17.5.1一元二次方程的应用 课件2025-2026学年沪科版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，涵盖面积问题、增长率与降低率问题等核心内容。导入通过长方形修小路的面积计算和工厂产值增长问题，衔接已学方程解法，搭建从理论到实际应用的学习支架。 其亮点在于以实例驱动教学，通过长方形空地修小路、药品两次降价等问题，培养学生数学眼光（几何直观、抽象能力）和数学思维（推理意识），归纳解题步骤与模型公式，帮助学生形成模型意识，教师可高效开展应用教学，学生能提升问题解决能力。

17.5 一元二次方程的应用 (1) 第十七章 一元二次方程 沪科版 · 新教材 · 八年级下册 学习目标 1. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. (重点) 2. 掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性. (重、难点) 导入新课 1.如图，长方形的长为20 m，宽为15 m，面积为300 m2.如果在其中修一条宽2 m的小路，剩下的面积是_______.如果小路的宽是x m，那么剩下的面积是____________. 270 m2 (300－15x)m2 2.某工厂一月份的产值是100万元，二月份比一月份增长10%，那么二月份的产值是_______，如果三月份保持这个增长率，那么三月份的产值是_______，如果增长率为x，那么，二月份的产值和三月份的产值分别是__________万元，_________万元． 110万元 121万元 100(1＋x) 100(1＋x)2 探究新知 题型一： 利用一元二次方程解决 图形面积 (体积) 问题 列方程解应用题的一般步骤： 审 找 列 解 验 答 弄清题意和题中的数量关系，用字母表示问题涉及的未知数 分析题意，找出等量关系（可借助示意图、表格等） 根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程 解这个方程，求出未知数的值 检查所得的值是否正确和符合实际情形 写出答案（包括单位） 推进新课 如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑三条等宽的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成 6 块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为 570 m2，小路的宽应是多少？ 20 32 (单位：m) x 例 1 【教材P40 例1】 x 审 找 知识点一 面积问题 20 32 (单位：m) x 解 设小路的宽是 x m，根据题意，得 32×20 – (32x + 2×20x) + 2x2 = 570 整理，得 x2 – 36x + 35 = 0 则 (x – 1)(x – 35) = 0 解方程，得 x1 = 1，x2 = 35. x2 = 35 不合题意，所以 x = 1. 答：小路的宽应为 1 m. 列 解 验 答 20米 32米 1、如图所示，在宽为 20 米, 长为 32 米的长方形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分), 余下的部分种上草坪. 要使草坪的面积为 540 平方米，求道路的宽. 对应练习 解：设道路的宽为 x 米.根据题意，得 (20-x)(32-x)=540 整理，得 x2-52x＋100=0 解得 x1＝50（舍）， x2＝2 答：道路的宽为 2 米. 对应练习 2、用长度为 24 cm的铁丝围成一个长方形，其面积不可能是( ) A.12cm2 B.20cm2 C.36cm2 D.40cm2 D 知识模块一　平均增长率问题 探究新知 例1 原来每盒 27 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为 9 元，该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到 1%） 降价率是什么意思？它与原价之间有什么数量关系？ 降价率是降低的价格与原价的比值： 降价率 = ×100% 原价 – 现价 原价 例1 原来每盒 27 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为 9 元，该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到 1%） 分析：现价 = 原价(1 – 降价率) 设该药品两次降价的平均降价率是 x. 原价 27 第一次降价后的价格 27(1 – x) 降价率x 第二次降价后的价格 27(1 – x)2 降价率x 解 设该种药品两次降价的平均降价率是 x，根据题意，得 27(1 – x)2 = 9 解方程，得 x1 ≈ 1.58，x2 ≈ 0.42. x1 = 1.58 不合题意，所以 x = 0.42 = 42%. 答：该药品两次降价的平均降价率是 42%. 整理，得 (1 – x)2= 根据问题的实际意义，平均降价率应是小于 1 的正数. 练一练 【教材P43练习T1】 一根水管内壁均匀地形成一层厚 3 mm 的附着物，从而导致流通截面（圆形）减少至原来的 . 求这根水管原来的内壁直径. 等量关系： x 解：设原来的内壁直径是 x mm， 根据题意，得 解方程，得 x1 = 18，x2 = 3.6. x2 = 3.6 不合题意，所以 x = 18. 答：这根水管原来的内壁直径是 18 mm. 练一练 【教材P43练习T1】 一根水管内壁均匀地形成一层厚 3 mm 的附着物，从而导致流通截面（圆形）减少至原来的 . 求这根水管原来的内壁直径. 探究新知 例 2 正方形金属片一块，将其四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高 20 cm，容积为 2880cm3 的开口方盒 . 问原金属片的边长是多少？ 20 20 x x-40 x-40 解：设原金属片的边长为 xcm.根据题意，得 20(x-40)2=2880 整理，得 (x-40)2=144 解得 x1=52， x2=28 ∵ x2＝28不符题意，故舍去 ∴ x＝52. 答：原金属片的边长是52cm . 对应练习 解：(1) 设 AB 的长为 x 米，根据题意,得 x(77+3-4x)=300 解得 x1=5，x2=15 当 x=5 时，80-4x=60＞30，故 x=5 不合题意 当 x=15 时，80-4x=20＜30 答：AB 的长是 15 米. 例 3 如图，用一段 77 米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个 1 米的门，墙的最大可用长度为 30 米． （1）如果羊圈的总面积为 300 平方米，求边 AB 的长； （2）羊圈的总面积能为 500 平方米吗？若能，请求出边 AB 的长；若不能，说明理由． 对应练习 例 3 如图，用一段 77 米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个 1 米的门，墙的最大可用长度为 30 米． （1）如果羊圈的总面积为 300 平方米，求边 AB 的长； （2）羊圈的总面积能为 500 平方米吗？若能，请求出边 AB 的长；若不能，说明理由． （2）羊圈的总面积不能为 500 平方米，理由如下： 设 AB 的长为 x 米，由题意可得 x(77+3-4x)=500 ∴ x2-20x+125=0 ∴ Δ=400-500=-100＜0 ∴ 羊圈的总面积不能为 500 平方米． 练一练： 两年前生产 1 t 甲药品的成本是 5000 元，生产 1 t 乙药品的成本是 6000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲药品的成本是 3000 元，生产 1 t 乙药品的成本是 3600 元. 哪种药品成本的年平均下降率较大？ 解：设甲、乙药品成本的年平均下降率分别是 x，y， 根据题意，得 5000(1 – x)2 = 3000，6000(1 – y)2 = 3600 解方程，得x1＝，x2＝. 答：甲、乙药品成本的年平均下降率一样大. x2＝.不合题意，所以x. 利用一元二次方程解决面积问题时，常利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；对于部分不规则图形，可以通过平移、旋转等变换，转化为规则图形来解决问题. 知识点二 数字问题 【教材P41练习T1】 如果两个连续偶数的积是 288，求这两个数. 分析： 较小的偶数 x 较大的偶数 x + 2 积为288 x(x + 2) = 288 解：设前一个偶数是 x ，则后一个偶数是是 (x + 2) . 根据题意，得 x(x + 2) = 288 解方程，得 x1 = 16，x2 = – 18. 答：这两个数分别为 16 和 18，或 – 18 和 – 16. 所以 x1 + 2 = 18，x2 + 2 = – 16. 探究新知 题型二： 利用一元二次方程解决动点问题 例2 一农户原来种植的花生，每公顷产量为 3000 kg，出油率为 50%（即每 100 kg 花生可加工出花生油 50 kg ）. 现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油 1980 kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的. 求新品种花生产量的增长率. 分析：设新品种花生产量的增长率为 x. 原花生 新品种花生 产量/公顷 3000 3000(1 + x) 出油率 50% 50%(1+x) 解 设新品种花生产量的增长率为 x，根据题意，得 解方程，得 x1 = 0.2 = 20%，x2 = – 3.2. x2 = – 3.2 不合题意，所以 x = 20%. 答：新品种花生产量的增长率为 20%. 整理，得 25x2 + 75x – 16 = 0 3000(1+x)·[50%(1+x)]=1980 练一练 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为 736，求原来的两位数. 分析： 原两位数 十位 个位 x 5 – x 10x + (5 – x) 个位十位对调 积为 736 现两位数 十位 个位 5 – x x 10(5 – x) + x 解：设原来的两位数的十位上的数字为 x ，则个位上的数字为 (9 – x). 练一练 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 9，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为 2268，求原来的两位数. 根据题意，得 [10x + (9 – x)][10(9 – x) + x] = 2268 解方程，得 x1 = 6，x2 = 3，则 9 – x1 = 3，9 – x2 = 6. 所以原来的两位数是 63 或 36. 对应练习 例 4 如图，在 △ABC 中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm.点 P从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动. (1) 若点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，经过多少秒后，△PBQ的面积为 8 cm2? A C B P Q 解：设经过x秒后，△PBQ的面积为8cm2. 根据题意，得 解得 x1=2， x2=4 答：点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，经过 2 秒或 4 秒后，△PBQ 的面积为 8 cm2 对应练习 例 4 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm.点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿BC边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动. (2)点 P、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 △PBQ 的面积等于 △ABC 的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由. A C B P Q 理由：设经过y秒后，△PBQ的面积等于△ABC的面积的一半. 根据题意，得 整理，得 y2-6y+12=0 ∵△=b2-4ac 解：不存在 =36-4×12 =-12 <0 ∴ 方程无实数根 ∴ 不存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半 归纳总结 平均增长率 若基础量为 a，设平均增长率为 x，则一次增长后的量为 a(1 + x)，两次增长后的量为 a(1 + x)2 ……依此类推， n 次增长后的量为 a(1 + x)n 平均降低率 若基础量为 a，设平均降低率为 x，则一次降低后的量为 a(1 – x)，两次降低后的量为 a(1 – x)2 ……依此类推，n 次降低后的量为 a(1 – x)n 增长率可以大于100% 降低率不能大于100% 解题策略：解决数字问题设未知数时，通常采用间接设元法. 设元的方法 方法解读 直接设元法 设待求量为未知数 间接设元法 设待求量之外的量为未知数，用含未知数的代数式表示待求量 辅助设元法 引入辅助未知数，并在解题过程中消去 课堂小结 面积问题： 利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；对于部分不规则图形，可以通过平移、旋转等变换，转化为规则图形来解决问题. 数字问题： 解决数字问题时，通常采用间接设元法设未知数. $