第11讲 双曲线中的向量问题专练-2026年高考数学二轮复习双曲线专题（新高考通用）

**基本信息** 聚焦双曲线与向量综合的高频压轴题型，构建“条件转化-定理应用-模型匹配”三阶解题体系，系统整合几何性质与向量运算的逻辑关联。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |高考分析|含考情/失分点|向量条件代数化、离心率齐次式构造|从双曲线定义到几何性质，结合向量运算形成“概念-性质-应用”链条| |知识要点|5类核心题型+5步通用步骤|焦点三角形模型、中点弦向量结论|直线与双曲线位置关系为基，向量垂直/共线为条件，构建综合解题框架| |题型专练|单选14/多选5/填空9/解答26|二级结论速解、坐标运算模板|覆盖选择压轴到解答题第二问，体现从基础公式到拔高模型的难度梯度|

第11讲 双曲线中的向量专题训练 目 录 高考分析 1 学习目标 2 知识要点 2 题型专练 9 一、单选题： 9 二、多选题 16 三、填空题 19 四、解答题 24 一、整体考情概述 双曲线与平面向量的综合问题，属于高考圆锥曲线高频压轴考点，横跨平面向量运算+双曲线定义+几何性质两大模块。在全国卷以及新高考卷中稳定考查，小题以选择、填空压轴为主，大题常在圆锥曲线第二问结合考查，分值占比高，综合性强，是高中数学重难点题型。 二、题型考查分布 1. 选择题（高频） 以向量数量积、向量垂直、向量模长关系为条件，求解双曲线离心率，为高考最常规考法，出题频率最高。 2. 填空题（中档压轴） 考查焦点三角形与向量夹角、向量最值、面积计算，多结合二级结论快速解题，侧重几何转化思维。 3. 解答题（大题第二问） 集中考查弦中点向量、共线向量、向量垂直，联立直线与双曲线方程，考察坐标运算、参数求解、范围问题。 三、高考难度分层 1. 基础难度：向量垂直、焦点三角形面积计算，公式直接套用，适合基础得分。 2. 中档难度：向量夹角、模长最值、中点弦向量问题，需要简单联立推导。 3. 拔高难度：定比分点向量、原点双向量垂直模型，作为压轴区分度题型。 四、学生常见失分点 1. 混淆椭圆、双曲线向量对应的面积公式以及斜率结论。 2. 无法快速把向量文字条件翻译成坐标方程，解题切入点缺失。 3. 忽略双曲线两支的区别，遗漏绝对值定义导致答案出错。 4. 离心率求解不会构造齐次式，计算步骤繁琐导致失分。 五、备考复习建议 1. 熟记双曲线向量全部二级秒杀结论，区分椭圆同类公式，避免记忆混淆。 2. 重点专攻向量求离心率题型，为小题复习核心方向。 3. 熟练掌握向量几何条件代数化的转化套路，固定解题模板。 4. 针对性练习焦点三角形向量大题，规范答题步骤，适应高考阅卷得分标准。 1. 熟练掌握向量数量积、垂直、共线、线性运算在双曲线题型中的代数转化方法。 2. 精通双曲线焦点三角形与向量结合的核心大题模型。 3. 掌握中点弦向量、重心向量、垂直双向量二级结论。 4. 能够利用向量条件求解双曲线离心率、参数范围、面积、弦长问题。 一．双曲线核心公式 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 二．直线与双曲线的位置关系 1.研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. 2.对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 3.直线与双曲线的位置关系的判断方法： (1) 代数法：通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断。①代入②得，， a. 当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点。 b. 当，即，设该一元二次方程的判别式为，若，直线与双曲线相交，有两个公共点；若，直线与双曲线相切，有一个公共点；若，直线与双曲线相离，没有公共点。 (2) 几何法（渐近线法）：可以根据渐近线的斜率判断直线与双曲线的位置关系,设此双曲线的渐近线斜率为. a. 当直线过点P且斜率等于时,直线与双曲线相交于一点,如图,直线①③均与双曲线右支交于一点; b. 当直线过P点且斜率在内时,直线与双曲线左右两支各交于一点,如直线②; c. 当直线过点P且斜率在内时,直线可能与双曲线的右支交于两点,如直线⑥,也可能与双曲线右支相切,如直线④,还可能与双曲线相离,如直线⑤. 4.弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 5.“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 解题步骤：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系。 设，中点M，,代入双曲线方程 得 ; 两式相减可得： ,当时，有，后使用点斜式求出直线方程。 ③弦的中点与直线的斜率的关系 若线段AB是双曲线的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即 【焦点在x轴】 若线段AB是双曲线 的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即 【焦点在y轴】 6.双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 7.双曲线中的定点、定值、定直线问题 （1）双曲线中的过定点问题的两大类型及解法 ①动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； ②动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． （2）双曲线中的定值问题的三个求解步骤 ①由特例得出一个值，此值一般就是定值； ②证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； ③得出结论． （3）双曲线中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： ①设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； ②待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； ③验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 三．平面向量必备公式 1.向量的坐标 设，，则 =，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． ||＝． ， 2.向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设，，则 ， ，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． |a|＝． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． 3.数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量a,b的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 四．核心题型 1.焦点三角形 + 向量数量积（高考高频大题） 2.向量线性运算（中点、重心模型） 3.双向量垂直模型（OA⊥OB） 4.向量共线与定比分点 5.向量条件求离心率（高考压轴小题） 五．通用解题步骤 第一步：将向量垂直、共线、数量积、模长条件转化为代数方程。 第二步：结合双曲线定义 ||PF₁|－|PF₂||=2a。 第三步：结合余弦定理、面积公式联立。 第四步：整理为a、c的齐次方程。 第五步：同除以a²，令e=c/a，解出离心率。 双曲线固有范围：e＞1 题型专练 一、单选题： 1．若斜率为（）的直线过双曲线：的上焦点，与双曲线的上支交于，两点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为双曲线：，所以，设直线方程为， 代入双曲线方程消去y得， 判别式，且， 由韦达定理得，因为，所以， 所以，两式联立解得，故选：D． 2．已知双曲线的右顶点､右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线与C的一个交点为B，若，且，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【解析】∵，整理得：，即，∴， 不妨设，根据结合比例易得，则，解得 ∴，故选：B． 3．已知点P为双曲线C：（，）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为A，为双曲线C的左焦点，若，则渐近线l的斜率为（　　） A． B． C． D． 【解析】设，渐近线l的方程为，① 直线的方程为，② 联立①②可得，，即有， 由，可得，， 解得，，即，由P在双曲线上，可得， 化为，即，可得，所以直线l的斜率为．故选：D． 4．已知双曲线右支上的一点P，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点．当点P为AB的中点时，（    ） A． B．9 C． D． 【解析】设，，，，， 由点P为AB的中点，得，， 将P点代入双曲线方程可得，化简得， 所以，故选：B． 5．过双曲线的右焦点且斜率为的直线分别交双曲线的渐近线于，两点，在第一象限，在第二象限，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【解析】由题意得：由双曲线的方程，可知， 过双曲线的右焦点且斜率为的直线方程为 联立，得：，联立，得：， 则 ，，， ，整理得：，解得：，故选：A 6．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的右支于、两点．点满足，且，者，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【解析】如下图所示，取线段的中点，连接，    因为，则， 因为为的中点，则，且， 由双曲线的定义可得， 所以，，则， 由余弦定理可得， 所以， ，因此，该双曲线的离心率为.故选：C. 7．已知双曲线的左､右焦点分别为、，过的左顶点作一条与渐近线平行的直线与轴相交于点，点为线段上一个动点，当分别取得最小值和最大值时，点的纵坐标分别记为、，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意可得，，、，双曲线的渐近线方程为， 不妨设直线的斜率为，则直线的方程为，易得， 设点的坐标为，其中， ，， 所以，， 故当时，取得最小值，此时， 当时，取得最大值，此时，因此，.故选：D. 8．已知椭圆与双曲线有相同的左焦点、右焦点，点是两曲线的一个交点，且.过作倾斜角为45°的直线交于，两点（点在轴的上方），且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解析】不妨设为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为，，由双曲线定义可知：，又因为，所以，，所以，所以， 所以，所以，所以，所以椭圆方程为， 又因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以，所以，解得，故选：A. 9.过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、切线长、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接，应用勾股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果. 【详解】由题设中圆心，半径， 中圆心，半径， 根据双曲线方程知其左右焦点为，连接， 所以， 所以 ， ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故的最小值为30. 故选：C. 10.已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线方程可求得坐标，进而求得双曲线方程；设，利用平面向量数量积的坐标运算以及点在双曲线上可将表示为，由在轴上方知，由二次函数最值求法可求得结果. 【详解】由抛物线方程知：，，解得：；设，，，，在轴上方且在双曲线上，且， ，当时，取得最小值，最小值为. 11.直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】 求出圆的圆心，根据题意可得、，利用平面向量的线性运算可得，即可求解. 【解析】圆，圆心，半径， 因为直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点， 所以，又双曲线，则，，右焦点为， 所以 ， 又，即，所以，当点在右顶点时取等号， 即， 所以的最小值为， 故选：D.      12.已知为双曲线上的一点，由向两渐近线作垂线，垂足分别为、，则的值为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】双曲线的渐近线方程为，即，    设点，则， 设点在直线、的射影点分别为、， 则，，所以，， 设直线的倾斜角为，则为锐角，且， 则，所以，， 因为，故， 所以，， 由平面向量数量积的定义可得. 故选：A. 13.已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由，即，可得． 设，，，根据上述条件及双曲线的定义，可知 ，，． 又因为，所以， 故，，，． 在中，由， 得，得，即， 得，故的两条渐近线方程为． 故选：A． 14.已知双曲线，，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，则或，且有，可得，，， ，令，其中或， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.①当时，函数单调递减，此时；②当时，函数单调递增，此时. 综上所述，函数在上的值域为.因此，的最小值是. 二、多选题 1．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且C的一条渐近线经过点，直线与C的另一条渐近线在第四象限交于点A，则下列结论正确的是（    ） A．C的离心率为2 B．若，则C的方程为 C．若，则（O为坐标原点）的面积为 D．若，则C的焦距为 【解析】对A，双曲线C的渐近线方程为，因为C的一条渐近线经过点，所以，即，所以，所以，故选项A正确； 对B，因为，所以点P在圆上，所以. 又离心率，所以，则，所以C的方程为，故选项B正确； 对C，由Ｂ得，的面积为，故选项C错误； 对D，设，，由，得，所以，，代入渐近线方程，得，解得，所以C的焦距为，故选项D正确. 故选：ABD. 2．已知双曲线，，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【解析】设点，则或，且有，可得， ，，， 令，其中或， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线. ①当时，函数单调递减，此时； ②当时，函数单调递增，此时. 综上所述，函数在上的值域为. 因此，的值可以是、、.故选：BCD. 3.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，则的取值可以是（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】AB 【详解】双曲线中，，实轴长， 不妨设点在第一象限，，则， 所以，，则， 又点在双曲线上，所以，即， 则，由，可知，即， 则的最大值为16，所以的取值可以是，. 故选：. 4.双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线l，垂足为N，l与另一条渐近线交于点M，且M，N都在x轴上方，，点在E上，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．直线与的斜率之积是2 D．双曲线在点P处的切线与x轴交于点I，则 【答案】AD 【详解】由题设，且渐近线为，若垂直于，则， ，可得，同理得， 由，则，整理得，可得，B错， 所以，故渐近线方程为，A对， 在双曲线上，则，则， 所以，则，C错； 点P处的切线为，联立，得， 所以，则， 所以，则，故切线为， 令，则，故，D对. 故选：AD 5．已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是（    ） A．直线与轴垂直 B．的离心率为 C．的渐近线方程为 D．（其中为坐标原点） 【解析】由已知得，设，由，得，所以轴，即，A正确； 不妨设点在第一象限，易知，，，即点， 设，由，得，所以， 所以，即．因为点在双曲线上，所以，整理得，所以，解得或（负值舍去），B正确； ，故C的渐近线的斜率的平方为，C错误； 不妨设点在第一象限，则，所以，D错误． 故选：AB． 12．已知双曲线且成等差数列，过双曲线的右焦点F（c，0）的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，，则直线l的斜率的可能取值为（    ） A． B．－ C． D．－ 【解析】因为成等差数列，所以，所以． 设左焦点为，则． 令，则，即，将代入解得，从而解得，故，而是直线l的倾斜角或倾斜角的补角，所以直线l的斜率的值为－或．故选：AB. 三、填空题 1．设双曲线C的左、右焦点分别为，，且焦距为，P是C上一点，满足，，则的周长为 ． 【解析】 因为，所以.设，， 因为，所以. 在中，根据余弦定理有， 所以，整理可得，，解得（负值舍去），所以， 所以，，故周长为. 2．已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是 ． 【解析】以的中点O为坐标原点，的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则，由双曲线定义可知，点P的轨迹是以，为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，即点P的轨迹方程为．，由， 可得． 因为的最小值为，所以的最小值是3． 3.已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为 . 【答案】/ 【详解】设为坐标原点，则， 从而.    设的左焦点为，连接， 由双曲线的定义，得. 在中，由余弦定理，得， 解得. 由，得，解得， 所以. 故答案为：. 4.已知双曲线的离心率为，F为右焦点，点A，B在右支上，设D为A关于原点O的对称点，且．若，则 ． 【答案】 【详解】由双曲线的离心率为， 设，（其中），则，可得， 再设为双曲线的左焦点，且， 因为，可得，根据双曲线的定义，可得， 又由双曲线的对称性，可得四边形为矩形，所以， 即，解得， 连接，设，则，由于 即，解得， 因为，解得． 故答案为：. 5.已知为坐标原点，为双曲线上一点，分别为双曲线的左，右顶点，且直线与直线的斜率之积为，则 . 【答案】30 【详解】由题意，，，为双曲线上一点， 则， 解得，又点在双曲线上，则，解得， ，，则，， 所以. 故答案为：30. 6.已知为坐标原点，为双曲线上一点，分别为双曲线的左，右顶点，且直线与直线的斜率之积为，则 . 【答案】30 【详解】由题意，，，为双曲线上一点， 则， 解得，又点在双曲线上，则，解得， ，，则，， 所以. 故答案为：30. 7.已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为 . 【答案】/ 【详解】设为坐标原点，则， 从而.    设的左焦点为，连接， 由双曲线的定义，得. 在中，由余弦定理，得， 解得. 由，得，解得， 所以. 故答案为：. 8.已知双曲线的左右焦点分别为､，实轴长为1，是双曲线右支上的一点，满足，是轴上的一点，则 . 【解析】设，由题意知，, 因为是双曲线右支上的一点，满足，所以,解得. 所以 ，两式相减可得，即.设，则， 又，所以. 9.设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为 . 【解析】如图，设为的中点，连接， 易知，， ， 又为的中点，，，， 为等腰直角三角形，设，由双曲线的定义知，解得， ，又，. 在中，，，，化简得，即， 又，. 四、解答题 1.已知点，，双曲线C上除顶点外任一点满足直线RM与QM的斜率之积为4. (1)求C的方程； (2)若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限，，求的最小值. 【答案】(1)(2)1 【分析】（1）由题意得，化简可得答案， （2）求出渐近线方程，设点，，，，，由可得，代入双曲线方程化简可得，然后表示的坐标，再进行数量积运算，化简后利用基本不等式可得答案 【解析】 (1)由题意得，即，整理得，因为双曲线的顶点坐标满足上式， 所以C的方程为. (2)由（1）可知，曲线C的渐近线方程为，设点，，，，， 由，得，整理得，①， 把①代入，整理得②， 因为，， 所以.由，得， 则， 当且仅当时等号成立，所以的最小值是1. 2.已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 【答案】(1) (2)16 【详解】（1）由题意， 如图， ∵， ∴， 又∵不在轴负半轴上， ∴与直线垂直， 又∵， ∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， ∴点的轨迹方程为. （2） 由得， ∵与交于两点， ∴， 设，，则， 又∵， ∴， ∵的斜率为， ∴直线的方程为， 设，，同理得，， ∴ ， 当且仅当即时取到“=”， ∴的最小值为16. 3.已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线的方程； (2)求过点作直线，使其被双曲线截得的弦恰被点平分，求直线的方程． (3)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中O为坐标原点)，求实数取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意，，解得， 所以双曲线的方程为. （2）设直线与双曲线交点坐标分别为， 则，两式相减可得：， 即， 所以直线的方程为，即. （3）如图， 由消去y并整理得：， 显然，且，解得且， 设，则，， ， ，解得， 由可得，解得或， 所以k的取值范围. 4.已知双曲线的右顶点为，双曲线的左､右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知过点的直线与双曲线右支交于两点，点在线段上，若存在实数且，使得，证明：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，由，得，即， 所以， 又双曲线的一条渐近线方程为，所以， 解得， 故双曲线的方程为. （2）设直线与双曲线交于，点， 因为存在实数且，使得， 所以， ， 整理得：①，②， 得③， 同理④，⑤， 得⑥， 由于双曲线上的点的坐标满足， ③-⑥得， 即，又，所以， 表示点在直线上，又也在直线上， 所以直线的斜率为（定值）.    5.设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可得：，解得：. 所以椭圆的方程为：. （2）设，因为在椭圆上， 所以，两式相减可得： ， 则，因为为线段的中点， 所以， 所以，所以直线的方程为：， 化简可得：. （3）当直线的斜率不存在时，，， 此时，所以， 当直线的斜率存在时，设，因为直线过点， 设直线的方程为：， 联立可得：， 当时，， ， ， 令，则， 令，在在上单调递减， 又，所以， 所以的取值范围为. 6.在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且， 所以点的轨迹是双曲线的右支，可设其方程为， 所以， 所以其轨迹方程为. （2） 由题意可知，直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立方程，消去得， 由题意， 设， 则， ， ， 且， ， 直线的方程. 7.已知双曲线． (1)求上焦点的坐标； (2)若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标； (3)若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）因为双曲线方程为， 所以，所以， 所以上焦点. （2）设，则， 所以， 当时，此时取得最小值且， 所以，所以， 所以. （3）因为为上顶点，所以， 由题意可知：不经过，所以， 设， 联立可得， 且，即， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 化简可得：，解得或（舍）， 综上所述，. 8.已知，，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)当时，求的面积. (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以点的轨迹为以为焦点的双曲线， 设此双曲线方程为， 易知，又由，解得， 即轨迹的方程为：； （2）∵为双曲线E:上的一点， ∴，平方得 ①， 在中，由余弦定理，得， 即 ②， 由，得，即， 所以的面积.    （3）设，则，所以，. 所以的取值范围是. 9.已知双曲线的右顶点为，且它的一条渐近线的方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若是双曲线上异于顶点的一个动点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，与直线（为坐标原点）分别交于点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：由题意知解得 故双曲线的方程为． （2）证明：设，，，直线的方程分别为，． 因为，，所以，， 所以，． 所以，． 故． 因为，所以． 10.已知等轴双曲线的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为4．设两点分别在上，满足直线的斜率之积为1，点为上异于的另一点，过分别作平行于的直线，交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)设，，证明：为定值． 【答案】(1)的方程为，的方程为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）设，， 因此，所以， 的方程分别为，； （2）设点，， 因此，，且，， 所以， 因此，，， 所以； （3）由题意，设点，，， 因此， 又，从而， 整理得， 由（2）可知，因此为定值． 11.已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2． (1)求双曲线C的方程； (2)O为坐标原点，过点且斜率不为0的直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），直线OQ交双曲线C于点，求． 【答案】(1) (2)0 【详解】（1）由双曲线的左、右顶点 分别为可知， 又由离心率为2，即，可得， 又在双曲线中，可得， 所以双曲线C的方程为. （2） 因为直线过点且斜率不为0， 且直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限）， 所以设直线的方程为（其中为直线斜率的倒数）， （由双曲线C的方程为可知其渐近线方程为， 所以直线的斜率，解得）. 设，因为直线OQ交双曲线C于点，所以， 所以， ， 联立，可得， 所以由韦达定理可得， 所以 ， 所以. 12.已知双曲线C：．过y轴正半轴上一点T作射线TA，TB交C于点，，且．为x轴正半轴上一点，满足． (1)若P为C的右焦点，求直线AB的方程； (2)求的取值范围； (3)若T在直线AB上，且，是否存在，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）法1（设直线＋韦达定理，为（2）（3）作铺垫）： 因为C：，，，，故． 设，则，，， 因为，所以，即． 设AB：，联立得， 整理得， 故，， ，． 其中，所以，，又， 故，所以． 因为， 所以，代入，解得， 故直线AB的方程为， （或者直线AB的方程为或）． 法2（定比点差法）： 因为A、B在C上，于是，即， 两式相减得， 因为C：，，，，故． 设，则，，， 因为，所以，即． 故， 联立解得，或，． 第一种情况，得； 第二种情况，同理得． 故直线AB的方程为或． （2）设，则，，， ，所以，即， 设AB：，联立得， 整理得， 故，， ，． 其中，所以，，又， 故，所以． 又，故， 故， 当，即时，，无解，舍去； 当，即时，整理得， 解得或． 综上所述，的取值范围是； （3）不存在，理由如下： 假设存在，等价于． 由（2）知，A、P、B三点共线，又T在直线AB上，所以T、A、P、B四点共线， 则直线，又，故， 从水平方向上看，有，整理得． 从竖直方向上看，有，整理得． 所以， 又由（2）得，， ，， 所以，，代入整理得． 而，所以，整理得， 所以，解得，与矛盾． 故不存在这样的． 13．已知，，点满足，记点的轨迹为， (1)求轨迹的方程； (2)若直线过点，且与轨迹交于、两点．在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由． 【解析】（1）由知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支． 且，即，，故，    轨迹方程为． （2）若直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立得得，   设，，由条件得  ，解得．    设存在点满足条件， 由   ，得      对任意恒成立，所以解得， 因此存在定点满足条件． 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，联立得，， 将验证，结果也成立.          综上所述，轴上存在定点，使恒成立. 14．已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为. (1)求C的方程； (2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由已知C：，点A的坐标为，得， 焦点，，. 所以，，故C：. （2）设l的方程为，则，故， 由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故. 与双曲线方程联立得：， 由已知得，，设，，则，① 由，得：，， 消去得：，即② 由①②得：，由已知，故存在定直线l：满足条件. 15．已知双曲线的虚轴长为，左焦点为F． (1)设O为坐标原点，若过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当时，求的面积； (2)设过F的直线l与C交于M，N两点，若x轴上存在一点P，使得为定值，求出点P的坐标及该定值． 【解析】（1）由题意可知，，得，所以双曲线C的标准方程为， 则，双曲线C的渐近线方程为， 由对称性可知，直线l与垂直和直线l与垂直这两种情况下的面积是相等， 不妨设直线l与垂直，则直线l的方程为， 则点A在渐近线上，点B在渐近线上， 由，解得，则，所以， 易知，所以，故的面积． （2）设，当轴时，直线l的方程为，代入，解得， 不妨取，，则， 当轴时，直线l的方程为，代入，解得， 不妨取，，则， 令，解得，此时， 当直线l与坐标轴不垂直时，设直线l的方程为， 代入，得，， 设，，则，， 当点P的坐标为时， ． 综上可知，当点P的坐标为时，为定值0． 16．点在以、为焦点的双曲线上，已知，，为坐标原点． (1)求双曲线的离心率； (2)过点作直线分别与双曲线渐近线相交于、两点，且，，求双曲线的方程； (3)若过点（为非零常数）的直线与（2）中双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这种定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为，则，可得， 因为，由勾股定理可得，即， 所以，，因此，该双曲线的离心率为. （2）因为，则， 所以，双曲线的方程为，即， 双曲线的渐近线方程为，设点、、， ，可得， 因为，即，可得， 即点，将点的坐标代入双曲线的方程可得， 可得，所以，，所以，，因此，双曲线的方程为. （3）假设在轴上存在定点 使得， 设直线的方程为，设点、， 联立，可得， 由题意可得，可得， 由韦达定理可得，，易知、， 所以，，， 因为，所以，， 即，即， 即，（*） 由可得，则， 将代入（*）可得，（**） 将代入韦达定理可得，所以，， 将代入（**）式可得， 故在轴上存在定点使得． 17．已知分别为双曲线左、右焦点，在双曲线上，且． (1)求此双曲线的方程； (2)若双曲线的虚轴端点分别为（在轴正半轴上），点在双曲线上，且，，试求直线的方程． 【解析】（1）设，，则，， ，解得：，； 又在双曲线上，则，，，双曲线的方程为：. （2）由（1）得：，，，三点共线， 直线斜率显然存在，可设，，， 由得：，，即且， ，， ，，又，， ， 解得：，满足且， 直线方程为：或. 18.设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可得：，解得：. 所以椭圆的方程为：. （2）设，因为在椭圆上， 所以，两式相减可得： ， 则，因为为线段的中点， 所以， 所以，所以直线的方程为：， 化简可得：. （3）当直线的斜率不存在时，，， 此时，所以， 当直线的斜率存在时，设，因为直线过点， 设直线的方程为：， 联立可得：， 当时，， ， ， 令，则， 令，在在上单调递减， 又，所以， 所以的取值范围为. 19.已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 【答案】(1) (2)16 【详解】（1）由题意， 如图， ∵， ∴， 又∵不在轴负半轴上， ∴与直线垂直， 又∵， ∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， ∴点的轨迹方程为. （2） 由得， ∵与交于两点， ∴， 设，，则， 又∵， ∴， ∵的斜率为， ∴直线的方程为， 设，，同理得，， ∴ ， 当且仅当即时取到“=”， ∴的最小值为16. 20.已知双曲线的右顶点为，双曲线的左､右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知过点的直线与双曲线右支交于两点，点在线段上，若存在实数且，使得，证明：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，由，得，即， 所以， 又双曲线的一条渐近线方程为，所以， 解得， 故双曲线的方程为. （2）设直线与双曲线交于，点， 因为存在实数且，使得， 所以， ， 整理得：①，②， 得③， 同理④，⑤， 得⑥， 由于双曲线上的点的坐标满足， ③-⑥得， 即，又，所以， 表示点在直线上，又也在直线上， 所以直线的斜率为（定值）.    21.已知双曲线的焦距为8，离心率为2. (1)求双曲线C的标准方程； (2)直线l与圆相切，且与双曲线C的左、右两支分别交于点M，N，求证：. 【解析】（1）由题意，得，，解得，. 因为， 所以双曲线C的标准方程为. （2）如图， 因为直线l与圆相切， 所以圆心到直线l的距离. 由（1）知，双曲线C的渐近线的斜率为. 因为直线l与双曲线C的左、右两支相交，所以直线l的斜率k存在，且. 设直线l的方程为，则，所以. 由消去y，整理得. ， 设，，则，，所以. 因为，， 所以 . 把，代入，得 ， 所以，所以. 22.已知椭圆的左、右两个顶点分别为．曲线是以两点为顶点，离心率为2的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点． (1)求曲线的方程； (2)设点的横坐标分别为，证明：； (3)设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围. 【解析】（1）由题意，，， 因为曲线是以、两点为顶点的双曲线， 所以设双曲线的方程为， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， 所以双曲线的方程为； （2）由题意，设点、， 直线的方程为，（）， 联立椭圆方程， 消去得， 由，可得， 联立双曲线方程， 消去得， 同理可得， 所以； （3）设点、，则，， 因为，所以，即， 因为点在双曲线上，即，所以，即， 又点是双曲线在第一象限内的一点，所以， 因为，， 所以， 由（2）知，，设，则，则， 令，， 设，则， 因为，故即， 所以在区间上单调递增，当时 ，，， 则，则，所以， 即当时，的取值范围为. 23.已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 【解析】（1）由题意可得，故. （2）当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当时，即当时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，即当时，则，解得. 综上所述，或. （3）由题知、，当直线的斜率为时，此时，不合题意， 则直线的斜率不为，则设直线的方程为，设点、， 根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数，其中， 由韦达定理可得①，②， ，， 则， 因为、在直线上，则，， 即，即， 将①②代入有， 即  化简得， 所以，代入到，得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上，，. 24.已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）依题意左、右顶点分别为，， 所以，解得， 将代入得，解得， 故双曲线方程为； （2）设，，直线的方程为， 将代入整理得，， ∴，，又由， 代入上式得，解得，， 因为的重心在轴上，所以， 所以，代入双曲线得， 故或． 25.已知是以为焦点的抛物线是离心率为，以 为焦点的双曲线，且与在第一象限有两个公共点. (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最大值； (3)是否存在，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上? 若存在，求出的值: 若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)10 (3)不存在；理由见解析 【详解】（1）因为双曲线焦点是， 故双曲线焦点在轴上， 于是可设双曲线的方程为， 且该双曲线的离心率为， 由题意可得，解得， 因此，双曲线的方程为. （2）    抛物线的焦点为， 设点、，其中， 联立， 可得， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，因为，解得， 由韦达定理可得，，， 所以， ，， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为10. （3）由（2）可知，的重心为， 且， ， 故点， 因为点为第一象限内的点， 故点在直线上， 所以， 因为，解得， 又，所以不存在. 因此，不存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上． 26.已知双曲线左、右顶点分别为，过点的直线交于两点． (1)若的一条渐近线方程为，求的方程； (2)连接并延长交于点． ①设点在第一象限，若，，求点的坐标； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【解题思路】（1）根据双曲线的渐近线求出，即可得解. （2）①根据双曲线对称性得，进而，设，则，代入双曲线方程即可求解； ②设直线，与双曲线联立方程，韦达定理，根据数量积坐标运算化简得，然后利用及求解即可. 【解答过程】（1）根据题意得，故，故C的方程为． （2）①根据双曲线对称性知，故， 所以； 故，设，则， 又，解得，即，从而． ②由题知， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则， 则设直线， 设点，根据延长线交双曲线于点， 根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数， 其中， ①，②， ， 则，因为在直线上， 则， 即，即， 将①②代入有， 即， 化简得， 所以，代入到，得，所以， 且，解得，又因为，则， 综上知，，故． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 双曲线中的向量专题训练 目 录 高考分析 1 学习目标 2 知识要点 2 题型专练 9 一、单选题： 9 二、多选题 11 三、填空题 11 四、解答题 12 一、整体考情概述 双曲线与平面向量的综合问题，属于高考圆锥曲线高频压轴考点，横跨平面向量运算+双曲线定义+几何性质两大模块。在全国卷以及新高考卷中稳定考查，小题以选择、填空压轴为主，大题常在圆锥曲线第二问结合考查，分值占比高，综合性强，是高中数学重难点题型。 二、题型考查分布 1. 选择题（高频） 以向量数量积、向量垂直、向量模长关系为条件，求解双曲线离心率，为高考最常规考法，出题频率最高。 2. 填空题（中档压轴） 考查焦点三角形与向量夹角、向量最值、面积计算，多结合二级结论快速解题，侧重几何转化思维。 3. 解答题（大题第二问） 集中考查弦中点向量、共线向量、向量垂直，联立直线与双曲线方程，考察坐标运算、参数求解、范围问题。 三、高考难度分层 1. 基础难度：向量垂直、焦点三角形面积计算，公式直接套用，适合基础得分。 2. 中档难度：向量夹角、模长最值、中点弦向量问题，需要简单联立推导。 3. 拔高难度：定比分点向量、原点双向量垂直模型，作为压轴区分度题型。 四、学生常见失分点 1. 混淆椭圆、双曲线向量对应的面积公式以及斜率结论。 2. 无法快速把向量文字条件翻译成坐标方程，解题切入点缺失。 3. 忽略双曲线两支的区别，遗漏绝对值定义导致答案出错。 4. 离心率求解不会构造齐次式，计算步骤繁琐导致失分。 五、备考复习建议 1. 熟记双曲线向量全部二级秒杀结论，区分椭圆同类公式，避免记忆混淆。 2. 重点专攻向量求离心率题型，为小题复习核心方向。 3. 熟练掌握向量几何条件代数化的转化套路，固定解题模板。 4. 针对性练习焦点三角形向量大题，规范答题步骤，适应高考阅卷得分标准。 1. 熟练掌握向量数量积、垂直、共线、线性运算在双曲线题型中的代数转化方法。 2. 精通双曲线焦点三角形与向量结合的核心大题模型。 3. 掌握中点弦向量、重心向量、垂直双向量二级结论。 4. 能够利用向量条件求解双曲线离心率、参数范围、面积、弦长问题。 一．双曲线核心公式 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 二．直线与双曲线的位置关系 1.研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. 2.对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 3.直线与双曲线的位置关系的判断方法： (1) 代数法：通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断。①代入②得，， a. 当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点。 b. 当，即，设该一元二次方程的判别式为，若，直线与双曲线相交，有两个公共点；若，直线与双曲线相切，有一个公共点；若，直线与双曲线相离，没有公共点。 (2) 几何法（渐近线法）：可以根据渐近线的斜率判断直线与双曲线的位置关系,设此双曲线的渐近线斜率为. a. 当直线过点P且斜率等于时,直线与双曲线相交于一点,如图,直线①③均与双曲线右支交于一点; b. 当直线过P点且斜率在内时,直线与双曲线左右两支各交于一点,如直线②; c. 当直线过点P且斜率在内时,直线可能与双曲线的右支交于两点,如直线⑥,也可能与双曲线右支相切,如直线④,还可能与双曲线相离,如直线⑤. 4.弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 5.“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 解题步骤：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系。 设，中点M，,代入双曲线方程 得 ; 两式相减可得： ,当时，有，后使用点斜式求出直线方程。 ③弦的中点与直线的斜率的关系 若线段AB是双曲线的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即 【焦点在x轴】 若线段AB是双曲线 的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即 【焦点在y轴】 6.双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 7.双曲线中的定点、定值、定直线问题 （1）双曲线中的过定点问题的两大类型及解法 ①动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； ②动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． （2）双曲线中的定值问题的三个求解步骤 ①由特例得出一个值，此值一般就是定值； ②证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； ③得出结论． （3）双曲线中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： ①设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； ②待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； ③验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 三．平面向量必备公式 1.向量的坐标 设，，则 =，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． ||＝． ， 2.向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设，，则 ， ，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． |a|＝． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． 3.数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量a,b的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 四．核心题型 1.焦点三角形 + 向量数量积（高考高频大题） 2.向量线性运算（中点、重心模型） 3.双向量垂直模型（OA⊥OB） 4.向量共线与定比分点 5.向量条件求离心率（高考压轴小题） 五．通用解题步骤 第一步：将向量垂直、共线、数量积、模长条件转化为代数方程。 第二步：结合双曲线定义 ||PF₁|－|PF₂||=2a。 第三步：结合余弦定理、面积公式联立。 第四步：整理为a、c的齐次方程。 第五步：同除以a²，令e=c/a，解出离心率。 双曲线固有范围：e＞1 题型专练 一、单选题： 1．若斜率为（）的直线过双曲线：的上焦点，与双曲线的上支交于，两点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的右顶点､右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线与C的一个交点为B，若，且，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 3．已知点P为双曲线C：（，）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为A，为双曲线C的左焦点，若，则渐近线l的斜率为（　　） A． B． C． D． 4．已知双曲线右支上的一点P，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点．当点P为AB的中点时，（    ） A． B．9 C． D． 5．过双曲线的右焦点且斜率为的直线分别交双曲线的渐近线于，两点，在第一象限，在第二象限，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 6．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的右支于、两点．点满足，且，者，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左､右焦点分别为、，过的左顶点作一条与渐近线平行的直线与轴相交于点，点为线段上一个动点，当分别取得最小值和最大值时，点的纵坐标分别记为、，则（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆与双曲线有相同的左焦点、右焦点，点是两曲线的一个交点，且.过作倾斜角为45°的直线交于，两点（点在轴的上方），且，则的值为（    ） A． B． C． D． 9.过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 10.已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 11.直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 12.已知为双曲线上的一点，由向两渐近线作垂线，垂足分别为、，则的值为（    ） A． B． C． D．不确定 13.已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 14.已知双曲线，，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 二、多选题 1．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且C的一条渐近线经过点，直线与C的另一条渐近线在第四象限交于点A，则下列结论正确的是（    ） A．C的离心率为2 B．若，则C的方程为 C．若，则（O为坐标原点）的面积为 D．若，则C的焦距为 2．已知双曲线，，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 3.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，则的取值可以是（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 4.双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线l，垂足为N，l与另一条渐近线交于点M，且M，N都在x轴上方，，点在E上，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．直线与的斜率之积是2 D．双曲线在点P处的切线与x轴交于点I，则 5．已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是（    ） A．直线与轴垂直 B．的离心率为 C．的渐近线方程为 D．（其中为坐标原点） 三、填空题 1．设双曲线C的左、右焦点分别为，，且焦距为，P是C上一点，满足，，则的周长为 ． 2．已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是 ． 3.已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为 . 4.已知双曲线的离心率为，F为右焦点，点A，B在右支上，设D为A关于原点O的对称点，且．若，则 ． 5.已知为坐标原点，为双曲线上一点，分别为双曲线的左，右顶点，且直线与直线的斜率之积为，则 . 6.已知为坐标原点，为双曲线上一点，分别为双曲线的左，右顶点，且直线与直线的斜率之积为，则 . 7.已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为 . 8.已知双曲线的左右焦点分别为､，实轴长为1，是双曲线右支上的一点，满足，是轴上的一点，则 . 9.设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为 . 四、解答题 1.已知点，，双曲线C上除顶点外任一点满足直线RM与QM的斜率之积为4. (1)求C的方程； (2)若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限，，求的最小值. 2.已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 3.已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线的方程； (2)求过点作直线，使其被双曲线截得的弦恰被点平分，求直线的方程． (3)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中O为坐标原点)，求实数取值范围． 4.已知双曲线的右顶点为，双曲线的左､右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知过点的直线与双曲线右支交于两点，点在线段上，若存在实数且，使得，证明：直线的斜率为定值. 5.设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 6.在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求直线的方程. 7.已知双曲线． (1)求上焦点的坐标； (2)若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标； (3)若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值． 8.已知，，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)当时，求的面积. (3)求的取值范围. 9.已知双曲线的右顶点为，且它的一条渐近线的方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若是双曲线上异于顶点的一个动点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，与直线（为坐标原点）分别交于点，证明：． 10.已知等轴双曲线的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为4．设两点分别在上，满足直线的斜率之积为1，点为上异于的另一点，过分别作平行于的直线，交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)设，，证明：为定值． 11.已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2． (1)求双曲线C的方程； (2)O为坐标原点，过点且斜率不为0的直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），直线OQ交双曲线C于点，求． 12.已知双曲线C：．过y轴正半轴上一点T作射线TA，TB交C于点，，且．为x轴正半轴上一点，满足． (1)若P为C的右焦点，求直线AB的方程； (2)求的取值范围； (3)若T在直线AB上，且，是否存在，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由． 13．已知，，点满足，记点的轨迹为， (1)求轨迹的方程； (2)若直线过点，且与轨迹交于、两点．在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由． 14．已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为. (1)求C的方程； (2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由. 15．已知双曲线的虚轴长为，左焦点为F． (1)设O为坐标原点，若过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当时，求的面积； (2)设过F的直线l与C交于M，N两点，若x轴上存在一点P，使得为定值，求出点P的坐标及该定值． 16．点在以、为焦点的双曲线上，已知，，为坐标原点． (1)求双曲线的离心率； (2)过点作直线分别与双曲线渐近线相交于、两点，且，，求双曲线的方程； (3)若过点（为非零常数）的直线与（2）中双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这种定点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．已知分别为双曲线左、右焦点，在双曲线上，且． (1)求此双曲线的方程； (2)若双曲线的虚轴端点分别为（在轴正半轴上），点在双曲线上，且，，试求直线的方程． 18.设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 19.已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 20.已知双曲线的右顶点为，双曲线的左､右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知过点的直线与双曲线右支交于两点，点在线段上，若存在实数且，使得，证明：直线的斜率为定值. 21.已知双曲线的焦距为8，离心率为2. (1)求双曲线C的标准方程； (2)直线l与圆相切，且与双曲线C的左、右两支分别交于点M，N，求证：. 22.已知椭圆的左、右两个顶点分别为．曲线是以两点为顶点，离心率为2的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点． (1)求曲线的方程； (2)设点的横坐标分别为，证明：； (3)设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围. 23.已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 24.已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 25.已知是以为焦点的抛物线是离心率为，以 为焦点的双曲线，且与在第一象限有两个公共点. (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最大值； (3)是否存在，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上? 若存在，求出的值: 若不存在，请说明理由. 26.已知双曲线左、右顶点分别为，过点的直线交于两点． (1)若的一条渐近线方程为，求的方程； (2)连接并延长交于点． ①设点在第一象限，若，，求点的坐标； ②若，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $