17.5.2变化率问题与循环问题 课件2025-2026学年沪科版数学八年级下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 17.5.2变化率问题与循环问题 第17章 一元二次方程及其应用 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、基础题（每题15分，共30分） 1. 变化率问题：某商品原价为200元，经过一次涨价后，售价变为242元，求这次商品的涨价率。 解析：变化率问题（增长率、降低率）核心是掌握公式：$$a(1\pm x)^n = b$$（其中a为初始量，x为变化率，n为变化次数，b为最终量；涨价用“+”，降价用“-”），解题步骤为先设未知数，列方程、解方程，检验结果符合实际意义（增长率为正，降低率为正且小于1）。 第一步，设未知数：设这次商品的涨价率为x； 第二步，列方程：根据变化率公式，初始量a=200，最终量b=242，变化次数n=1，得$$200(1 + x) = 242$$； 第三步，解方程：两边同时除以200，得$$1 + x = 1.21$$，解得$$x = 0.21$$，即x=21%； 第四步，检验：涨价率21%为正数，符合实际意义； 结论：这次商品的涨价率为21%。 2. 循环问题：一个细胞每30分钟分裂一次，每次分裂为2个，经过2小时，这个细胞会分裂成多少个？ 解析：循环问题核心是找准循环次数和每次循环的数量变化规律，本题中细胞分裂为“每30分钟1次，每次变为原来的2倍”，先计算总循环次数，再根据规律计算最终数量。 第一步，计算循环次数：2小时=120分钟，每30分钟分裂1次，总次数为$$120 \div 30 = 4$$次； 第二步，分析数量变化：初始细胞1个，1次分裂后为2个，2次分裂后为$$2^2$$个，n次分裂后为$$2^n$$个； 第三步，计算最终数量：经过4次分裂，细胞数量为$$2^4 = 16$$个； 结论：经过2小时，这个细胞会分裂成16个。 二、中档题（每题20分，共40分） 3. 变化率问题：某工厂今年的产值为500万元，计划两年后产值达到605万元，若这两年的年增长率相同，求该工厂这两年的年平均增长率。 解析：进阶考点——两次变化的增长率问题，核心是正确运用变化率公式，注意变化次数n=2，准确列方程并检验。 第一步，设未知数：设该工厂这两年的年平均增长率为x； 第二步，列方程：初始产值a=500万元，两年后产值b=605万元，n=2，得$$500(1 + x)^2 = 605$$； 第三步，解方程：两边同时除以500，得$$(1 + x)^2 = 1.21$$，开平方得$$1 + x = \pm 1.1$$； 解得$$x_1 = 0.1 = 10\%$$，$$x_2 = -2.1$$（舍去，增长率不能为负数）； 第四步，检验：年平均增长率10%为正数，符合实际意义，两年后产值为$$500 \times (1 + 10\%)^2 = 605$$万元，符合题意； 结论：该工厂这两年的年平均增长率为10%。 4. 循环问题：某种传染病，一个患者每轮能传染3个健康人，若最初有1个患者，不考虑康复和重复传染，经过3轮传染后，共有多少个患者？ 解析：进阶应用——传染类循环问题，核心是明确每轮传染的规律：每轮新增患者数=当前患者数×传染人数，总患者数=上一轮总患者数+新增患者数。 第一步，分析每轮传染情况： 第1轮：初始患者1个，传染3人，新增3人，总患者数=1 + 3 = 4个； 第2轮：当前患者4个，每人传染3人，新增$$4 \times 3 = 12$$人，总患者数=4 + 12 = 16个； 第3轮：当前患者16个，每人传染3人，新增$$16 \times 3 = 48$$人，总患者数=16 + 48 = 64个； 第二步，总结规律：经过n轮传染后，总患者数为$$(1 + 3)^n = 4^n$$，代入n=3，得$$4^3 = 64$$个； 结论：经过3轮传染后，共有64个患者。 三、拓展题（30分） 5. 综合问题：某商品原价为100元，先涨价10%，再降价x%，经过这两次变化后，商品售价为99元，求x的值；若该商品继续按此降价率再降一次，求最终售价。 解析：进阶拓展——先涨后降的变化率综合问题，结合循环降价，核心是分步骤运用变化率公式，准确计算每一步的量，检验结果合理性。 第一步，计算涨价后的售价：原价100元，涨价10%，售价为$$100(1 + 10\%) = 110$$元； 第二步，设未知数并列方程：设降价率为x%，降价后售价为99元，得$$110(1 - \frac{x}{100}) = 99$$； 第三步，解方程：两边同时除以110，得$$1 - \frac{x}{100} = 0.9$$，解得$$x = 10$$； 第四步，检验：降价率10%为正数且小于1，符合实际意义，验证：$$110 \times (1 - 10\%) = 99$$元，符合题意； 第五步，计算继续降价后的最终售价：按10%的降价率再降一次，售价为$$99(1 - 10\%) = 89.1$$元； 学习目标 1. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. (重点) 2. 掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性. (重、难点) 新课导入 初中生正处于青春期，身体发育快，已知元元去年四月份身高是 160 cm，截至今年四月，身高增长了5%. 1. 你知道其中的 5% 是什么意思吗？ 这一年增长的身高是去年身高的 5% 不会 2. 如果从今年四月到明年四月，身高又增长了 5%，那她身高将是多少？ 3. 她的身高一直会以 5% 的速度增长下去吗？ 今年：160×(1 + 5%) = 168 (cm) 明年：168×(1 + 5%) = 176.4 (cm) 原来每盒 27 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为 9 元，该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到 1%） 例 1 【教材P40 例2】 知识点一 变化率问题 推进新课 降价率是什么意思？它与原价之间有什么数量关系？ 降价率是降低的价格与原价的比值： 降价率 = ×100% 原价 – 现价 原价 原来每盒 27 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为 9 元，该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到 1%） 例 1 【教材P40 例2】 分析：现价 = 原价(1 – 降价率) 设该药品两次降价的平均降价率是 x. 原价 27 第一次降价后的价格 27(1 – x) 降价率x 第二次降价后的价格 27(1 – x)2 降价率x 解 设该种药品两次降价的平均降价率是 x，根据题意，得 27(1 – x)2 = 9 解方程，得 x1 ≈ 1.58，x2 ≈ 0.42. x1 = 1.58 不合题意，所以 x = 0.42 = 42%. 答：该药品两次降价的平均降价率是 42%. 整理，得 根据问题的实际意义，平均降价率应是小于 1 的正数. 练一练 两年前生产 1 t 甲药品的成本是 5000 元，生产 1 t 乙药品的成本是 6000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲药品的成本是 3000 元，生产 1 t 乙药品的成本是 3600 元. 哪种药品成本的年平均下降率较大？ 解：设甲、乙药品成本的年平均下降率分别是 x，y， 根据题意，得 5000(1 – x)2 = 3000，6000(1 – y)2 = 3600 解方程，得 不合题意，所以 答：甲、乙药品成本的年平均下降率一样大. 成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大. 成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况. 思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 一农户原来种植的花生，每公顷产量为 3000 kg，出油率为 50%（即每 100 kg 花生可加工出花生油 50 kg ）. 现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油 1980 kg，已知花生出油率的增长率是产量 增长率的 . 求新品种花生产量的增长率. 【教材P40 例3】 例 2 分析：设新品种花生产量的增长率为 x. 原花生 新品种花生 产量/公顷 3000 3000(1 + x) 出油率 50% 解 设新品种花生产量的增长率为 x，根据题意，得 解方程，得 x1 = 0.2 = 20%，x2 = – 3.2. x2 = – 3.2 不合题意，所以 x = 20%. 答：新品种花生产量的增长率为 20%. 整理，得 25x2 + 75x – 16 = 0 练一练 【教材P41练习T2】 某磷肥厂 4 月份生产磷肥 500 t，因管理不善，5 月份的磷肥产量减少了 10%；从 6 月份起，工厂强化了管理，产量逐月上升，7 月份产量达到 648 t. 求该厂 6 月份、7 月份产量的月平均增长率. 解：设该厂 6 月份、7 月份产量的月平均增长率是 x， 根据题意，得 500(1 – 10%)·(1 + x)2 = 648 解方程，得 x1 = 0.2 = 20%，x2 = – 2.2. x2 = – 2.2 不合题意，所以 x = 20%. 答：该厂 6 月份、7 月份产量的月平均增长率是 20%. 平均增长率 若基础量为 a，设平均增长率为 x，则一次增长后的量为 a(1 + x)，两次增长后的量为 a(1 + x)2 ……依此类推， n 次增长后的量为 a(1 + x)n 平均降低率 若基础量为 a，设平均降低率为 x，则一次降低后的量为 a(1 – x)，两次降低后的量为 a(1 – x)2 ……依此类推，n 次降低后的量为 a(1 – x)n 增长率可以大于100% 降低率不能大于100% 知识点二 传播问题 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了几人？ 如何理解“两轮传染”？ 通过特值理解——如果每轮每人传染2人： 第1轮传染后患病人数__________人； 第2轮传染后患病人数_____________人. 注意：不要忽视初始人数的二次传染. (1 + 2) = 3 (1 + 2) + 2×3 第1轮 第2轮 设每轮传染中平均每人传染了 x 人. 第1轮传染后有______人患了流感. 第2轮传染中的传染源为_____人，第2轮传染后有______________人患了流感. 根据等量关系 “___________________________”列出方程____________________. x + 1 x + 1 x + 1 + x(x + 1) 两轮传染后，有121人患了流感 x + 1 + x(x + 1) = 121 解：设每轮传染中平均每人传染了 x 人. 根据题意，得 x + 1 + x(x + 1) = 121 解方程，得 x1 = 10，x2 = – 12. 答：每轮传染中平均每人传染了 10 人. 所以 x2 = – 12 不合题意，所以 x = 10. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了几人？ 知识点三 循环问题 类型 特点 常见实际问题 n个元素情况下的循环总次数 单循环 每两个元素之间算一次 握手问题、 签合同问题、照相问题 双循环 每两个元素之间算两次 互赠贺卡 n(n – 1) 多边形对角线 每两个元素之间算一次 凸 n 边形对角线条数问题 知识点三 循环问题 某公司举办产品鉴定会，在专家到达时，经理和每位专家握一次手表示欢迎；在专家离开时，经理又和他们每人握一次手表示道别，且参加会议的每两位专家之间都握了一次手. 所有参加会议的人共握手 20 次，参加这次会议的专家有多少人？ 单循环 x 经理握手次数： 2x 每位专家与专家的握手次数： x – 1 x 位专家之间一共握手次数： x(x – 1) 2 解：设参加这次会议的专家有 x 人，根据题意，得 解方程，得 x1 = 5，x2 = – 8. x2 = – 8 不合题意，所以 x = 5. 答：参加这次会议的专家有 5 人. 返回 200(1＋x)2＝401 3. 重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为________________． 中考考法 19 4．一种药品原价为每盒48元，经过两次降价后每盒为27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为(　　) A．20% B．22% C．25% D．28% C 返回 中考考法 20 返回 5．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4，设个位数字为x，则可列方程为(　　) A．x2＋(x－4)2＝10(x－4)＋x－4 B．x2＋(x－4)2＝10(x－4)＋x＋4 C．x2＋(x－4)2＝10x＋x－4－4 D．x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x＋4 D 中考考法 21 6．如图是一张月历表，在此月历表上用一个长方形任意圈出2×2个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为128，那么这四个数的和为(　　)  A．40 B．48 C．52 D．56 中考考法 22 【点拨】设最小数为x，则另外三个数为x＋1，x＋7，x＋8，根据题意可列方程x(x＋8)＝128，解得x1＝8，x2＝－16(不符合题意，舍去)，∴x＋1＝9，x＋7＝15，x＋8＝16.∴这四个数的和为8＋9＋15＋16＝48. 返回 【答案】B 中考考法 7. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟二十号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件．市场调查发现，该网店“神舟二十号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1 200元，则售价应降低_____元． 20 中考考法 24 【点拨】设售价应降低a元， 由题意得(100－a－60)(20＋2a)＝1 200， 解得a＝10或a＝20， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存，∴a＝20. 返回 中考考法 课堂小结 变化率问题 传播与循环问题 平均增长率 若基础量为 a，设平均增长率为 x，则一次增长后的量为 a(1 + x)，两次增长后的量为 a(1 + x)2 ……依此类推， n 次增长后的量为 a(1 + x)n 平均降低率 若基础量为 a，设平均降低率为 x，则一次降低后的量为 a(1 – x)，两次降低后的量为 a(1 – x)2 ……依此类推，n 次降低后的量为 a(1 – x)n 增长率可以大于100% 降低率不能大于100% $