2026年数学中考二轮复习《圆综合解答题》考前冲刺专题提升训练

**基本信息** 聚焦圆与三角形、四边形的综合应用，以“证明+计算”双问题型系统整合圆的核心性质与几何图形性质，强化逻辑推理与空间观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆内知识综合|6题|切线证明、线段/面积计算|圆的切线性质、直径圆周角、弧中点性质的综合应用| |圆与三角形综合|7题|三角形外接圆、相似与圆性质结合|三角形中线、相似判定与圆的切线、直径性质的融合推导| |圆与四边形综合|7题|内接四边形、特殊四边形与圆交汇|内接四边形性质、正方形/平行四边形性质与圆的切线、直径性质的交汇应用|

2026年春九年级数学中考二轮复习《圆综合解答题》考前冲刺专题提升训练（附答案） 一、圆内知识综合 1.如图，已知MN为⊙O的直径，PQ与⊙O相切于点A,MB1PQ于点B (1)求证：MA平分∠BMN; (2)若⊙0的直径MN=16,MB=9,求MA的长 2.如图，AB和CD为⊙O的两条直径，点P为AB延长线上一点，连接BE交OC于点F,若弦 CEIAB,∠P+2∠ABE=90°. (1)求证：PC是⊙0的切线： (2)若30F=2CF,⊙0半径为10，求BP的长. 3.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为弧BC的中点，连接AC、BC、AD,AD 与BC相交于点H,过点D作直线DG BC,交AC的延长线于点G. (1)求证：DG是⊙O的切线： (2)若弧AC=弧BD,CG=2,求阴影部分的面积. 4.如图，AB是⊙O的直径，点C,D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长 线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证：∠AEC=90°； (2)若DC=2,求DH的长 5.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E, DE⊥CE,连接CD,BC. (1)求证：∠BC0=∠DC0; 3 (2)若sin-DC0=写，AE=3,求⊙0的半径. 6,如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，CD⊥AB于点D,过点B作⊙O的切线，与AC的 延长线相交于点E,F是CD的中点，连接AF并延长与BE相交于点G,连接CG并延长与AB的 延长线相交于点H,⊙O的半径为3. 备用图 (1)若AC=5,求点C和点B间的距离； (2)求证：CH是⊙0的切线； (3)当BD=2时，请判断下列结论哪个成立？①FG>CG=BG,②FG=CG=BG,③ FG<CG=BG,并说明理由 二、圆与三角形综合 7.如图，在锐角△ABC中，AB=AC,以AC为直径的圆O交边AB于点E,交边BC于点D,过 点D作圆O的切线交边AB于点P,交AC的延长线于点G,切点为D.已知itan-G=子 CG=4. D (1)求证：EF=BF; (2)求AE的长. 8.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是直径，点E是BC左侧⊙O上的一点，连接CE、BE, 延长EB到点D,连接AD,AD是⊙O的切线，CEIAD. B D A (1)求证：∠EBC=2LACB; (2)若BD=1,AB=V5,求⊙0的半径长 9.如图，在△ABC中，CE为AB边上的中线，且满足CE=AB,点D在边AB上，以CD为直 径的⊙O与AB相切于点D,与AC,BC分别交于点G,H,连接GH. D E B (1)求证：GH为⊙0的直径 (2)若⊙0的半径为3，BD=10,求CG的长. 10.(1)如图1，△ABC的顶点都在⊙0上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径.△ABE 与△ACD相似吗？为什么？ (2)如图2，△ABC的顶点都在⊙0上，⊙0的半径为13，AC=24,AD是△ABC的高， AD=18,求AB的长. B D E 图1 图2 11.如图，△ABC内接于⊙O,∠ABC=90°，作直径BD,过点D作DE II AC交⊙O于点E, 连接AE, (1)求证：AB=AE. 2若AE=8,tan-AED=是 ①求⊙0的半径长 ②在⊙O上取一点F,使得BF=BC,连接AF,求线段AF的长 12.己知△ABC中，已知AB=AC=6,BC=4,点P在射线AB上，△APC的外接圆的圆心 为0，连接0P. A 图1 图2 备用图 备用图 (1)如图1，当点P在线段AB上，且OP I BC时，求cos∠AOP的值； (2)如图2，当P0⊥AC时，求BP的长； (3)如果点O在△ABC的某一条边所在的直线上，求BP的长。 13,己知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与AB的延长线相交 于点P,点D是⊙O上一动点，且CD与AB相交于点E. 图① 图② 备用图 (1)如图①，连接AD,若LP=40°， ①求LADC的度数； ②当△ADE是等腰三角形时，请直接写出LPCD的度数； 2)如图②，当点D是AB的中点时，求证：PC=PE. 三、圆与四边形综合 14.如图，点A,B,C在⊙0上，∠ACB=30°，以BA,BC为边作口ABCD 图-1 图-2 (1)当BC经过圆心0时（如图-1），求∠D的度数； (2)当AD与⊙0相切时（如图-2），若AC=6,求⊙0的半径和4C的长。 15,如图，已知正方形ABCD,AB=15cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD方向运 动，到D点结束；点Q同时从点C出发，以2cms的速度沿射线CB运动，P停止运动时，Q也 随之停止，连接PQ交线段AC于点E,过D,P,E三点的圆O交直线CD于点F,连接EF, PF.设运动时间为t(s), B (1)求AE:EC的值： (2)当Q运动到B点时，求△APE的面积和圆O的半径； (3)在整个运动过程， ①当四边形DPEF中有两条边相等时，求t的值； ②连接OE,当DE I AD时，则求△EFC与△OPE面积之差. 16.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且∠C=2LA. 图1 图2 图3 图4 (1)求∠A的度数， (2)若⊙0的半径为5. ①如图2，连接BD,求BD的长 ②如图3，连接CA,若CA平分LBCD,求BC+CD的最大值 (3)如图4，若AC是⊙O的直径，直接写出线段AB,BC,CD之间的等量关系 17.如图，四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC,BD相交于点E.且BD为⊙O的直径， D B E C 备用图 (1)求证：AE.CE=BE·DE: (2)当CD=BC时： ①过点E作EF1AD于点R,求证：和+品= AF AE ②当BD=1,AC=x,CE+AB+AD=y,求y关于x的函数解析式，并求出y的取值范 围 18.已知AB为⊙O的直径，AB=2,点C在⊙O上.连接0C,BC,过点0作ODIBC,交⊙0 于点D,DE⊥OB,垂足为E, D C 图1 图2 图3 (1)如图1，连接BD,当DE的延长线恰好交⊙O于点C时，求证：四边形OCBD是菱形； (2)如图2，连接AC,DC,DC交半径0B于点F,当∠0CD=CAB时，求线段EF的长； AC2 (3)如图3，连接AC,AD,DB,设△ODE面积为S1,四边形ACBD的面积为S2,OE=y,如 果S2=x·S(x>6),求y关于x的函数解析式. 19.四边形ABCD内接于⊙O,连接AC和BD交于点E,∠BAD+2LACB=180°. 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AB=AD: (2)如图2，连接AO并延长交BE于点F,若LAFB:LBCD=3:4,求证△ABD是等边三角形 (3)如图3，在(2)的条件下，点H在AB上，且AH=DE,连接CH,若△BCH的面积为4 V3,CD=2,求0A的长 20.已知：⊙O交正方形ABCD的对角线AC所在直线于点T,连结TO并延长交⊙O于点 S. B 图1 图2 图3 (1)如图1，当⊙O经过A、D两点且圆心O在正方形ABCD内部时，连结DT、DS. ①试判断线段DT、DS的关系是_； ②若正方形ABCD的边长为6，则AS+AT=_, (2)如图2，当⊙O经过A、D两点且圆心O在正方形ABCD外部时，连结DT、DS,那么线 段AS、AT和AD有什么数量关系？请说明理由； (3)如图3，延长DA到点E,使AE=AD,当⊙O经过A、E两点时，连结ET、ES.根据 (1)、(2),通过观察、分析，当AS=2,AD=4,求CT的长. 参考答案 1,(1)证明：如图，连接0A, A B PQ与⊙O相切于点A, ∴0A⊥PQ, .∠0AP=90°， MB⊥PQ, ∠MBP=90°=∠0AP, ..0A Il MB, ∠OAM=∠AMB, 0A=0M, .∠OAM=∠AMN .∠AMN=∠AMB, :MA平分∠BMN; (2)解：如图，连接AN, M p A B MN为⊙O的直径， ∠MAN=90°， 由(1)可知，∠AMN=∠AMB,∠MBP=90°， ∠MAN=∠MBP, .△ABM-△NAM, MA2=144, 解得MA=12(负值舍去). 2.(1)证明：CE II AB, .LBEC LABE. LP+2LABE=90°， .∠P+2∠BEC=90°」 LBOC 2LBEC, .∠P+∠P0C=90°， ∠PC0=90°，即PC⊥C0, PC是⊙O的切线； (2)解：过点O作OG⊥CE,交CE于点G, CG=EG-CE. .CE Il AB,OB=OC=10, .△CEF一△OBF,LB0G=∠OGC=90°， 品- .30F=2CF, CF 3 0r=2 CE 3 08=2 即、3 10=2 解得CE=15, c6-i0E=5 .∠COG+∠BOC=∠B0C+∠P=90°， ∠C0G=∠P. 在Rt△CG0中，sinC0G==言= 30C :.sinP sinCOG==op 0p=0 31 BP=0p-0B=910=9 3 B 0 3.解：(1)证明：连接OD,交BC于点E, 点D为BC的中点， :OD垂直平分BC, DG II BC, ∠0DG=∠0EC=90°， OD是⊙O的半径，且DG⊥OD, DG是⊙O的切线， (2)解：连接OC、CD,则0A=OC=OD, AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° DG II BC, .∠G=∠ACB=90°， .∠ECG=180° 又LCED=∠EDG=90°， :四边形CEDG是矩形， .DE =CG=2, “ACB=BD?点D为BC的中点， 入 AC=CD-BD :2A0G=∠C0D=∠B0D=X180°=60， .△AOC和△COD都是等边三角形， CE LOD, 0E=DE=2, ..AC=OC=CD=OD=2DE=4, .AG=AC+CG=6,DG =CD2-CG2=42-22=23, 2CAH=2∠C0D=30, ∴AH=2CH, AC=AH2-CH2=(2CH)2-CH2=3CH=4, CH=3 S阴影=SaGD-SACH=×6×23-3×4×3=103, 3 31 阴影部分的面积是03 3 B 4,(1)证明：连接0C, B H EC与⊙O切点C, 0C⊥EC, .∠0CE=90°， '点CD是半圆O的三等分点， AD CD-CB' ·∠DAC=∠CAB, 0A=0C, ∴.∠CAB=∠OCA, ∠DAC=∠OCA, AE‖OC(内错角相等，两直线平行)， ∴.∠AEC+∠0CE=180°， .∠AEC=90°： (2)解：连接OD, AD=CB' .∠DCA=∠CAB, .CD IIOA, 又AE Il OC, ·.四边形AOCD是平行四边形， 0A=0C, ·.平行四边形AOCD是菱形， ..0A=AD=DC=2, .0A=0D, 0A=0D=AD=2, “△OAD是等边三角形， ∠A0D=60°， DH⊥AB于点F,AB为直径， ..DH 2DF, 在Rt△OFD中，sinzAOD= OD' .DF ODsinAOD 2sin60=13, DH=2DF=23, 5.(1)证明：CE是⊙0的切线， .0C⊥CE,∠0CE=90°， DE⊥CE, OCDE ∠DCO=∠CDE, AC=AC LB=∠CDE, ∠B=∠DCO, 0B=0C, ∠B=∠BCO, .∠BCO=∠DCO: (2)解：如图，连接AC, B AB是⊙O的直径， ∠BCA=90°， L0CE=90°， .:∠ECA+∠OCA=∠BCO+∠OCA=90°， LECA=∠BCO ∠ECA=∠B=∠DCO, .sinDCO= 3 ssineBCAsinB-A AE 3 AB= AE=3, AC=5, MB=Ac=空 00的半径为4B=答 6.1)解：⊙0的半径为3， AB=2×3=6, 连接CB,如图所示： B AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， BC=1AB2-AC2=V62-52=V11, 即点C和点B间的距离为BC的长度，即为W11; (2)解：连接C0,如图所示： F 过点B作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点E, AB⊥EB, CD⊥AB, ..CD I BE, ∠GBA=∠CDA,∠BGA=∠DFA, △GBA一△FDA, .CD BE, ∠E=∠FCA,∠EGA=LCFA, ·△GEA一△FCA, - F是CD的中点， ..CF=DF, ..GB=EG, :CG是△BCE的中线， AB是⊙O的直径， LACB=LECB=90°， CG是△BCE的中线 .CG=EB=EG=BG, ∠GCB=LGBC, OC=0B. .LOCB=LOBC, .AB⊥EB .∠OBC+∠GBC=90°， 即LOCB+LGCB=90°， 故∠0CG=90°， 0C是半径， .CH是⊙O的切线； (3)解：②FG=CG=BG成立， 理由如下： 如图，过点G作GK⊥CD于点K,则∠GKD=90°， 公 B BE是⊙O的切线， BE⊥AB, ∠GBD=90 .CD⊥AB, ∠KDB=90°， :四边形DBGK为矩形， ..GK=BD,BG=DK,KD GB,KGI DB, .FD GB,KGI AD ·△ADF一△ABG,∠ADF=∠GKF,∠FAD=∠FGK, .△ADF一△GKF, .△GKF△ABG, GK KF AB BG ⊙0的半径为3， AB=6, .BD=2,GK=BD, GK=2, - GK - .BG=3KF, .BG DK, ..DK =3KF, DE=2KF F是CD的中点， ..CD=2DF=4KF, .CK=CD-DK=4KF-3KF=KF, 点K为CF中点. GK⊥CD于点K, :GK为线段CF的垂直平分线， FG=CG. 由(2)可知BG=CG, FG=CG=BG成立. 7.(1)证明：连接AD,OD, D AC是直径， LADC=90°，即AD⊥BC, 又AB=AC, .BD=CD,∠BAD=∠CAD, DE=CD' :.DE CD, :.DB=DE, .OA=OC,DB=DC, OD是△ABC的中位线， ..ODIIAB. 又FG是⊙O的切线， 0D⊥FG, AB⊥FG, 又DB=DE, :在等腰三角形BDE中BF=EF. (2)解：连接EC, D G 在Rt△ODG中，设0D=OC=3a, wtan.G= :DG=4a,0G=5a, :CG=0G-0C=2a, .CG=4, .a=2,AC=6a=12, 又AC是直径， .∠AEC=90°， ∴ECIFG, ∠ACE=∠OGD, 又LAEC=∠0DG=90°， △ODG一△AEC, AE OD 3 4B=号AG=号x12=9 8.(1)证明：如下图所示，连接0A, B A .BC是⊙O的直径， ∴.∠BAC=∠BEC=90°， CEIAD, ∴.∠D=∠BEC=90°， AD是⊙O的切线， .0A⊥AD 即∠0AD=∠D=90°， 0AD+∠D=180°， ..OAlDE, ·LEBC=∠BOA, ∠BOA=2∠ACB, ·∠EBC=2LACB; (2)解：∠0AD=∠BAC=90°， .∠BAD=∠OAC, 0A=OC, ∴.∠OAC=∠ACB, ∠BAD=∠ACB, .∠D=∠BAC=90°， .△ADB△CAB, BC AB' 即晓言 BC=5, 即⊙0的半径长为 9.(1)证明：CE为AB边上的中线，且满足CE=AB, ..CE=AE=BE, .∠A=∠ACE,∠B=∠BCE, LA+LB=∠ACE+∠BCE=∠ACB, .∠A+∠B+∠ACB=180°，即2∠ACB=180°， ∠ACB=90°，即∠GCH=90°， G,H都在⊙0上， ∴GH为⊙O的直径. (2)解：⊙0的半径为3，CD为⊙0的直径， CD=6, ⊙O与AB相切于点D, :.CD⊥AB, LCDB=90°， 在Rt△CDB中，BC=VCD2+BD2=V62+102=234, 如图，连接DG, H D B CD为⊙O的直径， LCGD=90°， LGCD+LGDC=90°，∠CGD=∠CDB, 由(1)可知，∠ACB=90°， LGCD+∠DCB=90°， ∠GDC=∠DCB, .△CGD一△BDC, CD CG 6 CG c=0即234=10 ..CG= 6×10=1534 2V34-17 10.解：(1)AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径， LADC=90°，LABE=90°， .∠ABE=∠ADC, 又LACB=LAEB, .△ABE△ADC: (2)连接AO并延长交⊙O于点E,连接CE,则AE为⊙O的直径， B D E 同(1)法可得：△ACE一△ADB, ⊙0的半径为13，AC=24,AD=18, AB 18 13x2=24 AB=19.5. 11.（1)证明：如图，连接CE. B D E .∠ABC=90°， AC为直径， LAEC=90°. 0A=0B, .∠ABO=∠BAO. .DE II AC, LCAE=∠AED 又LAB0=∠AED, ∠BAO=∠CAE 在△ABC和△AEC中， (LABC=∠AEC=90° ∠BAO=∠CAE AC=AC ·△ABC≌△AEC(AAS), ..AB=AE. (2)解：①：ZAED=∠ABD=∠BAC,tan-AED=子 n∠BAC= AE=AB=8, ..BC AB.tanBAC=6, 在Rt△ABC中，AC=VAB2+BC2=10, 0C=5. ②延长AF,CB交于点G. 行 o BF=BC, BF=BC LGAB=∠CAB 在△ABG和△ABC中， ∠GAB=∠CAB AB=AB (∠ABC=∠ABG=90° △ABG≌△ABC(ASA), ..AG=AC=10,BG=BC BF=6. LGCA=∠G=LGFB 在△FBG和△CAG中， (o8=26cA .△FBG△CAG, FG FB CG-CA FB=BC=6, FG=G6c=7.2, CA .AF AG-FG=2.8. 12.(1)解：如图，过点B作BD⊥AC于点D, A .AB=AC=6, ∠ABC=∠ACB,∠BAC=180°-2LABC, .0A=0P, .∠0AP=∠0PA,∠A0P=180°-2∠0PA, OP II BC, .∠ABC=∠OPA, .∠ABC=∠ACB=∠OPA=∠OAP, .∠BAC=∠AOP, 设AD=x,则CD=6-x, 在Rt△ABD中，BD2=AB2-AD2, 在Rt△BCD中，BD2=BC2-CD2, ..AB2-AD2=BC2-CD2, 62-x2=42-(6-x)2, 解得：x=兰，即AD=兰 Cos∠BAC=AP=7, AB= ÷.cos_A(0P=g (2)解：如图，记PO与AC的交点为K,过点B作BD⊥AC于点D, 结合(1)可得：AD=兰， B .PO LAC,AC=6, AK=CK=3,∠AKP=∠CKP=90°，BDIPO, .△APK△ABD, AP=ABAK=6×327 AD =147 3 B即=6-号 = (3)解：如图，当0在边AC上时，过0作0G⊥AB于G, .AG=PG, D AC=AB=6, .0A=0C=3, AD 7 COSBAC= AG AG 7 0=3=g 7 AG= 4P=2aG=# BP=6片= 如图，当O在边AB上时， AP为⊙O的直径， ∠ACP=90, COSLBAC AC=7 -AP= p 8P=46=号 12 如图，当O在直线BC上时，过A作A⊥BC于/，过0作OQ⊥AP于Q, ∴AQ=PQ, .AB=AC=6,BC=4, BI=CI=2,LABC=∠ACB, ssineBA LABI=∠OBQ, LB0Q=∠BAJ, snB0Q-8器- 0A=0C, .∠0AC=∠OCA, .∠OAC=∠OCA=∠ABC, .△CBA-△CAO, 36 C0=4=9, .0B=9-4=5, 80= PQ=AQ=6+3=3, 523 BP=PQ+B0=g+-婴 综上：B即为或号或器 13.(1)解：①如答图①，连接0C. D 答图① .PC是⊙O的切线， ∴PC⊥OC,即∠0CP=90°， .∠A0C=90°+40°=130°， ADC=AOC-65 ②当△ADE是等腰三角形时，分三种情况讨论. a,当AD=AE时，∠AED=∠ADE=65, ·∠PEC=∠AED=65°， ·∠PCD=180°-∠PEC-∠P=75°； b.当DA=DE时，∠AED=∠DAE=2×(180°-659=57.5， .∠PEC=∠AED=57.5°， .∠PCD=180°-∠PEC-∠P=82.5°： c.当EA=ED时，∠DAE=∠ADE=65°， ·∠AED=180°-∠DAE-∠ADE=50°， .∠PEC=∠AED=50°， ∠PCD=180°-∠PEC-∠P=90°. 综上所述，∠PCD的度数为75,82.5或90°. (2)证明：如答图②，连接0C,0D. D 答图② 易知L0CP=90°， .∠PCE+∠OCE=90° 2 :点D是AB的中点， .∠AOD=∠BOD=90°， .∠0ED+∠0DE=90°. .0C=0D .∠ODE=∠OCE, .∠OED=∠PCE. 又∠OED=∠PEC, ∠PCE=∠PEC, :.PC=PE. 14,(1)解：弦BC经过圆心0， BC为⊙O的直径， LBAC=90°， .∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=60°， 四边形ABCD是平行四边形， LD=∠ABC=60°； (2)解：如图，连接0A、OC, AD与⊙O相切， .0A⊥AD, L0AD=90°， 四边形ABCD是平行四边形， ..BC II AD, ∠CAD=∠ACB=30°， .∠0AC=∠OAD-∠CAD=60°， 0A=0C, ·△OAC是等边三角形， LA0C=60°，0C=AC=6,即⊙0的半径为6， AC的长为0"Xrx0c=心Xx6=2元 180° 180° 15.(1)解：在正方形ABCD中， AD II BC, .△APE一△CQE, AE AP CE =CO .CQ 2tcm,AP tcm, AP 1 c0=2 始- (2)解：过点E作EH⊥AD于点H,如图， 则∠AEH=∠HAE=45°， ∴AH=HE, O(B) H ac=152,20- ∴AE=5V2,HE=AH=5, 当Q运动到B点时CQ=2t=15,解得：t=气， 15 即AP=2cm, 15 △APE的面积为AP-BH=××5= 4(cm2), 在Rt△PEH中，HP=AP-AH=cm, 5 油勾股定理得：PE=PH2+B=5cm, DH=AD-AH=10cm,PF为⊙O的直径， ∠PEF=90°， ZHDE=∠PFE,tan∠HDE=E=J =0=2 PE 1 ..tanHDE tanPFE ..EF 2PE, 由勾股定理得：pF=5PE=之cm, 即⊙0的半径为经cm; (3)解：①如图，当LAPE=90,得矩形PDFE,此时PE=DF,DP=EF, AP=5, t=5÷1=5; 如图，当PE=PD时，PF为直径，∠PEF=90°，可得△FDP≌△FEP 则FD=EF,过点E作EH⊥AD于点H, B 0 ● 在Rt△PEH中，AH=HE=5,HP=t-5,PE=PD=15-t, 由勾股定理得：52+(t-5)2=(15-t)2, 解得=空 如图，当PD=DF时，在Rt△PEH中AH=HE=5,HP=t-5,PD=15-t, B HP- :.PF =2PD =2(15-t), 由(2)知PF=V5PE, PED, 5, 52+(t-5)2=(15-3, 化简得：3t2+10t-200=0, 解得：1=-10（舍>，2=9 而PE:EF=1:2, 显然PE卡EF; 综上所述，的值为5或或号， ②如图，当OE II ADI时，延长EO交DF于点R,作EI⊥PF,垂足为I, O(B) ..AH HE DR=RF=5,CF=5,ER=10, :△CEF的面积为CF×ER=×5×10=25, .OE ll AD,OE=OP, ∠REP=∠APE,∠REP=∠EPO, LAPE=∠EPO, 即PE平分LAPO, EH=E1=5, 又LPEI=90°-∠EP0=∠PFE,∠EIP=∠PEF=90°， △IPE一△EPF, IP PE 面=EF' 由（2器- p== 油勾股定理得PE=1p2+E2=5, ..EF 2PE 5\5, △OPE的面积就是△PEF面积的一半， (PE×EF×9×-多5x5n5x-, 即△BFC与△0PE面积之差为25-1答-石(cm的， 16,(1)解：由图可知，四边形ABCD是圆内接四边形， ∠A+∠C=180°， 又LC=2LA, 3∠A=180°， ∠A=60°： (2)解：①如图，连接OB,OD,作OE⊥BD于点E, 则∠B0D=2∠A=120°，0B=0D=5, 20BD=∠0DB=2(180°-1209=30， 0服=iDB= .BE=0B2-0E2=5V3 2 由垂径定理，得BE=DE,得CF=BC,则BC+CD=CF+CD=DF, CA平分LBCD, .LDCA=LBCA, ..AB=AD 又∠BAD=60°， “△BAD是等边三角形， 由①，得BD=5V3, LBCF=180°-∠BCD=180°-2∠BAD=60°，BC=CF, ∴△BCF是等边三角形， LF=60, ∴点F在以BC为弦，所对圆周角为60的圆上， 当DF为所在圆直径时，DF的长最大， 此时∠DBF=90°， ∠BDF=90°-∠F=30°， :.DF 2BF, :.BD=DF2-BF2-DF, 2 2 DF=后×BD=后×53=10，即为最大值， :BC+CD的最大值为10： (3)解：如图，延长BC,AD,交于点G, D G AC为直径， ∠B=∠ADC=90°， .∠G=90°-∠BAD=30°， .AG=2AB,CG=2CD, .BG =AG2-AB2=3AB, 又BG=BC+CG, ..BC 2CD =3AB. 17.(1)证明：CD=CD,AB=AB, LDAE=∠CBE,∠ADE=LBCE, .△ADE一△BCE, DE CE AE=BE AE.CE=BE·DE (2)解：①如图，过点E作EF⊥AD于点F, B D C BD为⊙O的直径， ∠BAD=90°，即AB⊥AD, ..EF AB, △DFE一△DAB; AB·DF=AD·EF, AB(AD-AF)=AD·EF, AB·AD=AB·AF+AD·EF 又CB=CD, ∠BAC=∠DAC=45°， LAEF=∠EAF=45°， ..AF EF, AB·AD=AB·AF+AD·AF: += 1 ②如图，BD为⊙0的直径， LBCD=90°， D O. C .BC=CD,BD=1, :.BC=CD=2,BC=CD, LCBE=LCDE=∠CAB=∠DAC=45°， 又LBCE=∠ACB, △BCE一△ACB, CE BE AC 2 4GCB=子即CE=云， 1 ..AE=AC-CE=x- 1_2x2-1 2x 怎=22-1>0.而x>0, x>号 延长AB至Q,使BQ=AD,连接CQ, 四边形ABCD为⊙O的内接四边形， LABC+∠ADC=180°=∠ABC+∠QBC. LQBC=∠ADC, CB=CD, ·△QBC≌△ADC(SAS), LQ=∠CAD=45°=∠CAB, LACQ=90°，AC=CQ=x, .AB AD=AB+BQ=AQ=2x, y=2能+AB+AD=2x2+2x-1, BD=1,AC=x, <x≤1， 2 抛物线的对称轴为直线x=一2三-2， 2×2 4 当x=时，y=2x2+2x2-1=1, 1 2 当x=1时，y=2×1+V2×1-1=1+V2, 1<y≤1+2 18.(1)证明：如图1 D 图1 AB为⊙O的直径，DE⊥OB, ∴.DE=CE,∠OED=∠BEC=90°， ODIBC, ∠ODE=∠BCE, .△OED≌△BEC(ASA), :.0D=BC, :四边形OCBD为平行四边形， DE⊥OB, :四边形OCBD为菱形. (2)解：如图2 B C 图2 AB为⊙O的直径， LACB=90°， 0D=0C=1, .∠ODC=∠OCD ODIBC, .∠ODC=∠DCB .LOCD LDCB. .∠OCB=2∠OCD .0C=0B=1, .∠OBC=∠OCB=2∠OCD .∠CAB=2∠OCD .∠CAB=∠CBA. ..CA=CB. 又0A=0B .∠B0C=90°， DE⊥OB, ∠0ED=90 ∠0ED=∠BOC=90°. .OCDE. 品-器 .0B=0C,∠B0C=90°， L0BC=45. LD0E=∠0BC=45°. :0E=DE=0D.tan45°=2×1=2， 2 EF 2 解得EF=22 2 (3)解：如图3 D B C 图3 AB=2,AB为⊙O的直径，DE⊥OB, 0D=2AB=1,∠ACB=∠DE0=90, ODIBC, LDOE=∠ABC, .△ABC一△DOE, -()=(9=4 即S△ABc=4S1,AC2=4DE2, 0E=y, ..AC2=yoE2, 即y0E2=4DE2, L0ED=90°， DE2=0D2-0E2=1-0E2, y0E2=4(1-0E3, 即0E2=y+4 4 S2=xS1, S△ABC+S△ABD=XS1' 4S1+S△ABD=XS1, 即4×20EDE+×2DE=x.20EDB, DE(20E+1-2x:0E)=0, 1 DE>0, 20E+1-70B=0, 解得0E=名 ( 4 4 2=y+4 y+4=(x-4)2, y=x2-8x+12(x>6) 19.(1)证明：AB=AB, .∠ACB=∠ADB, LBAD+2LACB=180°， LBAD+2∠ADB=180°， LBAD+∠ADB+∠ABD=180°， ∠ADB=∠ABD :.AB=AD; (2)证明：连接OD,OB, AB=AD, “点A在线段BD垂直平分线上， 0B=OD, ∴点O在线段BD垂直平分线上， “AO为线段BD的垂直平分线， AF⊥BD, ∠AFB=90°， .∠AFB:∠BCD=3:4, .∠BCD=120°， AB=AD, AB =AD" LBCA=LACD=BCD=60%, AB =AB, LADB=∠ACB=60, “△ABD为等边三角形； (3)解：过点H作HP⊥BC交BC于点P;过点B作BK⊥CA交CA于点K. LHPB=∠BKE=90°， :△ABD为等边三角形， ∠ABD=∠ADB=60°，AB=BD, LCBD LCAD, .∠ABD+∠CBD=∠ADB+∠CAD,即∠ABC=∠BEA, .AH=DE,AB=BD, :.BH=BE, △BHP≌△EBK, ..HP=BK, 在Rt△BCK中，设CK=a,则BC=2a,BK=V3a, :.HP BK=3a, △BCH的面积为4W3, BG×HP-2x2a×3a=4h3, 解得：a=2(负值不符合题意，舍去)， BC=4, 过点D作DN⊥BC交BC延长线于点N, 四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∠DCN=∠BAD=60°， ∠CDN=90°-∠DCN=30°， CN=CD=1, ..DN =CD2-CN2=13,BN BC+CN=5, .BD =BN2+DN2=27, :.BF=BD=7, .∠B0D=2∠BAD=120°， ∠B0F=∠B0D=60, 21 ∴OB= BF sin60° 2 3 0A=0B=21. 20.(1)解：①线段DT、DS的数量和位置关系分别是：DT=DS,DT⊥DS.理由如下： AC为正方形ABCD的对角线， ∠TAD=45, TS为直径， ∠SDT=90°， 又LTSD=∠TAD, ∠TSD=45, “△DST为等腰直角三角形， :DT=DS,DT⊥DS: ②LSDT=∠ADC=90, .∠SDA=∠CDT 又TS为直径， ∠SAT=90°， .∠SAD=45, ∠SAD=∠DCT, DA=DC, ·△DAS≌△DCT(ASA), ..AS=TC, ..AS AT=AC, 正方形ABCD的边长为6， AC=62, .AS AT=6v2; (2)TS为直径， .∠SAT=90°，∠SDT=90°， ∠SAC=90°， ∠CAD=45°， .∠SAD=45°， ·STD=45°， “△DST为等腰直角三角形， ..DS DT, 又LSAD=∠DCT=45°，∠ASD=∠DTC, ∴.△DAS≌△DCT(AAS), ..AS=TC, ∴AS-AT=TC-AT=AC, AC=2AD ∴AS-AT=V2AD; (3)在TA上截取TF=AS=2,连接EF,如图， ∠TSE=∠TAE=∠DAC=45°，∠TES=90°， “△EST为等腰直角三角形， ..SE =TE, 又LASE=∠ETF, 在△EAS和△EFT中， SA=TE ∠ASE=∠FTE SE=TE ·△EAS≌△EFT(SAS), ∴LSEA=∠TEF,AE=EF=AD=4, .∠TES=90°， ∠AEF=90°， “△AEF为等腰直角三角形， .AF =2AE 42,CA=2AD=42 ..CT AF +TF +AC=82+2. 图3