有关空间角问题 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦空间角问题，系统讲解异面直线所成角、线面角、二面角的定义、求法及实例，以“空间角转平面角”为核心，通过定义解析、方法归纳（平移法、中位线法等）和正方体模型例题，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以转化思想为统领，结合几何直观与空间观念，通过规范步骤（如作射影、定夹角）和具体实例（正方体中角的计算）培养学生数学思维与推理能力，帮助学生掌握空间问题平面化方法，教师可借助清晰例题与方法总结提升教学效率。

有关空间角问题 将空间角转换成平面角去计算 异面直线所成角的定义 (1)定义：直线a、b为异面直线，过空间任一点O分别作a′∥a，b′∥b，则相交直线a′，b′所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线a与b所成的角. ①异面直线所成角的取值范围： ⑤若平移至相交后的角的计算结果为钝角， 则异面直线所成角应取其补角。 异面直线 相交直线 平移 ③求法：平移至相交后构造特殊△或正/余弦定理求角的大小. 通常把点O取在直线a或b上 ②若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直，记作a⊥b。 ④格式：∵__//__,∴∠____是异面直线___与___所成角(或其补角). 异面直线a与b所成的角：平移至相交所成的锐角(或直角) 求异面直线所成角——构造特殊三角形 [例1]如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. 求直线A1B与C1C所成的角大小; (2) 求直线A1B与AC 所成的角大小; (3) 求直线A1B与DC1所成的角大小; 法一：直接平移法 [例1]如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. (4)若O,P分别是面AD1,面A1C1的中心，求直线PO与CD所成角; 求异面直线所成角——构造特殊三角形 法二：中位线平移法 (5)O是面AD1的中心，求直线B1O与BD所成的角大小; 3.直线与平面所成角(线面角) 一条直线l与一个平面α相交，但与这个平面不 垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO 过垂足O和斜足A的直线AO叫作斜线PA在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在这个平面上的射影所 成的角，叫作这条直线和这个平面所成的角. 斜线 斜足 垂足 射影 3.直线与平面所成角(线面角) 3.线面所成角：直线和它在面内的射影所成角. 如：∠PAO是直线PA与平面α所成角. (1)射影：斜足(已知)与垂足(找)所在直线； 斜线 斜足 垂足 射影 过线上一点作面的垂线 (2)斜线与平面所成角的范围： 直线与平面所成角的范围： (3)求线面角的方法： ①作垂线(过斜线上一点作平面的垂线——证线面垂直) ②连射影(连接斜足和垂足) ③定夹角(斜线和射影所夹角) ④求夹角(构造△求角) 3.直线与平面所成角(线面角) [P152-例4]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求直线A1B与平面A1DCB1所成的角. O 3.直线与平面所成角(线面角) [练习2]正方体ABCD-A1B1C1D1中， (1)求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值. (2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角. (3)E是CC1的中点，求直线AE与平面ADD1A1所成角的正弦值. (1) (2) (3) （大本）例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，△PAD是以PA为斜边的等腰直角三角形，△PCD是以PC为斜边的等腰直角三角形． 求直线PB与平面ABCD所成的角． 返回导航 9 例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，△PAD是以PA为斜边的等腰直角三角形，△PCD是以PC为斜边的等腰直角三角形． 求直线PB与平面ABCD所成的角． 解析：连接BD，由题PD⊥AD，PD⊥CD，AD∩CD＝D， 且AD，CD⊂平面ABCD，所以PD⊥平面ABCD， 所以直线BP在平面ABCD内的射影为直线BD， 所以直线PB与平面ABCD所成角即为∠PBD， 在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，所以BD＝AB＝AD＝2， 在△PAD中，PD＝AD＝2， 所以在Rt△PBD中，PD＝BD＝2，所以该三角形为等腰直角三角形， 所以∠PBD＝45°，即直线PB与平面ABCD所成的角为45°. 返回导航 10 跟踪训练3　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求直线A1B与平面BDD1B1所成的角的大小． 返回导航 11 跟踪训练3　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求直线A1B与平面BDD1B1所成的角的大小． 解析：连接A1C1，交B1D1于点O，连接BO，如图所示． ∵DD1⊥平面A1B1C1D1， A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴DD1⊥A1C1， ∵A1C1⊥B1D1，B1D1∩DD1＝D1， B1D1，DD1⊂平面BDD1B1， ∴A1C1⊥平面BDD1B1， ∴BO为BA1在平面BDD1B1的射影， ∴直线A1B与平面BDD1B1所成的角为∠A1BO， 返回导航 12 1.二面角的定义 (1)二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. a b l A B P Q 记作二面角a-l-b 二面角a-AB-b 二面角 P-l-Q 二面角P-AB-Q 二面角C-AB-D 1.二面角的平面角的定义 (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 二面角的范围：0≤θ≤π 棱 l 上取一点O, 在半平面a 内作OA⊥l, 在半平面b 内作OB⊥l, 则∠AOB是二面角a-l-b 的平面角. A B O a b l A B O · a b l A B O · 1.二面角及其平面角 (1)二面角：两个半平面及其棱所成角. a b l A B P Q 二面角a-l-b 二面角a-AB-b 二面角P-l-Q 二面角C-AB-D ①记法： ②范围：[ 0o, 180o ] ③求法：棱 l 上取一点O，在a 内作OA⊥l，在b 内作OB⊥l， 则∠AOB是二面角a-l-b 的平面角. 1.求二面角的平面角 [例]正方体ABCD-A1B1C1D1中，面C1D1AB与底面ABCD所成 二面角C1-AB-C的大小为_______. 1.求二面角的平面角 [变式](1)正方体中，二面角A-C1C-B的大小为_______. (2)正方体中，二面角A-B’C-B的正弦值为_______. (3)正四面体中，二面角A-BD-C的余弦值为____. （大本85页）例1 如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.求： (1)二面角B－PA－D平面角的度数； (2)二面角B－PA－C平面角的度数． 解析：(1)∵PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD， ∴AB⊥PA，AD⊥PA， ∴∠BAD为二面角B－PA－D的平面角． ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°， ∴二面角B－PA－D平面角的度数为90°. (2)∵PA⊥平面ABCD，AB，AC⊂平面ABCD， ∴AB⊥PA，AC⊥PA. ∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角． ∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°. 即二面角B－PA－C平面角的度数为45°. 返回导航 18 跟踪训练1　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中， (1)求二面角D′－AB－D的大小； (2)求二面角A′－AB－D的大小． 解析：(1)在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面ADD′A′，AD，AD′⊂平面ADD′A′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，所以∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°. (2)因为AB⊥平面ADD′A′，AD，AA′⊂平面ADD′A′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，所以∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角．又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°. 返回导航 19 $