专题05 空间直线与平面全章19大题型（期末复习专项训练）高一数学下学期沪教版

**基本信息** 聚焦空间几何核心素养，以19类题型系统覆盖平面基本性质、空间线面关系及角与距离计算，形成从概念辨析到综合证明的递进逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面基本性质与直观图|13题|概念辨析与作图应用|平面性质→空间直观图转化| |空间直线关系|10题|平行、异面判定及角的概念|平行公理→异面直线判定与度量| |线面关系证明|22题|平行/垂直证明及线线垂直转化|线面平行判定→线面垂直性质应用| |空间角与距离|15题|线面角、二面角及点面距离计算|空间角定义→距离公式推导| |面面关系综合|16题|面面平行/垂直的性质应用（难点）|面面平行性质→线面平行转化|

专题05 空间直线与平面 题型一、平面分空间的区域数量 题型二、平面的基本性质及辨析 题型三、空间图形的平面直观图的画法 题型四、空间的平行直线 题型五、异面直线 题型六、异面直线所成的角的概念及辨析 题型七、求异面直线所成的角 题型八、线面关系有关命题的判断 题型九、证明线面平行（重点） 题型十、证明线面垂直（重点） 题型十一、求点面距离 题型十二、线面垂直证明线线垂直 题型十三、求线面角（重点） 题型十四、判断面面平行 题型十五、面面平行证明线线平行（难点） 题型十六、面面平行证明线面平行（难点） 题型十七、求二面角 题型十八、由二面角大小求线段长度或距离（难点） 题型十九、面面垂直证线面垂直（难点） 题型一、平面分空间的区域数量 1．（23-24高一下·上海·期末）在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成______个区域． 2．（23-24高一下·上海·期末）已知平面与平面将空间分成3部分，若空间中还有一个平面，那么这三个平面可以将空间分成______．部分． 3．（22-23高二上·上海浦东新·月考）正方体的6个面无限延展后把空间分成______个部分 4．（21-22高一下·上海闵行·月考）在空间中，三个平面最多能把空间分成______部分． 题型二、平面的基本性质及辨析 5．（24-25高一下·上海·期中）已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25高二上·上海松江·期中）空间三点最多可确定______条直线. 7．（2024高一下·全国·专题练习）给出下列命题：①书桌面是平面； ②平面与平面相交，它们只有有限个公共点；③如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. 正确的是_________（填写序号）. 8．（22-23高一下·上海嘉定·期末）用集合符号表述语句“平面经过直线”：______. 题型三、空间图形的平面直观图的画法 9．（24-25高一下·上海·阶段检测）用斜二测画法画三角形OAB的直观图，如图所示，已知，，则（    ） A． B．2 C． D．4 10．（21-22高一下·上海闵行·期末）将边长为20的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则______.    11．（24-25高一下·上海松江·期末）如图是一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积等于______． 12．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为___________. 13．（24-25高一上·上海·期中）的斜二测直观图如图所示，则的面积是_______.    题型四、空间的平行直线 14．（24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 15．（24-25高一下·上海浦东新·阶段检测）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形. 16．（25-26高二上·上海静安·期中）空间两个角的两边分别对应平行，且，则________. 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）对于同一平面内的三条不同的直线a，b，c，给出下列5个判断： ①；②；③；④；⑤． 请以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，得到命题，请写出你认为正确的命题，并用“如果α，那么β”的形式表示． 题型五、异面直线 18．（24-25高一下·上海杨浦·期末）正方体中，直线平面，直线平面，记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能恰有2条直线与异面；    ②中可能恰有4条直线与异面； ③中可能恰有8条直线与异面；    ④中可能恰有10条直线与异面． 其中，正确命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（2022·上海·高考真题）如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（   ）．    A．点Q B．点P C．点B D．点R 20．（24-25高一下·上海浦东新·阶段检测）已知直线，则直线与直线的位置关系为______________. 21．（24-25高一下·上海·期末）已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与的关系是________． 22．（24-25高一下·上海·期末）如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有_________条.      题型六、异面直线所成的角的概念及辨析 23．（22-23高一下·上海杨浦·期末）若异面直线、所成的角为，为空间一定点，则过点且与、所成的角都是的直线有且仅有________条. 24．（21-22高一下·上海青浦·期末）a，b为异面直线，且a，b所成角为40°，过空间一点P作直线c，直线c与a，b均异面，且所成角均为，若这样的c共有四条，则的范围为___________. 25．（22-23高二上·上海普陀·期中）如果异面直线、所成角为，那么的取值范围是_____________．(用弧度表示) 题型七、求异面直线所成的角 26．（24-25高一下·上海嘉定·期末）两条异面直线所成角的范围是（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在棱长为的正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·上海浦东新·期末）空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是_________． 29．（24-25高一下·上海·期末）在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________． 30．（24-25高一下·上海浦东新·期末）从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是____________. 31．（24-25高一下·上海嘉定·期末）如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点. (1)求异面直线与所成角的正切值； (2)证明： 题型八、线面关系有关命题的判断 32．（23-24高一下·上海嘉定·期末）下列命题中正确的个数是（    ） ①若直线l上有无数个点不在平面内，则； ②若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线平行； ③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 33．（22-23高一下·上海嘉定·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若两直线、互相平行，则平行于经过的任何平面 B．若直线与平面平行，则平行于内的任何直线 C．若两直线、都与平面平行，则 D．若直线平行于平面，直线在平面内，则或者与为异面直线 34．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知直线和平面，若，，则与的位置关系是____________. 35．（22-23高一下·上海宝山·月考）以下说法错误的是__________. ①空间中三点确定一个平面 ②一条直线及一个点确定一个平面 ③两条直线确定一个平面 ④如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等. 题型九、证明线面平行 36．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值. 37．（23-24高一下·上海·期末）如图，正方体中，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 38．（21-22高一下·吉林·期中）如图，已知在长方体中，，，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 题型十、证明线面垂直 39．（24-25高一下·上海·期末）如图：平面，是矩形，，点是的中点，点在边上移动． (1)点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由； (2)无论点在边的何处，与所成角是否都为定值.若是，求出其大小；若不是，请说明理由． 40．（24-25高一下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为正方形的中心，平面.    (1)求证：平面； (2)若点在棱上且不与、重合，平面交棱于点，求证：. 41．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，四边形是矩形，，平面，．点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 42．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，长方体中，，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求异面直线与所成角. 43．（24-25高一下·上海·阶段检测）正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值． 44．（23-24高一下·上海宝山·阶段检测）（1）如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点．求证：平面. （2）正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，求动点从沿表面移动到点时的最短的路程. 题型十一、求点面距离 45．（24-25高一下·上海·期末）已知线段在平面的同侧，、两点到平面的距离分别是1和3，则线段的中点到平面的距离是_______． 46．（24-25高一下·上海·期末）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为________． 47．正方体的棱长为2，则直线与平面的距离是__． 48．在棱长为4的正方体中，是正方形的中心，点为的中点． (1)求异面直线AP与所成的角的大小； (2)求点到平面的距离． 题型十二、线面垂直证明线线垂直 49．如图，为平面外一点，底面，四边形是矩形，，点是的中点，点在边上移动．        (1)当点为中点时，求证：平面； (2)求证：无论点在边的何处，都有． 50．如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，是侧棱的中点.    (1)证明平面. (2)求异面直线与所成的角； 51．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点，为的中点. (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成角的大小. 题型十三、求线面角 52．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为__________． 53．（24-25高一下·上海·期末）如图．在正方体中，是的中点． (1)求证：直线与是异面直线. (2)求直线与平面所成角的大小． 54．（24-25高一下·上海·期中）如图，在正方体中，、分别为、的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小. 55．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，底面ABCD为菱形，点P是平面ABCD外一点，且平面ABCD，E、F分别是为PD，PC的中点． (1)求证：平面PAB； (2)若，，，求直线BE与平面ABCD所成角的大小． 56．（23-24高一下·上海·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：是直角三角形； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. (3)若，且异面直线与所成角为，求的长；（结果精确到0.1） 题型十四、判断面面平行 57．（23-24高一下·上海松江·期末）在下列判断两个平面与平行的四个命题中，其中假命题的是（    ） A．，都垂直于直线，那么 B．，都平行于平面，那么 C．，都垂直于平面，那么 D．如果，是两条异面直线，且，，，，那么 58．（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知两条直线m，n，两个平面，，给出下列四个说法： ①，，； ②，，； ③，； ④，，， 其中正确的序号是______． 59．以下四个命题中，真命题是______（只填真命题的序号）. ①若a，b是两条直线，且，则a平行于经过b的任何平面； ②若直线a和平面满足，则a与内的任何直线平行； ③若直线a，b和平面满足，，则； ④若直线a，b和平面满足，，，则. 题型十五、面面平行证明线线平行 60．已知、、是三个不同的平面，、、是三条不同的直线，则（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，且，则 61．如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点，则过点、、的平面与侧面的交线长为（   ） A． B． C． D． 62．已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为______________. 63．如图，已知直三棱柱所有棱长均为2．过线段中点作平面平面，设点为平面与线段的交点． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求证：，并求点到直线的距离． 题型十六、面面平行证明线面平行 64．若，是不相同的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 65．正方体，E，F分别是棱，的中点．    (1)直线平面； (2)求异面直线与所成角的大小； 66．如图，在平行四边形ABCD中，，E为线段AB的中点，M为线段DE的中点，将沿直线DE翻折成，使得平面，F为线段的中点. (1)求证：平面 (2)求直线FM与平面所成角的余弦值. 67．如图，已知S是正方形所在平面外一点，且，其中分别是的中点，动点P在线段上运动时（P与不重合）． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 题型十七、求二面角 68．（24-25高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，. 将△ACD沿对角线AC折起，使二面角的大小为，则B、D两点的距离为________ 69．（24-25高一下·上海·期末）在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是.则这个点到二面角的棱的距离为_________. 70．如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的大小． 题型十八、由二面角大小求线段长度或距离 71．边长为的正方形沿折成的二面角，则中点与的距离是___________. 72．（24-25高一上·上海嘉定·期中）在如图所示的圆柱中，AB是底面圆的直径，PA是圆柱的母线，且，设点C（与不重合）是底面圆周上的动点． (1)求证：平面； (2)当二面角P-BC-A的大小为时，求点C到平面PAB的距离； (3)记点D是线段PB的中点，点E在线段PA上，若，求的最小值． 73．如图，在长方体中，，点E在棱上运动． (1)证明：； (2)当E与A重合时，求直线与平面所成角的大小（用反三角函数值表示）； (3)等于何值时，二面角的大小为？ 题型十九、面面垂直证线面垂直 74．（24-25高一下·上海·期末）下列4个命题正确的个数为（    ） ①若一个平面内的两条直线均平行于另一个平面，则这两个平面平行； ②若一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ③已知平面平面，平面上的任意一条直线都垂直于平面上的无数条直线； ④已知平面平面，过平面上任意一点作平面与交线的垂线，则. A．1 B．2 C．3 D．4 75．如图，位于上海外滩的海关大楼上方的建筑体可以看成一个正四棱柱.这个正四棱柱的每个侧面上各有一个时钟，相邻侧面上的两个时钟的时针在每天的0点到12点（含0点不含12点）内一共能够相互垂直（   ）次.    A．0 B．2 C．4 D．12 76．如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的正方形. (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 试卷第1页，共3页 1 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 空间直线与平面 题型一、平面分空间的区域数量 题型二、平面的基本性质及辨析 题型三、空间图形的平面直观图的画法 题型四、空间的平行直线 题型五、异面直线 题型六、异面直线所成的角的概念及辨析 题型七、求异面直线所成的角 题型八、线面关系有关命题的判断 题型九、证明线面平行（重点） 题型十、证明线面垂直（重点） 题型十一、求点面距离 题型十二、线面垂直证明线线垂直 题型十三、求线面角（重点） 题型十四、判断面面平行 题型十五、面面平行证明线线平行（难点） 题型十六、面面平行证明线面平行（难点） 题型十七、求二面角 题型十八、由二面角大小求线段长度或距离（难点） 题型十九、面面垂直证线面垂直（难点） 题型一、平面分空间的区域数量 1．（23-24高一下·上海·期末）在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成______个区域． 【答案】/ 【分析】根据题意，依次分析的值，由此类推，归纳可得答案. 【详解】条直线把平面分成个区域，条直线把平面分成个区域，则有， 同理，条直线把平面分成个区域，则有， 条直线把平面分成个区域，则有， 条直线把平面分成个区域，则有， 依次类推，第条直线与前条直线都相交， 则第条直线有个交点，被分为段，每段都会把对应的平面分为两部分， 则增加了个平面，即． 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海·期末）已知平面与平面将空间分成3部分，若空间中还有一个平面，那么这三个平面可以将空间分成______．部分． 【答案】或 【分析】由题意可得，再分分别与相交时，时两种情况讨论即可. 【详解】因为平面与平面将空间分成3部分， 所以， 当分别与相交时，这三个平面可以将空间分成部分； 当时，这三个平面可以将空间分成部分， 综上所述这三个平面可以将空间分成或部分. 故答案为：或. 3．（22-23高二上·上海浦东新·月考）正方体的6个面无限延展后把空间分成______个部分 【答案】 【分析】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分，得到答案. 【详解】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分. 故答案为： 4．（21-22高一下·上海闵行·月考）在空间中，三个平面最多能把空间分成______部分． 【答案】8 【分析】根据平面与平面的位置关系，结合题意，从而可得到结果． 【详解】三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，如图1； 三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图2； 三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成6部分，如图3； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线互相平行时，可以把空间分成7部分，如图4； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分，如图5， 所以空间中的三个平面最多能把空间分成8部分． 故答案为：8． 题型二、平面的基本性质及辨析 5．（24-25高一下·上海·期中）已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质和推论即可判断. 【详解】由公理有不共线的三点可以确定一个平面，但是共线的三点不能确定唯一的平面，故①错误； 一条直线和直线外一点可以确定唯一一个平面，但是一条直线和直线上的点不能确定唯一的平面，故②错误； 两条异面直线不能确定一个平面，故③错误. 故选：D. 6．（24-25高二上·上海松江·期中）空间三点最多可确定______条直线. 【答案】3 【分析】根据三点的位置情况分类确定即可得解. 【详解】当空间三点共线时，三点可以确定1条直线；当三点不共线时，三点可以确定3条直线， 所以空间三点最多可确定3条直线. 故答案为：3 7．（2024高一下·全国·专题练习）给出下列命题：①书桌面是平面； ②平面与平面相交，它们只有有限个公共点；③如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. 正确的是_________（填写序号）. 【答案】③ 【分析】对于①：根据平面的性质分析判断；对于②：根据公理2分析判断；对于③：根据公理3分析判断. 【详解】对于①：由平面性质知，平面具有无限延展性，所以桌面只是平面一部分，不是平面，故①错误； 对于②：根据公理2可知，若两个平面有一个共点，则有过该点的唯一交线，可知有无限个公共点，且在一条直线上， 故②错误； 对于③：根据公理3可知，不共线的三个点确定一个平面， 因此两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合，③正确. 故答案为：③. 8．（22-23高一下·上海嘉定·期末）用集合符号表述语句“平面经过直线”：______. 【答案】 【分析】根据线面关系可得结果. 【详解】因为平面经过直线AC，则. 故答案为：. 题型三、空间图形的平面直观图的画法 9．（24-25高一下·上海·阶段检测）用斜二测画法画三角形OAB的直观图，如图所示，已知，，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】由题意，借助于等腰直角三角形，求得，再根据在轴上即可求得其长. 【详解】在斜坐标系中，因，，且， 则， 因在轴上，故在轴上，且. 故选：D. 10．（21-22高一下·上海闵行·期末）将边长为20的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则______.    【答案】 【分析】先在直角坐标系中得出各边的数值，再按“斜二测”画法作图，得出相关关系，再利用余弦定理，求出边. 【详解】由题意，在平面直角坐标系中，三角形是边长为20的正三角形， ，边上的高为， 按“斜二测”画法如下图所示：   ，， 在三角形中，， 由余弦定理得，． 故答案为：． 11．（24-25高一下·上海松江·期末）如图是一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积等于______． 【答案】 【分析】根据已知有是等腰直角三角形且，结合斜二测画法确定原图的相关边长，进而求面积. 【详解】由题设，易知是等腰直角三角形， ， 所以原图中，， 则原图面积为. 故答案为：. 12．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为___________. 【答案】 【分析】根据直观图和原图的面积关系可得结果. 【详解】由直观图和原图的面积关系式，可得， . 故答案为：24 13．（24-25高一上·上海·期中）的斜二测直观图如图所示，则的面积是_______.    【答案】 【分析】根据给定条件，结合斜二测画法规则，求出的底边及这边上的高即可计算得解. 【详解】依题意，由斜二测画法规则知，的底边， 边上的高，所以的面积是. 故答案为：. 题型四、空间的平行直线 14．（24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【详解】因为，，且，根据等角定理， 可得或． 15．（24-25高一下·上海浦东新·阶段检测）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形. 【答案】且 【分析】由题意得四边形为平行四边形，要使四边形为正方形即可得解. 【详解】由分别为中点，所以且， 同理且，所以且， 所以四边形为平行四边形， 同理得，要使四边形为正方形，则且， 故答案为：且. 16．（25-26高二上·上海静安·期中）空间两个角的两边分别对应平行，且，则________. 【答案】或 【分析】直接由等角定理求解即可. 【详解】根据等角定理可知与相等或互补，又， 所以或， 故答案为：或. 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）对于同一平面内的三条不同的直线a，b，c，给出下列5个判断： ①；②；③；④；⑤． 请以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，得到命题，请写出你认为正确的命题，并用“如果α，那么β”的形式表示． 【答案】答案见解析 【分析】直接分析空间中直线与直线的位置关系即可得答案. 【详解】一共有6种   即如果，，那么；   即如果，，那么；   即如果，，那么；   即如果，，那么；   即如果，，那么；   即如果，，那么； 题型五、异面直线 18．（24-25高一下·上海杨浦·期末）正方体中，直线平面，直线平面，记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能恰有2条直线与异面；    ②中可能恰有4条直线与异面； ③中可能恰有8条直线与异面；    ④中可能恰有10条直线与异面． 其中，正确命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，利用异面直线的定义，依次分析4个命题是否正确，综合可得答案. 【详解】根据题意，依次分析4个命题： 因为直线平面，所以、、、不可能与直线异面， 当直线过底面两个顶点时， 若直线为底面边所在直线时，假设直线取，中只有四条直线、、、与直线异面，故②正确； 若直线为底面对角线时，假设直线取，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 若直线只过底面的一个顶点时，假设直线过点，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 若直线不过底面的任何一个顶点时，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 综上所述，中不可能有2条直线与异面，故①错误； 对于③，当直线取点与线段的中点连线时，中除了、、和之外有8条棱均与直线异面，故③正确； 对于④，当直线取线段中点与线段的中点连线时，中除了和之外的10条棱均与直线异面，故④正确. 故选：C. 19．（2022·上海·高考真题）如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（   ）．    A．点Q B．点P C．点B D．点R 【答案】A 【分析】根据异面直线的定义判断即可. 【详解】A选项，四边形是平行四边形，，得点平面，得与为异面直线， 四边形是平行四边形，且平面，得点平面，得与为异面直线，根据题意，得两点可视，故A对； B选项：四边形是平行四边形，与相交，故B错； C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错； D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错； 故选：A. 20．（24-25高一下·上海浦东新·阶段检测）已知直线，则直线与直线的位置关系为______________. 【答案】异面或平行或相交 【分析】根据空间中直线的位置关系即可判断. 【详解】由题意有：直线与直线可能异面或平行，相交， 故答案为：异面或平行或相交 21．（24-25高一下·上海·期末）已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与的关系是________． 【答案】相交或异面 【分析】由异面直线定义以及平行线之间的关系分类讨论即可得出结论. 【详解】显然直线不可能平行，否则，由，知，与是异面直线矛盾， 根据异面直线定义可知， 设平面，当，，且，如下图所示： 此时与为异面直线； 当，，且时，如下图所示： 此时与相交， 所以与的位置关系是异面直线或相交直线. 故答案为：相交或异面 22．（24-25高一下·上海·期末）如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有_________条.      【答案】3 【分析】根据异面直线的定义，即可判断. 【详解】和是异面直线， 和是异面直线， 和是相交直线，不是异面直线， 和是异面直线，所以有3条. 故答案为：3 题型六、异面直线所成的角的概念及辨析 23．（22-23高一下·上海杨浦·期末）若异面直线、所成的角为，为空间一定点，则过点且与、所成的角都是的直线有且仅有________条. 【答案】 【分析】在空间取一点，经过点分别作，，分析直线满足它的射影在、所成角的平分线上时的情况可得出答案. 【详解】在空间取一点，经过点分别作，，设直线、确定平面，        当直线满足它的射影在、所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角，设直线与、所成角为， 因为直线、所成角为，得、所成锐角为， ①当直线的射影在、所成锐角的平分线上时， 则与、所成角的范围是， 这种情况下，过点有条直线与、所成角都是； ②当直线的射影在、所成钝角的平分线上时， 与、所成角的范围是， 这种情况下，过点有且仅有条直线（即时）与、所成角都是. 综上所述，过点且与、所成角都是的直线有条. 故答案为：. 24．（21-22高一下·上海青浦·期末）a，b为异面直线，且a，b所成角为40°，过空间一点P作直线c，直线c与a，b均异面，且所成角均为，若这样的c共有四条，则的范围为___________. 【答案】 【分析】设平面上两条直线m,n分别满足 ，则m,n相交，且夹角为，讨论的取值范围，从而确定c的情况以及条数，即可得答案. 【详解】设平面上两条直线m,n分别满足 ， 则m,n相交,设交点为P，且夹角为 ， 如图示： 过空间一点P作直线c，若直线c与a，b均异面，且所成角均为， 则直线c与直线m,n所成角均为， 当时，不存在这样的直线c, 当时，这样的直线c只有一条， 当时，这样的直线c有两条， 当时，这样的直线c有三条， 当时，这样的直线c有四条， 当时，这样的直线c只有一条， 故答案为： 25．（22-23高二上·上海普陀·期中）如果异面直线、所成角为，那么的取值范围是_____________．(用弧度表示) 【答案】. 【分析】用异面直线所成角的定义判断. 【详解】过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)就是异面直线所成的角，故两异面直线所成角的范围是. 故答案为：. 题型七、求异面直线所成的角 26．（24-25高一下·上海嘉定·期末）两条异面直线所成角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义求解即可. 【详解】根据异面直线的定义，两条异面直线所成角的范围是. 故选：B. 27．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在棱长为的正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，.易证四边形为平行四边形，所以，所以或其补角即为异面直线与所成角.在中，根据余弦定理即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，. ∵点为的中点，点为的中点，∴，， ∴四边形为平行四边形，∴， ∴或其补角即为异面直线与所成角. 在中，，，， 由余弦定理可知：， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 28．（24-25高一下·上海浦东新·期末）空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是_________． 【答案】或 【分析】根据线线平行可得异面直线所成角的角，即可分情况求解. 【详解】如图，设是的中点，分别连接， 又因为、分别为和的中点， 所以， 所以是所成的角或是其补角． 因为，所以，所以， 因为异面直线与所成的角为，所以或， 当时，和所成角， 当时，和所成角， 综上所述：异面直线和所成角的大小是或. 故答案为：或. 29．（24-25高一下·上海·期末）在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________． 【答案】 【分析】首先作出辅助线，根据平行关系找出直线与所成的角，然后根据垂直关系和线段关系求出该角的值. 【详解】取的中点，连接. 因为分别为的中点， 所以. 又， 所以. 所以直线与所成角为. 在直角三角形中，因为， 所以. 故答案为：. 30．（24-25高一下·上海浦东新·期末）从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是____________. 【答案】 【分析】将所有直线分为正方体的棱，面对角线，体对角线三类，然后讨论不同情况的时候的直线的夹角的余弦值即可. 【详解】 利用直线的夹角范围为，故其余弦值范围为，可以分为以下几类： 两条直线都取两条棱所在的直线的时候，有与两种情况， 所成角的度数分别是0或，其余弦值为1或0； 两条直线一条取面对角线与一条取棱所在的直线时，有与两种情况， 所成角的度数分别是或，其余弦值为0或； 两条直线都取面对角线时，有与两种情况， 由为等边三角形，得； 所成角的度数分别是0或，其余弦值为0或； 两条直线一条取体对角线与一条取棱所在的直线时，有这一种情况， 设正方体的边长为1，在中， 可得, 故所成角的余弦值为； 两条直线一条取体对角线与一条取面对角线时，有与两种情况， 由面,可得,可得夹角得余弦值为0， 中，可得, 故夹角的余弦值为，故其余弦值分别是0或； 两条直线都取体对角线时，有这一种情况， 在中，,,, 故夹角的余弦为. 所以从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线， 则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是. 故答案为： 31．（24-25高一下·上海嘉定·期末）如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点. (1)求异面直线与所成角的正切值； (2)证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）连接，分析可知异面直线和所成角为或其补角，设正方体的棱长为，求出的长，即可求得异面直线与所成角的正切值； （2）利用等角定理可证得结论成立. 【详解】（1）连接，因为正方体中，，， 因为、分别是棱、的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 所以异面直线和所成角为或其补角， 不妨设正方体的棱长为，则，， 因为平面，平面，所以， 故，因此异面直线与所成角的正切值为. （2）因为正方体中，，， 因为、分别是棱、的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 由（1）知，，由图形可知、均为锐角，所以. 题型八、线面关系有关命题的判断 32．（23-24高一下·上海嘉定·期末）下列命题中正确的个数是（    ） ①若直线l上有无数个点不在平面内，则； ②若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线平行； ③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据线面的位置关系逐项判断. 【详解】①若直线l上有无数个点不在平面α内，有可能直线与平面相交，故错误； ②若直线l与平面α平行，有可能直线与平面内的直线异面，故错误； ③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么有可能另外一条直线在面内，故错误； ④因为直线与平面平行时与平面内直线的位置关系为平行或异面，均没有公共点，正确； 故选：B. 33．（22-23高一下·上海嘉定·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若两直线、互相平行，则平行于经过的任何平面 B．若直线与平面平行，则平行于内的任何直线 C．若两直线、都与平面平行，则 D．若直线平行于平面，直线在平面内，则或者与为异面直线 【答案】D 【分析】根据已知条件判断各选项中线线、线面位置关系，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，记经过直线的平面为， 若两直线、互相平行，则或，A错； 对于B选项，若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面，B错； 对于C选项，若两直线、都与平面平行，则、平行、相交或异面，C错； 对于D选项，若直线平行于平面，直线在平面内，则或者与为异面直线，D对. 故选：D. 34．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知直线和平面，若，，则与的位置关系是____________. 【答案】或 【分析】由线面的位置关系判断求解即可. 【详解】若，，如图：     ，  ， 则或. 故答案为：或 35．（22-23高一下·上海宝山·月考）以下说法错误的是__________. ①空间中三点确定一个平面 ②一条直线及一个点确定一个平面 ③两条直线确定一个平面 ④如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等. 【答案】①②③④ 【分析】利用空间中点、线、面的位置关系及相关性质、公理、定理推论逐项分析即可. 【详解】①若空间中不共线的三点确定一个平面，故错误； ②经过一条直线及直线外一点确定一个平面，故错误； ③由推论3、4两条相交或平行直线确定一个平面，故错误； ④如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补. 故错误； 故答案为：①②③④. 题型九、证明线面平行 36．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析，2 【分析】（1）取中点，连接，结合已知可得四边形为平行四边形，可得，进而可得线面平行； （2）根据平行线可得共面，即可根据相似求解. 【详解】（1）取中点，连接，由是中点，且， 由是正方形，是中点，所以且， 从而且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，不在平面内，所以平面.    （2）如图，过作直线与平行， 则，故共面. 延长与交于点，连接，与的交点即为点. 因为底面是正方形，是的中点， 所以，且， 因为是的中点，所以， 则，所以.    37．（23-24高一下·上海·期末）如图，正方体中，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先说明或其补角即为异面直线与所成角，进而可得出答案. 【详解】（1）连接， 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又， 所以或其补角即为异面直线与所成角平面角， 因为，所以， 即异面直线与所成角的大小为． 38．（21-22高一下·吉林·期中）如图，已知在长方体中，，，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】(1)如图，根据中位线的性质可得，由线面平行的判定定理即可证明； (2)由(1)可知为异面直线与所成角的平面角，利用勾股定理分别求出的值，结合余弦定理计算即可. 【详解】（1）连接AC，交BD于点O，则O为AC的中点， 又因为E为的中点，连接，则， ∵平面EBD，平面EBD， 平面EBD； （2）由(1)知，， 所以为异面直线与所成角的平面角， 在中，， ， 由余弦定理，得 ， 故异面直线与所成角的余弦值为. 题型十、证明线面垂直 39．（24-25高一下·上海·期末）如图：平面，是矩形，，点是的中点，点在边上移动． (1)点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由； (2)无论点在边的何处，与所成角是否都为定值.若是，求出其大小；若不是，请说明理由． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)是，定值． 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可判断； （2）根据线面垂直的性质定理及判定定理可得，即可判断. 【详解】（1）当点为的中点时，与平面平行． 在中，分别为的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面． （2）因为平面平面， 所以，又， ，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又，点是的中点， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面 所以． 即无论点在边的何处，与所成角都是定值． 40．（24-25高一下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为正方形的中心，平面.    (1)求证：平面； (2)若点在棱上且不与、重合，平面交棱于点，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，即可证明，； （2）根据线面平行的性质定理，即可证明线线平行，即先证明平面. 【详解】（1）平面，且平面 又，，平面，故平面. （2）且平面，不在平面上，平面， 又平面，平面平面， ，且，. 41．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，四边形是矩形，，平面，．点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质定理得，利用勾股定理有，即，最后由线面垂直的判定定理即可得证； （2）将四棱锥放到长方体中，即证，，即为异面直线与所成的角或其补角，在中利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）由平面，平面，所以， 又四边形是矩形，，所以，又， 所以，所以，又平面， 所以平面； （2）将四棱锥放到长方体中，如图： 取的中点为，连接，由， 所以四边形为平行四边形，所以， 又为的中点，所以，又， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，所以为异面直线与所成的角或其补角， 又由，所以， 所以，所以， 所以, 由余弦定理有， 所以异面直线与所成的角为. 42．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，长方体中，，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求异面直线与所成角. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接AC.运用中位线得到，依据直线与平面平行的判定定理得到平面. （2）运用正方体性质得到，依据直线与平面垂直的判定定理得到平面. （3）通过平移其中一条直线，使它们相交，得到所成角，再结合长方体的棱长等条件进行求解. 【详解】（1） 连接AC.在中，因为、分别是，的中点，可得. 又因为平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD. （2）在长方体中，底面是正方形，所以. 因为平面，平面，可得. 由于，平面，平面，所以AC⊥平面. （3）由（1）知，在长方体中，，所以就是异面直线EF与所成的角（或其补角）. 因为底面是正方形，，所以是等腰直角三角形，，即异面直线与所成角为. 43．（24-25高一下·上海·阶段检测）正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）推导出，所以与的夹角为或其补角，求出的值，即可得解. 【详解】（1）因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面； （2）连接，如下图所示： 在正方体中，，， 故四边形为平行四边形，所以， 所以与的夹角为或其补角， 易知为等边三角形，故. 因此，与的夹角的余弦值为. 44．（23-24高一下·上海宝山·阶段检测）（1）如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点．求证：平面. （2）正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，求动点从沿表面移动到点时的最短的路程. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）由圆柱的性质可得底面，即可得出，再由直线与平面垂直的判定得出结论； （2）根据可能走的路径，将所给的正六棱柱展开，利用平面几何知识求解比较. 【详解】（1）底面，且底面， ， 又因为是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点， 所以，又，平面， 平面； （2）将所给的正六棱柱下图2表面按图1部分展开， 则， ， 所以， ，∴动点从沿表面移动到点的最短路程为. 题型十一、求点面距离 45．（24-25高一下·上海·期末）已知线段在平面的同侧，、两点到平面的距离分别是1和3，则线段的中点到平面的距离是_______． 【答案】 【分析】结合图形利用梯形的中位线即可求出线段的中点到平面的距离． 【详解】∵线段的端点A，B到平面的距离分别为1，3， 且A，B在平面α的同侧，由梯形的中位线公式， ∴线段的中点到平面的距离为． 故答案为：    46．（24-25高一下·上海·期末）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为________． 【答案】/ 【分析】连接,交于,根据线面垂直的判定定理可以证明平面,所以的长即为所求.由正方体的棱长为1求出结果即可. 【详解】如图所示,连接,交于, ,,,平面,平面, 平面, 的长即为所求. 正方体的棱长为1, , 即点到平面的距离为. 故答案为:. 47．正方体的棱长为2，则直线与平面的距离是__． 【答案】 【分析】先证明出平面，得到到平面的距离即为直线与平面的距离，作出辅助线，证明出BD⊥平面，BO即为直线与平面的距离，求出即为答案. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面， 故点到平面的距离即为直线与平面的距离， 连接交于点， 因为四边形为正方形，所以⊥BD， 又因为⊥平面ABCD，平面ABCD， 所以⊥BD， 因为，平面， 所以BD⊥平面，故BO即为直线与平面的距离， 因为正方体的棱长为2， 所以， 故直线与平面的距离为. 故答案为： 48．在棱长为4的正方体中，是正方形的中心，点为的中点． (1)求异面直线AP与所成的角的大小； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，由可得异面直线AP与所成的角即为直线AP与所成的或其补角，由余弦定理可得答案； （2）连接交于点，利用线面垂直的判定定理可得平面，取的中点，由得平面，计算出可得答案. 【详解】（1） 连接，在正方体中，，所以异面直线AP与所成的角即为直线AP与所成的或其补角， ，， 由余弦定理得， 所以异面直线AP与所成的角的大小为. （2） 连接交于点，在正方体中，， 因为平面，平面，所以， 且，所以平面， 取的中点，连接，因为是的中点，所以， 所以平面，且. 点到平面的距离为. 题型十二、线面垂直证明线线垂直 49．如图，为平面外一点，底面，四边形是矩形，，点是的中点，点在边上移动．        (1)当点为中点时，求证：平面； (2)求证：无论点在边的何处，都有． 【答案】(1)详见解析. (2)详见解析. 【分析】（1）根据中位线平行于底边知，,利用线面平行的判定定理即可证明； （2）先证明出平面,即可证明出结论. 【详解】（1）点是的中点,当点为中点时， 可得，又平面平面 平面. （2）点是的中点, 又底面，平面,, 又四边形是矩形，又 平面平面, 又平面 又平面, 无论点在边的何处，都有. 50．如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，是侧棱的中点.    (1)证明平面. (2)求异面直线与所成的角； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证； （2）先利用中位线定理证得，从而得到或其补角即为异面直线与所成的角，再确定为正三角形，从而得解. 【详解】（1）因为底面，平面，所以， 又平面平面， 所以平面，又平面，所以， 因为是侧棱的中点，所以， 又平面平面， 所以平面. （2）连，两直线交于点，连，    因为底面是正方形，所以是的中点， 又分别是的中点，所以， 所以或其补角就是异面直线与所成的角， 因为为正方形，且， 所以，，， 故，即是正三角边， 所以. 所以异面直线AE与PD所成的角为. 51．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点，为的中点. (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；（2）根据线面垂直的判定定理和性质定理证明，即可得结果. 【详解】（1）取的中点，连接， ∵分别为的中点， ∴，， 又∵分别为的中点，且为正方形， ∴，， 故，，则为平行四边形， ∴， 平面，平面， ∴平面. （2）∵平面，平面， ∴， 又∵为正方形， ∴， ，平面， ∴平面， 平面，则， 故异面直线与所成角的大小为. 题型十三、求线面角 52．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为__________． 【答案】 【分析】找到在平面上的投影可得即为直线与平面所成的角，结合所给条件计算即可得解. 【详解】由平面，平面，故， 由底面是边长为a的正方形，故， 又，、平面，故平面， 故直线在平面上的投影为， 故即为直线与平面所成的角， 又，，故， 即直线与平面所成的角的大小为. 故答案为：. 53．（24-25高一下·上海·期末）如图．在正方体中，是的中点． (1)求证：直线与是异面直线. (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用反证法可证明. （2）取的中点，连接，；先根据正方体的性质及线面所成角的定义确定直线与平面所成角；再结合直角三角形中正切的定义即可求解. 【详解】（1）证明：假设直线与不是异面直线， 则直线与可以确定一个平面，记为平面， 所以点，点，点在平面上. 又根据题意可知：点，点，点在平面上 所以点，点，点三点共线，这与点是的中点相矛盾， 故假设不成立， 所以直线与是异面直线. （2） 取的中点，连接，. 因为是的中点， 所以，且. 由正方体的性质可知：平面， 所以平面， 则是直线与平面所成角. 设正方体的棱长为， 则，， 所以， 因为， 所以. 54．（24-25高一下·上海·期中）如图，在正方体中，、分别为、的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，利用线面平行的判断，结合三角形中位线性质推理得证. （2）连接，连接，利用几何法求出线面角. 【详解】（1）在正方体中，连接，由为的中点，得为的中点， 又为的中点，则，而平面，平面， 所以平面. （2）连接，连接，由平面，平面， 得，而，平面， 因此平面，是直线与平面所成的角， 在中，，又，则， 所以直线与平面所成角的大小为. 55．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，底面ABCD为菱形，点P是平面ABCD外一点，且平面ABCD，E、F分别是为PD，PC的中点． (1)求证：平面PAB； (2)若，，，求直线BE与平面ABCD所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据中位线得出，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）根据平面，得出就是直线与平面所成角，解三角形即可． 【详解】（1）因为E、F分别是为的中点， 所以，又因为， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）连接， 因为ABCD为菱形，，， 所以三角形为等边三角形， 故， 又，所以， 因为平面， 所以就是直线与平面所成角， 在直角三角形中， ， 所以， 即直线与平面所成角的大小为． 56．（23-24高一下·上海·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：是直角三角形； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. (3)若，且异面直线与所成角为，求的长；（结果精确到0.1） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)0.8或1.8 【分析】（1）由圆的性质可得，再由平面，得，可得平面，从而可得，进而可证得结论. （2）过A作于H，可证得是直线与平面所成的角，在中求解即可； （3）为中点，由题意有或，中由余弦定理解出，中勾股定理求的长. 【详解】（1）是的直径，是圆周上不同于的一动点，所以， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，即是直角三角形； （2）过A作于H，连接，如图所示， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，由等面积法得， 而，所以， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. （3） 设为中点，连接，又为的中点，则有， 异面直线与所成角为，则有或， 若，则，，， 当时，中，由余弦定理， 得， 中，； 当时，中，由余弦定理， 得， 中，， 所以的长为0.8或1.8 题型十四、判断面面平行 57．（23-24高一下·上海松江·期末）在下列判断两个平面与平行的四个命题中，其中假命题的是（    ） A．，都垂直于直线，那么 B．，都平行于平面，那么 C．，都垂直于平面，那么 D．如果，是两条异面直线，且，，，，那么 【答案】C 【分析】根据线面垂直的性质判断A；根据面面平行的概念判断B；根据特例判断C；根据线面平行，判断面面平行判断D. 【详解】根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可知A正确； 根据平行于同一个平面的两个平面互相平行，可知B正确； 根据墙角模型可知，垂直于同一个平面的两个平面未必平行，故C错误； 作，且相交，则可确定平面， 因为，，所以， 同理，故，故D正确. 故选：C 58．（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知两条直线m，n，两个平面，，给出下列四个说法： ①，，； ②，，； ③，； ④，，， 其中正确的序号是______． 【答案】①④ 【分析】对于①：根据线面垂直的性质分析判断；对于②③：根据线面位置关系分析判断；对于④：根据线面垂直分析判断. 【详解】对①，∵，，∴，又，∴，∴①正确； 对②，∵，，，∴或m与n异面，∴②错误； 对③，∵，，∴n与可以成任意角，∴③错误； 对④，∵，，则， 又∵，∴，∴④正确． 故答案为：①④． 59．以下四个命题中，真命题是______（只填真命题的序号）. ①若a，b是两条直线，且，则a平行于经过b的任何平面； ②若直线a和平面满足，则a与内的任何直线平行； ③若直线a，b和平面满足，，则； ④若直线a，b和平面满足，，，则. 【答案】④ 【分析】根据点线面的位置关系即可判断. 【详解】解析：对于①，当经过b的平面也经过a时，不成立，故①为假命题； 对于②，a与内的直线平行或异面，故②为假命题； 对于③，直线a与b三种位置关系都有可能，故③也为假命题； 对于④，因为，过作平面交于直线，则， 又因为，所以，而，，所以.故④为真命题. 故答案为：④ 题型十五、面面平行证明线线平行 60．已知、、是三个不同的平面，、、是三条不同的直线，则（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，且，则 【答案】B 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与相交或与异面，故A错误； 对于B：根据面面平行的性质定理可知，若，且，，则，故B正确； 对于C：若，，则，又，则或与相交或与异面，故C错误； 对于D：若，且，则或，故D错误. 故选：B 61．如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点，则过点、、的平面与侧面的交线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设平面分别交棱、于点、，利用面面平行的性质得出、，结合等角定理得出、，进而可求得、、、的长，再利用勾股定理可求出的长，即为所求. 【详解】设平面分别交棱、于点、，如下图所示： 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 又因为，由等角定理及图形可知， 则，即，故， 故， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 又因为，由等角定理及图形可得， 所以，即，所以， 所以，故. 因此，平面与侧面的交线长为. 故选：A. 62．已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为______________. 【答案】或 【分析】由可知，根据两平面在点的同侧和异侧分别讨论，结合相似可得解. 【详解】 由已知，平面，平面， 所以， 当平面，在点同侧时，由可知点在靠近平面一侧， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 当平面，在点异侧时， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 综上所述或， 故答案为：或. 63．如图，已知直三棱柱所有棱长均为2．过线段中点作平面平面，设点为平面与线段的交点． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求证：，并求点到直线的距离． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）根据线面角定义求得线面角平面角，进而求解即可； （2）根据面面平行可得平面，再由线面平行的性质即可证明；在中，求得边长，利用余弦定理得，再由三角函数计算即可求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，有平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 因为点为的中点，所以，， 所以， 即直线与平面所成角的为； （2）因为平面平面，且平面， 所以平面， 因为平面，平面， 所以， 连接，，， 在直三棱柱中，底面为正三角形， 所以，，， 在中，，则， 所以点到直线的距离为. 题型十六、面面平行证明线面平行 64．若，是不相同的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据平面内直线、平面平行的性质判断即可. 【详解】对于A，若，，可能相交，A错误； 对于B，若，，可能异面，B错误； 对于C，若，，可能相交，C错误； 对于D，若，，两个平面平行，一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，D正确. 故选：D. 65．正方体，E，F分别是棱，的中点．    (1)直线平面； (2)求异面直线与所成角的大小； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线平行可得线面平行，进而可得面面平行，利用面面平行的性质即可求证， （2）根据可得为异面直线与所成角，即可利用余弦定理求解，在中利用余弦定理计算． 【详解】（1）取中点，连接， 则, 由于平面，平面，故平面, 由于,故四边形为平行四边形， 则， 平面，平面，故平面, 平面， 故平面平面， 平面,故直线平面    （2）由（1）知， 或其补角为异面直线与所成角， 设正方体棱长为1，则，， ，所以异面直线与所成角的大小为.    66．如图，在平行四边形ABCD中，，E为线段AB的中点，M为线段DE的中点，将沿直线DE翻折成，使得平面，F为线段的中点. (1)求证：平面 (2)求直线FM与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，先证明面面平行，再由面面平行得线面平行； （2）利用，可证得平面得出线面角，解三角形即可. 【详解】（1）取中点，连结，，如图， 由分别为的中点可知，， 又平面，平面，面， 在平行四边形中，， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面，面， 又平面，平面平面， 而面，平面. （2）取的中点N，连接， 在平行四边形中，设， 则， 因为，在中，可得， 在中，可得， 在中，因为，所以， 因为平面，平面，所以， 由分别为的中点，则，则， 因为，平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角. 在中，由，可得， 则 所以直线FM与平面所成角的余弦值. 67．如图，已知S是正方形所在平面外一点，且，其中分别是的中点，动点P在线段上运动时（P与不重合）． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用中位线的性质先证明线面平行再得面面平行，最后可证线面平行； （2）根据题意可先判定为正四棱锥，从而判定平面，结合上问可判定异面直线的夹角. 【详解】（1）连接，根据题意易知， 而平面，平面，则平面， 同理可得平面， 又，且平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面；   （2）设相交于点O， 因为，且是正方形， 可得SO⊥底面，平面， 所以， 又，且，平面，所以平面， 由第（1）问得平面平面，所以平面， 而平面,所以， 即异面直线与所成角的大小为. 题型十七、求二面角 68．（24-25高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，. 将△ACD沿对角线AC折起，使二面角的大小为，则B、D两点的距离为________ 【答案】2 【分析】过点做至点，使得，将二面角转化为平面角，再证明，通过余弦定理和勾股定理，得到的长度. 【详解】过点做至点，使得，连接，. 平行四边形中，，可得 由，，可得为平行四边形， ，可得为正方形. ， 所以是二面角的平面角，即 所以在中，由余弦定理可得 由 平面， 可得平面，所以平面 而平面，所以 在中，有勾股定理可得 故答案为：2 69．（24-25高一下·上海·期末）在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是.则这个点到二面角的棱的距离为_________. 【答案】 【分析】画出简图，结合二面角的定义及三角函数关系即可求解. 【详解】 如图所示：二面角为，点，点在平面内的射影点为，过点在平面内作，垂足为点，连接. 因为，，所以， 因为，，，平面，平面，所以平面. 因为平面，，所以即为二面角的平面角，所以. 在中，. 所以这个点到二面角的棱的距离为. 故答案为：. 70．如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的大小． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）证明出AB⊥平面PAD，由CFAB，得到CF⊥平面PAD，故证明面面垂直； （2）作出辅助线，找到∠BED为平面与平面所成二面角的平面角，利用余弦定理求出二面角的大小. 【详解】（1）因为平面，AB平面ABCD， 所以PA⊥AB， 因为， 所以⊥AD， 因为PAAD=A，平面PAD， 所以AB⊥平面PAD， 因为CFAB，所以CF⊥平面PAD， 因为CF平面CFG， 所以平面CFG⊥平面PAD； （2）平面，AD，AC平面ABCD， 所以PA⊥AD，PA⊥AC， 因为，， 由勾股定理得：，则∠ADB=30°， 同理可得，∠CDB=30°， 故∠ADC=60°，所以三角形ACD为等边三角形，， 故，，， 过点B作BE⊥PC于点E，连接DE， 在△BCP中，由余弦定理得：， 则，， 在△CDP中，由余弦定理得：， 在△CDE中，， 因为，所以DE⊥PC， 所以∠BED为平面与平面所成二面角的平面角， 由余弦定理得：， 故平面与平面所成二面角的大小为. 题型十八、由二面角大小求线段长度或距离 71．边长为的正方形沿折成的二面角，则中点与的距离是___________. 【答案】1 【分析】取中点为，中点为，中线定理，数形结合即可解决. 【详解】由题知，边长为的正方形沿折成的二面角， 取中点为，由正方形的性质可知 所以二面角的平面角为，又， 所以为等边三角形， 所以， 设中点为， 所以中，由中线定理可知 1 故答案为：1 72．（24-25高一上·上海嘉定·期中）在如图所示的圆柱中，AB是底面圆的直径，PA是圆柱的母线，且，设点C（与不重合）是底面圆周上的动点． (1)求证：平面； (2)当二面角P-BC-A的大小为时，求点C到平面PAB的距离； (3)记点D是线段PB的中点，点E在线段PA上，若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理得证. （2）利用几何法，结合二面角大小求出，再利用等体积法求出距离. （3）延长至，使得，由勾股定理可得，把问题转化为求即可. 【详解】（1）由AB是圆柱底面圆的直径，是底面圆周上除外的点，得， 而平面，平面，则，又平面， 所以平面. （2）由（1）知，平面，平面，则，而， 于是为二面角的平面角，，在中，，， 设点到面的距离为，由，得， 即，则 所以点到面的距离. （3）延长至，使得，则 因此，当且仅当为与的交点时取等号， 取的中点，连接，由点D是线段PB的中点，得，则平面， 平面，于是，又，则， 所以的最小值为. 73．如图，在长方体中，，点E在棱上运动． (1)证明：； (2)当E与A重合时，求直线与平面所成角的大小（用反三角函数值表示）； (3)等于何值时，二面角的大小为？ 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明平面可得； （2）平面即为平面，在平面内过作于，得就是直线与平面所成角，在直角三角形中求解即得； （3）二面角是，则二面角是，作，垂足为，连接，得是二面角的平面角，即，然后求出，，得，从而得． 【详解】（1）连接，， 在正方形中，， 又长方体中平面，平面，所以， ，平面， 所以平面，而平面，所以； （2）如图，平面即为平面，在平面内过作于， 由平面，平面得， ，平面，所以平面， 所以就是直线与平面所成角， 在直角中， ． 所以直线与平面所成角的大小为； （3）如图二面角是，则二面角是， 作，垂足为，连接， 平面，平面，则， ，平面，所以平面， 而平面，所以， 所以是二面角的平面角，即， 在直角中，，， ，， 所以， 所以． 题型十九、面面垂直证线面垂直 74．（24-25高一下·上海·期末）下列4个命题正确的个数为（    ） ①若一个平面内的两条直线均平行于另一个平面，则这两个平面平行； ②若一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ③已知平面平面，平面上的任意一条直线都垂直于平面上的无数条直线； ④已知平面平面，过平面上任意一点作平面与交线的垂线，则. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据面面平行及面面垂直的性质定理等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于①，平面内的两条直线均平行于另一个平面，可能是两条平行线平行于另一个平面，这两个平面可能相交，故①错误. 对于②，如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，正确，故②正确. 对于③，平面平面，过平面上任意一点作平面与交线的垂线，则， 平面上的任意一条直线都垂直于平面上的无数条直线的平行线，故③正确. 对于④，平面平面，过平面上任意一点作平面与交线的垂线，则，故④正确. 故选：C. 75．如图，位于上海外滩的海关大楼上方的建筑体可以看成一个正四棱柱.这个正四棱柱的每个侧面上各有一个时钟，相邻侧面上的两个时钟的时针在每天的0点到12点（含0点不含12点）内一共能够相互垂直（   ）次.    A．0 B．2 C．4 D．12 【答案】B 【分析】根据面面垂直的性质定理，分析即可得答案. 【详解】因为正四棱柱相邻两侧面垂直， 所以当一个时钟的时针位于3点或9点位置时，时针垂直交线， 所以该时针垂直另一个侧面，则该时针垂直另一个时针，共有2次. 即，所以平面，则平面内任意一条直线. 假设其他位置时，两时针垂直，不妨设， 因为，平面，， 所以平面， 因为平面，所以，与条件矛盾，故假设不成立，    所以相邻侧面上的两个时钟的时针在每天的0点到12点（含0点不含12点）内一共能够相互垂直2次. 故选：B 76．如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的正方形. (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）由平面平面可得平面，从而得到，进而即可证明平面； （2）过点作，垂足为，过点作，连接，先证明，从而可得是二面角的平面角，进而求解即可. 【详解】（1）∵四边形是正方形，∴， 又平面平面平面，平面平面， ∴平面，∵平面，∴， 又∵平面， ∴平面. （2）由题意，，，，则，， 过点作，垂足为，过点作，连接. 由（1）知平面平面，∴. 又平面， ∴平面，又平面， 又平面平面. 又平面， 是二面角的平面角， 在中，，则， 则， 由图可知，二面角为锐角， 则二面角的余弦值为. 试卷第1页，共3页 1 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $