中国人民大学附属中学2025-2026学年高三下学期5月热身练习数学试题

2026届高三热身练习 数学 命题：高三数学组 2026.5.27 本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试 卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项。 1.集合A={L,2,3,4,5},B={x(x-2)(x-4)20,M={xx∈A且xEB},则M=() A.{3) B.{L,5} C.{2,3,4} D.{1,2,4,5) 2.已知复数z满足(1+)z=1,则z的虚部为（) A.支 B. c D月 3,已知a<b<0<c<d,则下列不等式一定成立的是() A.ac<bd B.ac>bd C.ad<be D.ad>bc 4.已知等差数列{an}的公差为2，若a,a2,a成等比数列，则a,=（) A.4 B.5 C.6 D.7 5.过原点的直线1与圆M:x2+y2-2√5x-2y+3=0相切，则满足条件的1的斜率之和为() A,√2 B. 2 C.5 D. 3 6.定义在R上的函数y=f(x),“存在a>0,使得对于任意的xeR都有f(x-a>f(x)” 是“y=(x)为R上的减函数”的() A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.设函数=(or+引@>0，若f+对=恒成立，且在[0写引上存在号 点，则①的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 8.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T,tmi后 的温度是T,则刀-？=2片，其中T表示环境温度，A称为半囊期，现有一杯89℃的 -T 咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20min,那么降温到30℃大约 需要（)（参考数据：1g2≈0.301，g3=0.477) A.33 min B.34 min C.35min D.36 min 第1页，共4页 9.双曲线 。一存=1（如>0，b>0)的左、右焦点分别为R,R,以F乃为直径的圆与双曲线的 渐近线在第一象限的交点为M,O为坐标原点，FN⊥OM,垂足为N,若1MN=√2， 且EN.EO=6,则双曲线的离心率为() A.√5 B.2 c.6 D.3 10.在平面直角坐标系xOy中，将函数y=(x)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转 a0<a≤)后，所得到的曲线仍然是某个函数的图象，则称y=问为“a旋转函 数”，若4()-警为“受旋转西数”，则6的最小值是《) A A.-c2 B.-e C.-2e D.-3e 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项， 11.抛物线y=2x2的准线为 12.已知x=a6+ax-1)+a2(x-1)2+a(c-13+a,(x-)°，则a=一；a=— 13.能说明命题“若∫(x)= :+r+b,x之0是奇函数，则a=b=c=0”为假命题的- -x2+cx,x<0 组a,b,c的值可以是a=一，b=一’ C= 14.己知平面内四个点4,4,4，A满足：4，AA1A=n+1(n=1,2), AnAn,1·AnA2=0（n=1,2),则4A的最小值为 15.棱长为4的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放有铁质几何体，给出下列四 个猜想： ①该容器内有两个半径为1.4的球： ②该容器内有棱长为5.6的正四面体： ③该容器内有底面半径为√5，高为2的圆柱体： ④该容器内有底面边长为√，高为5的正三棱柱. 其中所有可能正确的猜想的序号是 第2页，共4页 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题13分) 在△MBC中，已知2 bcos A+a-2c=0, (I)求角B的大小. (Ⅱ)已知b=45,BC边上的高为AD,在下列三个条件中选择一个条件，使得△MBC 存在且唯一，并求线段AD的长度。 条件①：SMCD=6V5: 条件②：SBc=12N5: 条件③：△ABC的周长为12√5. 17.(本小题13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面ABCD,AB∥CD,M为线段PB的中点， AB=AP=2AD=2CD=4. B (I)求证：CM∥平面PAD: (Ⅱ)若AC=BC,点L在线段PB上，且直线LC与平面 BDP所成角的正弦值为 求线段LM的长， 21 18.(本小题14分) 夏日己到，某校组织学生开展生物研学活动，共设计了三个不同方案，目的地分别为北 京动物园，大兴野生动物园，北京海洋馆.为了解该校学生对三个方案的倾向性，现对学生 进行分层抽样，获得数据如下表： 北京动物园 大兴野生动物园 北京海洋馆 支持 22 40 46 男 不支持 38 20 14 支持 15 36 24 女 不支持 25 A 16 假设学生的选择相互独立， (I)从全校学生中任取一人，已知其为女生，请估计该生支持北京动物园方案的概率： (Ⅱ)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取」人，设随机变量X为此三 人中支持大兴野生动物园方案的人数，求X的分布列及其期望： ()将该校学生支持北京海洋馆方案的概率估计值记为P。,假设该校高一年级有500名 男生和300名女生，他们会支持北京海洋馆的概率估计值为P，除高一年级外其他 年级学生支持北京海洋馆的概率估计值记为P2,请将P。、P,与P2由小到大排序.（结 论不要求证明，) 第3页，共4页 19.(本小题15分) 已知函数f)=1o3, x-31 (I)设y=∫(x)在x=4处的切线为1，求1与直线x=5的交点坐标： (Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间： (Ⅲ)求不等式(x)之x-2的解集 20.(本小题15分) 已知椭圆C:mx2+y2=1(m>0,n>0,m≠n),在条件①、条件②、条件③这三个条件 中选择两个作为已知，使得椭圆C存在且唯一， (I)求椭圆C的方程： (Ⅱ)点A为椭圆C的下顶点，过点P(O,2)的直线1与椭圆C交于两个不同的点M,N, -点R,S分别在射线AM,射线AN上，满足R.M=不.AN=7,若直线RS过 点2(0,4，求直线1的方程. 条件①：椭圆C过点(2,0)： 条件@，机题C过点0马： 条件@：椭圆C的离心率为 2 21.(本小题15分) 给定正整数n,对于各项均为正整数的数列A:4,a2,am,若a2a2之…2am之1，且 ,则称小为”的一个分拆数列，对于分派数列4，定义其共轭数列4 A的第i项b,定义为数列A中大于或等于i的项的个数，数列A'的各项从b开始，至b,=0 前终止，即A的项数为满足b21的最大正整数i,如果分拆数列A与A相同（即项数相同， 且对应项分别相等)，则称A为自共轭数列， （I)求n=3时的自共轭数列： (Ⅱ)若A是分拆数列，A是否一定是分拆数列？若A与A都是分拆数列，(A)是否一 定与A相同？说明理由： (Ⅲ)设正整数”的自共把数列的个数为S(n),各项均为奇数且互不相同的“的分拆数列 的个数为O(m),求{neN'S(n)=O(n》 第4页，共4页