2026年四川省宜宾市初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试模拟数学试题仿真卷（二）

**基本信息** 融合2025年卫星导航产值（科学记数法）、《九章算术》羊价问题、传统窗格对称图形等素材，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查数与代数、图形与几何、统计与概率核心知识，体现抽象能力、推理意识与模型意识，适配中考仿真复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/48|相反数、三视图、解直角三角形等|结合卫星导航产值考科学记数法，传统窗格图案考轴对称与中心对称| |填空题|6/24|因式分解、概率、圆与坐标等|长江文化区域学习概率题，函数图像矩形周长最小值规律探究| |解答题|7/78|统计图表、几何证明、抛物线综合等|登山情境解直角三角形，抛物线平移与全等三角形存在性探究，突出模型应用与创新思维|

2026年四川省宜宾市初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试模拟（二） 数学试题仿真卷（二） （时间：120分钟；全卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡指定的位置并将答题卡背面座位号对应标号涂黒． 2、答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米，黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4、所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（　　） A B. 2026 C. D. 2. 《2025年中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示，去年我国卫星导航与位置服务产业总产值达5758亿元．将“5758亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某校有21名九年级学生报考海军实验班，初试分数各不相同，按成绩取前10名学生参加复试，若知道某同学的分数，要判断他能否进入复试，需知道这21名学生分数的（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 最高分数 D. 方差 4. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的底面圆的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某班数学课外活动小组的同学想要测量公园内一小山的高度，通过测量知道坡角，斜坡的长度为，则小山的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，则可列方程组为（ ） A. B. C D. 9. 如图，直线与轴交于点，与双曲线在第一象限交于、两点，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的斜边，直角边，现以较长直角边所在直线为轴，将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，分别平分，以下结论不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 12. 抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且，下列四个结论： ①； ②若，则关于x的一元二次方程没有实数解； ③点，在抛物线上上，若，，总有； ④若抛物线的顶点的轨迹上有两点，，则关于x的方程的两根之和大于1． 其中正确的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分 13. 因式分解：a2+ab=_____． 14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 15. 如图，正方形中，将线段绕点A顺时针旋转得到线段的延长线交正方形的对角线于点F，则的度数为_________． 16. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出了巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．小梅和小天同学从上述三种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，两人都选“荆楚文化”的概率是___________ 17. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为________． 18 如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）解不等式组 22. 为了解某景区外地自驾游客的分布情况，某日小桐随机调查了该景区附近部分宾馆停车场的车辆数，根据车牌号归属地的不同，绘制了如下统计图（不完整）： 根据图中信息，解答下列问题． （1）小桐共调查了_______辆车，“豫”对应扇形的圆心角为_______°； （2）补全条形统计图； （3）若该景区附近宾馆停车场当日共有450辆外地自驾游客的车辆，估计其中车牌号归属地为“皖”的车辆有多少？ 21. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 22. 如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： （1）； （2）． 23. 如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，把一块等腰直角三角形纸板放在内，使其斜边在线段上，可沿着线段上下滑动，其中，，点G为边的中点． （1）如图1，当点A与点D重合时，求经过点G的反比例函数的解析式； （2）在滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G． （1）求证：BC 是⊙O的切线； （2）设AB=x，AF=y，用含x，y的代数式表示线段AD的长； （3）若BE=8，sinB=，求DG的长． 25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数 的图像交于A，B两点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足 ，连接，当 的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，将点N向下平移1个单位得到点P，将该抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线 ，Q为新抛物线的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，Q为顶点的三角形和 全等?若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年四川省宜宾市初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试模拟（二） 数学试题仿真卷（二） （时间：120分钟；全卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡指定的位置并将答题卡背面座位号对应标号涂黒． 2、答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米，黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4、所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（　　） A B. 2026 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数定义．根据题意利用相反数定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵-2026的相反数是2026， 故选：B． 2. 《2025年中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示，去年我国卫星导航与位置服务产业总产值达5758亿元．将“5758亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据5758亿用科学记数法表示； 故选B． 3. 某校有21名九年级学生报考海军实验班，初试分数各不相同，按成绩取前10名学生参加复试，若知道某同学的分数，要判断他能否进入复试，需知道这21名学生分数的（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 最高分数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】21人成绩的中位数是第11名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前10名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【详解】解：由于总共有21个人，且他们的分数互不相同，第11名的成绩是中位数，要判断是否进入前10名，故应知道自己的成绩和中位数． 故选A． 【点睛】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 4. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算性质，准确分析判断是解题的关键．根据同底数幂的乘法和除法法则，积的乘方法则以及完全平方公式逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 5. 如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的底面圆的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由三视图，解题的关键是通过三视图判定几何体． 由三视图可确定该几何体，根据图中数据计算底面周长即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥， 由图中数据可知，圆锥的底面半径为, ∴根据圆的周长公式得，底面圆的周长 故选：． 6. 传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是掌握相关的定义．根据轴对称图形的定义：将图形沿某直线对折，直线两边的部分能够重合，则该图形称为轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转，如果旋转后的图形与原来的图形重合，这个图形称为中心对称图形；据此求解即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，某班数学课外活动小组的同学想要测量公园内一小山的高度，通过测量知道坡角，斜坡的长度为，则小山的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：， ， 故选：． 8. 《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，则可列方程组为（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找出题目中的等量关系，将文字信息转化为数学式子． 明确题目中的两个等量关系：每人出5钱时，总钱数加上还差的钱等于羊价；每人出7钱时，总钱数加上还差的3钱等于羊价；设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据上述等量关系分别列出方程，组成方程组． 【详解】解：分析题目中的等量关系： 若每人出5钱，还差钱，则总钱数加上还差的钱等于羊价即， 若每人出7钱，还差3钱，则总钱数加上还差的3钱等于羊价即， 因此，可列方程组为， 故选：C． 9. 如图，直线与轴交于点，与双曲线在第一象限交于、两点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及根与系数的关系，解直角三角形，解答此题的关键根据题意作出辅助线，根据锐角三角函数的定义沟通各线段之间的关系． 设直线与轴交于点，作轴于，轴于．先求出直线与轴和轴的两交点与的坐标，根据与的长度求出比值即可得到角的正切值，利用特殊角的三角函数值求出角的度数，联立直线与双曲线方程，消去后得到关于的一元二次方程，利用韦达定理表示出与的积，然后在直角三角形中利用表示出与的关系，同理在直角三角形中，利用表示出与的关系，根据列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：设直线与轴交于点，作轴于，轴于． ， 当时，，即点的坐标为， 当时，，即点坐标为， ，． 在中，， ． 直线与双曲线在第一象限交于点、两点， ， 整理得，， 由韦达定理得：，即， ， ， 同理可得：， ， 解得：． 故选：C． 10. 如图，的斜边，直角边，现以较长直角边所在直线为轴，将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算和点、线、面、体等知识点，掌握圆锥的侧面公式（底面周长与母线长的积的一半）成为解题的关键． 由题意可知可得圆锥的底面半径为，母线长为，再根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为． 11. 如图，中，，分别平分，以下结论不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形外角性质、角平分线定义、三角形内角和定理判断求解即可． 【详解】解：∵分别平分， ，， ，， ， ， ，故A符合题意； 平分， ， ， ， ， ， ，故B正确，不符合题意； ，， ，， ， ，故C正确，不符合题意； 在中，， 平分， ， ， ，， ，， ， ， ，故D正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形外角性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟记三角形外角性质是解题的关键． 12. 抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且，下列四个结论： ①； ②若，则关于x的一元二次方程没有实数解； ③点，在抛物线上上，若，，总有； ④若抛物线的顶点的轨迹上有两点，，则关于x的方程的两根之和大于1． 其中正确的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，得出抛物线的对称轴为直线：，根据，得出即可判断①根据抛物线（a，b，c是常数，）经过，得出，根据，，得出，求出，得出，说明关于x的一元二次方程没有实数解，可判断②，根据抛物线的对称轴为：直线，设抛物线的对称轴为直线，得出，根据点，在抛物线上上，，，，分三种情况：当点，都在对称轴右侧时，当点，在对称轴两侧时，点在对称轴的左侧，即可判断③；先求出抛物线的顶点坐标在函数的图象上，根据，得出，根据抛物线的开口向下，对称轴为直线，得出在对称轴的右侧y随x的增大而减小，根据根与系数的关系即可判断④． 【详解】解：∵抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， ∴抛物线的对称轴为直线：， ， ∴，即， ∵， ∴，故①正确； ∵抛物线（a，b，c是常数，）经过， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，一元二次方程为， 整理得：， ∵， ∴关于x的一元二次方程没有实数解，故②正确； 抛物线的对称轴为： 直线， ∵， ∴， 设抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵点，在抛物线上上，，，， ∴当点，都在对称轴右侧时，， 当点，在对称轴两侧时，点关于对称轴对称点为， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴点不可能都在对称轴的左侧， 综上分析可知：点，在抛物线上上，，时，，故③错误； ∵抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点， ∴顶点坐标横坐标为，， 顶点坐标的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴顶点坐标的横坐标， 把代入顶点坐标的纵坐标， ∵顶点坐标的横坐标为， ∴， 把代入得：， ∴抛物线的顶点坐标在函数的图象上， ∵， ∴， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∵抛物线的顶点的轨迹上有两点，， ∴，，， ∴， ∴关于x的方程的两根之和，故④正确． 综上所述，①②④正确． 故答案为：C 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分 13. 因式分解：a2+ab=_____． 【答案】a（a+b）． 【解析】 【分析】直接提公因式a即可. 【详解】a2+ab=a（a+b）． 故答案为：a（a+b）． 14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解m的不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，正方形中，将线段绕点A顺时针旋转得到线段的延长线交正方形的对角线于点F，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由正方形的性质可得，由旋转的性质可得，可证是等边三角形，可得，由等腰三角形的性质可求，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形旋转．熟练掌握正方形性质，旋转性质，等腰等边三角形判定和性质，三角形内角和定理，余角定义，平角定义，是解题的关键． 16. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出了巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．小梅和小天同学从上述三种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，两人都选“荆楚文化”的概率是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人都选“荆楚文化”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：分别用A、B、C表示巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化，列表如下： 小梅 小天 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两人都选“荆楚文化”的结果数有1种， ∴两人都选“荆楚文化”的概率为， 17. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线性质，勾股定理，坐标与图形等知识，连接，，过点P作于点A，由点P的坐标可得出，，再结合切线的性质和圆的半径相同可得出，再由勾股定理得出，进而可求出，即可求出点N的坐标． 【详解】解：如图，连接，，过点P作于点A， ∵与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q， ∴轴， ∵点P的坐标为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18 如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；然后通过规律即可求解，找出题中规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． 故答案为：． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）解不等式组 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查负整数指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，求不等式组的解集，掌握实数的运算法则，不等式的性质是关键 （1）先计算负整数指数幂，求一个数的立方根，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再计算有理数的乘方运算，最后再进行加减运算即可． （2）根据不等式的性质分别求出解集，表示在数轴上，根据公共部分即为不等式组解集即可． 【详解】解：（1） （2） 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以不等式组的解集为． 22. 为了解某景区外地自驾游客的分布情况，某日小桐随机调查了该景区附近部分宾馆停车场的车辆数，根据车牌号归属地的不同，绘制了如下统计图（不完整）： 根据图中信息，解答下列问题． （1）小桐共调查了_______辆车，“豫”对应扇形的圆心角为_______°； （2）补全条形统计图； （3）若该景区附近宾馆停车场当日共有450辆外地自驾游客的车辆，估计其中车牌号归属地为“皖”的车辆有多少？ 【答案】（1）， （2）见解析 （3）辆． 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体等知识． （1）用车牌号归属地为“苏”的车辆数除以对应的百分比即可求出调查的车辆数，再由乘以“豫”的车辆数对应的百分比即可求出圆心角度数； （2）求出车牌号归属地为“鲁”的车辆数，再补全统计图即可； （3）用所有车辆数乘以车牌号归属地为“皖”的车辆的百分比即可求出答案． 【小问1详解】 解：（辆）， 即小桐共调查了辆车， ， 即“豫”对应扇形的圆心角为， 故答案为：， 小问2详解】 车牌号归属地为“鲁”的车辆数为： （辆）， 补全统计图如下； 【小问3详解】 （辆） 答：其中车牌号归属地为“皖”的车辆有辆． 21. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 22. 如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点分别是边的中点，则有，，所以，，从而可得，然后根据性质即可求证； （）连接，，证明四边形为平行四边形，所以，，又，为中点，故有，所以，，然后通过“”证明即可． 【小问1详解】 证明：∵点分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：连接，， ∵点分别是边的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 23. 如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，把一块等腰直角三角形纸板放在内，使其斜边在线段上，可沿着线段上下滑动，其中，，点G为边的中点． （1）如图1，当点A与点D重合时，求经过点G的反比例函数的解析式； （2）在滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由． 【答案】（1） （2）能， 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后当与重合时，，得到，求出，然后利用待定系数法求解即可； （2）设，则点横坐标为，代入得到，求出，然后根据题意得到，求出，得到点坐标为，然后利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 ∵直线与坐标轴交于A，B两点， ∴当时，；当时，， 解得 ∴， ∴， 当与重合时，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，且为的中点， ∴， ∵经过点的反比例函数解析式为 ∴， ∴经过点的反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 设，则点横坐标为， 将代入直线的解析式可得， ∴， ∵为中点， ∴， 若反比例函数同时过、点，则可得， 解得，此时点坐标为， 设过、的反比例函数解析式为，则， ∴经过点的反比例函数的图象能同时经过点，其函数解析式为． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合应用，待定系数法求反比例函数解析式，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G． （1）求证：BC 是⊙O的切线； （2）设AB=x，AF=y，用含x，y的代数式表示线段AD的长； （3）若BE=8，sinB=，求DG的长． 【答案】（1）见解析 （2）AD= （3）DG=． 【解析】 【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证； （2）连接DF，由（1）得到BC为圆O的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD与三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD； （3）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin∠AEF=sinB，进而求出DG的长即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接OD， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∴OD∥AC， ∵∠C=90°， ∴∠ODC=90°， ∴OD⊥BC， ∴BC为圆O的切线； 【小问2详解】 解：连接DF，由（1）知BC为圆O的切线， ∴∠FDC=∠DAF， ∴∠CDA=∠CFD， ∴∠AFD=∠ADB， ∵∠BAD=∠DAF， ∴△ABD∽△ADF， ∴，即AD2=AB•AF=xy， 则AD=； 【小问3详解】 解：连接EF，在Rt△BOD 中，sinB=． 设圆的半径为r， ∴，解得r=5， ∴AE=10，AB=18． ∵∠AFE=∠C=90°， ∴AF=AE·sin∠AFE=， ∵AF∥OD， ∴， ∴DG=AD ∵AD=， ∴DG=． 【点睛】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数 的图像交于A，B两点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足 ，连接，当 的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，将点N向下平移1个单位得到点P，将该抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线 ，Q为新抛物线的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，Q为顶点的三角形和 全等?若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)最小值为 (3)存在，， 【分析】（1）首先确定，将，两点代入并求解即可； （2）过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，易得点E 坐标为，可知，结合三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得当时，有最大值，此时，将点 B 关于y轴对称，再向上平移3个单位得到，则有，即可获得答案； （3）首先确定直线，进而解得点，，的坐标，根据题意解得Q点运动轨迹为直线，然后根据全等三角形的性质，分或两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数，令，可得， ∴， 将，两点代入， 可得，解得， 则抛物线的表达式为； （2）过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为， ∴点E 坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，有最大值， 此时， 将点 B 关于y轴对称，再向上平移3个单位得到， 则：， 即最小值为 ； （3）设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线， 令得， ∴， ∴， ∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， 根据题意，将原抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线 ，Q为新抛物线的顶点， 可设Q点运动轨迹所在直线为， 将点代入，可得，解得， ∴Q点运动轨迹为直线：， ∴或， 当时， ∴轴， 令， 则， 经检验，符合题意， 当时，， ∴， 即， ∴令， 则， 经检验，符合题意， ∴，． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数图像的平移、全等三角形的性质等知识，综合运用相关知识是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $