第五章导数的应用专题讲义六 极值点偏移问题-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

选择性必修第二册第五章导数的应用 专题六-----极值点偏移问题 1、 知识构建 1.极值点偏移类型：零点和型、零点积型 2. 极值点偏移处理策略：构造偏对称、对数均值不等式、糅合双变量 二、类型应用 【例1】（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，且，求证：． 【答案】(1)增区间为，减区间为，极大值为，无极小值 (2)证明见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题； 【分析】（1）利用函数的单调性、极值与导数的关系可得答案； （2）令，，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，设，可得出，进一步得出，结合函数在上的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）因为，其中，则， 令，解得，当变化时，、的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 所以，的增区间为，减区间为. 故函数在处取得极大值，无极小值. （2）构造辅助函数，， 则， 当时，，，则，则， 所以，在上单调递增，当时，， 故当时，，（*） 由，， 因为函数的增区间为，减区间为， 可设，将代入（*）式可得， 又，所以，． 又，，而在上单调递增， 所以，，即． 【跟踪训练1-1】（23-24高二下·黑龙江鸡西·期中）已知函数的导函数为，若存在两个不同的零点. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)证明：． 【答案】(1) (2)在上为减函数，在上为增函数 (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）当时，求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，求得，设，得到，进而求得函数的单调区间，即可得求得单调区间； （3）由（2）可得，根据题意，转化为，即为，设，利用导数求得函数的单调性，得到，即可得证. 【详解】（1）解：当时，，可得， 可得，且，即切线的斜率为，切点坐标为， 所以在的切线方程为，即. （2）解：由函数，其定义域为，且， 设，则， 当时，；当时，， 所以在上为减函数，在上为增函数， 即的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）证明：由（2）可得， 要证：，即证：， 因，即，即证， 即证：，其中， 设，其中， 可得， 则 因为，等号不可取， 所以在上为增函数，故，即， 故成立即. 【跟踪训练1-2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数恰有两个零点． (1)求的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、导数中的极值偏移问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导得到，利用导数得到的最小值，从而要使有两个零点，则最小值小于，得到的范围； （2）由（1）的结论，构建函数，，由得到函数单调递增，得到，从而得到，又函数在上单调递增，则得到. 【详解】（1）因为，所以， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取最小值． 因为当时，，当时，， 且函数恰有两个零点， 所以,所以的取值范围为． （2）由（1）知，为的极小值点， 所以可设，则， 构建函数，， 所以当时， ， 函数单调递增，所以当时，， 所以， 因为，所以， 所以， 又函数在上单调递增，所以， 所以． 【点睛】关键点点睛：由的极小值点，得到零点的位置，通过构建函数，由函数单调性可得结果. 【跟踪训练1-3】（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数. (1)若是的极值点，求的值； (2)若函数有两个零点. ①求实数的取值范围； ②证明：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】（1）对函数先求导，结合是的极值点计算出结果，再进行验证； （2）①由题意得函数的零点即方程的实根，对进行分类讨论，利用导数判断函数单调性求得最值，进而计算出实数的取值范围； ②构造函数利用函数导数判断函数单调性，根据函数单调性证明：. 【详解】（1），当时即解得 检验：当在递减；在递增 则是极小值点成立，所以. （2）由题意得函数的零点即方程的实根， ①（i）当时不成立. （ii）当时，令， 的减区间增区间. 当时..当时， 若有两个零点.即有两个实根， 则的取值范围. ②方法一： ， 令， 于是， ， 令，则， ， 则在单调递减，所以， ， 则在单调递减， 又因为， 方法二： ，令 ，令， 在单调递减，又因为，所以， 即，在单调递减， ， 又因为， 又因为在单调递增， 所以所以. 【例2】（24-25高三上·河北·阶段练习）已知函数. (1)若该函数在单调递增，求的取值范围. (2)当时，若方程有两个实数根，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）利用导数与单调性的关系讨论求解； （2）构造函数，利用导数讨论其单调性，并结合即可证明. 【详解】（1）由题意， 当时，，在上单调递增，满足题意； 当时，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又该函数在单调递增，故， 综上可知，的取值范围为 （2）当时，， 由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，令， 则， 所以在上单调递减，，即， 令，则，故， 又在上单调递增，，所以， 故 【点睛】方法点晴:对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略: 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围; 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 【跟踪训练2-1】（23-24高二下·湖北武汉·期中）设函数． (1)求函数的单调区间； (2)若有两个零点，， ①求a的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）（1）对求导数，分和两类情况讨论，得到函数的单调区间； （2）由（1）得a的取值范围，构造，证明不等式， 通过证明，证明. 【详解】（1）由，，可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 所以在单调递减，在单调递增； （2）①因为函数有两个零点，由（1）得， 此时的递增区间为，递减区间为，有极小值 当，，当，在上有一个零点， 当，，当，在上有一个零点， 所以由可得 ②证明：由（1）可得的极小值点为，则不妨设． 设，， 可得，， 所以在上单调递增，所以， 即，则，， 所以当时，，且． 因为当时，单调递增，所以，即 设，，则，则，即． 所以，． 设，则，所以在上单调递减， 所以，所以，即． 综上， 【点睛】方法点睛：构造，应用单调性证明不等式，再通过证明，证明即可. 【跟踪训练2-2】（23-24高二下·天津·期末）已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3. (1)求的值； (2)证明：当时，； (3)若对任意两个正实数，且，有，求证：. 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）由求得值； （2）设，利用导数确定其单调性后可证； （3）不妨设，令，由进行转化后把用表示，把要证不等式化为关于的不等式，再利用导数进行证明． 【详解】（1）由，可知， 因为在处的切线斜率为3， 所以. 所以. （2）证明：由（1）知， 不妨设，则. 令 因为， 所以在上单调递增，. 故， 所以在上单调递增，， 所以. （3）由（1）知， 不妨设，令 由即得，即. 即，则， 所以， 要证. 设，则. 则在上单调递减，，故成立. 【点睛】方法点睛：关于函数中两个变量的问题的处理，一般需要进行消元，化二元为一元（多元为少元至一元），处理方法可以设，（或，然后利用的关系，如或是函数的极值点之类的，把与有关的等式或不等式表示为关于的函数的等式或不等式，再利用函数的导数进行求解证明． 【例3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、利用导数研究双变量问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）函数有两个零点转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数研究函数单调性与最值，数形结合即可求的取值范围； （2）由（1）知，不妨设，要证，即证，只需证，结合单调递增只需证，再根据单调性可得答案. 【详解】（1），则， 令，得， 若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点． 设，则． 当时，单调递减，当时，单调递增， 因此．当时，，当时，， 作出函数的大致图象与直线，如图所示，要使二者有两个不同交点， 则，故的取值范围为． （2）因为是函数的两个极值点，所以． 由（1）知，不妨设， 要证，即证， 只需证，显然． 由（1）知当时，单调递增，所以只需证， 而，所以即证． 设， 则， 当时，单调递减，所以当时，， 所以当时，，原不等式得证． 【点睛】方法点睛：解答函数零点个数问题常见思路：1，转化为方程的根的个数求解；2，转化为函数图象的交点个数求解. 【跟踪训练3】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)答案见解析； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）利用导数并讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断单调性； （2）（i）结合（1）的单调性判断、的符号，排除，再在的情况下研究的单调性和最值，根据零点的个数求参数范围； （ii）由（i）有，分析法将问题化为证明，进而构造并利用导数研究其符号，即可证结论. 【详解】（1）由题设，且， 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立，故在上单调递增； 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减. （2）（i）由， 若时，， 令且，则， 所以时，时， 故在上递增，在上递减，则， 所以， 结合（1）中的单调性，易知不可能出现两个不相等的零点， 又时，在上只有一个零点，不满足， 所以，此时，在上，在上， 故在上单调递减，在上单调递增，则， 又趋向于0或负无穷时，趋向正无穷，只需成立， 显然在上递减，且当时， 所以，时恒成立，即所求范围为； （ii）由（i），在时，存在两个不相等的零点， 不妨令，要证，即证，而， 由（i）知：在上单调递增，只需证， 由，则 令，且， 则 ， 所以，在上，即在上递增， 所以，即成立， 所以，得证. 【点睛】关键点点睛：第二问，首先利用第一问及其零点个数将参数范围限定在，进而利用导数研究其最值求范围，再令，将问题转化为证是关键. 【例4】（23-24高二下·云南大理·期末）已知函数为函数的极值点. (1)求实数的值，并求出的极值； (2)若时，关于的方程有两个不相等实数根. ①求实数的范围； ②求证. 【答案】(1)，极小值为0，无极大值 (2)①；②证明见解析 【知识点】求已知函数的极值、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先求导函数再根据导数正负得出单调性再求出极值即可； （2）应用函数单调性结合零点个数求参即可，构造函数根据函数单调性证明不等式即可. 【详解】（1）由已知：， 依题意：，解得， 此时，当时，则单调递减，当时， 单调递增，故是函数唯一的极小值点， 则，无极大值. （2）①由（1），时单调递减，时单调递增， 故. 又，则 ， 由方程有两解可得， ②由题意可知， 要证，即证，由于且时单调递减 即证，由于，即证 令 所以在单调递减，所以，所以成立， 所以原命题成立，即成立. 【点睛】方法点睛：构造函数，再求导函数根据导函数正负判断函数单调性证明不等式. 【跟踪训练4】（23-24高二下·北京西城·期中）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】已知函数最值求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）求导，分别解不等式，即可； （2）设，结合（1）可知，构造函数，利用导数判断单调性即可得，结合在上单调递减即可得证. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 解得，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以，解得， 所以的取值范围为． （2）不妨设，则由（）知，， 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递减， 所以，即． 【例5】（2024高三·全国·专题练习）已知函数和，若存在两个实数，且，使得，，证明：． 【答案】证明见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题、导数中的极值偏移问题 【分析】利用参数作为媒介，换元后构造新函数，将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数证得结论成立. 【详解】因为，不妨设， 因为，， 所以，， 所以， 欲证，即证. 因为，所以即证， 所以即证，即证． 令，则，等价于， 构造函数，， 因为，所以在上单调递增， 故， 即，所以． 方法二：直接换元构造新函数  ，即，设，，则， 则，，可得，， 由于 构造函数，， 因为，所以在上单调递增， 故，即， 所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 【跟踪训练5-1】（24-25高二下·河北沧州·开学考试）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，，且，求证：. 【答案】(1)详见解析. (2)证明见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导得，分类讨论可求单调区间； （2）由已知可得且，两式相加相减变形可得，通过换元，构造函数，可证得结论. 【详解】（1）已知函数的定义域为，. 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意知：且 则①-②得，所以. 则①+②得， 所以. 令，则. 要证，只需证，即证. 因为，所以只需证，即证. 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，即在区间上单调递减. 所以，所以在区间上单调递增， 所以.即得证. 所以. 【点睛】难点点睛：本题考差了导数知识的综合应用，综合性强，计算量大；难点在于结合函数的零点证明不等式问题，解答时要根据推出，结合换元，证明，继而构造函数，判断其单调性，结合零点存在定理推出，从而证明结论. 【跟踪训练5-2】（23-24高二下·安徽·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线在轴上的截距； (2)若只有一个零点，求； (3)若有两个不同的零点，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，即得结果； （2）由题意可推得直线即的切线，通过导数的几何意义列出方程组，消去求得，再回代① 求出的值； （3）由题意得方程组，消去并设，分别求出，，设函数，研究函数的单调性和极值，推理即得证. 【详解】（1）当时，，， ，，故切线方程为：， 令，则得， 即曲线在点处的切线在轴上的截距为. （2）因只有一个零点，则与，只有一个交点， 由作图知，直线即的切线.设切点为，因， 则有，由① 得代入② ，，解得， 回代入① 可得：（*）， 设，则， 当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减. 故时，有极大值，为，即方程（*）在上只有1个实根为，故由（*）知. （3）依题，，则有， 因且，将两式相除得，， 令，则，代入中，化简得：， 解得，，则， 不妨设， 设，则， 令，则，则在上单调递增， 故，即得，故得在上单调递增， 则有，即得，故,得证. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查与函数零点有关的不等式证明，属于难题. 解题的关键在于根据零点得到的方程组，先设法消去参数，再对进行整体换元，从而把待证不等式转化成的函数式，通过研究函数的单调性等性质即可证得. 【跟踪训练5-3】（23-24高二下·四川眉山·期中）已知函数，其中. 若函数有两个不同的零点. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 【答案】①；②证明见解析 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式 【分析】由函数有两个不同的零点，，构造函数，利用导数研究函数单调性的最值，结合函数图像求实数的取值范围；把零点代入函数解析式，证明转化为证明，通过构造函数利用导数求最值的方法证明． 【详解】①有两个不同的零点即有两个不同实根， 得，令，，令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 时，取得最大值，且，当时， 得的大致图像如图所示： ，所以实数a的取值范围为. ②当时，有两个不同的零点. 两根满足，， 两式相加得：，两式相减得：， 上述两式相除得， 不妨设，要证：， 只需证：，即证， 设，令，则， 函数在上单调递增，且. ，即，. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 【例6】（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点、，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究双变量问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （2）当时，即证不等式，令，即证不等式，构造函数，利用导数求函数的最小值，即可证得结论成立； （3）设，由已知等式推导出，将所证不等式等价变形为，令，即证，令，其中，令导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 当时，对任意的，， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，由可得，由可得或， 此时函数的减区间为，增区间为、； 当时，对任意的，， 此时函数的增区间为； 当时，由可得，由可得或， 此时，函数的减区间为，增区间为、. 综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为、； 当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. （2）当时，， 即证， 令，即证，即证， 因为，则函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以函数的值域为， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 故，即，故原不等式得证. （3）， 因为函数有两个零点、，不妨设， 则，所以，， 整理可得，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 【跟踪训练6-1】（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个不同的零点，. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 【答案】(1)答案见详解 (2)①；②证明见详解 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求导，分类讨论最高项系数的符号和两根大小，利用导数分析原函数的单调性； （2）①分析可知，构建，利用导数判断的单调性和最值，结合图象分析求解；②分析可知原不等式等价于，换元令，构建，利用导数判断其单调性，结合单调性分析证明. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则， 当，则；当，则； 可知在内单调递增，在内单调递减； 若，令，解得或， 当，即时，令，解得或；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 当，即时，则， 可知在内单调递增； 当，即时，令，解得或；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：若，在内单调递增，在内单调递减； 若，在内单调递增，在内单调递减； 若，在内单调递增； 若，在内单调递增，在内单调递减.o （2）①有两个不同的零点， 即有两个不同实根，得， 令，， 令，得， 当时，，可知在上单调递增， 当时，，可知在上单调递减， 当时，取得最大值，且，当时， 得的大致图像如图所示： 可得，所以实数a的取值范围为. ②当时，有两个不同的零点. 两根满足，， 两式相加得：，两式相减得：， 上述两式相除得， 不妨设，要证：，只需证：， 即证， 设，令， 则， 可知函数在上单调递增，且. 可得，即，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 【跟踪训练6-2】（2024高二上·全国·专题练习）已知函数． (1)试讨论函数的零点个数； (2)设，，为函数的两个零点，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）令，则，利用导数分析的性质并画出图像，再将函数的零点问题转化为与的交点问题求解； （2）求出函数g（x）导数，令，利用其导数得到函数的单调区间，进而得到,表示出，再设函数，利用导数得到函数在上单调递增，进而得到，再根据函数在上单调递减，所以，即可得证． 【详解】（1）令，则． 令，则． 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，则． 当时，，当时，， 作出的图象，如图． 所以当，即时，的图象与直线有一个交点，故有一个零点； 当，即时，的图象与直线有两个交点，故有两个零点； 当，即时，的图象与直线有一个交点，故有一个零点； 当，即时，的图象与直线没有交点，故没有零点． 综上，当或时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，没有零点． （2）证明：，的定义域为， ． 设， 所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 易得，即． 列表如下： x 1 － 0 ＋ 极小值 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 不妨设，可得，． 因为， 所以 ，其中． 设， 则， 故函数在上单调递增， 所以， 所以，即． 又函数在上单调递减， 所以，所以． 【例7】（24-25高二下·河北石家庄·阶段练习）已知函数 (1)求函数的极值； (2)当时，若函数有两个零点，，证明：． 【答案】(1)有极小值，无极大值 (2)证明见详解 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可求极值； （2）根据分析可得等价于，构建，利用导数证明. 【详解】（1）由题意可得：， ∵在上单调递增，且， ∴当时，，当时，， 即当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 可得有极小值，无极大值. （2）若函数有两个零点，则，解得， 当时，则， 结合的单调性可知：在，内均只有一个零点，则， 构建，则当时恒成立， 故在上单调递增， 令，则等价于，等价于，等价于， ∵在上单调递增，则， 即，故. 【跟踪训练7-1】（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知函数 (1)当时，求函数的极大值； (2)若对任意的，都有成立，求的取值范围； (3)设，对任意的，且，证明：恒成立． 【答案】(1)0 (2) (3)证明见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极大值. （2）根据给定条件，分享参数并构造函数，利用导数求出最大值即可得解. （3）等价变形不等式并换元，再构造函数，利用导数证明不等式. 【详解】（1）当时，，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时函数取得极大值. （2），，，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减． 则当时函数取得最大值，， 所以的取值范围是. （3）依题意，， 对任意的，且，， 令，不等式化为， 令，求导得， 函数在上单调递增，，因此， 所以恒成立. 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 【跟踪训练7-2】（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）已知函数，若存在恒成立，则称是的一个“上界函数”，如果函数为的一个“上界函数”. (1)求实数的取值范围； (2)证明：若方程有两个解，则. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）解法一：利用分离参数法，借助导数求实数的取值范围； 解法二：根据题意，恒成立，令，则，令，利用导数研究函数的最小值，从而得解； （2）解法一：要证，即证，证明时，，利用导数证明即可； 解法二：令，令，则，求导后利用函数的单调性求解即可. 【详解】（1）解法一：的定义域为，由恒成立， 可得恒成立，所以恒成立， 令，可得， 令，得， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为. 解法二：（同构法）的定义域为，由恒成立， 可得恒成立， 即恒成立， 令，则， 令，则恒成立对恒成立， 因为，当时，，所以在单调递增， 所以，若对恒成立，只需， 所以，即实数的取值范围为. （2）（2）解法一：若方程有两个解， 则方程有两个解， 由（1）知两个解必有一个小于1，一个大于1，不妨设， 要证，即证， 因为，即证， 因为，即证， 即证， 即证， 下面证明时，， 设， 则 设 所以，而 所以，所以 所以在单调递增 即，所以 令 所以在单调递减 即，所以； 综上，，所以. 解法二：由题意得：方程有两个解， 即方程两个解， 令，令， 则， 因为，所以在单调递增， 故只有1个解， 又因为有两个零点，故， 两边取对数得：， 即， 又因为 故，即. 下证： 不妨设， 因为， 令，则，只需证， 令，则， 所以在单调递减，，所以， 所以成立. 【点睛】处理此类双变量问题有两个策略： 一是转化，即从已知条件入手，寻找双变量所满足的不等式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式； 二是巧妙构造函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求解. 【例8】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数，（） (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的最小值； (3)令，若存在且时，，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数证明不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）分类讨论再利用函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解； （3）根据题意可得，通过构造函数，求函数单调性及参变分离可得，令，通过导数得的单调性，即可证明，从而可证明. 【详解】（1）定义域为，， 因为当时，恒成立，所以在上单调递增 当时，由得，由得， 即在上单调递增，在上单调递减， 综上可得当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，在单调递增，在单调递增，， 当，即时，在单调递减，在单调递增， 所以， 当，即时，在单调递减， 所以， 当，即时，在单调递增， 所以 所以 （3），， ， 令，则， 在上单调递增，不妨设， ， ， 要证，即，只需证， 令，只需证，只需证， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，即成立， 所以，即.【 【点睛】思路点睛：利用导数求含参函数的单调性时，一般先求函数的定义域，求出导数后，令导数为零，解方程，讨论方程的根的个数以及根与定义域的位置关系，确定导数的符号，从而求出函数的单调性. 【跟踪训练8】（2022·重庆·二模）已知函数. (1)判断函数是否存在极值，并说明理由； (2)设函数，若存在两个不相等的正数，，使得，证明：. 【答案】(1)没有极值，理由见解析； (2)证明见解析. 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系、利用导数证明不等式 【分析】（1）对求导，根据得到单调递增，得出原函数不存在极值. （2）对进行恒等变形，得到，由（1）得，进而用放缩法得到，继而结合构造新函数，换元法，利用导数进行证明即可. 【详解】（1）由，得， ∴是单调递增函数，∴没有极值. （2），， 得， 即. 由（1）知为增函数， ∵是两个不相等的正数，不妨设， ∴，且， 即， ， 即，只需证明. ∵，令. ∴只需证明在时成立，即在时成立. 设函数，且，则. ∴当时，函数单调递减. ∴当时，函数，即. ∴在时成立，即成立， ∴，∴，即. 【点睛】关键点睛：本题（2）的关键在于由恒等变形，借助（1）中的单调性，利用放缩法、换元法，通过导数的性质进行证明. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 选择性必修第二册第五章导数的应用 专题六-----极值点偏移问题 1、 知识构建 1.极值点偏移类型：零点和型、零点积型 2. 极值点偏移处理策略：构造偏对称、对数均值不等式、糅合双变量 二、类型应用 【例1】（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，且，求证：． 【跟踪训练1-1】（23-24高二下·黑龙江鸡西·期中）已知函数的导函数为，若存在两个不同的零点. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)证明：． 【跟踪训练1-2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数恰有两个零点． (1)求的取值范围； (2)证明：． 【跟踪训练1-3】（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数. (1)若是的极值点，求的值； (2)若函数有两个零点. ①求实数的取值范围； ②证明：. 【例2】（24-25高三上·河北·阶段练习）已知函数. (1)若该函数在单调递增，求的取值范围. (2)当时，若方程有两个实数根，且，证明：. 【跟踪训练2-1】（23-24高二下·湖北武汉·期中）设函数． (1)求函数的单调区间； (2)若有两个零点，， ①求a的取值范围； ②证明：． 【跟踪训练2-2】（23-24高二下·天津·期末）已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3. (1)求的值； (2)证明：当时，； (3)若对任意两个正实数，且，有，求证：. 【例3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 【跟踪训练3】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【例4】（23-24高二下·云南大理·期末）已知函数为函数的极值点. (1)求实数的值，并求出的极值； (2)若时，关于的方程有两个不相等实数根. ①求实数的范围； ②求证. 【跟踪训练4】（23-24高二下·北京西城·期中）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 【例5】（2024高三·全国·专题练习）已知函数和，若存在两个实数，且，使得，，证明：． 【跟踪训练5-1】（24-25高二下·河北沧州·开学考试）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，，且，求证：. 【跟踪训练5-2】（23-24高二下·安徽·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线在轴上的截距； (2)若只有一个零点，求； (3)若有两个不同的零点，证明：. 【跟踪训练5-3】（23-24高二下·四川眉山·期中）已知函数，其中. 若函数有两个不同的零点. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 【例6】（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点、，求证：． 【跟踪训练6-1】（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个不同的零点，. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 【跟踪训练6-2】（2024高二上·全国·专题练习）已知函数． (1)试讨论函数的零点个数； (2)设，，为函数的两个零点，证明：． 【例7】（24-25高二下·河北石家庄·阶段练习）已知函数 (1)求函数的极值； (2)当时，若函数有两个零点，，证明：． 【跟踪训练7-1】（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知函数 (1)当时，求函数的极大值； (2)若对任意的，都有成立，求的取值范围； (3)设，对任意的，且，证明：恒成立． 【跟踪训练7-2】（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）已知函数，若存在恒成立，则称是的一个“上界函数”，如果函数为的一个“上界函数”. (1)求实数的取值范围； (2)证明：若方程有两个解，则. . 【例8】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数，（） (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的最小值； (3)令，若存在且时，，证明：. 【跟踪训练8】（2022·重庆·二模）已知函数. (1)判断函数是否存在极值，并说明理由； (2)设函数，若存在两个不相等的正数，，使得，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $$