7.3.2 离散型随机变量的方差 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的方差，涵盖概念、计算步骤、性质及应用。通过复习数学期望引出其无法反映波动的局限，以射击环数实例为支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合射击比赛、投资风险等现实情境，用数学眼光观察波动问题，通过实例推导概念培养数学思维，用分布列和图表表达增强数学语言能力。典例与变式结合，帮助学生理解方差意义，教师可直接用于教学提升效率。

7.3.2 离散型随机变量的方差 第六章 计数原理 作者编号：32100 1 ★ 离散型随机变量的数学期望： 复习回顾 ★ 数学期望的性质： (1)E(X＋b)＝E(X)＋b， (2)E(aX)＝aE(X)， (3)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. E(X)＝x1 p1＋x2 p2＋…＋xn pn 作者编号：32100 新课引入 随机变量的均值 E(X)是一个重要的数字特征，它刻画的是随机变量X 取值的平均水平。均值在实际中有着广泛的应用，如在成绩预测、工程方案预测、投资收益预测中都可以通过随机变量的均值来进行估计.(决策问题) 因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小。所以，我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 作者编号：32100 某人射击 10 次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4； 则所得的平均环数是多少？ X 1 2 3 4 P 所得环数 X 的分布列如下所示： 新知探究 作者编号：32100 新知探究 某人射击 10 次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？ X 1 2 3 4 P 均值 作者编号：32100 概念生成 离散型随机变量的方差 设离散型随机变量 X 的分布列如表所示： 则称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2 pn 为随机变量 X 的方差，并称 为随机变量X的标准差，记为 . X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 作者编号：32100 概念解读 (1)计算随机变量的可能取值 xi 与均值 E(X) 的偏差： (2)取偏差的平方： (3)偏差平方的加权平均： 可按如下步骤求随机变量的方差： (i＝1，2，3，...，n) xi－E(X) (xi－E(X))2 (x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p1＋…＋(xn－E(X))2pn 作者编号：32100 典例剖析 例1 已知随机变量X的分布列 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求D(X)和σ(X) 解析： E(X)＝0×0.1＋2×0.4＋3×0.2＋4×0.1＝2， D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.2＋ (4－2)2×0.1＝1.2， σ(X)＝ 变式训练 1. 随机变量 X 的分布列如下表所示，则D(X)＝(　　) A．1     B．2 C．3     D．4 X 0 2 4 P a B 2. 随机变量X的分布列如下，若E(X)＝ ，则D(X)的值是(　　) A．      B． C．       D． X －1 0 1 P a b D 新知学习 问题 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示： X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.3 0.03 应该派哪名同学参赛？按什么标准选拔？ 表 1 表 2 作者编号：32100 新知学习 X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.3 0.03 表 1 表 2 E(X)＝6×0.09＋7×0.24＋8×0.32＋9×0.28＋10×0.07＝8， E(Y)＝6×0.07＋7×0.22＋8×0.38＋9×0.30＋10×0.03＝8， 由于他们的均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平. 评价射击水平，除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，下图分别是 X 和 Y 的概率分布图： 作者编号：32100 新知学习 X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.3 0.03 “矮胖型”数据较分散 “瘦高型”数据较集中 可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. 作者编号：32100 新知学习 X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.3 0.03 分别计算两位同学的方差，比较问题中甲、乙成绩的稳定性. 已知：E(X)＝8，E(Y)＝8 D(X)＝(6－8)2×0.09＋(7－8)2×0.24＋(8－8)2×0.32＋(9－8)2×0.28＋(10－8)2×0.07＝1.16， D(Y)＝(6－8)2×0.07＋(7－8)2×0.22＋(8－8)2×0.38＋(9－8)2×0.30＋(10－8)2×0.03＝0.92， ∵D(X)＞D(Y)， ∴随机变量 Y 的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 作者编号：32100 概念解读 随机变量的方差和标准差度量了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度。 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中； 方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 作者编号：32100 典例剖析 ►课本P69 例2 掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数 X 的方差。 解析：随机变量 X 的分布列为 P 6 5 4 3 2 1 X 写分布列 求均值E(X) 求方差D(X) 典例剖析 ►课本P69 例3 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示. 股票 A 收益的分布列 股票 B 收益的分布列 收益X /元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 收益Y /元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 (1)投资哪种股票的期望收益大? (2)投资哪种股票的风险较高? 因为E(X)＞E(Y)，所以投资股票A的期望收益较大 解析： (1)股票A和股票B投资收益的期望分别为 E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1， E(X)＝-1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1， 典例剖析 ►课本P69 例3 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示. 股票 A 收益的分布列 股票 B 收益的分布列 收益X /元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 收益Y /元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 (1)投资哪种股票的期望收益大? (2)投资哪种股票的风险较高? 解析： 因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)＞D(Y)，所以投资股票 A 的风险较高 (2)股票A和股票B投资收益的方差分别为 D(Y)＝02×0.3＋12×0.4＋22×0.3－12＝0.6， D(X)＝(－1)2×0.1＋02×0.3＋22×0.6－1.12＝1.29， 方法归纳 求离散型随机变量 X 的方差的基本步骤： ①确定取值：理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值； ②写分布列：求 X 取每个值的概率，写出分布列； ③求均值：根据分布列，由均值的定义求出E(X)； ④求方差：根据方差的定义求出D(X) 作者编号：32100 变式训练 ►课本P70 练习2 甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差X 和Y(单位: cm)的分布列如下: 甲班的目测误差分布列 X －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 先直观判断 X 和 Y 的分布哪一个离散程度大，再分别计算 X 和 Y 的方差，验证你的判断. 乙班的目测误差分布列 Y －2 －1 0 1 2 P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 甲班的目测误差分布列 X －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 先直观判断 X 和 Y 的分布哪一个离散程度大，再分别计算 X 和 Y 的方差，验证你的判断. 乙班的目测误差分布列 Y －2 －1 0 1 2 P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 直观的观察可判断 X 的离散程度较大，下面用方差验证. 解析： ∵ D(X)＞D(Y) ∴X 的分布离散程度较大 ∵E(X)＝E(Y)＝0 ∴ D(X)＝(－2)2×0.1＋(－1)2×0.2＋02×0.4＋12×0.2＋22×0.1－02＝1.2， D(Y)＝(－2)2×0.05＋(－1)2×0.15＋02×0.6＋12×0.15＋22×0.05－02＝0.7， 变式训练 练习3 A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，产出次品的概率如下表所示： 问哪一台机床加工质量较好？ 次品数ξ1 0 1 2 3 概率P 0.7 0.2 0.06 0.04 次品数ξ2 0 1 2 3 概率P 0.8 0.06 0.04 0.10 次品数ξ1 0 1 2 3 概率P 0.7 0.2 0.06 0.04 次品数ξ2 0 1 2 3 概率P 0.8 0.06 0.04 0.10 Dξ1＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44)2×0.2＋(2－0.44)2×0.06＋(3－0.44)2×0.04＝0.6064， Dξ2＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44)2×0.06＋(2－0.44)2×0.04＋(3－0.44)2×0.10＝0.9264. 所以Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好. 解析： Eξ1＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44, Eξ2＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差 新知探究 思考：随机变量 X 加一个常数或乘一个常数后，其方差会怎样变化？ X 加上一个常数b，仅仅使 X 的值产生一个平移不改变 X 与其均值的离散程度，方差保持不变 D(X＋b)＝D(X) X 乘以一个常数 a，其方差变为原方差的 a2倍 D(aX)＝a2D(X) 因此 D(aX＋b)＝？ 作者编号：32100 概念生成 离散型随机变量的方差的性质 (1)D(X＋b)＝D(X) (2)D(aX)＝a2D(X) (3)D(aX＋b)＝a2D(X). 作者编号：32100 ►课本P70 例4 已知随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 求 D(X) 和 σ(2X＋7). 解析： E(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＝2.4， D(X)＝(1－2.4)2×0.2＋(2－2.4)2×0.3＋(3－2.4)2×0.4 ＋(4－2.4)2×0.1＝0.84， σ(2X＋7)＝ 1.833 典例剖析 变式训练 A． C．4 D．5 B． D 练习4 已知随机变量的分布列为 ，k＝1，2，3，4，则D(2X－1)＝( ) 变式训练 ►课本P70 X c P 1 离散型随机变量 X 的分布列为： E(X)＝c×1＝c D(X)＝(c－c)2×1＝0 练习5 若随机变量 X 满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，求D(X). 解析： 知识解读 随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度. 在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释—— 如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性；如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低；等等. 作者编号：32100 变式训练 练习6 有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月工资X /元 1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X /元 1000 1400 1800 2200 获得相应职位的概率P 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 变式训练 练习6 有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月工资X /元 1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X /元 1000 1400 1800 2200 获得相应职位的概率P 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 据已知分布列可得E(X)＝E(Y)＝1400 ∴如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位； 如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位. 解析： D(X)＝2002×0.4＋02×0.3＋2002×0.2＋4002×0.1＝40000， D(Y)＝4002×0.4＋02×0.3＋4002×0.2＋8002×0.1＝160000， 甲单位不同职位月工资X /元 1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X /元 1000 1400 1800 2200 获得相应职位的概率P 0.4 0.3 0.2 0.1 ∵E(X)＝E(Y)，D(Y)＞D(X) 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： 1. 如何求离散型随机变量的方差？ 2. 离散型随机变量的方差有什么意义？ 与期望有什么样的联系？ 3. 离散型随机变量的方差有什么性质？ 作者编号：32100 $