2026年中考数学二轮复习《二次函数综合常考热点分类》考前冲刺填空题专题提升训练

**基本信息** 以二次函数核心性质为统领，通过四模块分层设计，整合方程、不等式、实际应用及几何综合，提炼对称性、数形结合等通法，培养推理能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数与一元二次方程|6题|表格数据→对称轴→根的对称性；图象交点→方程解|从函数值对应关系到方程根的几何意义，构建代数与几何联系| |二次函数与不等式（组）|6题|函数图象比较→解集；参数范围→分类讨论|通过函数值大小关系，深化数形结合思想，强化推理意识| |实际问题与二次函数|6题|建模（面积/利润）→二次函数→最值；拱桥/运动轨迹→坐标建模|从实际情境抽象函数模型，发展应用意识与数据观念| |二次函数综合|8题|对称点求最值；几何图形（全等/面积）→函数性质应用|综合几何直观与函数性质，提升空间观念与综合思维|

2026年九年级数学中考二轮复习《二次函数综合常考热点分类》 考前冲刺填空题专题提升训练（附答案） 一、二次函数与一元二次方程 1．已知二次函数的与的部分对应值如下表： 0 2 4 5 7 0 则关于的一元二次方程的解为_____． 2．数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的负的实数根可能是___________（结果保留小数点后一位）． 3．如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为_____． 5．如图所示，线段与x轴平行，点B在点A右侧，，点A是直线上的点，设点A的横坐标为m．若线段与抛物线有且仅有一个公共点，则m的取值范围为______________． 6．如图，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于，与抛物线交于D，点E在直线上．若，则点E的坐标是_____． 二、二次函数与不等式（组） 7．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为______． 8．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 9．已知二次函数的图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是___________． 10．已知抛物线（a是常数，且）．当直线与抛物线有两个交点A、B，且时，则a的取值范围为______． 11．已知抛物线上两点，若对于任意，都有，则的取值范围是_____． 12．如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为___________． 三、实际问题与二次函数 13．数学兴趣小组的同学在“综合与实践”活动中，用总长为的栅栏围一个一边靠墙的矩形花圃．设与墙垂直的边的长为，花圃的面积为．则S关于x的函数表达式为______，当______时，S可以取得最大值． 14．某无人驾驶出租汽车公司试运营，市场调研显示，当每辆车每公里租金（元）为3元时，每天能租出18辆；每辆车每公里租金每提高1元，每天将少租出2辆．已知每辆车每天平均行驶里程为6公里，每辆车每天公司需支付固定成本20元，则该公司每天出租汽车总利润（元）与的函数关系式为__________． 15．如图是一座截面为抛物线形的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面宽度为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度为________米． 16．如图①，在矩形中，动点E从点B出发，以一个单位每秒的速度沿的路线运动，当点E到达点D时停止运动．若，交于点F，设点E运动的时间为t秒，，已知y关于t的函数图象如图②所示，则_________；抛物线顶点纵坐标m的值为_________． 17．某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元；加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_________； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为_________． 18．小林家的洗手台面上有一瓶洗手液（如图1），当手按住顶部下压时（如图2），洗手液瞬间从喷口流出，已知瓶身横截面为轴对称图形，为其对称轴，下部分的视图是矩形 ，点到台面的距离为，点距台面的距离为，且B，D，H三点共线．如果从喷口流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C、E两点． （1）则的长为_______； （2）接洗手液时，当手心距的水平距离为时，手心距水平台面的高度为_______． 四、二次函数综合 19．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为_________． 20．如图，已知二次函数的图像经过点，点，设该二次函数的对称轴与轴交于点，连接，则的面积为_____． 21．在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的“相关矩形”．例如：如图，函数（）的图象，它的“相关矩形”为矩形．若二次函数（）图象的“相关矩形”恰好也是矩形，则______． 22．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．过点C作轴交抛物线于点D，点M是坐标平面内一点（不与点D重合)，若与全等，则点M的坐标为_______． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，若作，且（C、O在的两侧），设点的坐标为，则关于的函数关系式为__________． 24．如图，已知抛物线的对称轴在轴右侧，抛物线与轴交于点和点，与轴的负半轴交于点，且，则下列结论： ； ； ；当时，在轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点，（点在点左边），使得．其中正确的结论是______（填写序号）． 参考答案 1．， 【分析】先根据表格中y值相等的点求出二次函数的对称轴，再利用对称性得到对应的另一个的值，即可得到一元二次方程的解 【详解】解：根据表格可得，点，都在二次函数的图象上， 二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得，当时，， 点关于对称轴的对称点为， 关于的一元二次方程的解是. 2． 【分析】先根据图象求出抛物线的对称轴，再根据其对称性求出另一个交点的横坐标，即可得出方程的解． 【详解】解：根据图象可知抛物线与x轴的交点的横坐标是，且对称轴是，则抛物线与x轴的另一个交点得横坐标是， 所以方程的负实数根可能是． 3． 【分析】根据题意可得二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内，即可求解． 【详解】解：如图，二次函数开口向上，故；且二次函数过，因此． ∵关于x的方程总有一正一负两个实数根， ∴二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内， ∴． 4． 【分析】先求出，对称轴为直线，从而可得点和点关于对称轴对称，轴，求出，即可得出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，，即， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵点在第二象限的抛物线上，， ∴点和点关于对称轴对称，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 5．且 【分析】先根据题意得出点B的坐标，联立方程组求出二次函数与一次函数的交点，再分为线段的端点A和端点B在二次函数的图象上这两种情况，分别分析，结合函数图象和线段的移动轨迹，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点A的坐标为， ∵线段与x轴平行，点B在点A右侧，， ∴点B的坐标为， 联立得：， 整理得：， 解得：， 即、时， 若线段的端点A在抛物线上， 当时，点B的坐标为， 当时，， 即当时，线段的端点B在抛物线上， 此时线段与抛物线有两个公共点， ∴， 当时，点B的坐标为， 当时，， 即当时，线段的端点B不在抛物线上， 此时线段与抛物线有一个公共点， 若线段的端点B在抛物线上， ， 解得：（舍去）； 当时，线段与抛物线有一个公共点， 当时，线段的端点B在抛物线上， 当时，线段与抛物线有一个公共点， 当时，线段与抛物线有两个公共点， 当时，线段与抛物线有一个公共点， 当时， 线段的端点A在抛物线上， 综上所述，m的取值范围为且． 6． 【分析】本题主要考查了二次函数的待定系数法、与坐标轴交点的求解．中垂线的定理，勾股定理和联立方程求交点的方法． 【详解】解： 已知抛物线过和， 将代入，得， 将代入， 得．则． ． 令，则， 解得，或． B点的坐标为， ． 直线过点，， 设直线：，将，代入， 得， 直线：． 设直线：， 直线过点和点D， ， 直线：， 设D点的坐标为： ， 在中，， ，， , ， ， 整理得：， 这说明D点的纵坐标为， 即直线：． 联立直线和抛物线方程 得，解得（即A点）或， ． 设直线CD：，将，代入 得， 直线CD：． ， ． ∴． 过点作线段的中垂线交于点H， 则点E在AC的中垂线上(根据中垂线定理)． 设直线：， 过点， ， 平分线上的点，横、纵坐标相等， 直线：（因为在第二象限）． 联立直线和直线 得．则． 7． 【分析】本题考查一次函数和二次函数的性质，正确掌握二次函数的增减性是解题的关键． 根据题意，对进行分类讨论，再根据函数的性质，逐个求出满足条件的的取值范围即可． 【详解】解：第一种情况，当时，函数为， 当时，，不符合题意； 第二种情况，当时，函数为， 开口向上，对称轴为直线，即当时，随的增大而增大， 当时，，解得，不符合题意； 第三种情况，当时，函数为， 开口向下，对称轴为直线，顶点， 当时，即， 若，则，解得，符合题意； 当时，即， 当时，随的增大而增大， 当时，，解得， ， 不存在； 综上可得：． 故答案为：． 8． 【分析】联立两函数解析式得到，根据A、B两点的坐标可得，则可推出抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，，求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：联立得，即， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴，， ∴； 联立得，即， 设方程的两个实数根分别为， ∴，， ∴m、n可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根， 解方程得或， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集是． 9．或 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，体现了数形结合思想．求出二次函数解析式，得到对称轴为直线，得到点关于直线的对称点为，根据函数图象写出所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：二次函数的图象过点，，开口向上， 即时，，时，， ∴ 解得 ∴ ∴抛物线的对称轴为直线 ∴点关于直线的对称点为，即时，， ∴当时，或． 故答案为：或． 10． 【分析】先根据函数解析式求出图象的顶点坐标，根据二次函数的性质，得到抛物线与轴的坐标不在的下方，得，即可得到答案． 【详解】解：抛物线， 对称轴为直线，顶点为， 直线与抛物线有两个交点A、B， 抛物线开口向下，故， 对称轴为直线，， 抛物线与轴的交点不在的下方， 令，则， ， 解得， 的取值范围为． 11． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．由抛物线开口向上及点坐标区间关系，确保函数值不等式恒成立，需满足区间包含关系及参数范围． 【详解】解：在抛物线中，，， ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大． 要使恒成立，则的上界须小于等于的下界， ∵， ∴的下界是， 因此，对于任意都必须满足，即， ∴且， 解得且． 同时，要使，成立，解得，． 综上，t的取值范围是． 故答案为：． 12．或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题． 直接根据图象作答即可． 【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象相交于两点， ∴当或时，二次函数在一次函数上方， 即关于的不等式的解集为或． 故答案为：或． 13． 【详解】解：墙的一面不需要栅栏，栅栏只需要围三边， 与墙平行的一边长为， ， ， 时，可取最大值，为． 14． 【分析】先表示出租出的车辆数为辆，然后再表示每辆车的利润为元，再由总利润车辆数每辆车的利润建立函数关系式即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得． 15． 【分析】根据题意建立坐标系，然后得出抛物线的解析式，进而令进行求解即可． 【详解】解：由题意可建立坐标系如图所示： ∴抛物线与x轴的交点坐标为， 设抛物线的解析式为，则把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，则有， 解得：， ∴当水面下降2米时，水面的宽度为米． 16． 4 【分析】先由图②得到，，分别当点E在边上时和当点E在边上时，两种情况，利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：由题意和图②得，，， 当点E在边上时，，则； 当点E在边上时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴顶点坐标为，即顶点纵坐标m的值为. 17． 8 24 【详解】解：设安排加工A零件的工人人数为人，因为加工A零件和C零件总数相等，且每名工人只能加工A零件3件或C零件1件，所以加工C零件的工人人数为人， 由题意得，解得， 所以安排加工A零件的工人人数为8人； 设加工B零件的工人人数为y人，加工A零件的工人人数为x人，则加工C零件的工人人数为人， 满足：，即且， 即， 解得， 同时x为正整数； 利润计算：A零件利润：， B零件利润：，代入，得：， C零件利润：， 总利润W为：， 展开并整理得， 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为：， 此时，且，符合条件； 所以加工B零件的人数为24人． 18． 11 【分析】根据题意得出各点坐标，利用勾股定理求得的值，利用待定系数法求抛物线解析式进而求得点坐标即可． 【详解】如图，以为原点，建立平面直角坐标系， 由题意可知，，，， ， 设抛物线解析式为, 因为抛物线经过C、E、B三点， 可得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 由题意可得点的横坐标为， 把代入抛物线解析式，可得， ， 即手心距水平台面的高度为 19． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、轴对称的性质、待定系数法求一次函数解析式，熟练运用轴对称的性质是解题的关键． 根据抛物线的对称性可知，所以当点P在线段上时，的值最小，以此为依据求解即可． 【详解】解：如图，连接，交对称轴于点P，连接， ∵点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 要使的值最小，则应使的值最小， ∴与对称轴的交点P，使得的值最小， 令，则， 解得，， ∴，， 抛物线的对称轴为， ∴点P的横坐标为1， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， ，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点P坐标为． 故答案为：． 20．6 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数与几何的综合、坐标与图形等知识点，求得二次函数的解析式以及二次函数的性质是解题的关键． 将点坐标代入解析式求出h，可得到二次函数的解析式和对称轴，然后再根据抛物线解析式求出点B坐标，再求出、的长，然后求的面积即可． 【详解】解：将点代入得： ，解得：（不符合题意，舍去），， ∴这个二次函数的解析式为， ∴对称轴为，即，， 当时，，即， ∴， ∴． 故答案为：6． 21．或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，先求出点的坐标，再根据定义分抛物线经过点和点两种情况解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：把代入函数，得， ∴， 由题意知， ∵四边形是矩形， ∴， 当抛物线经过点时，把和代入得， ， 解得； 当抛物线经过点时，把和代入得， ， 解得； 综上，若二次函数（）图象的“相关矩形”恰好也是矩形，则或， 故答案为：或． 22．，或 【分析】根据二次函数得出，，结合图象及等腰直角三角形的性质得出，在线段上截取，结合全等三角形的判定和性质得出，作线段的垂直平分线l，则直线l的解析式为，结合轴对称图形的性质得出；作点D关于直线l的对称点，即可求解． 【详解】解：在中， 令， 得， 解得或3， ∴， ∴， 令，得， ∴， ∴. ∵抛物线的对称轴为直线，轴交抛物线于点D，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴.在线段上截取， ∵， ∴， 如图，此时， ∴； 作线段的垂直平分线l，则直线l的解析式为， 作点关于直线l的对称点， 则， 此时； 作点D关于直线l的对称点， 则， ∵， ∴； 综上，点M的坐标为，或． 23． 【分析】延长CA，交y轴于点D，过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，作于M．利用证明，得出，利用证明，得出，．根据函数解析式求出点A和点B的坐标，再证明，求出，那么点C的坐标为，即，将代入，即可求出y关于x的函数关系式． 【详解】解：延长，交y轴于点D，过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，作于M，如图， 令，解得 点B坐标为， 在和中， ， ， ， 同理可得：， ， 抛物线的顶点为A， 点， ， ， ， 即：， 点C的坐标为 即 ， ∴所求函数的解析式为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，正确作出辅助线，求出点C的坐标是解题的关键． 24． 【分析】根据图像分别得出，，，从而可判断；由点和点，与轴的负半轴交于点，且，设，再代入解析式即可判断；利用待定系数法即可判断；设，交点为，对称轴与轴交点为，顶点为，根据抛物线的对称性，是等腰直角三角形，，，得， ，又对称轴 ，所以 ，由顶点坐标公式可知 ，可得或者 ，再结合即可判断． 【详解】解：从图像观察，开口朝上，所以， 对称轴在轴右侧，所以， 图像与轴交点在轴下方，所以， ∴，，所以正确； 点和点，与轴的负半轴交于点，且， 设代入，得：， ∵ ， ∴，所以正确； ∵，， 设抛物线解析式为：过， ∴， ∴ ，所以正确； 如图：设，交点为，对称轴与轴交点为，顶点为， 根据抛物线的对称性，是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ， 又对称轴 ， ∴ ， 由顶点坐标公式可知 ， ∵， ∴ ， 由题意， 解得或者， 由知， ∴，所以不正确． 综上所述：正确． 学科网（北京）股份有限公司 $