8.3 2x2列联表（题型专练）数学沪教版选择性必修第二册

8.3 2×2列联表 题型1 对于分类变量的理解 1.【答案】A 【解析】散点图适用于推断两个定量变量之间是否有相关关系， 其中等高堆积条形图，列联表，独立性检验适用于推断两个分类变量之间是否有关联. 故选：A. 2.【答案】B 【解析】独立性检验是通过统计学方法来检验两个分类变量之间是否存在关联性， ACD满足独立性检验的基本思想，B选项只是公司的营业额这一个变量在过去5年的变化情况，不满足独立性检验的基本思想. 故选：B 3.【答案】A 【解析】对于A，等高堆积条形图可以直观反映两个分类变量之间是否具有关联性，A正确； 对于B，用独立性检验推断的结论可靠，会犯随机性错误；B错误； 对于C，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，C错误； 对于D，决定系数越大，则相应模型的拟合效果越好，D错误. 故选：A 题型2 完善2×2列联表 4.【答案】 52 60 【解析】根据已知条件，结合列联表之间的数据关系，由表中数据可知， ，所以；. 5.【答案】8 【解析】由列联表的性质，可得：，可得， 所以． 6.【答案】 86 180 229 301 【解析】最右侧的总计是对应的行上的两个数据的和， 所以①的值为121-35=86，②的值为37+141=180， 而最下面的总计是相应的列上两个数据的和， 所以③的值为86+143=229，④的值为121+180=301. 题型3 2×2列联表分析及应用 7.【答案】C 【解析】根据题意，得到如下两个列联表. 35岁以上 35岁及以下 总计 男性 女性 总计 35岁以上 35岁及以下 总计 男性 女性 总计 根据第1个列联表可知，样本中男性市民人数为， 女性市民人数为，又，即样本中男性比女性多，故A正确； 根据第2个列联表可知，样本中35岁以上女性市民人数为， 35岁及以下女性市民人数为，又，即样本中多数女性是35岁以上，故B正确； 由题意，，所以，故C不正确； 根据第2个列联表可知，样本中35岁以上市民人数为， 35岁及以下市民人数为，又， 即样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多，故D正确. 故选：C. 8.【答案】C 【解析】计算各选项中的值，值越大，说明相应的两个分类变量有关系的可能性越大； 对于A，， 对于B，， 对于C，， 对于D，， 由于，故选：C 9.【答案】A 【解析】由公式， 由可知，认为“爱好该项运动与性别有关”， 犯错误的概率不超过0.01．故选：A 10.【答案】B 【解析】因为对主办方表示满意的男性运动员的人数为， 所以在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为，所以命题①错误， 又因为， 所以在犯错误的概率不超过的前提下，不可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；所以命题②错误，命题③正确.故选：B. 11.【答案】B 【解析】零假设为：变量Ⅰ与Ⅱ不相关， 因为，依据得独立性检验可知，推断不成立， 即认为变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1，故选：B 题型4 卡方的计算 12.【答案】 【解析】， 13.【答案】14.7 【解析】, 14.【答案】A 【解析】根据表中数据完成下列联表，如下： 愿意参加 不愿意参加 合计 男生 30 20 50 女生 20 30 50 合计 30 50 100 则. 故选：A. 题型5 独立性检验思想的基本应用 15.【答案】45（大于等于45的5的整数倍都符合题意） 【解析】设调查了位男生，已知被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的， 根据题意列出表格 男生 女生 总计 喜欢抖音 不喜欢抖音 总计 则， 解得，因为男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，所以男生人数是5的倍数，所以男生人数. 16.【答案】6.818 【解析】已知合计人数为200，不喜欢的人数合计为80，那么喜欢的人数合计. 因为男性喜欢的人数是45，喜欢的人数合计是120，所以女性喜欢的人数为. 又因为女性合计人数为110，所以.此时完整的列联表为： 喜欢 不喜欢 合计 男性 45 45 90 女性 75 35 110 合计 120 80 200 在中，（这里），（男性喜欢的人数），（男性不喜欢的人数），（女性喜欢的人数），（女性不喜欢的人数）. 将这些值代入公式可得： . 17.【答案】拒绝 【解析】已知显著性水平，，即临界值为， 因为，所以可推断拒绝原假设. 18.【答案】36 【解析】根据列联表中的数据，经计算得到， 由题意知，即得． 又，则或4，则调查人数中经常锻炼的人至少有人． 19.【答案】有 【解析】零假设为改款盲盒与性别无关联. 由列联表数据计算得， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，故有的把握认为改款盲盒与性别有关. 题型6 独立性检验解决实际问题 20.【解】（1）由已知合金部件应抽取件，合金部件应抽取件， 由此可得列联表如下： 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 15 90 配方材料试样 30 20 50 合计 105 35 140 （2）零假设为：材料配方与耐热疲劳性能无关联， 根据列联表数据，经计算得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为材料配方与耐热疲劳性能有关联，此推断犯错误的概率不大于． 21.【解】（1）依题意可知，被调查的用户中女性用户共有人，认为空调“最佳舒适温度”低于的女性用户有人， 所以男性用户中认为空调“最佳舒适温度”不低于的人数为60. 列联表如下： 性别 最佳舒适温度 合计 男 60 80 140 女 80 60 140 合计 140 140 280 （2）零假设为：分类变量与相互独立，即空调“最佳舒适温度”是否超过与性别无关. 根据表中的数据，计算得到. 因为， 所以根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立， 因此可以认为空调“最佳舒适温度”是否超过与性别有关. 22.【解】（1）补全的列联表如下： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 40 80 城市学校 60 20 80 总计 100 60 160 （2）零假设：学校所在区域对智慧课堂的应用无影响. 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，因此能判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响. 23.【解】（1）由表格数据可知，实验组共有40人，注意力增强的有30人， 故的估计值为. （2）零假设为：吃核桃与注意力增强无关. 根据列联表中的数据，经计算得. 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为吃核桃与注意力增强有关. 题型1独立性检验与统计 24.【解】（1）设上网时间不少于60分钟的女生人数为，依题意有，解得， 所以估计其中上网时间不少于60分钟的女生人数是225． （2）填列联表如下： 上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟 总计 男生 60 40 100 女生 70 30 100 总计 130 70 200 由表中数据可得到 故没有的把握认为“大学生上网时间与性别有关”． 25.【解】（1）由已知得，解得， 又，解得， 评分的平均值为． （2）不满意的学生人数为人， 完成列联表如下表：      态度性别 满意 不满意 合计 男生 25 35 60 女生 30 10 40 合计 55 45 100 则， 有的把握认为对“人工智能线上课程是否满意与性别有关”． 26.【解】（1）记“在本年内随机抽取1天，该天的经济损失超过400元”为事件. 当时，由，得， 显然当时，， 所以当时，， 由统计数据可知，空气质量指数大于200的频数为35，所以. （2）根据题设中的数据得到表22： 表22 污染程度 非严重污染 严重污染 供暖季 22 8 非供暖季 63 7 将表中的数据代入公式计算，得. 因为，所以有的把握认为该城市本年的空气严重污染与供暖有关. 题型2独立性检验与概率 27.【解】（1）零假设为：对活动的评价与性别无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对活动的评价与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.001. （2）的所有可能取值为0，1，2， ， 故的分布列为 0 1 2 . 28.【解】（1）由题意，分层随机抽样的比例为，则效果明显的患者应抽取人，效果不明显的患者应抽取人， 事件是“至少有1名患者效果不明显”，可用对立事件计算. 即表示“4人都效果明显”，则， 故. （2）零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联， 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联． 29.【解】（1）根据题意，，两款书包的受欢迎的程度相同，即在随机抽取的100人中，喜欢，两款书包的人各50人， 又因喜欢款书包的男生与女生人数相等，即喜欢款书包的男生25人，女生25人； 因喜欢款书包的女生占喜欢款书包的总人数的，故喜欢款书包的女生有人，男生有人. 则可补全列联表如下： 更喜欢款书包 更喜欢款书包 总计 男生 10 25 35 女生 40 25 65 总计 50 50 100 由， 因此依据小概率值的独立性检验，可认为更喜欢款书包与性别有关联. （2）因喜欢款书包的目标客户中，男生10人，女生40人，男女生比例为， 故分层抽取5人中，男生1人，女生4人，则从这5人中任选2人，其中女生的人数的可能值有1，2. 则，， 于是的分布列为： 1 2 故数学期望为. 30.【解】（1）抽取的样本中，男性老年人共有200人，需要志愿者提供帮助的有40人， 频率为，所以的估计值是. （2）列联表如下： 男性 女性 合计 需要 40 20 60 不需要 160 280 440 合计 200 300 500 ，所以根据小概率值的独立性检验， 认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关. 由于该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出男性老年人需要帮助的需求较高，与女性老年人有明显差异， 因此调查时先确定男女老年人的比例，然后按照男、女两层进行分层抽样，更优的抽样方法是分层抽样. 31.【答案】③④ 【解析】在独立性检验中，由 表示的意义是：有的把握认为变量与变量没有关系，所以④正确； 即有的把握认为变量与变量有关系，所以③正确. 32.【答案】3.968 【解析】补全列联表 室外工作 室内工作 总计 有呼吸系统疾病 150 200 350 无呼吸系统疾病 50 100 150 总计 200 300 500 . 33.【答案】99.5% 【解析】根据题目中所给的数据可得到如下2×2列联表， 数学成绩较好 数学成绩较差 合计 物理成绩较好 54 32 86 物理成绩较差 40 63 103 合计 94 95 189 由公式得≈10.76. 因为10.76>7.879，所以约有99.5%的把握认为“学生的数学成绩和物理成绩有关系”． 34.【答案】 【解析】因为抽取个学生，女生人数是男生人数的， 所以抽取个男生，个女生，为了便于计算，我们令， 设男生人数为，依题意可得列联表如下： 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则，由，解得， 由题知应为6的整数倍， 而根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则男生至少有30人， 35.【答案】C 【解析】设男女大学生各有m人，根据题意画出2×2列联表，如下图： 看 不看 合计 男 m 女 m 合计 2m 所以，因为有99%的把握认为性别与对产品是否满意有关，所以，解得，所以总人数2m可能为240． 故选：C． 36.【答案】B 【解析】因为对主办方表示满意的男性运动员的人数为， 所以在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为，所以命题①错误， 又因为，所以命题②错误，命题③正确， 故选：B. 37.【解】（1）超声波检查结果不正常患者有200人，患病有180人， 所以 （2）零假设为：样本数据中超声波检测结果与患该疾病无关， ， 依据据小概率的独立性检验，我们推断不成立， 所以，认为样本数据中超声波检测结果与患该疾病有关. 38.【解】（1）零假设：患慢性气管炎与吸烟无关， ， 由，而，从而否定原假设， 即有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关. （2）按分层抽样，不吸烟者3人，吸烟者4人， 的可能值为0，1，2，3， ，，，， 所以. 39.【解】（1）设事件表示志愿者是“志愿模范队”成员的事件，事件表示志愿者周平均服务时长超过2小时的事件. 由题可知，，，因为每个志愿者被抽到的可能性相等， 根据古典概型的概率公式得，，. 由条件概率公式可得，则. 故一名志愿者是“志愿模范队”成员的条件下其周平均服务时长超过2小时的概率为. （2）由题可得如下列联表： 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 周平均服务时长不超过2小时 总计 提出零假设：是否‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”无关，确定显著性水平. 可得，由于，拒绝零假设， 故有的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关. 40.【解】（1）完善列联表，如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 20 10 30 不是每天都整理数学错题人数 8 22 30 合计 28 32 60 估计不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率约为. （2）零假设：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关联， 利用（1）中数据，得， 根据小概率值的独立性检验，可以判断不成立，所以数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关联. （3）由题意知的所有可能值为0，1，2，3， ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 41.【解】（1）相关系数为 故与线性相关较强 （2）零假设为：购买电动汽车与车主性别无关； 可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与车主性别有关 （3）抽样比，男性车主选取2人，女性车主选取5人，则的可能取值为0，1，2， 故， 故的分布列为. 0 1 2 42.【解】（1）假设：患慢性气管炎与吸烟无关， 根据的列联表中的数据，可得， 从而否定原假设，所以有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关. （2）根据表格中的数据，可得： 43.【解】（1）由频率分布直方图可知损失超过4000的有户， 所以列联表为 损失不超过4000 损失超过4000 合计 捐款超过500 60 20 80 捐款不超过500 10 10 20 合计 70 30 100 所以， 于是有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否超过4000元有关． （2）由题意知抽取1户居民自身经济损失超过4000元的概率为， 所以由题意得， 所以，， ，， 于是的分布列为 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 所以， . 44.【解】（1）列联表补充完整如下： 科技知识达人 非科技知识达人 合计 男生 15 35 50 女生 5 45 50 合计 20 80 100 零假设：能否获得“科技知识达人”称号与性别无关， 则， 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即有的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关； （2）从所有参赛学生中任取一人是“科技知识达人”的概率， 由题意可知：，的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3 2×2列联表 题型1 对于分类变量的理解 1．不能用于推断两个分类变量之间是否有关联的是（ ） A．散点图 B．等高堆积条形图 C．列联表 D．独立性检验 【答案】A 【解析】散点图适用于推断两个定量变量之间是否有相关关系， 其中等高堆积条形图，列联表，独立性检验适用于推断两个分类变量之间是否有关联. 故选：A. 2．下列实际问题不适合用独立性检验解决的是（    ） A．不良的饮食习惯是否会导致肠胃疾病 B．某公司的营业额在过去5年逐年变化的情况 C．参加课外辅导能否提高学习成绩 D．男性和女性在职业选择偏好上是否有差异 【答案】B 【解析】独立性检验是通过统计学方法来检验两个分类变量之间是否存在关联性， ACD满足独立性检验的基本思想，B选项只是公司的营业额这一个变量在过去5年的变化情况，不满足独立性检验的基本思想. 故选：B 3．以下说法正确的是（    ） A．等高堆积条形图可以直观反映两个分类变量之间是否具有关联性 B．用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误 C．残差平方和越大，则相应模型的拟合效果越好 D．决定系数越小，则相应模型的拟合效果越好 【答案】A 【解析】对于A，等高堆积条形图可以直观反映两个分类变量之间是否具有关联性，A正确； 对于B，用独立性检验推断的结论可靠，会犯随机性错误；B错误； 对于C，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，C错误； 对于D，决定系数越大，则相应模型的拟合效果越好，D错误. 故选：A 题型2 完善2×2列联表 4．下面是一个2×2列联表： 合计 合计 则表中a，b处的值分别为__________；__________． 【答案】 52 60 【解析】根据已知条件，结合列联表之间的数据关系，由表中数据可知， ，所以；. 5．博鳌亚洲论坛2024年年会于3月26日至29日在海南博鳌举行．为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了30名记者担任对外翻译工作，在下面“性别与是否会俄语”的列联表中，______． 性别 是否会俄语 合计 会 不会 男 20 女 6 合计 18 30 【答案】8 【解析】由列联表的性质，可得：，可得， 所以． 6．为了了解长头发与女性头晕是否有关系，随机抽查301名女性，得到如下列联表，试根据表格中已有数据填空． 　　　　头晕情况发型　　　　 经常头晕 很少头晕 总计 长发 35 ① 121 短发 37 143 ② 总计 72 ③ ④ 则空格中的数据应分别为：①______；②______；③______；④______. 【答案】 86 180 229 301 【解析】最右侧的总计是对应的行上的两个数据的和， 所以①的值为121-35=86，②的值为37+141=180， 而最下面的总计是相应的列上两个数据的和， 所以③的值为86+143=229，④的值为121+180=301. 题型3 2×2列联表分析及应用 7．地铁的开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况.某条地铁线路开通后，某调查机构抽取了部分乘坐该线路地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，得到如下信息：35岁及以下的市民中，男性约占；35岁以上的市民中，男性约占；男性市民中，35岁及以下的约占；女性市民中，35岁及以下的约占.根据以上信息，下列结论不一定正确的是（    ） A．样本中男性比女性多 B．样本中多数女性是35岁以上 C．样本中35岁及以下的男性人数比35岁以上的女性人数多 D．样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多 【答案】C 【解析】根据题意，得到如下两个列联表. 35岁以上 35岁及以下 总计 男性 女性 总计 35岁以上 35岁及以下 总计 男性 女性 总计 根据第1个列联表可知，样本中男性市民人数为， 女性市民人数为，又，即样本中男性比女性多，故A正确； 根据第2个列联表可知，样本中35岁以上女性市民人数为， 35岁及以下女性市民人数为，又，即样本中多数女性是35岁以上，故B正确； 由题意，，所以，故C不正确； 根据第2个列联表可知，样本中35岁以上市民人数为， 35岁及以下市民人数为，又， 即样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多，故D正确. 故选：C. 8．假设有两个分类变量X，Y，它们的可能取值分别为和，其列联表为 合计 合计 以下各组数据中，对于同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】计算各选项中的值，值越大，说明相应的两个分类变量有关系的可能性越大； 对于A，， 对于B，， 对于C，， 对于D，， 由于，故选：C 9．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 运动 性别 总计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 下列结论正确的是（   ） A．认为“爱好该项运动与性别有关”，犯错误的概率不超过0.01 B．认为“爱好该项运动与性别无关”，犯错误的概率不超过0.01 C．认为“爱好该项运动与性别有关”，犯错误的概率不超过0.001 D．认为“爱好该项运动与性别无关”，犯错误的概率不超过0.001 【答案】A 【解析】由公式， 由可知，认为“爱好该项运动与性别有关”， 犯错误的概率不超过0.01．故选：A 10．为了调查各参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下表所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为；②在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③在犯错误的概率不超过的前提下，不可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为（    ） 男性运动员（人） 女性运动员（人） 对主办方表示满意 200 220 对主办方表示不满意 50 30 注： 0.600 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为对主办方表示满意的男性运动员的人数为， 所以在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为，所以命题①错误， 又因为， 所以在犯错误的概率不超过的前提下，不可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；所以命题②错误，命题③正确.故选：B. 11．根据分类变量Ⅰ与Ⅱ的统计数据，计算得到，则（    ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．变量Ⅰ与Ⅱ相关 B．变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1 C．变量Ⅰ与Ⅱ不相关 D．变量Ⅰ与Ⅱ不相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1 【答案】B 【解析】零假设为：变量Ⅰ与Ⅱ不相关， 因为，依据得独立性检验可知，推断不成立， 即认为变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1，故选：B 题型4 卡方的计算 12．考察棉花种子经过处理与是否生病之间的关系得到如下表所示的数据： 经处理的种子数粒 未经处理的种子数粒 合计粒 得病 不得病 合计 根据以上数据，则统计量的观测值是__________． 【答案】 【解析】， 13．为了鉴定新疫苗的效力，将60只小白鼠随机地分为两组，在其中一组接种疫苗后，两组都注射了病源菌，其结果如下面的列联表．根据此列联表中的数据可以求得________． 发病 未发病 合计 接种 3 27 30 未接种 17 13 30 合计 20 40 60 参考公式：，其中． 【答案】14.7 【解析】, 14．某学校计划开设某门特色课程，现对男女生参加该课程的意愿程度进行调查，得到以下列联表： 愿意参加 不愿意参加 合计 男生 20 女生 20 合计 50 100 则的值为（    ） （附：，） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【解析】根据表中数据完成下列联表，如下： 愿意参加 不愿意参加 合计 男生 30 20 50 女生 20 30 50 合计 30 50 100 则. 故选：A. 题型5 独立性检验思想的基本应用 15.某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95%的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有_____人. 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 附： 【答案】45（大于等于45的5的整数倍都符合题意） 【解析】设调查了位男生，已知被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的， 根据题意列出表格 男生 女生 总计 喜欢抖音 不喜欢抖音 总计 则， 解得，因为男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，所以男生人数是5的倍数，所以男生人数. 16．小明为了了解不同性别的观众对蛇年春晚小品类节目的喜欢情况，随机选取了200名观看蛇年春晚的观众，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男性 45 45 90 女性 110 合计 80 200 根据小概率值的独立性检验，其中________，（精确到小数点后3位）可以判断出性别因素与喜欢有关联． 附：，． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】6.818 【解析】已知合计人数为200，不喜欢的人数合计为80，那么喜欢的人数合计. 因为男性喜欢的人数是45，喜欢的人数合计是120，所以女性喜欢的人数为. 又因为女性合计人数为110，所以.此时完整的列联表为： 喜欢 不喜欢 合计 男性 45 45 90 女性 75 35 110 合计 120 80 200 在中，（这里），（男性喜欢的人数），（男性不喜欢的人数），（女性喜欢的人数），（女性不喜欢的人数）. 将这些值代入公式可得： . 17．为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断_________原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．） 【答案】拒绝 【解析】已知显著性水平，，即临界值为， 因为，所以可推断拒绝原假设. 18．为了了解运动和寿命是否相关，先作了一次抽样调查，被调查的经常锻炼与不经常锻炼的人均为12t，统计得到以下列联表，经计算，有超过95%的把握但不超过99%的把握认为经常锻炼和长寿相关，则调查人数中经常锻炼的人至少有______人． 锻炼 寿命 合计 长寿 不长寿 经常 不经常 合计 【答案】36 【解析】根据列联表中的数据，经计算得到， 由题意知，即得． 又，则或4，则调查人数中经常锻炼的人至少有人． 19．盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”．某销售网点为了调查是否购买该款盲盒与性别的关系，得到如下列联表： 女生 男生 总计 购买 40 20 60 未购买 70 70 140 总计 110 90 200 则认为______（填有或没有）的把握认为该款盲盒与性别有关．（） 【答案】有 【解析】零假设为该款盲盒与性别无关联. 由列联表数据计算得， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，故有的把握认为该款盲盒与性别有关. 题型6 独立性检验解决实际问题 20．某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性，现有合金部件样本900件，合金部件样本500件，采用分层抽样抽取140件做耐热疲劳测试，以部件能承受1000次热循环不失效为合格标准，得到以下部分列联表： 单位：件 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 配方材料试样 20 合计 140 (1)请完成上述列联表； (2)依据的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？ 附：，其中． 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解】（1）由已知合金部件应抽取件，合金部件应抽取件， 由此可得列联表如下： 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 15 90 配方材料试样 30 20 50 合计 105 35 140 （2）零假设为：材料配方与耐热疲劳性能无关联， 根据列联表数据，经计算得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为材料配方与耐热疲劳性能有关联，此推断犯错误的概率不大于． 21．炎炎夏日，空调已经成为越来越多家庭的必备电器之一.为研究不同性别对空调“最佳舒适温度”是否要超过的认同差异，某家电公司随机对280名空调用户进行了调查，其中女性用户占调查总人数的一半，该调查数据中只有的女性用户认为空调“最佳舒适温度”低于，且女性用户中认为空调“最佳舒适温度”低于的人数恰与男性用户中认为空调“最佳舒适温度”不低于的人数相等. 性别 最佳舒适温度 合计 男 女 合计 280 (1)在答题卡中完成列联表； (2)根据小概率值的独立性检验，分析空调“最佳舒适温度”是否超过与性别有关. 附： 【解】（1）依题意可知，被调查的用户中女性用户共有人，认为空调“最佳舒适温度”低于的女性用户有人， 所以男性用户中认为空调“最佳舒适温度”不低于的人数为60. 列联表如下： 性别 最佳舒适温度 合计 男 60 80 140 女 80 60 140 合计 140 140 280 （2）零假设为：分类变量与相互独立，即空调“最佳舒适温度”是否超过与性别无关. 根据表中的数据，计算得到. 因为， 所以根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立， 因此可以认为空调“最佳舒适温度”是否超过与性别有关. 22．为了推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下表： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 城市学校 80 总计 100 160 (1)补全上面的列联表； (2)依据小概率的独立性检验，能否判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.005 2.706 3.841 7.879 【解】（1）补全的列联表如下： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 40 80 城市学校 60 20 80 总计 100 60 160 （2）零假设：学校所在区域对智慧课堂的应用无影响. 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，因此能判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响. 23．某机构为了调查吃核桃是否能增强注意力，邀请了80名青少年作为研究对象，随机分成两组，实验组每天吃3~4个核桃，对照组没有接受任何形式的干预，持续6个月后，观察这80名青少年的注意力变化情况，得到如下数据. 受试者 注意力 合计 增强 无明显改善 对照组 10 30 40 实验组 30 10 40 合计 40 40 80 (1)记每天吃3~4个核桃，持续6个月后注意力增强的概率为，求的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析吃核桃是否与注意力增强有关. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【解】（1）由表格数据可知，实验组共有40人，注意力增强的有30人， 故的估计值为. （2）零假设为：吃核桃与注意力增强无关. 根据列联表中的数据，经计算得. 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为吃核桃与注意力增强有关. 题型1独立性检验与统计 24．为了调查某大学学生在某天上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下的统计结果： 表1：男生上网时间与频数分布表 上网时间（分） 人数 5 25 30 25 15 表2：女生上网时间与频数分布表 上网时间（分） 人数 10 20 40 20 10 (1)若该大学共有女生750人，试估计其中上网时间不少于60分钟的女生人数； (2)完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“大学生上网时间与性别有关”． 上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟 总计 男生 女生 总计 附：，其中为样本容量． 0.15 0.10 0.05 0.025 2.072 2.706 3.841 5.024 【解】（1）设上网时间不少于60分钟的女生人数为，依题意有，解得， 所以估计其中上网时间不少于60分钟的女生人数是225． （2）填列联表如下： 上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟 总计 男生 60 40 100 女生 70 30 100 总计 130 70 200 由表中数据可得到 故没有的把握认为“大学生上网时间与性别有关”． 25．2025年，教育部推广“人工智能线上课程”试点应用．某中学随机抽取100名学生（男生与女生的人数之比为）对该线上课程进行评分（满分100分）．规定：评分不低于80分视为满意．其得分情况的频率分布直方图如图所示，已知评分不低于70分的频率为0.85．    (1)估计100名学生对人工智能线上课程评分的平均值；（每组数据用该组的区间中点值为代表） (2)结合频率分布直方图，请完成以下列联表，并回答能否有的把握认为对“人工智能线上课程是否满意与性别有关”．      性别态度      满意 不满意 合计 男生 女生 10 合计 100 ，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 【解】（1）由已知得，解得， 又，解得， 评分的平均值为． （2）不满意的学生人数为人， 完成列联表如下表：      态度性别 满意 不满意 合计 男生 25 35 60 女生 30 10 40 合计 55 45 100 则， 有的把握认为对“人工智能线上课程是否满意与性别有关”． 26．某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数（AQI）的监测数据，如表所示： AQI 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 6 14 18 27 20 15 (1)已知某企业每天的经济损失（单位：元）与空气质量指数的关系式为，若在本年内随机抽取1天，试估计该天的经济损失超过400元的概率； (2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染.根据提供的统计数据，完成下表，有的把握认为该城市本年的空气严重污染与供暖有关吗？ 污染程度 非严重污染 严重污染 供暖季 非供暖季 附：独立性检验卡方公式：. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【解】（1）记“在本年内随机抽取1天，该天的经济损失超过400元”为事件. 当时，由，得， 显然当时，， 所以当时，， 由统计数据可知，空气质量指数大于200的频数为35，所以. （2）根据题设中的数据得到表22： 表22 污染程度 非严重污染 严重污染 供暖季 22 8 非供暖季 63 7 将表中的数据代入公式计算，得. 因为，所以有的把握认为该城市本年的空气严重污染与供暖有关. 题型2独立性检验与概率 27．某市科协开展“科技大篷车”进校园活动，为了解此次活动的效果，对某校参与活动的480名同学进行了问卷调查，得到如下列联表： 对活动的评价 满意 不满意 合计 男生 240 40 280 女生 120 80 200 合计 360 120 480 (1)根据小概率值的独立性检验，分析对活动的评价是否与性别有关； (2)在对活动评价“不满意”的学生中抽取2名男生和4名女生，从中任选3人了解不满意的原因，记选中的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【解】（1）零假设为：对活动的评价与性别无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对活动的评价与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.001. （2）的所有可能取值为0，1，2， ， 故的分布列为 0 1 2 . 28．为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 (1)在1200名选择甲方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取12人，再从这12名患者中随机抽取4人，设这4人中至少有1名患者效果不明显为事件，求事件的概率． (2)根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【解】（1）由题意，分层随机抽样的比例为，则效果明显的患者应抽取人，效果不明显的患者应抽取人， 事件是“至少有1名患者效果不明显”，可用对立事件计算. 即表示“4人都效果明显”，则， 故. （2）零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联， 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联． 29．某书包品牌代理对，两款书包的受欢迎情况进行调研，现从目标客户群中随机抽取100人，针对他们更喜欢款书包还是款书包做了调查，结果显示：，两款书包的受欢迎的程度相同，且更喜欢款书包的男生与女生人数相等，其中更喜欢款书包的女生占喜欢款书包的总人数的. (1)根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断更喜欢款书包与性别是否有关联； 更喜欢款书包 更喜欢款书包 总计 男生 女生 总计 (2)在样本中，从更喜欢款书包的目标客户中按性别用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，在这5人中任选2人，其中女生的人数为随机变量，求的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.005 2.706 3.841 7.879 【解】（1）根据题意，，两款书包的受欢迎的程度相同，即在随机抽取的100人中，喜欢，两款书包的人各50人， 又因喜欢款书包的男生与女生人数相等，即喜欢款书包的男生25人，女生25人； 因喜欢款书包的女生占喜欢款书包的总人数的，故喜欢款书包的女生有人，男生有人. 则可补全列联表如下： 更喜欢款书包 更喜欢款书包 总计 男生 10 25 35 女生 40 25 65 总计 50 50 100 由， 因此依据小概率值的独立性检验，可认为更喜欢款书包与性别有关联. （2）因喜欢款书包的目标客户中，男生10人，女生40人，男女生比例为， 故分层抽取5人中，男生1人，女生4人，则从这5人中任选2人，其中女生的人数的可能值有1，2. 则，， 于是的分布列为： 1 2 故数学期望为. 30．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，调查结果如下表： 男性 女性 需要 40 20 不需要 160 280 (1)在该地区男性老年人中，随机选择一位，他需要志愿者提供帮助的概率记为，求的估计值； (2)完成抽样数据列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别是否有关；并指出该调查中更优的抽样方法. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【解】（1）抽取的样本中，男性老年人共有200人，需要志愿者提供帮助的有40人， 频率为，所以的估计值是. （2）列联表如下： 男性 女性 合计 需要 40 20 60 不需要 160 280 440 合计 200 300 500 ，所以根据小概率值的独立性检验， 认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关. 由于该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出男性老年人需要帮助的需求较高，与女性老年人有明显差异， 因此调查时先确定男女老年人的比例，然后按照男、女两层进行分层抽样，更优的抽样方法是分层抽样. 31．在独立性检验中，为了调查变量与变量的关系，经过计算得到，表示的意义是__________（填序号）． ①有的把握认为变量与变量没有关系； ②有的把握认为变量与变量有关系； ③有的把握认为变量与变量有关系； ④有的把握认为变量与变量没有关系． 【答案】③④ 【解析】在独立性检验中，由 表示的意义是：有的把握认为变量与变量没有关系，所以④正确； 即有的把握认为变量与变量有关系，所以③正确. 32．随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响．现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康状况，得到列联表如下，则________．（结果精确到0.001） 室外工作 室内工作 总计 有呼吸系统疾病 150 无呼吸系统疾病 100 总计 200 【答案】3.968 【解析】补全列联表 室外工作 室内工作 总计 有呼吸系统疾病 150 200 350 无呼吸系统疾病 50 100 150 总计 200 300 500 . 33．某中学为了调研学生的数学成绩和物理成绩是否有关系，随机抽取了189名学生进行调查，调查结果如下：在数学成绩较好的94名学生中，有54名学生的物理成绩较好，有40名学生的物理成绩较差；在成绩较差的95名学生中，有32名学生的物理成绩较好，有63名学生的物理成绩较差．根据以上的调查结果，利用独立性检验的方法可知，约有________的把握认为“学生的数学成绩和物理成绩有关系”． 【答案】99.5% 【解析】根据题目中所给的数据可得到如下2×2列联表， 数学成绩较好 数学成绩较差 合计 物理成绩较好 54 32 86 物理成绩较差 40 63 103 合计 94 95 189 由公式得≈10.76. 因为10.76>7.879，所以约有99.5%的把握认为“学生的数学成绩和物理成绩有关系”． 34．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人． 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 【答案】 【解析】因为抽取个学生，女生人数是男生人数的， 所以抽取个男生，个女生，为了便于计算，我们令， 设男生人数为，依题意可得列联表如下： 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则，由，解得， 由题知应为6的整数倍， 而根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则男生至少有30人. 35．通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有的男大学生“不看”，有的女大学生“不看”，若有99%的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数可能为（    ） A．150 B．170 C．240 D．175 【答案】C 【解析】设男女大学生各有m人，根据题意画出2×2列联表，如下图： 看 不看 合计 男 m 女 m 合计 2m 所以，因为有99%的把握认为性别与对产品是否满意有关，所以，解得，所以总人数2m可能为240． 故选：C． 36．为了调查各参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下表所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为；②在犯错误的概率不超过的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为（    ） 男性运动员（人） 女性运动员（人） 对主办方表示满意 200 220 对主办方表示不满意 50 30 注： 0.600 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为对主办方表示满意的男性运动员的人数为， 所以在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为，所以命题①错误， 又因为，所以命题②错误，命题③正确， 故选：B. 37．调查1000人是否患某疾病与超声波检测结果的列联表如下： 检测结果是否患病 正常 不正常 合计 患病 20 180 200 不患病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)若检测结果不正常者患病的概率为，求的估计值； (2)能否根据小概率的独立性检验认为样本数据中超声波检测结果与是否患该疾病有关？ 【解】（1）超声波检查结果不正常患者有200人，患病有180人， 所以 （2）零假设为：样本数据中超声波检测结果与患该疾病无关， ， 依据据小概率的独立性检验，我们推断不成立， 所以，认为样本数据中超声波检测结果与患该疾病有关. 38．某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示. 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 120 160 280 患慢性气管炎者 15 45 60 总计 135 205 340 (1)是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X的数学期望. 附：，. 【解】（1）零假设：患慢性气管炎与吸烟无关， ， 由，而，从而否定原假设， 即有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关. （2）按分层抽样，不吸烟者3人，吸烟者4人， 的可能值为0，1，2，3， ，，，， 所以. 39．已知某区组建了一支人的志愿者队伍，并由其中人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有人的周平均服务时长超过2小时，其中有人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 周平均服务时长不超过2小时 总计 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ 附录：，其中. 【解】（1）设事件表示志愿者是“志愿模范队”成员的事件，事件表示志愿者周平均服务时长超过2小时的事件. 由题可知，，，因为每个志愿者被抽到的可能性相等， 根据古典概型的概率公式得，，. 由条件概率公式可得，则. 故一名志愿者是“志愿模范队”成员的条件下其周平均服务时长超过2小时的概率为. （2）由题可得如下列联表： 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 周平均服务时长不超过2小时 总计 提出零假设：是否‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”无关，确定显著性水平. 可得，由于，拒绝零假设， 故有的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关. 40．利用错题去学习是比较高效的学习方法.为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了60名学生，调查他们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 20 10 不是每天都整理数学错题人数 22 合计 60 (1)完成上述列联表，并估计本校高三年级学生中不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题是否有关联? (3)从样本中每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【解】（1）完善列联表，如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 20 10 30 不是每天都整理数学错题人数 8 22 30 合计 28 32 60 估计不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率约为. （2）零假设：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关联， 利用（1）中数据，得， 根据小概率值的独立性检验，可以判断不成立，所以数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关联. （3）由题意知的所有可能值为0，1，2，3， ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 41．为了解某一地区纯电动汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为． (1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱； (2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 购买非电动车 购买电动车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与性别有关？ (3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和期望． ①参考数据：； ②参考公式：（i）线性回归方程：，其中． （ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强． （iii），其中． 附表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【解】（1）相关系数为 故与线性相关较强 （2）零假设为：购买电动汽车与车主性别无关； 可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与车主性别有关 （3）抽样比，男性车主选取2人，女性车主选取5人，则的可能取值为0，1，2， 故， 故的分布列为. 0 1 2 42.某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示. 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 120 160 280 患慢性气管炎者 15 45 60 总计 135 205 340 (1)是否有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从340人中任选一人，表示“选到的人是吸烟者”，表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据，估计的值； 附：. 【解】（1）假设：患慢性气管炎与吸烟无关， 根据的列联表中的数据，可得， 从而否定原假设，所以有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关. （2）根据表格中的数据，可得： 43．今年某台风在沿海地区登陆，恰逢暑假，小明调查了当地某小区100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据(单位：元)分成 ， 五组，并绘制如下频率分布直方图．    (1)台风过后居委会号召小区居民为重灾区捐款，小明调查的100户居民捐款情况如下表， 在表格空白处填写正确数字， 并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否超过4000元有关？ （） 损失不超过 4000 损失超过 4000 合计 捐款超过 500 60 捐款不超过 500 10 合计 (2)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量受灾居民中，采取随机抽样方法每次抽取1户居民， 抽取3次， 记被抽取的3户居民自身经济损失超过4000元的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量的分布列、期望和方差． 【解】（1）由频率分布直方图可知损失超过4000的有户， 所以列联表为 损失不超过4000 损失超过4000 合计 捐款超过500 60 20 80 捐款不超过500 10 10 20 合计 70 30 100 所以， 于是有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否超过4000元有关． （2）由题意知抽取1户居民自身经济损失超过4000元的概率为， 所以由题意得， 所以，， ，， 于是的分布列为 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 所以， . 44．某学校举办了一次主题为“科技兴国，强国有我”的知识竞赛，并从所有参赛学生中随机抽取了男、女生各50人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛学生至少得60分），并将成绩分成4组：，，，（单位：分），得到如下的频率分布直方图． (1)现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“科技知识达人”，成绩低于90分的学生称为“非科技知识达人”．把随机抽取的参赛学生数据统计如下，将下列列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关． 科技知识达人 非科技知识达人 合计 男生 15 女生 合计 (2)将频率视为概率，从所有参赛学生中随机抽取3人进行访谈，记这3人中是“科技知识达人”的人数为，求的分布列与数学期望． 附：（其中）． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解】（1）列联表补充完整如下： 科技知识达人 非科技知识达人 合计 男生 15 35 50 女生 5 45 50 合计 20 80 100 零假设：能否获得“科技知识达人”称号与性别无关， 则， 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即有的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关； （2）从所有参赛学生中任取一人是“科技知识达人”的概率， 由题意可知：，的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3 2×2列联表 题型1 对于分类变量的理解 1．不能用于推断两个分类变量之间是否有关联的是（ ） A．散点图 B．等高堆积条形图 C．列联表 D．独立性检验 2．下列实际问题不适合用独立性检验解决的是（    ） A．不良的饮食习惯是否会导致肠胃疾病 B．某公司的营业额在过去5年逐年变化的情况 C．参加课外辅导能否提高学习成绩 D．男性和女性在职业选择偏好上是否有差异 3．以下说法正确的是（    ） A．等高堆积条形图可以直观反映两个分类变量之间是否具有关联性 B．用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误 C．残差平方和越大，则相应模型的拟合效果越好 D．决定系数越小，则相应模型的拟合效果越好 题型2 完善2×2列联表 4．下面是一个2×2列联表： 合计 合计 则表中a，b处的值分别为__________；__________． 5．博鳌亚洲论坛2024年年会于3月26日至29日在海南博鳌举行．为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了30名记者担任对外翻译工作，在下面“性别与是否会俄语”的列联表中，______． 性别 是否会俄语 合计 会 不会 男 20 女 6 合计 18 30 6．为了了解长头发与女性头晕是否有关系，随机抽查301名女性，得到如下列联表，试根据表格中已有数据填空． 　　　　头晕情况发型　　　　 经常头晕 很少头晕 总计 长发 35 ① 121 短发 37 143 ② 总计 72 ③ ④ 则空格中的数据应分别为：①______；②______；③______；④______. 题型3 2×2列联表分析及应用 7．地铁的开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况.某条地铁线路开通后，某调查机构抽取了部分乘坐该线路地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，得到如下信息：35岁及以下的市民中，男性约占；35岁以上的市民中，男性约占；男性市民中，35岁及以下的约占；女性市民中，35岁及以下的约占.根据以上信息，下列结论不一定正确的是（    ） A．样本中男性比女性多 B．样本中多数女性是35岁以上 C．样本中35岁及以下的男性人数比35岁以上的女性人数多 D．样本中35岁以上的市民比35岁及以下的多 8．假设有两个分类变量X，Y，它们的可能取值分别为和，其列联表为 合计 合计 以下各组数据中，对于同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为（    ） A． B． C． D． 9．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 运动 性别 总计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 下列结论正确的是（   ） A．认为“爱好该项运动与性别有关”，犯错误的概率不超过0.01 B．认为“爱好该项运动与性别无关”，犯错误的概率不超过0.01 C．认为“爱好该项运动与性别有关”，犯错误的概率不超过0.001 D．认为“爱好该项运动与性别无关”，犯错误的概率不超过0.001 10．为了调查各参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下表所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为；②在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③在犯错误的概率不超过的前提下，不可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为（    ） 男性运动员（人） 女性运动员（人） 对主办方表示满意 200 220 对主办方表示不满意 50 30 注： 0.600 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A．0 B．1 C．2 D．3 11．根据分类变量Ⅰ与Ⅱ的统计数据，计算得到，则（    ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．变量Ⅰ与Ⅱ相关 B．变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1 C．变量Ⅰ与Ⅱ不相关 D．变量Ⅰ与Ⅱ不相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1 题型4 卡方的计算 12．考察棉花种子经过处理与是否生病之间的关系得到如下表所示的数据： 经处理的种子数粒 未经处理的种子数粒 合计粒 得病 不得病 合计 根据以上数据，则统计量的观测值是__________． 13．为了鉴定新疫苗的效力，将60只小白鼠随机地分为两组，在其中一组接种疫苗后，两组都注射了病源菌，其结果如下面的列联表．根据此列联表中的数据可以求得________． 发病 未发病 合计 接种 3 27 30 未接种 17 13 30 合计 20 40 60 参考公式：，其中． 14．某学校计划开设某门特色课程，现对男女生参加该课程的意愿程度进行调查，得到以下列联表： 愿意参加 不愿意参加 合计 男生 20 女生 20 合计 50 100 则的值为（    ） （附：，） A．4 B． C．5 D． 题型5 独立性检验思想的基本应用 15.某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95%的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有_____人. 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 附： 16．小明为了了解不同性别的观众对蛇年春晚小品类节目的喜欢情况，随机选取了200名观看蛇年春晚的观众，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男性 45 45 90 女性 110 合计 80 200 根据小概率值的独立性检验，其中________，（精确到小数点后3位）可以判断出性别因素与喜欢有关联． 附：，． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 17．为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断_________原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．） 18．为了了解运动和寿命是否相关，先作了一次抽样调查，被调查的经常锻炼与不经常锻炼的人均为12t，统计得到以下列联表，经计算，有超过95%的把握但不超过99%的把握认为经常锻炼和长寿相关，则调查人数中经常锻炼的人至少有______人． 锻炼 寿命 合计 长寿 不长寿 经常 不经常 合计 19．盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”．某销售网点为了调查是否购买该款盲盒与性别的关系，得到如下列联表： 女生 男生 总计 购买 40 20 60 未购买 70 70 140 总计 110 90 200 则认为______（填有或没有）的把握认为该款盲盒与性别有关．（） 题型6 独立性检验解决实际问题 20．某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性，现有合金部件样本900件，合金部件样本500件，采用分层抽样抽取140件做耐热疲劳测试，以部件能承受1000次热循环不失效为合格标准，得到以下部分列联表： 单位：件 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 配方材料试样 20 合计 140 (1)请完成上述列联表； (2)依据的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？ 附：，其中． 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 21．炎炎夏日，空调已经成为越来越多家庭的必备电器之一.为研究不同性别对空调“最佳舒适温度”是否要超过的认同差异，某家电公司随机对280名空调用户进行了调查，其中女性用户占调查总人数的一半，该调查数据中只有的女性用户认为空调“最佳舒适温度”低于，且女性用户中认为空调“最佳舒适温度”低于的人数恰与男性用户中认为空调“最佳舒适温度”不低于的人数相等. 性别 最佳舒适温度 合计 男 女 合计 280 (1)在答题卡中完成列联表； (2)根据小概率值的独立性检验，分析空调“最佳舒适温度”是否超过与性别有关. 附： 22．为了推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下表： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 城市学校 80 总计 100 160 (1)补全上面的列联表； (2)依据小概率的独立性检验，能否判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.005 2.706 3.841 7.879 23．某机构为了调查吃核桃是否能增强注意力，邀请了80名青少年作为研究对象，随机分成两组，实验组每天吃3~4个核桃，对照组没有接受任何形式的干预，持续6个月后，观察这80名青少年的注意力变化情况，得到如下数据. 受试者 注意力 合计 增强 无明显改善 对照组 10 30 40 实验组 30 10 40 合计 40 40 80 (1)记每天吃3~4个核桃，持续6个月后注意力增强的概率为，求的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析吃核桃是否与注意力增强有关. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 题型1独立性检验与统计 24．为了调查某大学学生在某天上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下的统计结果： 表1：男生上网时间与频数分布表 上网时间（分） 人数 5 25 30 25 15 表2：女生上网时间与频数分布表 上网时间（分） 人数 10 20 40 20 10 (1)若该大学共有女生750人，试估计其中上网时间不少于60分钟的女生人数； (2)完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“大学生上网时间与性别有关”． 上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟 总计 男生 女生 总计 附：，其中为样本容量． 0.15 0.10 0.05 0.025 2.072 2.706 3.841 5.024 25．2025年，教育部推广“人工智能线上课程”试点应用．某中学随机抽取100名学生（男生与女生的人数之比为）对该线上课程进行评分（满分100分）．规定：评分不低于80分视为满意．其得分情况的频率分布直方图如图所示，已知评分不低于70分的频率为0.85．    (1)估计100名学生对人工智能线上课程评分的平均值；（每组数据用该组的区间中点值为代表） (2)结合频率分布直方图，请完成以下列联表，并回答能否有的把握认为对“人工智能线上课程是否满意与性别有关”．      性别态度      满意 不满意 合计 男生 女生 10 合计 100 ，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 26．某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数（AQI）的监测数据，如表所示： AQI 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 6 14 18 27 20 15 (1)已知某企业每天的经济损失（单位：元）与空气质量指数的关系式为，若在本年内随机抽取1天，试估计该天的经济损失超过400元的概率； (2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染.根据提供的统计数据，完成下表，有的把握认为该城市本年的空气严重污染与供暖有关吗？ 污染程度 非严重污染 严重污染 供暖季 非供暖季 附：独立性检验卡方公式：. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 题型2独立性检验与概率 27．某市科协开展“科技大篷车”进校园活动，为了解此次活动的效果，对某校参与活动的480名同学进行了问卷调查，得到如下列联表： 对活动的评价 满意 不满意 合计 男生 240 40 280 女生 120 80 200 合计 360 120 480 (1)根据小概率值的独立性检验，分析对活动的评价是否与性别有关； (2)在对活动评价“不满意”的学生中抽取2名男生和4名女生，从中任选3人了解不满意的原因，记选中的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 28．为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 (1)在1200名选择甲方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取12人，再从这12名患者中随机抽取4人，设这4人中至少有1名患者效果不明显为事件，求事件的概率． (2)根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 29．某书包品牌代理对，两款书包的受欢迎情况进行调研，现从目标客户群中随机抽取100人，针对他们更喜欢款书包还是款书包做了调查，结果显示：，两款书包的受欢迎的程度相同，且更喜欢款书包的男生与女生人数相等，其中更喜欢款书包的女生占喜欢款书包的总人数的. (1)根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断更喜欢款书包与性别是否有关联； 更喜欢款书包 更喜欢款书包 总计 男生 女生 总计 (2)在样本中，从更喜欢款书包的目标客户中按性别用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，在这5人中任选2人，其中女生的人数为随机变量，求的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.005 2.706 3.841 7.879 30．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，调查结果如下表： 男性 女性 需要 40 20 不需要 160 280 (1)在该地区男性老年人中，随机选择一位，他需要志愿者提供帮助的概率记为，求的估计值； (2)完成抽样数据列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别是否有关；并指出该调查中更优的抽样方法. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 31．在独立性检验中，为了调查变量与变量的关系，经过计算得到，表示的意义是__________（填序号）． ①有的把握认为变量与变量没有关系； ②有的把握认为变量与变量有关系； ③有的把握认为变量与变量有关系； ④有的把握认为变量与变量没有关系． 32．随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响．现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康状况，得到列联表如下，则________．（结果精确到0.001） 室外工作 室内工作 总计 有呼吸系统疾病 150 无呼吸系统疾病 100 总计 200 33．某中学为了调研学生的数学成绩和物理成绩是否有关系，随机抽取了189名学生进行调查，调查结果如下：在数学成绩较好的94名学生中，有54名学生的物理成绩较好，有40名学生的物理成绩较差；在成绩较差的95名学生中，有32名学生的物理成绩较好，有63名学生的物理成绩较差．根据以上的调查结果，利用独立性检验的方法可知，约有________的把握认为“学生的数学成绩和物理成绩有关系”． 34．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人． 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 35．通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有的男大学生“不看”，有的女大学生“不看”，若有99%的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数可能为（    ） A．150 B．170 C．240 D．175 36．为了调查各参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下表所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为；②在犯错误的概率不超过的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为（    ） 男性运动员（人） 女性运动员（人） 对主办方表示满意 200 220 对主办方表示不满意 50 30 注： 0.600 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A．0 B．1 C．2 D．3 37．调查1000人是否患某疾病与超声波检测结果的列联表如下： 检测结果是否患病 正常 不正常 合计 患病 20 180 200 不患病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)若检测结果不正常者患病的概率为，求的估计值； (2)能否根据小概率的独立性检验认为样本数据中超声波检测结果与是否患该疾病有关？ 38．某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示. 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 120 160 280 患慢性气管炎者 15 45 60 总计 135 205 340 (1)是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X的数学期望. 附：，. 39．已知某区组建了一支人的志愿者队伍，并由其中人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有人的周平均服务时长超过2小时，其中有人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 周平均服务时长不超过2小时 总计 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ 附录：，其中. 40．利用错题去学习是比较高效的学习方法.为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了60名学生，调查他们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 20 10 不是每天都整理数学错题人数 22 合计 60 (1)完成上述列联表，并估计本校高三年级学生中不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题是否有关联? (3)从样本中每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 41．为了解某一地区纯电动汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为． (1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱； (2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 购买非电动车 购买电动车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与性别有关？ (3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和期望． ①参考数据：； ②参考公式：（i）线性回归方程：，其中． （ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强． （iii），其中． 附表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 42.某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示. 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 120 160 280 患慢性气管炎者 15 45 60 总计 135 205 340 (1)是否有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从340人中任选一人，表示“选到的人是吸烟者”，表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据，估计的值； 附：. 43．今年某台风在沿海地区登陆，恰逢暑假，小明调查了当地某小区100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据(单位：元)分成 ， 五组，并绘制如下频率分布直方图．    (1)台风过后居委会号召小区居民为重灾区捐款，小明调查的100户居民捐款情况如下表， 在表格空白处填写正确数字， 并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否超过4000元有关？ （） 损失不超过 4000 损失超过 4000 合计 捐款超过 500 60 捐款不超过 500 10 合计 (2)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量受灾居民中，采取随机抽样方法每次抽取1户居民， 抽取3次， 记被抽取的3户居民自身经济损失超过4000元的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量的分布列、期望和方差． 44．某学校举办了一次主题为“科技兴国，强国有我”的知识竞赛，并从所有参赛学生中随机抽取了男、女生各50人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛学生至少得60分），并将成绩分成4组：，，，（单位：分），得到如下的频率分布直方图． (1)现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“科技知识达人”，成绩低于90分的学生称为“非科技知识达人”．把随机抽取的参赛学生数据统计如下，将下列列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关． 科技知识达人 非科技知识达人 合计 男生 15 女生 合计 (2)将频率视为概率，从所有参赛学生中随机抽取3人进行访谈，记这3人中是“科技知识达人”的人数为，求的分布列与数学期望． 附：（其中）． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $