第14讲 指数函数的图象与性质 课时作业-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦指数函数核心考点，通过基础与提升分层训练，系统覆盖概念、性质及综合应用，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础保分练|11题|图像识别、定点问题、比较大小、单调性应用、值域求解|从指数函数概念（定点、图像）到性质（单调性、奇偶性），再到简单应用（解不等式、求值域）| |能力提升练|4题|综合性质判断、新定义函数、最值问题、函数性质综合应用|综合指数函数性质，结合分类讨论、转化思想解决复杂问题，深化应用意识|

[A组　基础保分练] 1.(2026·北京模拟)函数f(x)=a2x-1+1(a>0)的图象一定经过点 (　　) A.(,2)　　　　　　 B.(,1) C.(0,2) D.(0,1) 答案:A 解析:令2x-1=0,则x=, 则f()=1+1=2, 所以函数f(x)=a2x-1+1(a>0)的图象一定经过点(,2). 2.函数y=(0<a<1)的图象大致形状为 (　　) 答案:D 解析:当x>0时,y=ax(0<a<1);当x<0时,y=-ax(0<a<1), 所以当x>0时函数是减函数, 当x<0时函数是增函数,且图象是y=ax(0<a<1)的x<0部分关于x轴的对称图形. 3.设a=0.30.2,b=1.10.2,c=1.10.3,则 (　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b 答案:A 解析:因为函数y=1.1x在R上单调递增,所以1<1.10.2<1.10.3,故b<c. 又函数y=0.3x在R上单调递减,所以a=0.30.2<0.30=1,所以a<b<c. 4.已知f(x)=2x-2-x,则使f(x)<f(-3x2+4)成立的实数x的取值范围是 (　　) A.(-,1) B.(-1,) C.(-∞,1)∪(,+∞) D.(-∞,-)∪(1,+∞) 答案:A 解析:因为f(x)=2x-2-x=2x-()x,所以f(x)是单调递增函数. 又因为f(x)<f(-3x2+4),所以x<-3x2+4,所以3x2+x-4<0, 所以(3x+4)(x-1)<0,解得-<x<1,所以x的取值范围为(-,1). 5.若x满足不等式≤()x-2,则函数y=2x的值域是 (　　) A.[,2) B.[,2] C.(-∞,] D.[2,+∞) 答案:B 解析:将≤()x-2化为x2+1≤-2(x-2),即x2+2x-3≤0,解得x∈[-3,1],所以2-3≤2x≤21,所以函数y=2x的值域是[,2]. 6.函数f(x)=xa-2与g(x)=()-x在(0,+∞)上均单调递减的一个充分不必要条件是 (　　) A.a∈(0,2) B.a∈[0,1) C.a∈[1,2) D.a∈(1,2] 答案:C 解析:由函数f(x)=xa-2在(0,+∞)上单调递减可得a-2<0,即a<2. 函数g(x)=()-x=()x在(0,+∞)上单调递减,可得0<<1,解得0<a<4.若函数f(x)=xa-2与g(x)=()-x在(0,+∞)上均单调递减,可得0<a<2,由题可得所求区间真包含于(0,2),结合选项可知,C正确. 7.(多选)以下结论正确的是 (　　) A.1.72.5<1.73 B.0.8-0.1<0.8-0.2 C.1.50.3<0.93.1 D.(<( 答案:ABD 解析:对于A,因为指数函数y=1.7x在R上单调递增,且2.5<3,∴1.72.5<1.73,故A正确; 对于B,因为指数函数y=0.8x在R上单调递减,且-0.1>-0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2,故B正确; 对于C,因为1.50.3>1.50=1,0<0.93.1<0.90=1, ∴1.50.3>0.93.1,故C错误; 对于D,因为[(]12=,且[(]12=()3=,∴(<(,故D正确. 8.(多选)已知函数f(x)=,则 (　　) A.不等式|f(x)|<的解集是(-1,1) B.∀x∈R,都有f(-x)=f(x) C.f(x)在R上单调递减 D.f(x)的值域为(-1,1) 答案:AD 解析:f(x)==1-,由|f(x)|<,得-<1-<,即<<,得<2x+1<3,解得-1<x<1,即原不等式的解集为(-1,1),故A正确; f(-x)=1-=1-≠f(x),故B错误; f(1)=1-=,f(2)=1-=,f(1)<f(2),所以f(x)在R上单调递减不成立,故C错误; 由0<<2知-1<1-<1,即函数f(x)的值域为(-1,1),故D正确. 9.已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=n-mx的图象不经过第　　　　　象限.  答案:三 解析:因为f(x) 的图象恒过定点(2,2),所以m=n=2,所以g(x)=2-2x,所以g(x) 在R上为减函数,且其图象过点(0,1),所以g(x) 的图象不经过第三象限. 10.函数f(x)=(的值域为　　　　.  答案:(0,45] 解析:由于x2+2x+=(x+1)2-≥-, 且函数y=()t在R上单调递减,故0<(≤(=45, 故函数f(x)=(的值域为(0,45]. 11.已知函数f(x)=4x-a·2x-1. (1)当a=1时,求f(x)在区间[-1,2]上的值域; (2)当a=3时,解不等式f(x)+3>0. 解:(1)当a=1时,f(x)=4x-2x-1=(2x)2-2x-1, 令t=2x,因为x∈[-1,2],所以t∈[,4], 令g(t)=t2-t-1=(t-)2-,则函数g(t)在[,4]上单调递增, 所以当t=时,g(t)有最小值g()=-, 当t=4时,g(t)有最大值g(4)=11, 所以函数g(t)在区间[,4]上的值域为[-,11]. 故当a=1时,f(x)在区间[-1,2]上的值域为[-,11]. (2)当a=3时,f(x)=4x-3·2x-1. 由f(x)+3>0,得4x-3·2x+2>0,即(2x-1)(2x-2)>0, 解得 2x>2或2x<1, 所以 x>1或x<0, 所以不等式f(x)+3>0的解集为{x|x>1,或x<0}. [B组　能力提升练] 12.(多选)已知函数f(x)=|ax-1|(a>0,且a≠1),则下列结论正确的是 (　　) A.函数f(x)恒过定点(0,1) B.函数f(x)的值域为[0,+∞) C.函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增 D.若直线y=2a与函数f(x)的图象有两个公共点,则实数a的取值范围是(0,) 答案:BD 解析:已知函数f(x)=|ax-1|(a>0,且a≠1),x∈R,对于A,f(0)=|a0-1|=0,函数f(x)恒过定点(0,0),故A错误. 对于B,x∈R,则ax-1>-1,所以|ax-1|≥0,函数f(x)的值域为[0,+∞),故B正确. 对于C,当0<a<1时,y=ax单调递减,又x≤0,所以ax≥1,所以f(x)=|ax-1|=ax-1,显然此时f(x)在(-∞,0]上单调递减;当a>1时,y=ax单调递增,又x≤0,所以0<ax≤1,所以f(x)=|ax-1|=-ax+1,显然此时f(x)在(-∞,0]上单调递减,故C错误. 对于D,y=|ax-1|的图象由y=ax的图象向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到,分为a>1和0<a<1两种情况,分别如图1,图2所示, 当a>1时,2a>2,显然不符合题意;当0<a<1时,此时0<2a<1,即0<a<,故D正确. 13.定义min{a,b}=设f(x)=min{2x,-x2+3x+1},则f(x)的最大值为　　　　.  答案:4 解析:设m(x)=2x,n(x)=-x2+3x+1, 作出函数m(x),n(x)的图象,如图1, 由图象可得,当x=0或x=2时,m(x)=n(x), 当x<0时,m(x)>n(x),当0<x<2时,m(x)<n(x),当x>2时,m(x)>n(x), ∴f(x)= 画出f(x)图象,如图2, 由图象可知f(x)max=4. 14.已知3a=1+3b(a≥1),则a-b的最大值为　　　　　　.  答案:1-log32 解析:因为3a=1+3b(a≥1),所以3a-b===.因为a≥1,所以0<≤,≤1-<1,1<≤,即1<3a-b≤,即0<a-b≤1-log32,则a-b的最大值为1-log32. 15.已知f(x)=(a>0)为奇函数. (1)求实数a的值; (2)判断并用定义法证明函数f(x)的单调性; (3)解关于x的不等式0<f(x2-x)≤. 解:(1)由f(x)是奇函数且定义域为R,则f(0)==0,解得a=2, 所以f(x)=, f(-x)===-f(x). 综上,a=2. (2)f(x)===-在R上单调递增,证明如下: 设x1<x2,而f(x1)-f(x2)=--(-) =-=, 而<,(+1)(+1)>0, 故f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在R上单调递增. (3)由f(x)在R上单调递增, 令f(x)=·=0,解得x=0,令f(x)=,解得x=2, 所以不等式0<f(x2-x)≤等价于f(0)<f(x2-x)≤f(2), 所以0<x2-x≤2,故解集为{x|-1≤x<0,或1<x≤2}. 学科网（北京）股份有限公司 $ [A组　基础保分练] 1.(2026·北京模拟)函数f(x)=a2x-1+1(a>0)的图象一定经过点 (　　) A.(,2)　　　　　　 B.(,1) C.(0,2) D.(0,1) 2.函数y=(0<a<1)的图象大致形状为 (　　) 3.设a=0.30.2,b=1.10.2,c=1.10.3,则 (　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b 4.已知f(x)=2x-2-x,则使f(x)<f(-3x2+4)成立的实数x的取值范围是 (　　) A.(-,1) B.(-1,) C.(-∞,1)∪(,+∞) D.(-∞,-)∪(1,+∞) 5.若x满足不等式≤()x-2,则函数y=2x的值域是 (　　) A.[,2) B.[,2] C.(-∞,] D.[2,+∞) 6.函数f(x)=xa-2与g(x)=()-x在(0,+∞)上均单调递减的一个充分不必要条件是 (　　) A.a∈(0,2) B.a∈[0,1) C.a∈[1,2) D.a∈(1,2] 7.(多选)以下结论正确的是 (　　) A.1.72.5<1.73 B.0.8-0.1<0.8-0.2 C.1.50.3<0.93.1 D.(<( 8.(多选)已知函数f(x)=,则 (　　) A.不等式|f(x)|<的解集是(-1,1) B.∀x∈R,都有f(-x)=f(x) C.f(x)在R上单调递减 D.f(x)的值域为(-1,1) 9.已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=n-mx的图象不经过第　　　　　象限.  10.函数f(x)=(的值域为　　　　.  11.已知函数f(x)=4x-a·2x-1. (1)当a=1时,求f(x)在区间[-1,2]上的值域; (2)当a=3时,解不等式f(x)+3>0. [B组　能力提升练] 12.(多选)已知函数f(x)=|ax-1|(a>0,且a≠1),则下列结论正确的是 (　　) A.函数f(x)恒过定点(0,1) B.函数f(x)的值域为[0,+∞) C.函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增 D.若直线y=2a与函数f(x)的图象有两个公共点,则实数a的取值范围是(0,) 13.定义min{a,b}=设f(x)=min{2x,-x2+3x+1},则f(x)的最大值为　　　　.  14.已知3a=1+3b(a≥1),则a-b的最大值为　　　　　　.  15.已知f(x)=(a>0)为奇函数. (1)求实数a的值; (2)判断并用定义法证明函数f(x)的单调性; (3)解关于x的不等式0<f(x2-x)≤. 学科网（北京）股份有限公司 $