精品解析：重庆市巴蜀中学校2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题

初二数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题：（本大题9个小题，每小题4分，共36分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法不正确的是（ ） A. 地平均气温的最大值大于地平均气温的最大值 B. 地平均气温的中位数低于地平均气温的中位数 C. 地平均气温的方差小于地平均气温的方差 D. 地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 B. 有一组邻边相等的四边形是菱形 C. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 5. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 6. 如图，是平行四边形中边上一点，连接，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象不过第一象限，若点在该图象上，则点不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的边长为5，对角线、交于点，点、分别是边、上的点，，、分别交于点、，若，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 9. 如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（ ） A. B. C. D. 二、不定项选择题：（本大题1个小题，共4分）下列代号为A、B、C、D的四个答案中，有一个或多个选项是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑．全部选对得4分，部分选对得2分，错选或不选得0分． 10. 已知关于的整式，其中，，，，，为正整数，令，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则满足条件的整式共有6个 B. 若，且，则方程的所有解之和为 C. 当且时，若方程存在两个不相等的实数根，则的最大值为12 D. 以上都不对 三、填空题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 据统计，截至2025年底，全球已有用户注册使用．从中国创新到服务世界，我们用科技的温度和便捷，践行着普惠的家国担当．用科学记数法表示为________． 12. 将直线向上平移2个单位长度得到的直线解析式为________． 13. 如图，直线与相交于点，已知点的横坐标为，则关于的不等式的解集为_____． 14. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是________． 15. 车从甲地驶往乙地，车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设车行驶的时间为，与两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．车行驶到达目的地，车继续行驶，直至也到达目的地．若在与相遇时，车以车的速度从乙地出发驶往甲地，根据图中的信息，车行驶________小时时与车相距． 16. 若关于的一元一次不等式组有解且最多有2个奇数解，且关于的分式方程的解为整数．则符合条件的整数有________个． 17. 如图，、，分别在矩形边，上，将沿直线翻折到矩形所在的平面内得，将四边形沿直线翻折到矩形所在的平面内得四边形，点刚好与重合，且、、共线，、、共线，交于点，，连接．若，则的长度为________，点到直线的距离为________． 18. 对于一个四位数（各数位数字互不相等且均不为0），若其百位数字与个位数字之和为7，即，且千位数字与十位数字之和为11，即，则称为“星光数”．将的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，得到新的四位数．定义．例如：四位数，∵，，且各数位数字互异非零，∴是“星光数”，，． 则________；若为整数，则的最大值和最小值之和为________． 四、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算 （1）； （2）． 20. 为了解小学生生长发育情况，某校从三年级学生中随机抽取20名男生、20名女生的身高数据（单位：），对数据进行整理、描述、分析如下（身高用表示，共分四组：．；．；．；．） 被抽取的三年级的女生身高数据是： 125，127，128，132，135，136，137，138，138，139 140，141，142，142，142，143，144，145，150，156 被抽取的三年级的男生身高在组的数据是： 130，132，134，135，135，136，138，139，139 三年级被抽取学生的身高统计表 平均数 众数 中位数 女生 139 男生 139 140 （1）直接写出上述表中________，________，________； （2）根据以上信息，分析三年级学生中男生和女生身高整体水平哪一个更高？请说明理由（写出一条即可） （3）若该校三年级女生有600人，男生有800人，请估计该校三年级身高不低于 的学生共有多少人？ 21. 在矩形中，为边上的一点，连接，． （1）用尺规完成以下基本作图：过点作垂直于点，交于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）证明：四边形为菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴①________， ∴ ∵， ∴②________， ∴ ∴ 又∵ ∴ 即且． ∴四边形为③________， 又∵， ∴四边形为菱形．（④________）． 22. 如图1，在梯形中，，，，，点在上且，动点、同时从点出发，点以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，点到达点时，速度变为每秒1个单位长度，点到达点时，点、都停止运动．设点运动时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出与之间的函数关系式并注明自变量的取值范围； （2）如图2，在平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是________． 23. 某文具店第一次花费600元购进一批文具礼盒，全部售完；第二次花费1950元购进同款文具礼盒，购进数量是第一次的2倍，且每个文具礼盒的进价比第一次上涨了5元． （1）请列分式方程解决以下问题，第二次购进了这批文具礼盒多少盒？ （2）该店12月份共售出该礼盒80盒，每盒售价为35元．为回馈顾客并提升销量，该店决定在次年1月份调整销售方案：线上渠道每盒降价元销售，线下门店每盒降价5元销售；1月份总销量较12月份增加了，其中线上、线下销量各占1月份总销量的，1月份总销售额比12月份总销售额减少了200元，求的值． 24. 根据以下素材，探索完成确定组合图形匀质薄板重心位置的任务． 素材一：平行四边形匀质薄板的重心在两条对角线的交点处，三角形匀质薄板的重心在三条中线的交点处．通过实验操作，得出结论：若一个平面组合图形匀质薄板的重心坐标为，面积为，被分成部分匀质薄板的重心坐标分别为，，…，，面积分别为，，…，，则，． 素材二：负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分，可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为，其中，． （1）如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心点穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平．若，则________； （2）如图2，若，，，，以点为原点，以所在直线为轴（向右为正方向），所在直线为轴（向上为正方向），取1个单位长度代表长度1，建立平面直角坐标系，求此“”形的重心坐标； （3）如图3，阴影部分为某匀质工程零件薄板，在以为原点的平面直角坐标系中，每个格子的边长为1，求该匀质薄板的重心坐标（取3）． 25. 如图1，直线交轴，轴于点和点，直线过点，交轴负半轴于点，直线和直线交于点，已知． （1）求直线的解析式； （2）如图2，已知直线，点是直线上一动点，且点在直线的下方，连接，，点是轴上一动点，将点向上平移2个单位长度至点，接，．当的面积为时，求的最大值； （3）如图3，令直线交直线于点，交轴于点，将直线向下平移3个单位长度得到直线，直线交直线于点，交直线于点．点是轴上的一点，是否存在点使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 在等腰直角三角形中，，，D为直线上一点，E为边上一点． （1）如图1，若平分，平分，求； （2）如图2，若点D在线段延长线上，连接，，过点B作交于点F，连接并延长交于点G．若，求证：； （3）如图3，若，在（2）问条件下，在边上找一点M，使得，连接，，取中点N，连接并延长交于H，当线段取得最小值时，直线上有一动点P，连接，，将线段绕点P逆时针旋转得到，连接，当取得最小值时，连接，，请直接写出三角形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题：（本大题9个小题，每小题4分，共36分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，根据定义逐一判断选项即可. 【详解】解：∵一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程， 对各选项逐一判断： A. ，满足所有条件，是一元二次方程； B. ，含有和两个未知数，不满足定义，不是一元二次方程； C. ，分母含有未知数，不是整式方程，不满足定义，不是一元二次方程； D. ，整理后未知数最高次数为1，是一元一次方程，不满足定义，不是一元二次方程. 2. 一次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据k>0必过一三象限, b>0必过一、二、三象限，即可解题. 【详解】∵y=x+3中k=1>0，b=1>0， ∴函数图像必过一、二、三象限， 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，属于简单题，熟悉系数与函数图像的位置关系是解题关键． 3. 如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法不正确的是（ ） A. 地平均气温的最大值大于地平均气温的最大值 B. 地平均气温的中位数低于地平均气温的中位数 C. 地平均气温的方差小于地平均气温的方差 D. 地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 【答案】C 【解析】 【分析】箱线图中，箱体的上下四分位数、中间的线是中位数，两端是最大值和最小值，数据越分散，方差越大． 【详解】解：A、A地的最大值接近20，B地的最大值在15左右，所以A地最大值大于B地，正确； B、A地的中位数比B地的中位数低，正确； C、A地的数据分布比B地更分散，所以A地的方差大于B地的方差，该选项说法错误； D、B地的最小值约为5，A地的下四分位数在5以下，说明有以上的数据低于5，即低于B地的最小值，正确； 所以不正确的是C． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 B. 有一组邻边相等的四边形是菱形 C. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．有一个角是直角的平行四边形才是矩形，一组对边相等且有一个角是直角的任意四边形不一定是矩形，故该选项错误， B．有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，缺少平行四边形的前提条件，故该选项错误， C．对角线相等且互相垂直平分的四边形才是正方形，缺少对角线互相平分的条件，故该选项错误 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，故该选项正确，符合题意． 5. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】D 【解析】 【分析】先利用二次根式乘法运算法则化简原式，再利用相邻整数的平方数估算无理数的范围，即可得到原式的取值范围． 【详解】首先化简原式，根据二次根式乘法运算规则： ∵ ， 又∵ ， ∴ ， 即 不等式两边同时加2，得 ， 即 因此原式的值在7和8之间． 6. 如图，是平行四边形中边上一点，连接，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，平行线的性质求解即可； 【详解】解：因为平行四边形， 所以，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； 7. 已知函数的图象不过第一象限，若点在该图象上，则点不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一次函数图象不过第一象限确定的取值范围，再将各选项点坐标代入解析式求出，判断是否符合取值范围即可得到结果. 【详解】解：∵函数是一次函数，图象不过第一象限，且常数项， ∴可得. 将各选项点坐标代入解析式计算： A 代入，得 ，解得 ，符合条件，不符合题意； B 代入，得 ，解得 ，符合条件，不符合题意； C 代入，得，解得 ，不符合的要求，符合题意； D 代入，得 ，解得，符合条件，不符合题意. 因此不可能在函数图象上. 8. 如图，菱形的边长为5，对角线、交于点，点、分别是边、上的点，，、分别交于点、，若，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明得，进而由等角对等边求出，证明得，由勾股定理求出，证明四边形是平行四边形得，进而求出，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵菱形的边长为5， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点G作于点M，连接，证明，得到，然后得到，设，则，然后利用勾股定理和等面积法逐步表示出，，利用三角形中位线的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点G作于点M，连接 ∵在正方形中，点、点分别是边，上的中点， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点，点分别是，上的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得（负值舍去） ∴ ∴正方形的边长等于． 二、不定项选择题：（本大题1个小题，共4分）下列代号为A、B、C、D的四个答案中，有一个或多个选项是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑．全部选对得4分，部分选对得2分，错选或不选得0分． 10. 已知关于的整式，其中，，，，，为正整数，令，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则满足条件的整式共有6个 B. 若，且，则方程的所有解之和为 C. 当且时，若方程存在两个不相等的实数根，则的最大值为12 D. 以上都不对 【答案】BC 【解析】 【分析】本题已知所有系数和均为正整数，结合分类计数和一元二次方程根的判别式知识，对每个选项逐一判断即可； 【详解】解：A、，按分类计数： 当时，，则符合条件的正整数有，共3组； 当时，，则符合条件的正整数有，共3组； 当时，，则符合条件的正整数有，共1组， 所以总共有个满足条件的整式，故A错误； B、且时，方程为，其两根之和为， 则满足的正整数组，，可能得情况如下： 当，，时，方程为，，不符合题意； 当，，时，方程为，，不符合题意； 当，，时，方程为，，此时； 当，，时，方程为，，此时； 当，，时，方程为，，不符合题意； 当，，时，方程为，，不符合题意； 当，，时，方程为，，此时； 当，，时，方程为，，不符合题意； 当，，时，方程为，，不符合题意； 当，，时，方程为，，不符合题意； 符合条件的和为，故B正确； C、∵， ∴整理方程得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴要使最大，优先取最大的，最大为5， 此时需要且，则最大取4， 再由得最大取3， 此时满足所有条件，且是最大值，故C正确； D、因为B、C正确，所以D错误． 三、填空题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 据统计，截至2025年底，全球已有用户注册使用．从中国创新到服务世界，我们用科技的温度和便捷，践行着普惠的家国担当．用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】正确确定科学记数法中和的值即可得解； 【详解】． 12. 将直线向上平移2个单位长度得到的直线解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据一次函数的平移规则：“上加下减，左加右减”求解即可. 【详解】解：∵直线向上平移2个单位长度， ∴根据平移规律可得得到的直线解析式为 13. 如图，直线与相交于点，已知点的横坐标为，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用交点的横坐标，数形结合思想求解即可； 【详解】解：因为直线与相交于点， 且点的横坐标为， 故关于的不等式的解集为； 14. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得出，根据有实数根得出判别式，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是且． 15. 车从甲地驶往乙地，车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设车行驶的时间为，与两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．车行驶到达目的地，车继续行驶，直至也到达目的地．若在与相遇时，车以车的速度从乙地出发驶往甲地，根据图中的信息，车行驶________小时时与车相距． 【答案】4或 【解析】 【分析】由图象时，得甲乙两地总路程为；因为A车走完全程，所以用速度公式可求A车速度．由图象时，可知B车走完全程需要，所以用速度公式可求B车速度．两车同时出发相向而行，相遇时两车路程和为总路程，所以用相遇问题公式可求相遇时间，即C车的出发时间．设C车行驶时间为小时，分两种情况：如果C车还没追上B车，那么B车比C车多走的路程为，列方程求解；如果C车追上B车后超出，那么C车比B车多走的路程为，列方程求解． 【详解】解：由图象和题意可知，甲乙两地距离为，A车10小时走完全程， ∴A车速度：  ， B车20小时走完全程，因此B车速度： ， 两车同时出发相向而行，相遇时间为： ，  B车从乙地出发开往甲地，相遇时B车距离乙地的路程为： ， 设C车行驶小时后，与B车相距．C车速度等于A车速度，从乙地出发和B车同方向， ∴ 小时后，C距离乙地：，B距离乙地：  两车距离满足： 即， 分两种情况： 未追上B车时： 解得， 追上B车后：，解得．​ 两个解均符合实际行程， ∴答案为或． 16. 若关于的一元一次不等式组有解且最多有2个奇数解，且关于的分式方程的解为整数．则符合条件的整数有________个． 【答案】5 【解析】 【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组有解且最多有2个奇数解得到的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为整数且不为增根，找出符合条件的整数，统计个数即可． 【详解】解：， 不等式：两边同乘得， 移项合并同类项得， 系数化为得； 解不等式：展开得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：， 不等式组有解， 解集为， 又不等式组最多有个奇数解， 且， 解得：， 解分式方程， 方程两边同乘得：， 整理得：， 解得：， 由分式分母不为得：， 分式方程的解为整数，为整数，且， 是的因数，且， 可得符合条件的为：，，，，，共个． 17. 如图，、，分别在矩形边，上，将沿直线翻折到矩形所在的平面内得，将四边形沿直线翻折到矩形所在的平面内得四边形，点刚好与重合，且、、共线，、、共线，交于点，，连接．若，则的长度为________，点到直线的距离为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】证明，得到，即可得到；证明四边形是平行四边形，过点F作于点K，证明四边形是矩形，设则，，设点到直线的距离为，根据勾股定理，三角形的面积公式求解即可； 【详解】解：∵矩形， ∴，， 根据折叠的性质，得，， ∴， 根据折叠的性质，得， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，是线段的垂直平分线， ∴， 根据折叠的性质，得， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 过点F作于点K， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴， 设 则，， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， 解得，边长不能为负，故负的舍去， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点到直线的距离为， 根据题意，得， ∴； 18. 对于一个四位数（各数位数字互不相等且均不为0），若其百位数字与个位数字之和为7，即，且千位数字与十位数字之和为11，即，则称为“星光数”．将的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，得到新的四位数．定义．例如：四位数，∵，，且各数位数字互异非零，∴是“星光数”，，． 则________；若为整数，则的最大值和最小值之和为________． 【答案】 ①. 297 ②. 1188 【解析】 【分析】第一空根据“星光数”的定义和的计算规则直接计算即可；第二空先将和用代数式表示，结合已知条件，化简，再根据为整数得到分母是的因数，结合数位的取值范围和各数位数字互异非零的条件，筛选出符合条件的，得到最大值和最小值后求和。 【详解】对于，，，，，满足，，各数位互异且均不为，是“星光数”，对调后得到， ； 已知，对调后， 则 ， 由题意得，， 代入得： ， ， 因为是整数，所以是的因数，且， 根据数位要求：均为不为的一位数，，故，得；同理，，得， 因此的范围是：，即， 分解，范围内符合条件的为，，，，，， 结合四个数位，，，互不相等且均不为，逐一验证： ：，得，，，，四个数互异非零，符合，； ：，得，，，重复，舍去； ：，得，，，，四个数互异非零，符合，； ：，得，，，，重复，舍去； ：，得，不符合非零要求，舍去； ：，得，，，，四个数互异非零，符合，； ：，得，，，，，重复，舍去； ：，得，不符合非零要求，舍去； ：，得，，，，四个数互异非零，符合，； ：，得，，，，，重复，舍去； ：，得，，，，四个数互异非零，符合，； ：，得，不符合非零要求，舍去； 因此的最大值为，最小值为，最大值与最小值之和为． 四、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式和分式的计算以及分解因式，掌握完全平方公式，平方差公式以及分式的加减乘除混合运算是解题的关键． （1）将进行平方差公式的计算，进行完全平方公式的计算，最后在进行加减混合运算即可得出结果． （2）先算括号里的，再将除以转换成乘以，并将进行分解因式，最后进行乘法运算即可得出结果． 【小问1详解】 ； 解：原式， ， ． 【小问2详解】 ． 解：原式， ， ． 20. 为了解小学生生长发育情况，某校从三年级学生中随机抽取20名男生、20名女生的身高数据（单位：），对数据进行整理、描述、分析如下（身高用表示，共分四组：．；．；．；．） 被抽取的三年级的女生身高数据是： 125，127，128，132，135，136，137，138，138，139 140，141，142，142，142，143，144，145，150，156 被抽取的三年级的男生身高在组的数据是： 130，132，134，135，135，136，138，139，139 三年级被抽取学生的身高统计表 平均数 众数 中位数 女生 139 男生 139 140 （1）直接写出上述表中________，________，________； （2）根据以上信息，分析三年级学生中男生和女生身高整体水平哪一个更高？请说明理由（写出一条即可） （3）若该校三年级女生有600人，男生有800人，请估计该校三年级身高不低于 的学生共有多少人？ 【答案】（1），，； （2）三年级学生中女生身高整体水平更高，因为被抽取的三年级女学生身高的中位数大于被抽取的三年级男学生身高中位数139． （3）1230人． 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数，圆心角的计算求解即可； （2）根据中位数解答即可； （3）利用样本估计总体思想求解即可； 【小问1详解】 解：142出现的次数最多，3次，故众数， 根据题意，A组人数为：（人），B组人数为：9（人）， 中位数是第10个，第11个数据的平均数， 故中位数， 因为， 所以 故； 【小问2详解】 解：三年级学生中女生身高整体水平更高，因为被抽取的三年级女学生身高的中位数大于被抽取的三年级男学生身高中位数139． 【小问3详解】 解：根据题意，得（人） 答：估计该校三年级学生身高不低于130cm的学生共有1230人． 21. 在矩形中，为边上的一点，连接，． （1）用尺规完成以下基本作图：过点作垂直于点，交于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）证明：四边形为菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴①________， ∴ ∵， ∴②________， ∴ ∴ 又∵ ∴ 即且． ∴四边形为③________， 又∵， ∴四边形为菱形．（④________）． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③平行四边形；④有一组邻边相等的平行四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）根据垂线的基本作图，解答即可； （2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 解：根据垂线的基本作图，作图如下： 则点O，点H即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ 即且． ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形．（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 22. 如图1，在梯形中，，，，，点在上且，动点、同时从点出发，点以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，点到达点时，速度变为每秒1个单位长度，点到达点时，点、都停止运动．设点运动时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出与之间的函数关系式并注明自变量的取值范围； （2）如图2，在平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是________． 【答案】（1） （2）图见解析，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3）或． 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，进行讨论求解即可； （2）描点，连线，画出函数图象，根据图象写出一条性质即可； （3）直接利用图象法进行求解即可． 【小问1详解】 解：当，此时点在线段上， 由题意，， ∵，即， ∴； 当，此时点在线段上，点在线段上， 由题意，， ∵， ∴， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴时，，时，，时，，时，， 画图如下： 由图可知：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【小问3详解】 解：由图象，当经过原点时，， 当经过时，，解得； 故当时，直线与该函数图象恰有一个交点； 当经过时，，解得； 故当时，直线与该函数图象恰有一个交点； 综上：或． 23. 某文具店第一次花费600元购进一批文具礼盒，全部售完；第二次花费1950元购进同款文具礼盒，购进数量是第一次的2倍，且每个文具礼盒的进价比第一次上涨了5元． （1）请列分式方程解决以下问题，第二次购进了这批文具礼盒多少盒？ （2）该店12月份共售出该礼盒80盒，每盒售价为35元．为回馈顾客并提升销量，该店决定在次年1月份调整销售方案：线上渠道每盒降价元销售，线下门店每盒降价5元销售；1月份总销量较12月份增加了，其中线上、线下销量各占1月份总销量的，1月份总销售额比12月份总销售额减少了200元，求的值． 【答案】（1）第二次购进文具礼盒150盒 （2）15 【解析】 【分析】（1）设第一次购进文具礼盒的数量为未知数，或设第一次的进价为未知数，因为第二次购进数量是第一次的2倍，且单价比第一次上涨5元，所以可根据“单价=总价÷数量”的关系，结合两次进价的差值列分式方程，求解后得到第二次的购进数量； （2）先计算12月份的总销售额，再根据1月份销量的增长率表示出1月份的总销量，进而得到线上、线下各自的销量，结合线上、线下的单价，列出1月份总销售额的表达式，因为1月份总销售额比12月少200元，所以可建立关于a的方程，求解得到a的值． 【小问1详解】 解：设第一次购进文具礼盒盒，则第二次购进文具礼盒盒， 由题意得， 解得 检验：当时，， ∴是方程的解且符合题意 ∴ 答：第二次购进文具礼盒150盒． 【小问2详解】 解：由题意得， 化简得解得，（舍） 答：的值为15． 24. 根据以下素材，探索完成确定组合图形匀质薄板重心位置的任务． 素材一：平行四边形匀质薄板的重心在两条对角线的交点处，三角形匀质薄板的重心在三条中线的交点处．通过实验操作，得出结论：若一个平面组合图形匀质薄板的重心坐标为，面积为，被分成部分匀质薄板的重心坐标分别为，，…，，面积分别为，，…，，则，． 素材二：负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分，可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为，其中，． （1）如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心点穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平．若，则________； （2）如图2，若，，，，以点为原点，以所在直线为轴（向右为正方向），所在直线为轴（向上为正方向），取1个单位长度代表长度1，建立平面直角坐标系，求此“”形的重心坐标； （3）如图3，阴影部分为某匀质工程零件薄板，在以为原点的平面直角坐标系中，每个格子的边长为1，求该匀质薄板的重心坐标（取3）． 【答案】（1） （2）平面直角坐标系图见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分性质求解即可； （2）以点为原点，所在直线为轴，向右为正方向，所在直线为轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系，根据素材一中的公式求解即可； （3）利用素材二的方法求解即可． 【小问1详解】 解：用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心点穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平． 所以都是的中线， 所以， 因为， 故； 【小问2详解】 解：如图所示，以点为原点，所在直线为轴，向右为正方向，所在直线为轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系， ∵四边形是矩形，，，，， ∴，，，，，， ∵为中点，∴，即， 同理，∴，即， ∵，， ∴，， ∴“”形的重心坐标为． 【小问3详解】 解：如图3可知， 各点坐标依次是： ，，，，，，，，，，， ∴矩形的重心坐标为，即，面积为， 矩形的重心坐标为，即，面积为， 矩形的重心坐标为，即，面积为， 圆的重心坐标为，面积为， 根据题干所给公式计算整个阴影部分的重心的横坐标和纵坐标为： 整个阴影部分的重心的横坐标为：， 纵坐标为， ∴整个阴影部分的重心的坐标为． 25. 如图1，直线交轴，轴于点和点，直线过点，交轴负半轴于点，直线和直线交于点，已知． （1）求直线的解析式； （2）如图2，已知直线，点是直线上一动点，且点在直线的下方，连接，，点是轴上一动点，将点向上平移2个单位长度至点，接，．当的面积为时，求的最大值； （3）如图3，令直线交直线于点，交轴于点，将直线向下平移3个单位长度得到直线，直线交直线于点，交直线于点．点是轴上的一点，是否存在点使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得,结合直线过点，待定系数法求解即可； （2）根据面积求得，将向上平移2个单位长度，得到，连接，则四边形是矩形，得到，的最大值就转化为，连接，并延长交x轴于点T，，当S，P，E三点共线时，取得最大值，且最大值为，求解即可； （3）根据题意，得一种情况是直线的解析式为，令，得，；另一种情况，作线段的垂直平分线，交于点X，得直线的解析式为，令，得，故； 【小问1详解】 解：∵直线交轴，轴于点和点， 当时，，解得， ∴； 当时，， ∴；， ∵， ∴， 解得， ∵点C在x轴的负半轴， 故, ∵直线过点，交轴负半轴于点， ∴，，解得， ∴直线． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得， 故， ∵点P在直线上， 不妨设，过点P作轴，交于点W， 则， ∴， ∵的面积为， ∴ ∴， 解得， 故， 将向上平移2个单位长度，得到，连接，则四边形是矩形， ∴， ∴的最大值就转化为， 连接，并延长交x轴于点T， ∵， ∴当S，P，E三点共线时，取得最大值，且最大值为， 故当点E与点T重合时，取得最大值， 故； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设与x轴的交点为U， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 且， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为， 根据题意，得， 故， 解得， 故， 故， 解得 故直线的解析式为， 令，得， 故； 根据题意，得， 解得， 故， 作线段的垂直平分线，交于点X， 则， 设， 故 故， 解得， 故， 故， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 令，得， 故； 综上所述，或； 26. 在等腰直角三角形中，，，D为直线上一点，E为边上一点． （1）如图1，若平分，平分，求； （2）如图2，若点D在线段延长线上，连接，，过点B作交于点F，连接并延长交于点G．若，求证：； （3）如图3，若，在（2）问条件下，在边上找一点M，使得，连接，，取中点N，连接并延长交于H，当线段取得最小值时，直线上有一动点P，连接，，将线段绕点P逆时针旋转得到，连接，当取得最小值时，连接，，请直接写出三角形的面积． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）过点F作交于点I，利用等腰直角三角形的性质和角平分线的性质证得，，设，利用等腰直角三角形的性质得到相关线段的表达式，从而求得最终结果； （2）过点B作交延长线于点K，连接，通过导角证明，四边形为平行四边形，，从而得出相关线段的关系，最后利用线段和差即可证得结论； （3）通过逆等线模型确定出的最小值，推出点N的位置，即可得到存在最小值的位置，再通过等边三角形的性质，证明，，将的最小值进行转化，即可得出当点B，，三点共线时，有最小值，即，最后结合图象得出此时的位置，利用等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解30度直角三角形及三角形面积公式即可求得最终结果． 【小问1详解】 解：如图，过点F作交于点I， ∵，， 又∵平分， ∴， ∵平分， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，过点B作交延长线于点K，连接， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，点G，M分别是，上的动点，且， ∴， 如图，过点A作，且，连接，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点R在直线上运动，且与夹角为， 当时，有最小值，此时，则， ∴的最小值为， ∵点N为的中点， ∴， ∴当为等腰的中位线时，有最小值为， 由题意知，点P为直线的动点，是等边三角形， 如图，当点P与点重合时，即点，作等边，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当点B，，三点共线时，有最小值，即， 连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，连接，绕点逆时针旋转得，连接，，过点D作交直线于点T， ∴为等边三角形，即， ∵， ∴， ∴点在直线上， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，点为的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ ， 即三角形的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $