第11讲 函数的对称性及其应用 课时作业-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 分层设计清晰，基础与能力梯度衔接，覆盖函数性质从单一到综合应用，适配一轮复习巩固与提升需求，体现数学抽象、推理与模型素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础保分练|单一函数性质（对称、奇偶、周期）|基础选择填空，如函数对称点判断，强化概念理解| |B组能力提升练|综合应用（导数、中心对称证明、不等式）|多选与解答题，如含参数函数单调性及不等式求解，培养推理与应用能力|

[A组　基础保分练] 1.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x)的图象必过点 (　　) A.(-1,2)　　　　　　 B.(1,2) C.(-1,-2) D.(-2,1) 答案:A 解析:函数y=f(x) 与y=-f(-x) 的图象关于原点对称,又y=f(x) 的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x) 的图象必过点(-1,2). 2.(2026·山东聊城模拟)函数y=与y=-2x的图象 (　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x轴对称 答案:C 解析:令f(x)=2x,则-f(-x)=-2-x. ∵y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称, ∴y=2-x与y=-2x的图象关于原点对称. 3.已知函数f(x)=2|x-a|的图象关于直线x=2对称,则a等于 (　　) A.1 B.2 C.0 D.-2 答案:B 解析:函数f(x)=2|x-a|的图象关于直线x=2对称,可得f(2+x)=f(2-x), 即2|2+x-a|=2|2-x-a|, 则|2+x-a|=|2-x-a|(*)恒成立, 可得2+x-a=2-x-a或2+x-a+2-x-a=0,解得x=0或a=2, 检验可得当a=2时(*)式恒成立. 4.(2026·山西晋中模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=sinx,则f()= (　　) A.- B. C.- D. 答案:C 解析:定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x), 则f(x)=-f(x-2),于是f(x)=-f(x-2)=-[-f(x-4)]=f(x-4), 即f(x)的周期为4,则f()=f(-)=-f()=-sin=-. 5.(多选)(2026·宁夏银川模拟)已知f(x)是R上的奇函数,f(x+2)是R上的偶函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=x2+2x,则下列说法正确的是 (　　) A.8为f(x)的一个周期 B.f(-3)=3 C.f(2 025)=3 D.f(2 026)=8 答案:ACD 解析:因为f(x+2)是偶函数, 所以f(x+2)=f(-x+2). 又因为f(x)是奇函数,所以f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2)=-f(x-2), 所以f(x+4)=-f(x), 所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)的一个周期为8,选项A正确; 又当x∈[0,2]时,f(x)=x2+2x, 所以f(-3)=f(5)=-f(1)=-3,选项B错误; f(2 025)=f(8×253+1)=f(1)=3,选项C正确; f(2 026)=f(8×253+2)=f(2)=8,选项D正确. 6.(多选)(2026·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=e2|x|+cos 2x(x∈R),则下列判断正确的是 (　　) A.函数f(x)的图象关于y轴对称 B.函数f(x)的最小值为2,无最大值 C.函数f(x)在(-π,π)上单调递增 D.不等式f(x-1)<f(x)的解集为(,+∞) 答案:ABD 解析:f(-x)=e2|-x|+cos(-2x)=e2|x|+cos 2x,即f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数,f(x)的图象关于y轴对称,故A正确; 当x≥0时,f(x)=e2x+cos 2x,f'(x)=2e2x-2sin 2x>0,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,f(0)=2,且f(x)是偶函数,所以函数f(x)的最小值为2,无最大值,故B正确; 由A,B可知,f(x)在(-π,0)上单调递减,在[0,π)上单调递增,故C错误; 不等式f(x-1)<f(x)⇔|x-1|<|x|,两边平方得-2x+1<0,得x>,故D正确. 7.已知函数y=f(x)与g(x)=ln(-x-2)-x-2的图象关于点(-1,0)对称,则f(x)=　　　　.  答案:-ln x-x 解析:设M(x,y)是y=f(x)图象上任意一点,且点M关于点(-1,0)对称的点为(m,n), 可得 将其代入函数g(x)=ln(-x-2)-x-2,可得-y=ln x+x,所以y=-ln x-x,即f(x)=-ln x-x. 8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(x),当0≤x≤2时,f(x)=设g(x)=f(x-1)+f(x)+f(x+1),则g(2 026)=　　　　.  答案:0 解析:由题知,f(x)是奇函数且是周期为4的周期函数, 又当0≤x≤2时,f(x)= 则f(2 025)=f(1+506×4)=f(1)=1,f(2 026)=f(2+506×4)=f(2)=0,f(2 027)=(-1+507×4)=f(-1)=-f(1)=-1, 故g(2 026)=f(2 025)+f(2 026)+f(2 027)=0. [B组　能力提升练] 9.(多选)(2026·广东湛江模拟)设定义在R上的函数f(x)和g(x),记g(x)的导函数为g'(x),且满足f(x)+g'(x)=4,f(x-1)-g'(3-x)=4.若g(x)为奇函数,则下列结论一定成立的有 (　　) A.f(2)+f(4)=8 B.f(2 025)=4 C.f(n)=8 100 D.g'(4)=0 答案:ABC 解析:由f(x)+g'(x)=4,得f(x-1)+g'(x-1)=4. 又f(x-1)-g'(3-x)=4,所以g'(x-1)=-g'(3-x),即g'(x)=-g'(2-x), 所以g'(x)关于(1,0)对称,g'(1)=0. 又因为g(x)是奇函数,故g'(x)是偶函数,所以g'(x)满足条件g'(x+4)=g'(x). 对于选项A,因为g'(4)=-g'(-2)=-g'(2),所以g'(4)+g'(2)=0, 所以f(2)+f(4)=4-g'(2)+4-g'(4)=8-[g'(4)+g'(2)]=8,选项A正确; f(2 025)=4-g'(2 025)=4-g'(1)=4,选项B正确; 因为g'(3)=-g'(-1)=-g'(1)=0,所以g'(1)+g'(2)+g'(3)+g'(4)=0, 所以f(n)=4×2 025-g'(n)=8 100-g'(2 025)=8 100-g'(1)=8 100,选项C正确; 对于选项D,g'(4)=g'(0),但不一定为0,选项D错误. 10.设函数f(x)=ln+ax-b(a>0,b∈R). (1)判断函数f(x)的单调性(无需证明); (2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形; (3)若3a=b,解关于实数t的不等式f(t2-2t+3)+f(3+t)>0. (1)解:f(x)的定义域为(0,6), f(x)=ln x-ln(6-x)+ax-b, 当a>0时,y=ln x,y=-ln(6-x),y=ax-b都是增函数, 所以函数f(x)在(0,6)上单调递增. (2)证明:f(x)的定义域为(0,6), 由于f(x)+f(6-x)=ln+ax-b+ln+a(6-x)-b=6a-2b, (或f(3+x)+f(3-x)=ln+a(3+x)-b+ln+a(3-x)-b=6a-2b) 所以f(x)关于点(3,3a-b)中心对称. (3)解:当3a=b时,由(2)知,f(x)关于点(3,0)中心对称, 关于t的不等式f(t2-2t+3)+f(3+t)>0等价于t2-2t+3+3+t>6, 又0<t2-2t+3<6,0<3+t<6, 由 所以不等式的解集为{t|-1<t<0,或1<t<3}. 学科网（北京）股份有限公司 $ [A组　基础保分练] 1.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x)的图象必过点 (　　) A.(-1,2)　　　　　　 B.(1,2) C.(-1,-2) D.(-2,1) 2.(2026·山东聊城模拟)函数y=与y=-2x的图象 (　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x轴对称 3.已知函数f(x)=2|x-a|的图象关于直线x=2对称,则a等于 (　　) A.1 B.2 C.0 D.-2 4.(2026·山西晋中模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=sinx,则f()= (　　) A.- B. C.- D. 5.(多选)(2026·宁夏银川模拟)已知f(x)是R上的奇函数,f(x+2)是R上的偶函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=x2+2x,则下列说法正确的是 (　　) A.8为f(x)的一个周期 B.f(-3)=3 C.f(2 025)=3 D.f(2 026)=8 6.(多选)(2026·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=e2|x|+cos 2x(x∈R),则下列判断正确的是 (　　) A.函数f(x)的图象关于y轴对称 B.函数f(x)的最小值为2,无最大值 C.函数f(x)在(-π,π)上单调递增 D.不等式f(x-1)<f(x)的解集为(,+∞) 7.已知函数y=f(x)与g(x)=ln(-x-2)-x-2的图象关于点(-1,0)对称,则f(x)=　　　　.  8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(x),当0≤x≤2时,f(x)=设g(x)=f(x-1)+f(x)+f(x+1),则g(2 026)=　　　　.  [B组　能力提升练] 9.(多选)(2026·广东湛江模拟)设定义在R上的函数f(x)和g(x),记g(x)的导函数为g'(x),且满足f(x)+g'(x)=4,f(x-1)-g'(3-x)=4.若g(x)为奇函数,则下列结论一定成立的有 (　　) A.f(2)+f(4)=8 B.f(2 025)=4 C.f(n)=8 100 D.g'(4)=0 10.设函数f(x)=ln+ax-b(a>0,b∈R). (1)判断函数f(x)的单调性(无需证明); (2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形; (3)若3a=b,解关于实数t的不等式f(t2-2t+3)+f(3+t)>0. 学科网（北京）股份有限公司 $