2026年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试数学模拟试卷（二）

**基本信息** 立足成都中考命题趋势，以《九章算术》古题、世界读书日统计等真实情境为载体，梯度设计覆盖代数运算、几何推理、统计应用，凸显数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|实数运算、方程、统计（中位数）、几何性质|第7题以《九章算术》“共买鸡”问题考查方程组建模| |填空题|10/40|函数性质、扇形弧长、位似面积比、几何综合|第20题结合黄金分割定义考查线段计算，体现数学文化| |解答题|8/78|统计图表分析、解直角三角形、圆的切线证明、二次函数综合|第15题结合读书日调查考统计与概率，第26题二次函数动态问题综合考查推理与模型意识|

2026年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试数学模拟试卷（二） 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．考生使用答题卡作答． 3．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 4．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 6．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．水库水位第一天降低记作，第二天降低，这两天的变化可表示为（   ） A． B． C． D． 2．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（   ） A．3 B． C． D．2 4．在宁乡某中学第二届校园歌手大赛中，某组参赛选手得分如下（单位：分）：9，7，7，8，6，9，7，则该组参赛选手得分的中位数是（   ） A．6 B．8 C．7 D．9 5．关于的一元二次方程有实数根，则的值可能是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．下列命题中，不正确的是（   ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的菱形是正方形 C．矩形对角线互相平分且相等 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 7．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出九，盈四；人出八，不足五．问人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出9钱，多余4钱；每人出8钱，还缺5钱．问人数和鸡的价钱是多少？”设人数x人，鸡的总价y钱，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 8．一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若，则的值为__________． 10．已知点在反比例函数的图像上，那么在每个象限内，该函数的值y随x的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 11．如图，扇形是某标志的外轮廓图，已知扇形半径，，则扇形的弧长为________．（结果保留） 12．如图，与位似，点为位似中心，已知，则与的面积比为_______． 13．如图，在平行四边形中，，以点B为圆心、的长为半径作弧交边于点E，连接，分别以点A，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点O，交边于点F，此时，若，则平行四边形的面积是______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（1）计算：； （2）解不等式组：． 15．2026年4月23日是第31个世界读书日，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按，，，分为四个等级，并依次用，，，表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题： (1)求本次调查的学生人数； (2)求扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整； (3)甲、乙、丙三位同学都是等级的同学，现从他们3人中选2人参加读书分享，请用画树状图或列表法表示所有可能情况，并求甲、乙两人同时被选中的概率． 16．如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度，米，．（点，，，在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度； (2)求建筑物的高度的长（精确到）．（参考数据，） 17．如图，四边形内接于，连接、交于点，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，，求的长． 18．如图，直线与双曲线相交于A，B两点，点A坐标为，点P是x轴负半轴上的一点． (1)分别求出直线和双曲线的表达式； (2)连接，，，，若，求点P的坐标： (3)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做“绣湖四边形”．在（2）的条件下，平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是绣湖四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，将绕点逆时针旋转一定角度得到，使点的对应点落在上，与交于点．若，则的度数为__________． 20．黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_____．（用含的代数式表示） 21．如图，在中，，．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，则图中阴影部分的面积为______． 22．已知二次函数（是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是__________． 23．如图，四边形是平行四边形，沿着过点A的直线翻折，使得点D的对应点G落在延长线上，折痕与相交于点F，连接，若，且，求____________________ ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．为丰富校园社团文化生活，提升物理社团实践探究能力，某校为社团活动与实验室建设升级采购器材，计划购进甲、乙两种型号的滑动变阻器．已知购买甲种20个、乙种30个共需2000元，且乙种滑动变阻器的单价比甲种贵10元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价各是多少元； (2)该校物理社团计划再次采购这两种滑动变阻器共100个，若总费用不超过4200元，此次至少需购买多少个甲种滑动变阻器？ 25．如图，在中，，D，E是边上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F是内一点，，． ①求证：； ②与相交于点G；且G是的中点，求的值； ③如图3，在②的条件下，当时，求的长． 26．已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线下方抛物线上的一个动点，点是抛物线对称轴上的一个动点，过点作直线轴，点是直线上的一个动点，过点作于点，作轴交于点，当的周长最大时，求的最小值及此时点的坐标： (3)在（2）中取得最小值的条件下，将抛物线沿射线平移，使得平移后的点与点重合，得到新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，将点向下平移个单位得到，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个的求解过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试数学模拟试卷（二） 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．考生使用答题卡作答． 3．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 4．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 6．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．水库水位第一天降低记作，第二天降低，这两天的变化可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目给定的记法，确定第二天水位变化的表示，再将两天变化相加即可得到结果． 【详解】解：∵题目规定水位降低记为负，降低记作， ∴第二天降低记作， ∴这两天的水位总变化可表示为两天变化的和，即． 2．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故原计算错误； B、，故原计算错误； C、，故原计算正确； D、与不是同类项，不能合并，故原计算错误． 3．在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（   ） A．3 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离等于点的纵坐标的绝对值即可得出答案. 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点的纵坐标为2， ∴点到轴的距离为：. 4．在宁乡某中学第二届校园歌手大赛中，某组参赛选手得分如下（单位：分）：9，7，7，8，6，9，7，则该组参赛选手得分的中位数是（   ） A．6 B．8 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查中位数的概念，将数据按从小到大排序后，根据数据个数的奇偶性确定中间位置的数，得到中位数． 【详解】解：将这组数据从小到大排列得： 6，7，7，7，8，9，9 则该组数据的中位数为． 5．关于的一元二次方程有实数根，则的值可能是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据方程有实数根，得到，进行求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，解得， 故2，3，4，5中，的值只可能是2. 6．下列命题中，不正确的是（   ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的菱形是正方形 C．矩形对角线互相平分且相等 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】根据菱形、正方形、矩形、平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、根据菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，命题正确，故选项不符合题意； B、根据正方形的判定定理，有一个角是直角的菱形是正方形，命题正确，故选项不符合题意； C、根据矩形的性质，矩形对角线互相平分且相等，命题正确，故选项不符合题意； D，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，命题错误，故选项符合题意． 7．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出九，盈四；人出八，不足五．问人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出9钱，多余4钱；每人出8钱，还缺5钱．问人数和鸡的价钱是多少？”设人数x人，鸡的总价y钱，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据每人出9钱，多余4钱；每人出8钱，还缺5钱，且设人数x人，鸡的总价y钱，则，即可作答． 【详解】解：∵每人出9钱，多余4钱；每人出8钱，还缺5钱，且设人数x人，鸡的总价y钱， ∴， 故选：D 8．一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系得到与的关系式，代入所求分式化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 10．已知点在反比例函数的图像上，那么在每个象限内，该函数的值y随x的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【分析】根据点在反比例函数图象上确定的符号，再结合反比例函数的性质判断随的变化规律． 【详解】解：点在反比例函数的图像上， ， ， ， ， 根据反比例函数的性质，当时，在每个象限内，随的增大而增大． 11．如图，扇形是某标志的外轮廓图，已知扇形半径，，则扇形的弧长为________．（结果保留） 【答案】 【分析】根据弧长公式求解即可． 【详解】解：根据题意，扇形的弧长为． 12．如图，与位似，点为位似中心，已知，则与的面积比为_______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，得出与的相似比，即可得出面积比． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∴， ∴， 又∵， ， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为． 13．如图，在平行四边形中，，以点B为圆心、的长为半径作弧交边于点E，连接，分别以点A，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点O，交边于点F，此时，若，则平行四边形的面积是______． 【答案】 【分析】根据作图得到平分，易得三角形，三角形均为含30度角的直角三角形，进而求出的长，再根据平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵平行四边形中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由作图可知：平分， ∴， 在中，， ∴， ∴平行四边形的面积是． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先分别求出两个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即可． 【详解】（1） ， ， ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查了实数的运算，绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，无理数的估算，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 15．2026年4月23日是第31个世界读书日，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按，，，分为四个等级，并依次用，，，表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题： (1)求本次调查的学生人数； (2)求扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整； (3)甲、乙、丙三位同学都是等级的同学，现从他们3人中选2人参加读书分享，请用画树状图或列表法表示所有可能情况，并求甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】(1) (2)，补全条形统计图见详解 (3) 【分析】（1）由扇形统计图和条形统计图中A等级占比及人数情况计算即可； （2）先求出D等级人数，进而得到B等级人数，求出B等级人数占比即可求出扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数；补全条形统计图即可； （3）运用列表法求概率即可． 【详解】（1）解：本次调查的学生人数为（人）； （2）解：D等级人数为（人）， B等级人数为（人）， 则扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数为； 补全条形统计图如下： ； （3）解：列表如下： 甲 乙 丙 甲 — 甲乙 甲丙 乙 乙甲 — 乙丙 丙 丙甲 丙乙 — 由表可知共有6种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选中的有2种，则甲、乙两人同时被选中的概率为． 16．如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度，米，．（点，，，在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度； (2)求建筑物的高度的长（精确到）．（参考数据，） 【答案】(1)平台的高度为米； (2)建筑物的高度（即的长）约为米． 【分析】（1）过点作于点，，由斜坡的坡度，得出，再由勾股定理计算即可得出结果； （2）延长交于点，证明四边形为矩形，得出米，，设米，则米，解直角三角形得出米，从而得出米，由（1）可得米，再结合，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，， ∵斜坡的坡度， ∴， ∴， ∵，米， ∴米， 答：平台的高度为米； （2）解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设米，则米， ∵在中，， ∴米， ∵在中，， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 答：建筑物的高度（即的长）约为米． 17．如图，四边形内接于，连接、交于点，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接并延长交于点，由可知，点为的中点，根据垂径定理的推论可知，结合可得，，因此命题得证； （2）由可得，由圆周角定理可得，，从而证明，则，结合即可证明命题； （3）容易证明，则．设，则，由勾股定理可得，从而求出，，在中，使用勾股定理构造方程，求出，进而得到，，，．先利用（2）的结论计算出，再使用勾股定理计算出，最后作差求出． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点， ∵， ∴，即点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴，，，， 由（2）可知，， ∴， 在中，， ∴． 18．如图，直线与双曲线相交于A，B两点，点A坐标为，点P是x轴负半轴上的一点． (1)分别求出直线和双曲线的表达式； (2)连接，，，，若，求点P的坐标： (3)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做“绣湖四边形”．在（2）的条件下，平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是绣湖四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是“绣湖四边形”，点的坐标为或或或 【分析】（1）把分别代入两个解析式计算即可； （2）设，表示出和的面积，再根据列方程计算即可； （3）设，分四种情况：当时，利用平移的性质可得；当时，运用平移的性质可得；当时，通过构造全等三角形建立方程即可得出；当时，利用平移的性质可得． 【详解】（1）解：直线经过点， ， 解得：， ； 双曲线经过点， ， 解得：， ； （2）解：如图，设直线交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ， 解得：，， ， 又， ，， 在中，令，得， 解得：， ， ， 设，且， ， ，即， ， ，即， 解得：， ； （3）解：平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是“绣湖四边形”，理由如下． ，，， ，， ， ，， ， 是直角三角形，， 设，当时，如图， 则，，． 解得：， ； 当时，如图， 则，，， 解得：， ； 当时，如图，设直线交轴于点，过点作轴于，作轴，过点作于， 则，， 由（2）知：， ，， ， ，， 是等腰直角三角形，， 轴， ， ， ，即， ，， ， ，， ，， ，， ； 当时，如图， 则，， ， 解得：， ； 综上所述，平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是“绣湖四边形”，点的坐标为或或或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，将绕点逆时针旋转一定角度得到，使点的对应点落在上，与交于点．若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，，，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据等腰三角形的性质求出的度数，进而求出的度数，最后在中利用三角形内角和定理求出的度数，根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， 在中， 点落在上， 在中， 在中， 与是对顶角 20．黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_____．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和成比例线段，根据黄金分割的定义，较长部分与较短部分的比值等于全长与较长部分的比值，设AP为较长部分，列出方程并求解． 【详解】设的长度为，则的长度为． 由黄金分割的定义，得 ， 即． 变形，得 ． 解得 ，． 由于且，因此取． 故的长度为. 故答案为：． 21．如图，在中，，．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 12π 【分析】先根据题意可知，，再根据解答． 【详解】解：根据题意可知，， ∴ ． 22．已知二次函数（是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征写出和的表达式，结合题目条件列出不等式组，分别解不等式后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：点和在二次函数的图象上， ， ． 由题意得，， ， 解不等式 ： ， 两边同除以，不等号方向改变，得， 因式分解得 ， 解得； 解不等式 ： ， 两边同除以，不等号方向改变，得 ， 因式分解得 ， 解得； 解不等式： ， 两边同除以，不等号方向改变，得 ， 整理得 ，因式分解得 ， 解得或． 取三个不等式解集的交集，得． 23．如图，四边形是平行四边形，沿着过点A的直线翻折，使得点D的对应点G落在延长线上，折痕与相交于点F，连接，若，且，求____________________ ． 【答案】 【分析】作，交的延长线于点W，根据轴对称的性质得出，，，，进而证得，可证得，得到，进而得出，可证明，从而得出，然后设，则，再证得，从而，进而得出，，从而得出，再根据勾股定理得出，作，交于V，可推出，从而，可证得，从而得出，从而得出，进而得出结果． 【详解】解：如图，作，交的延长线于点W， ∴， ∵沿着翻折后得， ∴，，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作，交于V， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．为丰富校园社团文化生活，提升物理社团实践探究能力，某校为社团活动与实验室建设升级采购器材，计划购进甲、乙两种型号的滑动变阻器．已知购买甲种20个、乙种30个共需2000元，且乙种滑动变阻器的单价比甲种贵10元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价各是多少元； (2)该校物理社团计划再次采购这两种滑动变阻器共100个，若总费用不超过4200元，此次至少需购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】(1) 甲种滑动变阻器单价为34元，乙种滑动变阻器单价为44元 (2) 此次至少需购买20个甲种滑动变阻器 【分析】（1）根据二元一次方程组的购买问题关系：总价格=单价×数量，分别设甲、乙两种滑动变阻器的单价为x元，y元，再根据题意列方程组求解即可； （2）根据题意，设购买a个甲种滑动变阻器，根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价为x元，乙种滑动变阻器的单价为y元， 则， 解得， ∴甲种滑动变阻器的单价为34元，乙种滑动变阻器的单价为44元； （2）解：设购买a个甲种滑动变阻器，则购买个乙种滑动变阻器 由题意，得， 解得， ∴此次至少需购买20个甲种滑动变阻器． 25．如图，在中，，D，E是边上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F是内一点，，． ①求证：； ②与相交于点G；且G是的中点，求的值； ③如图3，在②的条件下，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②；③ 【分析】（1）由等边对等角得到，再证明，即可利用证明； （2）①由全等三角形的性质得到；由等边对等角得到；由三角形外角的性质得到，则可证明，据此得到，则；②过点A作于点H，连接，可证明为的中位线，得到，则；可证明，得到；证明是等腰直角三角形，得到，则可证明，进而得到，则；③过点F作于点N，证明垂直平分，则可证明点F在上；证明，进而证明，得到，则可推出；由勾股定理得，同理可证明，则可得到，据此求出；证明是等腰直角三角形，推出，则，即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：①∵， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，过点A作于点H，连接， ∵， ∴点H为的中点，； ∵点G为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； 由（2）①可知，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ③如图所示，过点F作于点N， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴点F在的垂直平分线上， ∴点F在上； ∵，点G为的中点，且是的中位线， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线下方抛物线上的一个动点，点是抛物线对称轴上的一个动点，过点作直线轴，点是直线上的一个动点，过点作于点，作轴交于点，当的周长最大时，求的最小值及此时点的坐标： (3)在（2）中取得最小值的条件下，将抛物线沿射线平移，使得平移后的点与点重合，得到新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，将点向下平移个单位得到，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个的求解过程． 【答案】(1)； (2)最小值为，； (3)，求解过程见详解． 【分析】（1）根据题意得抛物线的顶点式为，将代入计算出a，即可解答； （2）证为等腰直角三角形，得，当最大时， ​最大，设，则，根据最值求出P点坐标，点P关于直线l的对称点为，求出直线的解析式，再结合抛物线的对称轴即可解答； （3）根据题意确定的解析式和的坐标，再由分类讨论即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，顶点为， ∴抛物线的顶点式为，将代入得，即， 解得， ∴； （2）解：由题意可知，当时，即， 解得， ∴， 当时，，即， ∴，， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时， ​最大， 设，则， ∴， ∵，开口向下，且， ∴当时，最大，此时​最大 ∴， ∴点关于直线l的对称点为， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， 设直线则 解得 ∴，当时， ​， ∴； （3）解： ∵，， ∴抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到， ， 向下平移个单位为， ∴， ∴， 作，交x轴于E，交于G， 当即， ∴为等腰三角形， 作于F， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，解得， ∴， 则，解得或（舍去） 当时，代入得， ∴， 过点作轴，则满足， 解得 (舍) ∴， 综上，点的坐标为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $