tan5tan号 3 ∴.周长a+b+c∈(6+2V3,12+4W3) y