精品解析：2026年北京市昌平区2026年九年级第二次统一练习 数学试卷

昌平区2026年初三年级第二次统一练习 数学试卷 本试卷共7页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、它是轴对称图形，也是中心对称图形； B、它不是轴对称图形，是中心对称图形； C、它是轴对称图形，不是中心对称图形； D、它是轴对称图形，不是中心对称图形． 2. 2026年4月，工信部相关部门发布的《中国低空经济发展研究报告（2026）》指出，随着低空飞行应用场景的爆发式增长，预计2026年我国低空经济规模将达到约10600亿元，将10600用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数. 【详解】解：. 3. 如图，直线和相交于点O，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角相等求出  的度数，再根据垂直定义得出 ，最后利用角的和差关系计算即可． 【详解】 解：直线和相交于点， ， ， ， ． 4. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 5. 不透明的袋子中仅有3个红球和7个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键，用红球的数量除以球的总数量即可得到结果． 【详解】∵袋子中球的总数量为（其中红球有个）， ∴摸出红球的概率为． 6. 已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】C 【解析】 【详解】多边形的内角和公式为（n－2）×180°， 根据题意可得：（n－2）×180°=900°， 解得：n=7． 故选C 7. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题关键在于根据作图步骤提取出相等的线段（，），进而证明和，最终利用证明，从而得出平分的结论． 【详解】∵由作图可知，， ∴， 在和中， ∵ ∴（）， ∴； 在和中， ∵ ∴（） ∴； 在和中， ∵ ∴（） ∴， ∴， ∴选项正确． 8. 在平面直角坐标系中，函数，的图象如图所示，点是函数图象上的一个动点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，分别交函数的图象于点，，给出下面四个结论：①四边形有可能是菱形；②；③的面积为定值；④存在唯一的点，使得是直角三角形；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，，，，，，再结合菱形的性质即可判断①；求出直线、的解析式，即可判断②；根据，计算即可判断③；分情况讨论并结合勾股定理即可判断④． 【详解】解：∵点是函数图象上的一个动点， ∴设， ∵过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，分别交函数的图象于点，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴，， 若四边形为菱形，则，即， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 此时，，， 故四边形不是菱形，故①说法错误，不符合题意； 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴，故②正确； ，故③正确； ∵，， ∴，，， ∵， ∴或， 当时，， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 当时，， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）； 故存在两个满足条件的点，使得是直角三角形；故④错误； 综上所述，正确的有②③． 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不为零，列出不等式求解即可． 【详解】解：代数式有意义， 分母， 解得． 10. 分解因式：2x2+4xy+2y2＝_____． 【答案】2（x+y）2 【解析】 【分析】先提出公因式2，再运用完全平方公式分解. 【详解】原式=2（x2+2xy+y2）=2(x+y) 2. 故答案为2(x+y) 2. 11. 方程组：的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：，解得. 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为：． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴△=42﹣4a=16﹣4a=0， 解得：a=4． 故答案为4． 13. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，解整式方程后，检验所得根是否满足原分式方程，即可得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母，得， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 14. 在ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明ABD≌ACD，这个条件可以是________（写出一个即可） 【答案】∠BAD=∠CAD（或BD=CD） 【解析】 【分析】证明ABD≌ACD，已经具备 根据选择的判定三角形全等的判定方法可得答案． 【详解】解： 要使 则可以添加：∠BAD=∠CAD， 此时利用边角边判定： 或可以添加： 此时利用边边边判定： 故答案为：∠BAD=∠CAD或（） 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，属开放性题，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 15. 如图，在正方形中，点为中点，连接，过点作交于点，连接，若，则的面积为________． 【答案】6 【解析】 【分析】由正方形的性质得到，，由点E是的中点得到，由得到，根据同角的余角相等得到，进而证得，利用相似三角形的性质求出的长，从而求得的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 16. 某快递公司为提高分拣效率，将一批快递包裹分配给甲、乙、丙、丁四个分拣点．当某个分拣点分配到车包裹并全部完成分拣后，公司获得的分拣效率得分（单位：分）与的对应关系如下表： … 甲 32 50 乙 28 48 66 82 96 丙 20 38 54 66 76 … 丁 18 36 58 84 114 … 注：空白处表示该分拣点最多只能分配到对应数量的包裹（即每个分拣点有最大容量限制）． （1）如果公司要将5车包裹分配给这四个分拣点，且每个分拣点至少分配到1车包裹，为使分拣效率总得分最大，应向________分拣点分配2车包裹．（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） （2）如果公司要将6车包裹分配给这些分拣点中的一家或多家（每个分拣点最多分配5车包裹），那么6车包裹全部分拣完成后，公司可获得的分拣效率总得分的最大值为________分． 【答案】 ①. 乙 ②. 【解析】 【分析】（1）5车分配给四个分拣点，每个分拣点至少分配1车，因此仅一个分拣点分配2车，其余各分配1车，通过比较不同分配的总得分即可得到结果； （2）按分配车数分类讨论所有符合条件的分配，计算各分配的总得分，即可得到最大值． 【详解】（1）由题意，四个分拣点每个至少分配1车，总车数为5，因此分配形式为，即一个分拣点分配2车，其余各分配1车， 分别计算总得分：若甲分配2车，总得分； 若乙分配2车，总得分； 若丙分配2车，总得分； 若丁分配2车，总得分； ∵，即为最大值， ∴应向乙分拣点分配2车； （2）由题意，各分拣点最大容量为甲最多2车，乙，丙，丁最多5车，总分配车数为6，每个分拣点分配车数不超过5， 分类讨论得：①分配为，最大总得分：； ②分配为，最大总得分：； ③分配为，最大总得分：； ④分配为，最大总得分：； ⑤分配为，最大总得分：； ⑥分配为，最大总得分：； ⑦分配为，最大总得分：； ⑧分配为，最大总得分：； 因此总得分最大值为． 三、解答题（本题共12道小题，第17—19，21—22，25每小题5分，第20，23—24，26每小题6分，第27，28题每小题7分，共68分）． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，计算绝对值，负整数指数幂，特殊角三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解∶ ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先利用整式乘法运算法则化简所求代数式，再根据已知等式得到的值，利用整体代入法计算代数式的值 【详解】解∶ ， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的判定定理，先由题干条件证明四边形为平行四边形，再结合即可证明四边形为菱形； （2）设，由四边形为菱形，可得，再在中，用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：， ． 对角线平分， ， ． ， ，且， 四边形为平行四边形，且， 四边形为菱形． 【小问2详解】 设， 由（1）得四边形为菱形， ． ，， ， ，垂足为， 在中，，即， 解得， 的长为． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）通过待定系数法将，代入解析式求解； （2）解含参不等式． 【小问1详解】 解：将，代入，得 ，解得． 【小问2详解】 解：由（1）得，， 依题意得，，解得， ∴，解得． 22. 某汽车测评机构为了了解X与Y两款热门新能源汽车的用户体验，随机抽取了20名汽车测评体验官，分别对X与Y两款汽车的“续航稳定性”和“智能驾驶体验”两项指标的评分（满分均为10分），并进行了整理、描述和分析如下： a．续航稳定性得分统计： X款汽车的20个评分数据为：7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10 Y款汽车得分的频数分布为： 分数 6 7 8 9 10 人数 1 2 6 8 3 b．智能驾驶体验得分对比情况： 测评机构分析这20名汽车测评体验官的智能驾驶体验得分，将同一个人对两款汽车的智能驾驶体验得分对比，发现X款汽车的智能驾驶体验得分高于Y款汽车的有14人，两款车得分相同的有2人，Y款汽车得分高于X款的有4人． c．两项指标得分统计表： 续航稳定性得分 智能驾驶体验得分 汽车型号 平均数 中位数 众数 平均数 X 8.15 8 8.8 Y 8.5 9 7.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中________，________； （2）在本次测评中，如果某位汽车测评体验官对其中一款车的“智能驾驶体验”评分高于另一款，则视为体验官对该款车“更青睐”．请据此估计，在1500名试驾用户中，更青睐X款汽车的人数约有多少人？ （3）测评机构在复核数据时发现，Y款汽车的样本中有3名汽车测评体验官因初次接触智能驾驶系统，操作不当导致体验感极差，给出了0分的极端评价．为了更真实地反映该系统在常规使用下的表现，机构决定剔除这3个异常数据．剔除后，剩余17名汽车测评体验官评分的平均数与原平均数相比将________，方差与原方差相比将________．（填“增大”、“减小”或“不变”） 【答案】（1）8，9 （2）1050 （3）增大，减小 【解析】 【分析】（1）出现次数最多的数为众数，先把数据排序，位于中间位置的数（如果中间位置有两个数，那么求出它们的平均数）作为中位数，据此进行分析，即可作答； （2）根据20名汽车测评体验官中有14人X款汽车的智能驾驶体验得分高于Y款汽车来估计1500名试驾用户中，更青睐X款汽车的人数约有多少人； （3）去掉0分后，平均数增大，数据的波动程度较小，即方差减小． 【小问1详解】 解：X款汽车的中位数为：； Y款汽车的众数为：9； ∴，． 【小问2详解】 解：（人）． 【小问3详解】 解：该问题是针对“智能驾驶体验得分”， 原平均数为，大于0， 剔除3个0分后，剩余数据的总和不变，但数量由20变为17，故平均数增大； 剔除极端值0分后，数据波动程度变小，故方差减小． 23. 端午，是我国四大传统节日之一，佩戴香囊是流传千年的端午民俗．古人常在香囊内装入艾草、丁香、薰衣草等中草药，寓意祈福安康，承载着中华民族独特的养生智慧与民俗文化．制作端午香囊所选用的原始长方形布料的长与宽之比一般为，制作时，先距离布料上下两端为原始长方形布料的长的处进行画线，再分别距离左右两边为原始长方形布料的宽的处进行画线（如图1），然后沿中线对折（如图2），最后经过一系列折边定型、缝边、翻面等操作，得到成品香囊（如图3）．某人制作端午香囊时，要求成品香囊的长比宽多，求制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是多少厘米？ 【答案】原始长方形布料的长和宽各是厘米和厘米 【解析】 【分析】通过设未知数，根据成品香囊长和宽的关系列出方程，进而求解原始长方形布料的长和宽． 【详解】原始长方形布料的长与宽之比一般为， 可设原始长方形布料的长为，则宽为， 由题意可得，成品香囊的长为，宽为， 成品香囊的长比宽多， ，解得， ， 答：制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是厘米和厘米． 24. 如图，为的直径，是的切线，点C是圆上一点，连接，，，弦垂直于点， （1）求证：是的切线； （2）过点C作，交于点F，连接交于点G，若的半径为3，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据题干条件证明，可得，即可证明是的切线； （2）由，半径为，求出，由勾股定理求出，再由为矩形求出，最后由求出即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的切线， ． 在和中，， ， ，即， 点C是圆上一点， 是的切线． 【小问2详解】 解：如图，过点C作，交于点F，连接交于点G，连接， ，半径， ， ， ，，，即， 四边形为矩形， ． ， ， ，即， 解得． 25. 某精密仪器厂在设计一款特殊的精密部件时，考虑使用两种不同金属材料（A材料和B材料），且两种材料在时原始长度相同．在加热过程中，两种材料的伸展长度（单位：微米）会随温度（单位：）的变化而变化．设A材料的伸展长度为，B材料的伸展长度为． 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 1.0 1.8 2.5 2.9 3.3 3.7 3.9 4.0 0 0.2 0.5 0.9 1.5 2.3 3.1 4.5 6.3 （1）在给出的平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，请你在同一坐标系中画出与的函数图象； （2）结合数据与图象，在同一温度下，两种材料的伸展长度差始终不超过1.5微米，所对应的温度范围为________； A． B． C． D． （3）①若希望在以上环境中，此精密部件的伸展性可以随着温度升高快速提升，则应选择________材料制作此精密部件（填“A”或“B”）； ②若将A，B两种材料在液态下混合并凝固成均匀的固溶体得到新的金属合金C，金属合金C的伸展长度由混合时A，B两种材料的添加比例决定：．当最小为________时，能保证在的温度区间内，金属合金C的伸展长度在每内的变化始终不超过1.0微米． 【答案】（1）作图见解析 （2）D （3）①Ｂ② 【解析】 【分析】（1）根据题干中的数据，描点作图即可； （2）先根据数据求出相同温度的伸展长度差，再结合图象分析即可； （3）①在以上环境中，由，函数图象的变化趋势即可判断； ②在的温度区间，先求出不同温度的，再根据每内的变化始终不超过1.0微米，列不等式求解即可． 【小问1详解】 图象如下： 【小问2详解】 由题意，温度为（单位：）两种材料的伸展长度差为， 由表格中的数据， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 根据数据和图象可得，当时，两种材料的伸展长度差始终不超过1.5微米． 【小问3详解】 ①由函数图象可得，在以上环境中，材料的伸展长度随着温度升高的增加量比材料大，即材料的伸展性随着温度升高提升得更快， 所以应选择材料制作此精密部件． ②当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 金属合金C的伸展长度在每内的变化始终不超过1.0微米， 从到， 即，解得， 从到，， 解得， 从到，， 即，解得， 从到， 即，解得， 综上，当最小为时，能保证在的温度区间内，金属合金C的伸展长度在每内的变化始终不超过1.0微米． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）求抛物线的对称轴； （2）点是抛物线上一点，且， ①直接写出的取值范围； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，记线段长度为．当取，时，的长分别为，，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）直线 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性计算即可得出结果； （2）①由抛物线的解析式可得抛物线开口向上，由抛物线的性质并结合题意得出，计算即可得出结果；②求出，，则，画出大致的函数图象，根据函数图象并结合题意计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：①∵抛物线， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线经过点，，，且， ∴， 解得； ②在中，当时，，即， 在中，当时，，即， ∴， 画出大致函数图象如图所示： 抛物线的对称轴为直线， ∵当取，时，的长分别为，，若对于，都有， ∴由图象可得：，， 解得． 27. 如图，已知等边三角形，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接，，作于点． （1）求的度数； （2）用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，，可得为等腰三角形，为等腰三角形，可得， ，即可求出； （3）过点作交于，先证明，可得，再在中得到，进而得到线段，，的数量关系． 【小问1详解】 解：等边三角形，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段， ，， 为等腰三角形，为等腰三角形， ， 为旋转角，， ， ， ， 【小问2详解】 解：如图，过点作交于， 由（1）得， ， ， ，， 在和中，， ， ． 由（1）得， 在中，， ， ，即， ， 即． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为，点，点均在上．给出如下定义：若满足，且与有个公共点，则称为关于点的点－镶嵌三角形，点叫做关于点的点－镶嵌关联点． （1）如图，若点，． ①在点，，，，点________是关于点的点－镶嵌关联点； ②点为直线上一点，若是关于点的点－镶嵌三角形，则的取值范围为________； （2）点，为直线与的交点（点在点左侧），已知点是关于点的（）点－镶嵌关联点，若存在点，使为以点为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，；②或． （2）存在点，的取值范围为或. 【解析】 【分析】（1）①根据点－镶嵌关联点的定义：，且与有个公共点，逐点判断即可； ②根据定义可得，符合条件的点在以为圆心，为半径的圆上，画出图像，再根据图像平移直线分析符合是关于点的点－镶嵌三角形时，的取值范围． （2）由为以点为直角顶点的等腰直角三角形，可得点在第一、三象限或第二、四象限的平分线上，将求的取值范围，转换成的长度范围，再结合图象和镶嵌关联点的定义对点的位置分类讨论即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：①点，， ， 对于，， 轴，由图可知，与有个公共点， 点是关于点的点－镶嵌关联点； 对于，， 由图可知，与有个公共点， 点不是关于点的点－镶嵌关联点； 对于，， 由图可知，与有个公共点， 点是关于点的点－镶嵌关联点； 对于，， 点不是关于点的点－镶嵌关联点； ②若是关于点的点－镶嵌三角形， 则，点在以为圆心，为半径的圆上， 又点为直线上一点， 如图，以为圆心，为半径作出圆，作轴， 线段与有个交点，当两条线段与只有个交点时，符合题意， 点坐标为，代入，得， 点坐标为，代入，得， 将代入，得， 将代入，得， 由图象可知， 当时，与只有个交点，不符合题意； 当或时，与有个交点，符合题意； 的取值范围为或． 【小问2详解】 解：点是关于点的（）点－镶嵌关联点， ，即点在以为圆心，为半径的圆上， 若存在点，使为以点为直角顶点的等腰直角三角形， 则点在第一、三象限或第二、四象限的平分线上， 当点在第一象限时，如图 直线为，与轴交点为，与轴交点为， 与轴较小的夹角为，且直线为第一、三象限平分线， ，且在上， 为的垂直平分线， ，且， 为等边三角形． 当与圆相切时，不符合题意， 此时，则，即， 当沿第一、三象限平分线向下移动时，直到在上时，符合题意， 当点在上时，符合题意， 此时，， 点在第一象限时，． 当点在第三象限时，如图 同理可得，； 当点在第二象限时，如图 当为直径时，不成立，不符合题意， 此时，则，即， 当点沿第二、四象限平分线向下移动时，直到在上时，符合题意， 当点在上时，符合题意， 此时，， 点在第二象限时，． 当点在第四象限时， 直线在内平移时，点始终在内， ，不符合题意； 综上，的取值范围为或. 【点睛】本题考查了新定义——“镶嵌三角形”、“镶嵌关联点”、等概念，熟练掌握点与圆的位置关系、三角形与圆的公共点个数分析、分类讨论思想、数形结合思想、动点轨迹分析、特殊位置（临界值）的选取是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌平区2026年初三年级第二次统一练习 数学试卷 本试卷共7页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年4月，工信部相关部门发布的《中国低空经济发展研究报告（2026）》指出，随着低空飞行应用场景的爆发式增长，预计2026年我国低空经济规模将达到约10600亿元，将10600用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线和相交于点O，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不透明的袋子中仅有3个红球和7个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 7. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，函数，的图象如图所示，点是函数图象上的一个动点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，分别交函数的图象于点，，给出下面四个结论：①四边形有可能是菱形；②；③的面积为定值；④存在唯一的点，使得是直角三角形；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 10. 分解因式：2x2+4xy+2y2＝_____． 11. 方程组：的解为________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 13. 方程的解为________． 14. 在ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明ABD≌ACD，这个条件可以是________（写出一个即可） 15. 如图，在正方形中，点为中点，连接，过点作交于点，连接，若，则的面积为________． 16. 某快递公司为提高分拣效率，将一批快递包裹分配给甲、乙、丙、丁四个分拣点．当某个分拣点分配到车包裹并全部完成分拣后，公司获得的分拣效率得分（单位：分）与的对应关系如下表： … 甲 32 50 乙 28 48 66 82 96 丙 20 38 54 66 76 … 丁 18 36 58 84 114 … 注：空白处表示该分拣点最多只能分配到对应数量的包裹（即每个分拣点有最大容量限制）． （1）如果公司要将5车包裹分配给这四个分拣点，且每个分拣点至少分配到1车包裹，为使分拣效率总得分最大，应向________分拣点分配2车包裹．（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） （2）如果公司要将6车包裹分配给这些分拣点中的一家或多家（每个分拣点最多分配5车包裹），那么6车包裹全部分拣完成后，公司可获得的分拣效率总得分的最大值为________分． 三、解答题（本题共12道小题，第17—19，21—22，25每小题5分，第20，23—24，26每小题6分，第27，28题每小题7分，共68分）． 17. 计算： 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围． 22. 某汽车测评机构为了了解X与Y两款热门新能源汽车的用户体验，随机抽取了20名汽车测评体验官，分别对X与Y两款汽车的“续航稳定性”和“智能驾驶体验”两项指标的评分（满分均为10分），并进行了整理、描述和分析如下： a．续航稳定性得分统计： X款汽车的20个评分数据为：7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10 Y款汽车得分的频数分布为： 分数 6 7 8 9 10 人数 1 2 6 8 3 b．智能驾驶体验得分对比情况： 测评机构分析这20名汽车测评体验官的智能驾驶体验得分，将同一个人对两款汽车的智能驾驶体验得分对比，发现X款汽车的智能驾驶体验得分高于Y款汽车的有14人，两款车得分相同的有2人，Y款汽车得分高于X款的有4人． c．两项指标得分统计表： 续航稳定性得分 智能驾驶体验得分 汽车型号 平均数 中位数 众数 平均数 X 8.15 8 8.8 Y 8.5 9 7.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中________，________； （2）在本次测评中，如果某位汽车测评体验官对其中一款车的“智能驾驶体验”评分高于另一款，则视为体验官对该款车“更青睐”．请据此估计，在1500名试驾用户中，更青睐X款汽车的人数约有多少人？ （3）测评机构在复核数据时发现，Y款汽车的样本中有3名汽车测评体验官因初次接触智能驾驶系统，操作不当导致体验感极差，给出了0分的极端评价．为了更真实地反映该系统在常规使用下的表现，机构决定剔除这3个异常数据．剔除后，剩余17名汽车测评体验官评分的平均数与原平均数相比将________，方差与原方差相比将________．（填“增大”、“减小”或“不变”） 23. 端午，是我国四大传统节日之一，佩戴香囊是流传千年的端午民俗．古人常在香囊内装入艾草、丁香、薰衣草等中草药，寓意祈福安康，承载着中华民族独特的养生智慧与民俗文化．制作端午香囊所选用的原始长方形布料的长与宽之比一般为，制作时，先距离布料上下两端为原始长方形布料的长的处进行画线，再分别距离左右两边为原始长方形布料的宽的处进行画线（如图1），然后沿中线对折（如图2），最后经过一系列折边定型、缝边、翻面等操作，得到成品香囊（如图3）．某人制作端午香囊时，要求成品香囊的长比宽多，求制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是多少厘米？ 24. 如图，为的直径，是的切线，点C是圆上一点，连接，，，弦垂直于点， （1）求证：是的切线； （2）过点C作，交于点F，连接交于点G，若的半径为3，，求的长． 25. 某精密仪器厂在设计一款特殊的精密部件时，考虑使用两种不同金属材料（A材料和B材料），且两种材料在时原始长度相同．在加热过程中，两种材料的伸展长度（单位：微米）会随温度（单位：）的变化而变化．设A材料的伸展长度为，B材料的伸展长度为． 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 1.0 1.8 2.5 2.9 3.3 3.7 3.9 4.0 0 0.2 0.5 0.9 1.5 2.3 3.1 4.5 6.3 （1）在给出的平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，请你在同一坐标系中画出与的函数图象； （2）结合数据与图象，在同一温度下，两种材料的伸展长度差始终不超过1.5微米，所对应的温度范围为________； A． B． C． D． （3）①若希望在以上环境中，此精密部件的伸展性可以随着温度升高快速提升，则应选择________材料制作此精密部件（填“A”或“B”）； ②若将A，B两种材料在液态下混合并凝固成均匀的固溶体得到新的金属合金C，金属合金C的伸展长度由混合时A，B两种材料的添加比例决定：．当最小为________时，能保证在的温度区间内，金属合金C的伸展长度在每内的变化始终不超过1.0微米． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）求抛物线的对称轴； （2）点是抛物线上一点，且， ①直接写出的取值范围； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，记线段长度为．当取，时，的长分别为，，若对于，都有，求的取值范围． 27. 如图，已知等边三角形，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接，，作于点． （1）求的度数； （2）用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为，点，点均在上．给出如下定义：若满足，且与有个公共点，则称为关于点的点－镶嵌三角形，点叫做关于点的点－镶嵌关联点． （1）如图，若点，． ①在点，，，，点________是关于点的点－镶嵌关联点； ②点为直线上一点，若是关于点的点－镶嵌三角形，则的取值范围为________； （2）点，为直线与的交点（点在点左侧），已知点是关于点的（）点－镶嵌关联点，若存在点，使为以点为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $