山东省高密市第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

高二数学春学竞赛试题 2025.3 一．选择题（共8小题） 1. 已知数列的前4项依次为，则的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 54 B. 63 C. 72 D. 135 3. 已知的分布列为 则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论正确的是（ ） 男生 女生 篮球迷 30 15 非篮球迷 45 10 附:， 0.10 0.05 0.01 2706 3.841 6.635 A. 没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（ ） A. 228里 B. 192里 C. 126里 D. 63里 6. 某人寿保险公司规定，投保人没活过岁时，保险公司要赔偿100万元.活过岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过岁的概率都是，随机抽取3个投保人，设其中活过岁的人数为，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为万元.则（ ） A. B. C. D. 7. 数列，满足，，则的前100项之和等于（ ） A. B. C. D. 8. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．多选题（共3小题） 9. 设是变量和的个样本点，由这些样本点通过最小二乘法得到线性回归直线方程，下列结论正确的是（ ） A. 与正相关的充要条件是 B. 直线过点 C. 与之间的相关系数为 D. 当增大一个单位时，增大个单位 10. 设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（ ） A. 时，取最大值 B. C. 若， D. 若时， 11. 已知数列的通项公式为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 三．填空题（共3小题） 12. 已知随机变量，若，则______． 13. 已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为______. 14. 杜牧《羊栏浦夜陪安会》的诗句中“球来香袖依稀暖，酒凸觥心泛艳光”描述的是唐代酒宴上的助兴游戏“击鼓传花”，也称传彩球.游戏规则为：鼓响时，众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中，谁就上台表演节目.甲､乙､丙三人玩击鼓传花，鼓响时，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两人中的任何一人，经过11次传递后，花又在甲手中的概率为__________. 四．解答题（共5小题） 15. 已知等比数列中，且是和的等差中项. （1）求数列通项公式； （2）若函数，满足，求的前n项和. 16. 某运动队共有12名运动员，其中一级运动员6名，二级运动员4名，三级运动员2名．现举办奥运选拔赛，一、二、三级运动员晋级的概率分别为0.75，0.5，0.25． （1）从这12名运动员中选4人参加奥运选拔赛，已知所选4人中一、二、三级运动员都有入选，求一级运动员人数最多的概率； （2）从这12名运动员中任选1人参加奥运选拔赛，求其能够晋级的概率． 17. 袋中装有大小、形状、材质完全相同小球，其中个红球，个黄球． （1）若，现采用有放回摸球次，每次摸1个小球，设摸到红球的次数为随机变量，若，，求和的值； （2）若，，现从袋中摸出2个球，取到红球记1分，取到黄球记2分，记最后总得分为随机变量，求的分布列以及数学期望． 18. 某小微企业对其产品研发的年投入金额（单位：万元）与其年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下的数据统计表： 1 5 7 8 9 2 3 6 8 11 0.7 1.1 1.8 2.1 2.4 （1）公司拟分别用①和②两种模型作为年销售量关于年投入金额的回归分析模型，根据上表数据，分别求出两种模型的经验回归方程； （2）统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果，若模型①和②的残差的平方和分别为9.9和3.2，请在①和②中选择拟合效果更好的模型，并估计当年投入金额为10万元时的年销售量． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 参考数据：，，． 19. 在数列中，（是常数，），且成公比不为1的等比数列. （1）求的值; （2）求数列的通项公式: （3）求数列的前项和. 高二数学春学竞赛试题 2025.3 一．选择题（共8小题） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二．多选题（共3小题） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ABD 三．填空题（共3小题） 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】6或7 【14题答案】 【答案】 四．解答题（共5小题） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）; （2）见解析 【18题答案】 【答案】（1）， （2）模型②拟合效果更好，11.94万件 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $