第三单元 长方体和正方体（期末复习讲义+知识卡片总结-培优版）知识梳理+13个考点讲练+8个奥数拓展+真题演练 共62题-2025-2026学年人教版数学五年级下册真题汇编必刷冲关练

2025-2026学年人教版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第三单元 长方体和正方体『期末复习精编讲义』（培优版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+13个考点讲练+8个奥数拓展+真题演练 共62题） 同学你好，该份讲义用于人教新五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 4 知识点一 长方体的认识及特征 4 知识点二 正方体的认识及特征 4 知识点三 长方体的表面展开图 6 知识点四 正方体的表面展开图 6 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 7 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 7 知识点七 长方体的表面积 7 知识点八 正方体的表面积 8 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 8 知识点十 立方体表面染色问题 9 知识点十一 体积和容积的认识 9 知识点十二 体积和容积的单位 10 知识点十三 长方体的体积 11 知识点十四 正方体的体积 11 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 11 知识点十六 剪角折叠求体积问题 12 知识点十七 等积变形问题 12 知识点十八 排水法求不规则物体体积 12 知识点十八 不规则及组合立体图形的表面积和体积 13 考点讲练 真题汇总 13 高频考点一 长方体的展开图 13 高频考点二 正方体的展开图 14 高频考点三 长方体表面积的计算与应用 15 高频考点四 正方体表面积的计算与应用 16 高频考点五 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 18 高频考点六 组合体的表面积（长方体、正方体) 20 高频考点七 表面涂色的正方体 22 高频考点八 长方体的体积的计算与应用 23 高频考点九 正方体的体积计算与应用 24 高频考点十 体积的等积变形（长方体、正方体) 25 高频考点十一 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 26 高频考点十二 组合体的体积（长方体、正方体) 27 高频考点十三 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 29 奥数拓展 拔尖冲刺 30 奥数拓展一 长方体表面积的计算与应用 30 奥数拓展二 正方体表面积的计算与应用 32 奥数拓展三 长方体的体积的计算与应用 33 奥数拓展四 正方体的体积计算与应用 34 奥数拓展五 体积的等积变形（长方体、正方体) 36 奥数拓展六 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 37 奥数拓展七 组合体的体积（长方体、正方体) 39 奥数拓展八 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 40 优选真题 实战演练 42 【基础夯实 知识巩固】 42 【拓展提高 能力拔尖】 48 知识点一 长方体的认识及特征 1. 长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成 （1）面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征 4. 长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二 正方体的认识及特征 1. 正方体的认识：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成 （1）面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系 （1）转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别 知识点三 长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四 正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义：长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七 长方体的表面积 1. 长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4. 表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八 正方体的表面积 1. 正方体的表面积：正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十 立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点十二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3） 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3） 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3） 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L） 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十八 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 高频考点一 长方体的展开图 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南郑州·期末）妙妙准备制作一个无盖的长方体盒子，她在方格纸上画出了长方体的表面展开图（如图）。这个长方体相交于同一顶点的三条棱的长度之和是( )分米，底面面积是( )平方分米。 【答案】 8 12 【思路引导】根据题意，先从长方体表面展开图中确定长方体的长、宽、高，再计算相交于同一顶点的三条棱的长度之和（即长＋宽＋高）以及底面面积（长×宽）。据此解答。 【规范解答】通过观察展开图，可知长方体的长是4分米，宽是3分米，高是1分米。相交于同一顶点的三条棱的长度之和： 4＋3＋1 ＝7＋1 ＝8（分米） 底面面积：4×3＝12（平方分米） 这个长方体相交于同一顶点的三条棱的长度之和是8分米，底面面积是12平方分米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广西柳州·期末）小亮画正方体的展开图（如图）。请把漏画的一个面补充完整，使得这个展开图折叠后能围成一个正方体。 【答案】见详解 【思路引导】方体展开图一共有11种。 （1）“1－4－1”型，中间4个一连串，两边各一随便放； （2）“2－3－1”型，二三紧连错一个，三一相连一随便； （3）“2－2－2”型，两两相连各错一； （4）“3－3”型，三个两排一对齐 正方体一共有6个面，题中已经有5个面，只需要再补充1个面即可。 【规范解答】如图： 高频考点二 正方体的展开图 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·重庆忠县·期末）下面图（    ）不能折成一个正方体。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】分析题目，正方体的展开图有11种，分为四种类型：“1－4－1”型，即第一行有1个，第二行有4个，第三行有1个；“2－2－2”型，即第一行有2个，第二行有2个，第三行有2个，两两相连每行之间错开一个；“3－3”型，即第一行有3个，第二行有3个，两排相连且只有一个对齐；“2－3－1”型，即第一行有2个，第二行有3个，第三行有1个，2个和3个紧连且只有一个对齐，3个和1个相连；据此逐项判断即可。 【规范解答】 A．属于正方体展开图中的“3－3”型；     B． 不属于正方体展开图中的任意一个类型； C． 属于正方体展开图中的“2－3－1”型；     D． 属于正方体展开图中的“1－4－1”型。 故答案为：B 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）．（24-25五年级下·重庆巴南·期末）工人制作了一个如图所示的正方体礼盒（上面无盖），左右两边相同位置留有手提袋的穿线孔，这个礼盒的展开图是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】由题可知，这个正方体礼盒上面无盖，所以展开图应该由5个正方形组成，其次左右两边有手提袋穿线孔，意味着在展开图中，这两个穿线孔所在的面应该是相对的且位置对称，据此求解。 【规范解答】A．展开图不符合“左右两边相同位置留有手提袋的穿线孔”的要求，排除； B．穿线孔的位置和数量不符合“左右两边相同位置”的要求，排除； C．有5个正方形（符合无盖要求），且穿线孔的位置在相对的面上，对称分布，符合要求； D．图形结构存在重叠，不是正方体的展开图，排除。 故答案为：C 高频考点三 长方体表面积的计算与应用 25．（24-25五年级下·浙江湖州·期末）根据长方体的展开图，求它的表面积。（单位：厘米） 【答案】222平方厘米 【思路引导】根据图中信息可知：高＝3厘米，长＋高＝12厘米，12－高＝长；2个宽＋2个高＝20厘米，所以宽＝（20－2个高）÷2，将长、宽、高代入表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2求解。 【规范解答】宽：（20－3×2）÷2 ＝14÷2 ＝7（厘米） 长：12－3＝9（厘米） （9×7＋9×3＋7×3）×2 ＝（63＋27＋21）×2 ＝111×2 ＝222（平方厘米） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·黑龙江牡丹江·期末）学校要给一间教室的四壁和天花板刷涂料。教室长9米，宽7米，高3米，门窗面积15平方米。如果每平方米用涂料0.6千克，一共需要涂料多少千克？如果涂料每千克30元，总费用是多少？ 【答案】86.4千克；2592元 【思路引导】教室刷涂料需要计算天花板和四壁共个面的面积，地面不需要刷，同时要减去门窗的面积。求出实际粉刷面积后，乘每平方米用涂料的质量得到涂料总质量，再乘每千克涂料的单价得到总费用。 【规范解答】9×7＋（9×3＋7×3）×2－15 ＝9×7＋（27＋21）×2－15 ＝9×7＋48×2－15 ＝63＋96－15 ＝144（平方米） 144×0.6＝86.4（千克） 86.4×30＝2592（元） 答：一共需要涂料86.4千克，总费用是2592元。 高频考点四 正方体表面积的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·贵州黔西南·期末）如图，从一个正方体的一角切去一个长方体后，剩下图形的表面积是多少？（单位：分米） 【答案】150平方分米 【思路引导】观察图形可知，切去一个长方体，减去3个面的面积，同时又增加3个面的面积，所以剩下的表面积等于正方体的表面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，即可解答。 【规范解答】5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方分米） 答：剩下图形的面积是150平方分米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·北京平谷·期末）（1）李叔叔因地制宜打造了一个沙包游戏活动区，想请王阿姨帮忙缝制一些棱长为1分米的正方体沙包。因为在制作时需要缝合，沙包的每个面在裁剪时均为边长1.1分米的正方形。缝制这样的一个沙包需要多少平方分米的花布？ （2）王阿姨找到一块长1.8米、宽1.7米的花布，可以做多少个上面这样的沙包？（沙包的每个面不能用碎花布拼接） 【答案】（1）7.26平方分米； （2）40个 【思路引导】（1）求需要花布的面积就是求正方体的表面积，每个面需要花布的面积就是边长为1.1分米正方形的面积，最后乘6求出一个沙包需要花布的总面积； （2）先把花布长和宽的单位换算成“分米”，再分别计算花布的长和宽分别包含多少个正方形布块的边长，最后根据每个沙包需要6个面的花布求出可以做的沙包数量，据此解答。 【规范解答】（1）1.1×1.1×6 ＝1.21×6 ＝7.26（平方分米） 答：缝制这样的一个沙包需要7.26平方分米的花布。 （2）1.8米＝18分米，1.7米＝17分米。 18÷1.1＝16（个）……0.4（分米） 17÷1.1＝15（个）……0.5（分米） 16×15÷6 ＝240÷6 ＝40（个） 答：可以做40个上面这样的沙包。 高频考点五 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·浙江杭州·期末）下面是一个长方体木块，请你沿着与面平行的方向切一刀，使表面积增加得尽可能多，你会怎么切？请画出切割的示意图。 ★你能提出一个与切割有关的、更值得思考的数学问题吗？（不用解答） __________________________。 【答案】图见详解； 切割后两个长方体的表面积比原来的表面积增加多少？ 【思路引导】要想表面积增加得尽可能多，就要平行于长方体最大的面切割，观察图形可知，长×高的面最大，切割后就会增加两个最大的面的面积。所提问题不唯一，合理即可。 【规范解答】切割如图： 问题：切割后两个长方体的表面积比原来的表面积增加多少？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南新乡·期末）一根方木的表面积是100dm2，横截面是边长为1dm的正方形。工人师傅每次都锯下一个棱长为1dm的小方木。 （1）完成下面表格。 锯下小方木的个数 1 2 3 … 剩下方木的表面积/dm2 … （2）当锯下8个小方木时，剩下方木的表面积是（    ）dm2。 （3）当剩下方木的表面积是20dm2时，一共锯下了（    ）个小方木。 【答案】（1）96；92；88 （2）68 （3）20 【思路引导】（1）每锯下一个小方木，表面积会减少小方木4个面的面积；锯下2个小方木，表面积会减少（2×4）个面的面积；锯下3个小方木，表面积会减少（3×4）个面的面积；每个面的面积都是1×1＝1dm2，据此求出减少的表面积，再用原来方木的表面积减去减少的表面积，即是剩下方木的表面积，据此把表格补充完整。 （2）当锯下8个小方木时，表面积会减少（8×4）个面的面积，用每个面的面积乘减少的面，求出减少的表面积，再用原来方木的表面积减去减少的表面积，即是剩下方木的表面积。 （3）当剩下方木的表面积是20dm2时，表面积减少了（100－20）dm2，因为每锯下1个小方木表面积减少4dm2，用减少的表面积除以4，即可求出锯下小方木的个数。 【规范解答】（1）锯下的小方木每个面的面积：1×1＝1（dm2） 锯下1个小方木时，减少小方木4个面的面积，减少的面积是1×4＝4（dm2），剩下方木的表面积：100－4＝96（dm2）； 锯下2个小方木时，减少小方木2×4＝8个面的面积，减少的面积是1×8＝8（dm2），剩下方木的表面积：100－8＝92（dm2）； 锯下3个小方木时，减少小方木3×4＝12个面的面积，减少的面积是1×12＝12（dm2），剩下方木的表面积：100－12＝88（dm2）； 填表如下： 锯下小方木的个数 1 2 3 … 剩下方木的表面积/dm2 96 92 88 … （2）当锯下8个小方木时，减少小方木8×4＝32个面的面积，减少的面积是1×32＝32（dm2），剩下方木的表面积：100－32＝68（dm2）； 当锯下8个小方木时，剩下方木的表面积是（68）dm2。 （3）每锯下1个小方木表面积减少4dm2； 减少的表面积：100－20＝80（dm2） 小方木的个数：80÷4＝20（个） 当剩下方木的表面积是20dm2时，一共锯下了（20）个小方木。 【考点剖析】明确每锯下一个小方木减少了哪些面，求出减少的表面积是解题的关键。 高频考点六 组合体的表面积（长方体、正方体) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·四川广元·期末）如图，图①、图②都是由棱长1cm的正方体搭成的。 根据这样的算法，图②的表面积是( )cm2（填算式）。 【答案】（6＋5＋4）×2＝30 【思路引导】图②从上面看：能看到6个小正方形。从前面看：能看到5个小正方形。从左面看：能看到4个小正方形。根据图①的算法，表面积为：（从上面看的个数＋从前面看的个数＋从左面看的个数）×2。所以图②的表面积算式为（6＋5＋4）×2＝30cm2。 【规范解答】图②从上面有6个小正方形；从前面看有5个小正方形；从左面看有4个小正方形。 （6＋5＋4）×2 ＝（11＋4）×2 ＝15×2 ＝30（cm2） 所以图②的表面积是30cm2，算式为（6＋5＋4）×2＝30cm2。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·黑龙江绥化·期末）下图为棱长1dm的小正方体搭成的立体图形堆放在墙角，这个立体图形露在外面的面积是( )，至少还需要( )个这样的小正方体才能搭成一个大正方体。 【答案】 19 16 【思路引导】已知正方体的棱长是1dm，根据“正方形面积＝边长×边长”计算出小正方体一个面的面积为1×1＝1dm2；分别从正面、上面、右面去数露在外面的面的数量：正面有6个，上面有7个，右面有6个，总共有6＋7＋6＝19个；所以露在外面的面积是1×19＝19dm2。 要搭成一个大正方体，大正方体的棱长至少是3dm（因为现有立体图形最长的边有3个小正方体的棱长），那么大正方体需要的小正方体总数为3×3×3＝27个；数出现有小正方体的数量：第一层有7个，第二层有3个，第三层有1个，总共7＋3＋1＝11个，所以至少还需要27－11＝16个小正方体。 【规范解答】1×1＝1（dm2） 1×（6＋7＋6） ＝1×（13＋6） ＝1×19 ＝19（dm2） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（个） 7＋3＋1 ＝10＋1 ＝11（个） 27－11＝16（个） 所以这个立体图形露在外面的面积是19，至少还需要16个这样的小正方体才能搭成一个大正方体。 高频考点七 表面涂色的正方体 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·云南德宏·期末）用64个棱长为1cm的小正方体拼成一个大正方体，表面涂上红色，其中一面涂色的小正方体有（    ）个。 A．24 B．48 C．36 D．8 【答案】A 【思路引导】因为4×4×4＝64，所以用64个棱长为1cm的小正方体拼成的大正方体的棱长为4cm。一面涂色的小正方体在每个面的中间部分（不在棱上和顶点处）。对于大正方体的每个面，去掉周围一圈（棱上的小正方体），中间部分是一个边长为（4－2）cm的正方形。根据正方形面积公式S＝a×a（a为边长），可得每个面一面涂色小正方体的个数为（4－2）×（4－2）＝2×2＝4个。大正方体有6个面，所以一面涂色小正方体的总个数就是用4乘6计算即可。 【规范解答】64＝4×4×4 （4－2）×（4－2） ＝2×2 ＝4（个） 大正方体有6个面。 4×6＝24（个） 其中一面涂色的小正方体有24个。 故答案为：A 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·湖北恩施·期末）用小正方体拼成长方体（如图所示），将长方体表面涂上颜色。一面涂色的小正方体有（    ）块。 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【思路引导】用小正方体拼成长方体，一面涂色的在每个面的中间、两面涂色处在棱的中间和三面涂色的处在顶点上，六个面都没有色的小正方体处在长方体的中心；据此解答。 【规范解答】由分析可知： 长方体的上、下、前、后的四个面中间都有2块一面涂色的小正方体， 长方体左、右两个面的中间都有1块一面涂色的小正方体。 2×4＋2×1 ＝8＋2 ＝10（块） 所以，一面涂色的小正方体有10块。 故答案为：C 高频考点八 长方体的体积的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南三门峡·期末）一根体积是6.4立方米的方木，其横截面是边长8分米的正方形。这根方木长多少米？ 【答案】10米 【思路引导】根据长方体体积公式，可推导出。 解题时需注意单位统一，先将边长换算成米，再计算横截面面积，最后求长。 【规范解答】 （米） 答：这根方木长10米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 【答案】60立方厘米 【思路引导】根据左图可知，甲容器中装水的体积是甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，即可求出水的体积；将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使甲、乙两个容器中的水面高度相同，此时水的总体积不变。用甲容器中水的体积除以甲、乙容器的底面积之和，即可求出此时水面的高度；再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积，即是从甲容器倒出的水的体积，据此进行解答。 【规范解答】甲容器中水的体积：10×3×10÷2 ＝30×10÷2 ＝300÷2 ＝150（立方厘米） 底面积之和：10×3＋5×4 ＝30＋20 ＝50（平方厘米） 高：150÷50＝3（厘米） 乙容器中水的体积：5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 答：需要从甲容器中倒出60立方厘米的水。 【考点剖析】本题的核心是抓住两个不变量：一是水的总体积不变，二是最终甲、乙容器中水面的高度相同。利用这两个条件，才能将“倒出部分水”的问题，转化为“总体积÷总底面积＝共同高度”的简单计算。 高频考点九 正方体的体积计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河北保定·期末）我国航天事业不断取得新突破，在一次模拟太空实验中，有一个正方体太空舱模型，它的棱长总和是60cm，这个正方体的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 150 125 【思路引导】正方体有12条棱，根据棱长总和＝棱长×12，求出棱长，正方体表面积＝棱长×棱长×6，体积＝棱长×棱长×棱长。 【规范解答】60÷12＝5（cm） 5×5×6＝150（cm2） 5×5×5＝125（cm3） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）启启用一个长为8厘米，宽为7厘米，高为6厘米的长方体玻璃容器做实验。他先往容器中倒入5厘米深的水，再把一块棱长4厘米的正方体铁块放入水中，水会不会溢出来？ （1）你的判断结果是（        ）。（填“会”或“不会”） （2）请你用算式表示出你的判断的理由。 【答案】（1）会 （2）见详解 【思路引导】先根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体铁块的体积；已知长方体玻璃容器高为6厘米，水深5厘米，还有（6－5）厘米的无水部分，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出无水部分的体积；然后把铁块的体积与无水部分的体积进行比较，如果铁块的体积大于玻璃容器内无水部分的体积，水就会溢出，否则水不会溢出。 【规范解答】（1）我的判断结果是：会。 （2）正方体的体积： 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 长方体玻璃容器无水部分的体积： 8×7×（6－5） ＝8×7×1 ＝56（立方厘米） 64＞56 答：水会溢出来。 【考点剖析】本题考查正方体、长方体体积计算公式的灵活运用，也可以用正方体铁块的体积除以容器的底面积，求出水面上升的高度，与容器内无水部分的高度相比较，得出结论。 高频考点十 体积的等积变形（长方体、正方体) 39．（24-25五年级下·江西宜春·期末）为了喜迎“六一儿童节”，不断丰富孩子们的动手实践能力，5月30日，县二小开展“创意无限捏出精彩”的捏橡皮泥活动。乐乐参加这次活动时，将3个横截面的面积是9.6平方厘米，长是4厘米长方条橡皮泥改捏成一个长8厘米、宽4厘米的长方体作为自己作品的底座。 （1）捏成的这个长方体底座的高是多少厘米？ （2）乐乐的作品快要完成时，她决定将长方体底座的各个面（不含底面）涂成红色，需要涂色的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）3.6厘米 （2）118.4平方厘米 【思路引导】（1）根据长方体体积＝横截面的面积×长，求出1个橡皮泥的体积，乘3是橡皮泥总体积；再根据长方体的高＝体积÷长÷宽，即可求出底座的高； （2）涂色的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答。 【规范解答】（1）9.6×4×3＝115.2（立方厘米） 115.2÷8÷4＝3.6（厘米） 答：捏成的这个长方体底座的高是3.6厘米。 （2）8×4＋8×3.6×2＋4×3.6×2 ＝32＋57.6＋28.8 ＝118.4（平方厘米） 答：需要涂色的面积是118.4平方厘米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山东济宁·期末）有一个工匠将一个棱长3dm的正方体钢铁材料熔铸成了一个长15dm，宽9dm的长方体钢板，且材料没有剩余，则这个长方体钢板的厚是( )dm。 【答案】0.2/ 【思路引导】正方体钢材熔铸成长方体钢板，体积不变。先根据正方体体积公式（V＝棱长×棱长×棱长）求出正方体体积，再根据长方体体积公式（V＝长×宽×高）求出长方体的高，即钢板的厚度。 【规范解答】3×3×3＝27（dm3） 27÷15÷9 ＝1.8÷9 ＝0.2（dm） 高频考点十一 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）把两个长6厘米、宽3厘米、高5厘米的长方体，拼成一个表面积最小的长方体，拼成后的长方体体积是（    ）立方厘米。 A．90 B．120 C．180 D．252 【答案】C 【思路引导】把两个完全一样的小长方体拼成一个大长方体后体积不受拼成的长方体的表面积的影响，即拼成的长方体的体积等于两个小长方体体积的和。根据长方体体积＝长×宽×高，把数据代入公式求出这两个小长方体的体积，再求和。 【规范解答】6×3×5 ＝18×5 ＝90（立方厘米） 90＋90＝180（立方厘米） 拼成后的长方体的体积是180立方厘米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·湖北省直辖县级单位·期末）一个正方体的体积是长方体体积的2倍，如果把它们拼摆在一起，正好能拼成一个新的长方体。新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加了64平方厘米。新长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】96 【思路引导】一个正方体的体积是长方体体积的2倍，如果把它们拼摆在一起，正好能拼成一个新的长方体，说明长方体有两个面是正方形，新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加的部分就是正方体4个面的面积，据此求出正方体一个面的面积，再求出正方体棱长，再求出正方体体积，用正方体的体积除以2，求出原来长方体的体积，再把正方体和长方体的体积相加，求出新长方体体积即可。 【规范解答】64÷4＝16（平方厘米） 16＝4×4 所以正方体棱长是4厘米。 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 64＋64÷2 ＝64＋32 ＝96（立方厘米） 所以新长方体的体积是96立方厘米。 【考点剖析】解答此题要注意结合图形特点，得出增加的64平方厘米是正方体4个面的面积之和是解答此题的关键。 高频考点十二 组合体的体积（长方体、正方体) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）．（24-25五年级下·广西百色·期末）有一个棱长为6dm的大正方体，在其一个顶点处挖去一个长为2dm、宽为2dm、高为3dm的小长方体（如图），此时该图形的表面积是( )dm2，体积是( )dm3。 【答案】 216 204 【思路引导】在大正方体的一个顶点处挖去一个小长方体，原来大正方体表面减少了两个长3dm，宽2dm的长方形和一个边长2dm正方形的面积，同时又增加了两个长3dm，宽2dm的长方形和一个边长2dm正方形的面积，所以表面积没有变化。体积是减少了1个长2dm，宽2dm，高3dm的长方体体积，所以在计算体积时，需要用大正方体的体积减小长方体的体积。 根据正方体表面积公式S＝6a2（a为正方体的棱长），大正方体的棱长为6dm，把数据代入表面积公式计算即可。正方体体积公式为：V＝a×a×a（a为正方体棱长），长方体体积公式为V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高）。大正方体的棱长为6dm，小长方体长2dm，宽2dm，高3dm，把数据分别代入公式计算后，再用大正方体体积减小长方体的体积即可。 【规范解答】6×62 ＝6×36 ＝216（dm2） 6×6×6－2×2×3 ＝216－12 ＝204（dm3） 该图形的表面积是216dm2，体积是204dm3。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广西河池·期末）乐乐用8个小正方体拼成一个大正方体，被弟弟拿走了一个小正方体，如图，下面说法正确的是（    ）。 A．体积减小，表面积不变 B．体积不变，表面积也不变 C．体积减小，表面积减少 D．体积减小，表面积增加 【答案】A 【思路引导】整个图形的体积＝大正方体的体积－小正方体的体积，因此体积减小；看上去表面积减少了3个正方形的面，但是里面又出现了同样的3个正方形，因此表面积不变，据此分析。 【规范解答】根据分析，这个立体图形与大正方体比，体积减小，表面积不变。 故答案为：A 高频考点十三 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖北黄石·期末）用排水法测量土豆和红薯的体积，已知长方体容器长15厘米，宽15厘米，高20厘米。仔细观察实验过程，比较土豆和红薯的体积，谁的体积大？大多少？ 【答案】 红薯；225立方厘米 【思路引导】排水法中物体的体积等于容器底面积乘水面上升的高度。先分别算出土豆和红薯使水面上升的高度，再比较高度差，最后用底面积乘高度差算出体积差。 【规范解答】土豆使水面上升：13－10＝3（厘米） 红薯使水面上升：17－13＝4（厘米） 因为4＞3，所以红薯体积大。 体积差：15×15×（4－3） ＝15×15×1 ＝225（立方厘米） 答：红薯的体积大，大225立方厘米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广西南宁·期末）张华用“排水法”测量1颗玻璃球的体积，下面是他的测量记录。 ①选择一个正方体容器，从里面量，棱长是10厘米。 ②往这个容器中倒入一些水，测得水面的高度是7厘米。 ③把12颗完全相同的玻璃球轻轻地放入容器中，所有玻璃球都被水完全浸没。 ④再次测得水面的高度是8.8厘米。 根据上面的测量记录，请你计算出1颗玻璃球的体积是多少立方厘米？ 【答案】15立方厘米 【思路引导】水面上升的体积就是玻璃球的总体积。先算出水面上升的高度，不规则物体的体积＝正方体容器的底面积×上升的高度，得到12颗玻璃球的总体积，最后除以12就能得到1颗玻璃球的体积。 【规范解答】8.8－7＝1.8（厘米） 10×10×1.8 ＝100×1.8 ＝180（立方厘米） 180÷12＝15（立方厘米） 答：1颗玻璃球的体积是15立方厘米。 奥数拓展一 长方体表面积的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·北京西城·期末）一个长方体纸箱，它的上面和下面都是由两个完全一样的长方形纸板拼成的，如图1。 图1 （1）沿粘合处把纸箱拆开后，除了粘合处，其余部分恰好形成一个长方形，这个长方形比纸箱的表面多出A、B、C、D四个相同的面，如图2，请把相关数据填写在图2的括号里。      图2 （2）算上粘合处，制作这个纸箱需要多少平方厘米的纸板？ 【答案】（1）见详解（2）1268平方厘米 【思路引导】（1）首先，我们需要理解题目中的描述。A、B、C、D四个相同的面实际上就是纸箱的顶部和底部，在图2第一个图，仔细观察纸箱打开后，纸箱的顶部除了2个大的长方形，还有两个小的长方形，这两个小的长方形对应A、B两个图形，根据图1的数值和长方体的定义，顶和底是相同的，可以判断A的长为：10厘米，宽为：5厘米，粘合处的高度对应纸箱的高度，即为：12厘米。 （2）为了计算制作这个纸箱所需的纸板面积，根据题示，该纸箱平摊后的图形除去粘合处为一个长方形，所以，根据长方体的定义，对应的面都是相同的大小，根据长方形的面积计算公式：长×宽 ，长＝长方体的长＋A、B两个图形的宽， 宽＝长方体的宽＋A、C图形的宽，将两者的计算结果相乘，就得到长方形的面积，粘合处也为一个长方形，所以面积为12×3，将两者的得数相加即可得出纸箱需要多少平方厘米的纸板。 【规范解答】 （1） （2）纸箱的长为： 10＋18＋10＋18 ＝28＋10＋18 ＝38＋18 ＝56（厘米） 纸箱的宽为： 5＋12＋5 ＝17＋5 ＝22（厘米） 长方形的面积：56×22＝1232（平方厘米） 粘合处的面积：12×3＝36（平方厘米） 需要的纸板面积：1232＋36＝1268（平方厘米） 答：制作这个纸箱需要1268平方厘米的纸板。 【考点剖析】熟练掌握长方体摊开图形所对应的位置，观察图形摊开后变成了什么图形，根据图形计算面积。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·浙江杭州·期末）如图，有一个长方体物体，底面是正方形，中间是空心的正方形。如果把这个物体浸没在水中，它与水接触的面积是多少平方厘米？ 【答案】1470平方厘米 【思路引导】从图中可知，这个长方体物体外面的侧面是4个长22厘米、宽10厘米的长方形，物体里面的侧面是4个长22厘米、宽5厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出一个面的面积，再乘4，分别求出长方体外面、里面的侧面积； 这个长方体物体的底面积＝边长为10厘米的正方形的面积－边长为5厘米的正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长求解； 如果把这个物体浸没在水中，它与水接触的面积＝物体外面的侧面积＋物体里面的侧面积＋物体的底面积×2，据此求出物体与水接触的面积。 【规范解答】物体外面的侧面积：10×22×4＝880（平方厘米） 物体里面的侧面积：5×22×4＝440（平方厘米） 物体的两个底面积： （10×10－5×5）×2 ＝（100－25）×2 ＝75×2 ＝150（平方厘米） 物体与水接触的面积： 880＋440＋150＝1470（平方厘米） 答：它与水接触的面积是1470平方厘米。 【考点剖析】本题考查长方体表面积公式的灵活运用，分析出物体接触水的面是哪些面，再根据图形的面积公式求解。 奥数拓展二 正方体表面积的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·河北邢台·阶段检测）小宇用硬纸板做了一个无盖的正方体储物盒，已知储物盒的棱长是25厘米，制作这个储物盒至少需要( )平方厘米的硬纸板。 【答案】3125 【思路引导】根据无盖正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×5，代入数值即可解答。 【规范解答】25×25×5 ＝625×5 ＝3125（平方厘米） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·河南开封·阶段检测）三阶魔方是一种机械益智玩具，形状为正方体。小涛测得一个三阶魔方的一个面的周长是28厘米，这个魔方的表面积是______平方厘米。 【答案】294 【思路引导】根据正方形的周长＝边长×4，用28厘米除以4即可求出正方形的边长，正方体的表面积＝边长×边长×6即可求出这个魔方的表面积是多少平方厘米。 【规范解答】28÷4＝7（厘米） 7×7×6 ＝49×6 ＝294（平方厘米） 奥数拓展三 长方体的体积的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·浙江湖州·期中）明明有4根长2厘米，3根3厘米，9根4厘米的小棒，选取12根搭成一个长方体，这个长方体的棱长总和是( )厘米；体积是( )立方厘米。 【答案】 40 32 【思路引导】首先，我们需要理解长方体的特性，即它有12条棱，分为3组，每组4条，相互平行的棱的长度相等。然后，我们需要选择合适的小棒来搭建长方体，可选4根长2厘米，8根长4厘米的小棒，据此计算出长方体的棱长总和和体积。 【规范解答】 =104 =40（厘米） 【考点剖析】长方体棱长总和,长方体体积公式。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·河南洛阳·期末）下图是奇思在院子墙角处搭的一个长方体猫舍。已知搭猫舍共用去2.9米的钢筋，则这个猫舍的宽是( )米，搭这个猫舍至少需要( )平方米塑料网，这个猫舍占地( )平方米，猫舍所占的空间是( )立方米。（靠墙和地的地方不需要材料） 【答案】 0.7 2.74 0.84 0.84 【思路引导】猫舍靠墙角搭建，钢筋只围一条长、一条宽和一条高，用总长度减去长和高就能求出宽；塑料网不靠墙和地面，只需算出前面（长×高）、侧面（宽×高）和顶面（长×宽）三个面的面积和，占地面积用长乘宽计算，所占空间用长×宽×高求出体积。 【规范解答】宽：2.9－1.2－1＝0.7（米） 塑料网面积：1.2×1＋0.7×1＋1.2×0.7－ ＝1.2＋0.7＋0.84 ＝2.74（平方米） 占地面积：1.2×0.7＝0.84（平方米） 所占空间：1.2×0.7×1＝0.84（立方米） 奥数拓展四 正方体的体积计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）如图①，一个棱长为6cm的正方体，从前面的中心向后面挖去一个长方体（向后面全部挖空），前面的孔是一个边长为2cm的正方形，图①剩余部分的体积是多少？如果像图②这样从前面和上面的中心各向对面挖一个这样的孔道，那么图②剩余部分的体积是多少？ 【答案】192立方厘米；176立方厘米 【思路引导】题图①中挖掉的是一个宽和高为2cm、长为6cm的长方体，用正方体的体积减去挖掉的长方体的体积即可。求题图②中剩余部分的体积，可以先计算两条孔道的体积，每条孔道的体积都是（cm³），两条孔道的体积之和是（cm³）。但两条孔道相交的地方是一个体积为（cm³）的正方体，且这个正方体总共被计算了2次，实际只计算1次就可以，因此两条孔道的实际总体积为（cm³）。最后用正方体的体积减去两条孔道的实际总体积即可。 【规范解答】 （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：图①剩余部分的体积是192立方厘米；图②剩余部分的体积是176立方厘米。 【考点剖析】本题需利用正方体和长方体的体积公式，通过正方体体积减去挖去部分的体积来求解剩余部分体积。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2023五年级下·广东广州·专题练习）从一个长方体中锯掉一个正方体后，成了下图所示的形状。求现在这个物体的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】352平方厘米；320立方厘米 【思路引导】观察图形可知，在长方体木块上锯掉一个正方体，减少了正方体的3个面，同时又露出了正方体的3个面，所以剩下部分的表面积和原来长方体的表面积一样大，它的表面积没有发生变化，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解； 在长方体木块上锯掉一个正方体，那么体积就减少这个正方体的体积，所以现在这个物体的体积＝长方体的体积－锯掉的正方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。 【规范解答】表面积： （12×4＋12×8＋4×8）×2 ＝（48＋96＋32）×2 ＝176×2 ＝352（平方厘米） 体积： 12×4×8－4×4×4 ＝384－64 ＝320（立方厘米） 答：现在这个物体的表面积是352平方厘米，体积是320立方厘米。 【考点剖析】本题考查正方体、长方体表面积、体积公式的运用，在计算有缺口的立体图形的表面积时，要注意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了几个面，与原来的面相比较，是否一样，还是多或少了，进而得出结论。 奥数拓展五 体积的等积变形（长方体、正方体) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·甘肃定西·期中）泥塑，俗称“彩塑”，是以黏土为主要原料，经手工捏制或模塑成型后施以彩绘的中国传统民间工艺。浩浩酷爱捏泥塑，他将一个棱长为6厘米的正方体彩泥捏成一个长9厘米、宽8厘米的长方体，捏成的长方体的高是多少厘米？ 【答案】3厘米 【思路引导】根据题意，浩浩将一个棱长为6厘米的正方体彩泥捏成一个长为9厘米、宽为8厘米的长方体，这个过程是形状改变但体积不变；因此，长方体的体积等于原正方体的体积，那我们先根据正方体的棱长公式计算出体积，再根据长方体的体积公式，利用“高＝体积÷（长×宽）”求出长方体的高即可。 【规范解答】根据分析可得： 正方体的体积： 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 216÷（9×8） ＝216÷72 ＝3（厘米） 答：捏成的长方体的高是3厘米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·广东揭阳·期中）淘气在一个密封的长方体容器装了10厘米深的水，容器从内部测量得到长45厘米、宽15厘米、高15厘米。 (1)制作一个这样的密封的长方体容器，需要多少平方分米的铁皮？ (2)现将容器竖立起来（如图），此时水深是多少厘米？ 【答案】(1)31.5平方分米 (2)30厘米 【思路引导】第一问要求需要多少平方分米的铁皮就是求长方体容器的表面积，，注意单位的换算； 第二问要求水的深度，应先计算出水的总体积，再除以新的底面积，。 【规范解答】（1） ＝3150（平方厘米） ＝31.5（平方分米） 答：需要31.5平方分米的铁皮。 （2） ＝30（厘米） 答：此时水深是30厘米。 奥数拓展六 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·北京密云·期末）一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加12立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加30立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加60立方厘米。那么这个长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】62 【思路引导】由题意，长增加2厘米，体积增加12立方厘米，可知宽×高＝12÷2＝6平方厘米；同理可知长×高＝30÷3＝10平方厘米，长×宽＝60÷4＝15平方厘米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据分别代入公式解答。 【规范解答】（6＋10＋15）×2 ＝（16＋15）×2 ＝31×2 ＝62（平方厘米） 那么这个长方体的表面积是62平方厘米。 【考点剖析】此题关键是理解长增加宽和高不变，宽增加长和高不变，高增加长和宽不变．根据长方体的表面积公式解答即可。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·广东佛山·期中）苹苹用棱长为1cm的小正方体积木搭了一个立体图形，从上面看到的形状如左下图所示，方格中的数字表示在这个位置上所用的小正方体个数。 (1)请在虚线格中分别画出这个立体图形从前面和左面看到的图形。 (2)这个立体图形至少再增加( )个同样的小正方体才可以拼成更大的正方体，拼成的大正方体的体积是( )cm3。 【答案】(1)见详解 (2) 19 27 【思路引导】（1）从不同方向观察物体和几何图形，要看清楚每个面的特征，如何组合几何图形我们就需要注意观察组合图形的个数以及观察到的形状； （2）看图可知现有立体图形共有3列、每列3行、且第一列第三行有3个小正方体，因此，要在现有立体图形的基础上拼成一个大正方体，则拼成的大正方体的长、宽、高都得放至少3个小正方体，因此，一共需要3×3×3＝27个小正方体，而现有3＋1＋1＋2＋1＝8个小正方体，所以至少还需要27－8＝19个同样的小正方体；一个小正方体的棱长是1cm，因此棱长×棱长×棱长＝一个小正方体的体积，棱长×棱长×棱长×拼成大正方体一共需要的小正方体个数＝拼成的大正方体的体积。 【规范解答】（1） （2）3×3×3＝27（个） 3＋1＋1＋2＋1＝8（个） 27－8＝19（个）； 1×1×1×27＝27（cm3） 则至少再增加19个同样的小正方体才可以拼成更大的正方体，拼成的大正方体的体积是27cm3。 奥数拓展七 组合体的体积（长方体、正方体) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·河南濮阳·期中）计算下面图形的体积。（单位：dm） 【答案】168dm3 【思路引导】这个图形的体积＝大长方体体积－小长方体体积，长方体体积＝长×宽×高。 【规范解答】12×6×3－（12－4－4）×4×3 ＝216－4×4×3 ＝216－48 ＝168（dm3） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·江西抚州·期中）计算下面图形的体积。（单位：厘米） 【答案】123立方厘米 【思路引导】图形的体积等于长方体的体积加正方体的体积，长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 【规范解答】8×6×2 ＝48×2 ＝96（立方厘米） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方厘米） 96＋27＝123（立方厘米） 奥数拓展八 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·广东佛山·期中）如图，长方体密封容器的一个侧面有一个边长为3厘米的正方形开口，往容器里倒了一些水，水刚好无溢出，然后将容器倒过来摆放，水会减少616立方厘米。这个容器最初放了多少立方厘米的水？（容器的厚度忽略不计） 【答案】840立方厘米 【思路引导】最初放的水是一个高15厘米、底面积是容器底面积的长方体的体积，倒过来后容器中剩下的水的底面积等于最初水的底面积、高是4厘米，因此，减少的水的体积＝容器底面积×最初水的高15厘米－容器底面积×剩下的水的高4厘米＝容器底面积×（最初水的高15厘米－剩下的水的高4厘米），即减少的水的体积÷（最初水的高15厘米－剩下的水的高4厘米）＝容器的底面积，最后再根据：容器的底面积×最初水的高15厘米＝容器中最初放的水的体积。 【规范解答】616÷（15－4） ＝616÷11 ＝56（平方厘米） 56×15＝840（立方厘米） 答：这个容器最初放了840立方厘米的水。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·北京西城·期末）张红家有一个长6分米，宽3分米，高5分米的无盖长方体玻璃鱼缸。由于鱼缸有一些破损，爷爷裁去了一部分，把它改造成了一个新型无盖鱼缸（如下图）。 （1）改造后鱼缸的玻璃总面积是多少平方分米？ （2）张红在改造后的鱼缸中倒入54升水，接着将一块假山石放入水中并完全浸没，此时鱼缸中水面的高度是3.5分米（如下图）。这块假山石的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）99平方分米 （2）9立方分米 【思路引导】（1）观察图形可知，裁去了一部分后，左右面是梯形；那么新型无盖鱼缸的5个面分别是：下面是长为6分米、宽是3分米的长方形，前面是长为6分米、宽为（5－1）分米的长方形，后面是长为6分米、宽为5分米的长方形，左右面是上底为（5－1）分米、下底为5分米、高为3分米的梯形； 根据长方形的面积＝长×宽，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别求出5个面的面积，再相加即是改造后鱼缸玻璃的总面积。 （2）已知将一块假山石完全浸没入水中，此时鱼缸中水面的高度是3.5分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水面高度是3.5分米时水和假山石的体积之和，再减去水的体积，即是假山石的体积。注意单位的换算：1升＝1立方分米。 【规范解答】（1）5－1＝4（分米） 下面：6×3＝18（平方分米） 前面：6×4＝24（平方分米） 后面：6×5＝30（平方分米） 左右面： （4＋5）×3÷2×2 ＝9×3÷2×2 ＝27（平方分米） 总面积： 18＋24＋30＋27＝99（平方分米） 答：改造后鱼缸的玻璃总面积是99平方分米。 （2）54升＝54立方分米 6×3×3.5 ＝18×3.5 ＝63（立方分米） 63－54＝9（立方分米） 答：这块假山石的体积是9立方分米。 【考点剖析】（1）本题考查长方体表面积公式的灵活应用，关键是分析出新型无盖鱼缸的5个面是由哪些图形组合而成，进而根据图形的面积公式求出鱼缸的总面积。 （2）本题考查长方体体积公式的实际应用，理解假山石浸没水中后水的高度3.5分米，此时的体积包含水和假山石的体积之和是解题的关键。 【基础夯实 知识巩固】 1．（24-25五年级下·湖南湘西·期末）一件商品说明书上标明的尺寸是75cm×50cm×160cm。这件商品可能是（    ）。 A．行李箱 B．微波炉 C．简易衣柜 D．洗衣机 【答案】C 【思路引导】将题干中的cm转化为m，建立长度概念，再对比选项中常见物品的尺寸。据此根据实际情境得出答案。 【规范解答】因为 ，所以 ，， 高度相当于一名成年人的身高。 A. 行李箱的高度通常小于，不符合的高度，此选项错误； B. 微波炉的高度通常约为，远小于，此选项错误； C. 简易衣柜的高度通常约为至，宽度约为至，深度约为，与题干尺寸相符，此选项正确； D. 洗衣机的高度通常约为，小于，此选项错误。 2．（24-25五年级下·浙江台州·期末）下图是一个长方体物品的长、宽、高，请根据具体数据估计这可能是一个（    ）。 A．粉笔盒 B．数学书 C．铅笔盒 D．电视机 【答案】C 【思路引导】长方体相交于一个顶点的三条棱分别是长宽高，长是21cm，宽是8cm，高是2cm，根据实际情况判断物品即可。 【规范解答】A．粉笔盒的高不可能只有2cm，不符合； B．数学书的高小于2cm，不符合； C．可能是铅笔盒的长宽高，符合； D．不可能是电视机的长宽高，不符合。 根据具体数据估计这可能是一个铅笔盒。 3．（24-25五年级下·湖南湘西·期末）一个长方体，如果高减少4分米就变成一个正方体，它的表面积比原来减少96平方分米。那么原来长方体的体积是（    ）立方分米。 A．90 B．160 C．250 D．360 【答案】D 【思路引导】表面积减少的是侧面积，高减少4分米就变成一个正方体，说明这个原来长方体的底面是正方形。减少的表面积÷减少的高＝底面周长，底面周长÷4＝正方体棱长，即原来长方体的长和宽，正方体棱长＋减少的高＝原来长方体的高，长方体体积＝长×宽×高。 【规范解答】底面周长：（分米） 底面边长：（分米） 原来长方体的高：（分米） 原来长方体的体积：（立方分米） 原来长方体的体积是360立方分米。 4．（24-25五年级下·重庆渝北·期末）一个棱长是4分米的正方体纸箱，它的表面积是( )平方分米，它的体积是( )立方分米。 【答案】 96 64 【思路引导】①根据正方体的表面积＝边长×边长×6即可求解； ②根据正方体的体积＝边长×边长×边长即可求解。 【规范解答】①4×4×6＝96（平方分米） ②4×4×4＝64（立方分米） 5． （24-25五年级下·湖南常德·期末） _______           380L＝_______＝_______ 45秒＝_______分                     _______ 【答案】 9080 380 0.38 /0.75 5.6 【思路引导】m3化为dm3，进率是1000，用9.08乘1000； L化为dm3，1L＝1dm3，dm3化为m3，进率是1000，用380除以1000； 秒化为分，进率是60，用45除以60； cm2化为1dm2，进率是100，用560除以100。 【规范解答】9.08×1000＝9080（dm3） 9.08m3＝9080dm3； 380÷1000＝0.38（m3） 380L＝380dm3＝0.38m3； 45÷60＝（分） 45秒＝分； 560÷100＝5.6（dm2） 560cm2＝5.6dm2 6．（24-25五年级下·山东济宁·期末）把一块正方体橡皮泥捏成一个长方体。它们体积相等，表面积不相等。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】橡皮泥的总量没有变化，只是形状被改变，所以捏成正方体和长方体时，它们的体积都等于橡皮泥的总体积，因此体积是相等的。在体积相同的情况下，正方体的表面积是所有长方体中最小的。当把正方体捏成长方体时，长、宽、高的差异会变大，会导致长方体的表面积比原来的正方体更大，因此两者的表面积不相等。 【规范解答】把一块正方体橡皮泥捏成一个长方体，橡皮泥的总量没有增加或减少，只是形状发生了改变，所以体积相等。 假设正方体的棱长是2厘米。 表面积为：2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 假设长方体长4厘米、宽2厘米、高1厘米。 表面积为：（4×2＋4×1＋2×1）×2 ＝（8＋4＋2）×2 ＝（12＋2）×2 ＝14×2 ＝28（平方厘米） 24≠28，表面积不相等。 故答案为：√ 7．（2022·河北保定·小升初真题）棱长6dm的正方体，表面积和体积相等。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，正方体的表面积和体积是两个不同的概念，表面积是物体表面面积的总和，单位是面积单位，而体积是物体所占空间的大小，单位是体积单位，二者单位不同，无法比较大小，据此解答。 【规范解答】表面积：6×6×6 ＝36×6 ＝216（dm2） 体积：6×6×6 ＝36×6 ＝216（dm3） 虽然数值相同，但表面积和体积不是同类量，单位不同，不能比较大小，原题说法错误。 故答案为：× 8．（24-25五年级下·浙江台州·期末）有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如下图）。请你算出它的表面积和体积。（长度单位：厘米） 【答案】252平方厘米；232立方厘米 【思路引导】零件的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；零件的体积＝长方体体积－挖去部分正方体的体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【规范解答】表面积：（8×5＋8×6＋5×6）×2＋2×2×4 ＝（40＋48＋30）×2＋16 ＝118×2＋16 ＝236＋16 ＝252（平方厘米） 体积：8×6×5－2×2×2 ＝240－8 ＝232（立方厘米） 9．（24-25五年级下·湖北黄石·期末）计算下面组合图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】248平方厘米 184立方厘米 【思路引导】这个组合图形由长方体和正方体拼接而成。计算表面积时，先求出长方体的表面积，再加上正方体的个侧面积。因为正方体的底面与长方体的顶面重合，这部分被遮挡，不用重复计算；计算体积时，两部分没有内部重叠，所以组合图形的体积等于长方体体积与正方体体积之和，直接相加即可。 【规范解答】长方体： 长厘米 宽厘米 高厘米 （平方厘米） 正方体：棱长 （平方厘米） （平方厘米） （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 10．（24-25五年级下·浙江杭州·期末）一个长方体容器，长15厘米，宽9厘米，高9厘米。容器里面装着水，水面高度是6厘米（如下图）。 (1)如果把容器竖起来放（如下图），水面高度是多少厘米？ (2)竖起来后，打开顶盖，浸没一块体积500立方厘米的石块，水会不会溢出来？ 【答案】(1)10厘米 (2)会 【思路引导】（1）用容器的底面积乘水面的高度求出水的体积，用水的体积除以竖起来后的底面积即可求出竖起来后的高度； （2）竖起来时容器空余的体积与横着放空余的体积相等，则用横着放的容器底面积乘空余部分的高度求出空余部分的体积，然后与石块的体积比较后判断是否会溢出。 【规范解答】（1）15×9×6 ＝135×6 ＝810（立方厘米） 810÷（9×9） ＝810÷81 ＝10（厘米） 答：水面高度是10厘米。 （2）15×9×（9－6） ＝135×3 ＝405（立方厘米） 405＜500 答：水会溢出来。 【拓展提高 能力拔尖】 1．（24-25五年级下·重庆渝北·期末）一个长、宽、高分别为5分米、4分米、3分米的小纸箱，在所有的棱上都粘上胶带，至少需要（    ）分米的胶带。 A．60 B．48 C．94 【答案】B 【思路引导】长方体共有 12 条棱，相对的棱长度相等，分为3组，分别是4条长、4条宽和4条高。求在所有的棱上粘上胶带至少需要多少分米，即求长方体的棱长总和。根据长方体棱长总和公式“棱长总和＝（长＋宽＋高）×4 ”，代入数据计算即可。 【规范解答】（5＋4＋3）×4 ＝12×4 ＝48（分米） 所以至少需要 48分米的胶带。 2．（24-25五年级下·湖南常德·期末）一种肥皂的尺寸如下图所示。品牌搞促销活动（买三送一），需要把4块这样的肥皂装在一个包装盒中，那么下面的包装方式中，最省包装纸板的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据题意，把4块这样的肥皂拼成一个大长方体，要让包装纸最省，就要让拼成的大长方体的表面积最小，关键就是把肥皂最大的面尽可能多地重合在一起，减少暴露在外的面积，也就是拼成的长方体的长、宽、高的差最小，表面积就越小，逐个分析每个选项即可求解。 【规范解答】A．长是18cm，宽是6cm，高是6cm，18－6＝12（cm），它们的差不是最小； B．长是9cm，宽是3cm，高是24cm，24－3＝21（cm），它们的差不是最小； C．长是18cm，宽是3cm，高是12cm，18－3＝15（cm），它们的差不是最小； D．长是9cm，宽是6cm，高是12cm，12－6＝6（cm），它们的差最小，因此最省包装纸。 3．（24-25五年级下·河北保定·期末）曲阳石雕，是中国传统雕刻艺术的瑰宝。王师傅从下面的长方体大理石料上截下一块体积最大的正方体石材制作浮雕，这块正方体石材的体积是( )dm3。 【答案】125 【思路引导】分析题目，截下的最大的正方体的棱长等于长方体最短的一条棱，即正方体的棱长是5dm，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。 【规范解答】9＞6＞5 5×5×5 ＝25×5 ＝125（dm3） 4．（24-25五年级下·新疆克拉玛依·期末）把一根长1.5dm的长方体木料等分锯成6段，表面积比原来增加了，则这根木料原来的体积是( )。 【答案】187.5 【思路引导】长方体体积＝横截面面积×木料长度，锯成6段需要锯5次，每锯1次会新增2个横截面，增加横截面数为：（6－1）×2＝10（个），用125除以10可以求出一个横截面面积，再代入长方体的体积公式即可求出这根木料原来的体积。注意换算单位。 【规范解答】1.5dm＝15cm （6－1）×2 ＝5×2 ＝10（个） 125÷10×15 ＝12.5×15 ＝187.5（）。 5．（24-25五年级下·重庆永川·期末）如图，图①是一个盛满水的无盖长方体容器，水深，将容器如图②所示倾斜倒出一部分水，此时的长度是，再把容器放平，如图③所示，这时容器中水的深度是( )cm。 【答案】15 【思路引导】设长方体容器的长为a，宽为b。计算初始水的体积：初始水深24cm，根据长方体体积公式V＝长×宽×高，则初始水的体积V＝24ab。计算倒出部分水的体积：容器倾斜后，倒出部分水的体积相当于一个以ab为底面积，高为（24－6）cm的长方体体积的一半（因为倾斜后空白部分是三角形，其体积是对应长方体体积的一半）。倒出部分水的体积V＝（24－6）×ab÷2＝9ab。用24ab减去9ab求出剩余水的体积，再除以底面积即可求出放平后的水深。 【规范解答】解：设长方体容器的长为a，宽为b。 V＝24ab V＝（24－6）×ab÷2＝18×ab÷2＝9ab （24ab－9ab）÷ab ＝15ab÷ab ＝15（cm） 这时容器中水的深度是15cm。 【考点剖析】本题可根据长方体体积公式，结合倾斜前后水的体积变化来求解。 6．（24-25五年级下·山东济宁·期末）计算下面图形的表面积。 【答案】486cm2 【思路引导】观察图形可知，在大正方体的一个角上挖去一个小长方体后，原来大正方体表面减少了3个面，但同时又新增加了3个和减少的面完全相同的面，所以这个图形的表面积和原来大正方体的表面积相等，大正方体的表面积＝棱长×棱长×6，已知大正方体棱长为9cm，代入公式可得出表面积。 【规范解答】根据分析： 9×9×6 ＝81×6 ＝486（） 7．（24-25五年级下·浙江杭州·期末）如下图，一个正方体礼品盒的棱长是30厘米。用彩带捆扎这个礼品盒，彩带的打结部分长50厘米。 (1)捆扎这个礼品盒，至少需要多长的彩带？ (2)这个礼品盒的上面，是两块相同的正方形纸板折叠在一起的。制作这个盒子，一共需要多少平方厘米的纸板？（其他粘贴部分面积不计） 【答案】(1)290厘米 (2)6300平方厘米 【思路引导】（1）与30厘米棱长相等的有8条，用这8条的长度加上打结部分的长度即可求出彩带总长度； （2）因为礼盒上面是两块正方形纸板，因此一共需要的纸板总面积相当于6＋1＝7个正方形的面积，所以用礼品盒一个面的面积乘7即可求出需要纸板的总面积。 【规范解答】（1）30×8＋50 ＝240＋50 ＝290（厘米） 答：至少需要290厘米的彩带。 （2）30×30×7 ＝900×7 ＝6300（平方厘米） 答：一共需要6300平方厘米的纸板。 8．（24-25五年级下·湖南常德·期末）修建一个游泳池，要挖一个长50米，宽40米，深2米的坑。 (1)用挖土机每小时可挖80立方米，需要几小时挖完？ (2)在这个游泳池的四壁和底面贴上瓷砖，需要贴瓷砖多少平方米？ 【答案】(1)50小时 (2)2360平方米 【思路引导】（1）根据V＝abh求出泳池的容积，再除以80即可得到挖完的时间； （2）贴瓷砖的面积＝长×宽﹢长×高×2＋宽×高×2，将数据代入计算即可。 【规范解答】（1）（50×40×2）÷80 ＝4000÷80 ＝50（小时） 答：需要50小时挖完。 （2）50×40＋50×2×2＋40×2×2 ＝2000＋200＋160 ＝2200＋160 ＝2360（平方米） 答：需要贴瓷砖2360平方米。 9．（24-25五年级下·北京海淀·期末）学校新建了一个游泳池，围绕“游泳池的注水量”问题，数学小组的同学们展开了研究。他们从内部测量出游泳池长25米，宽10米，游泳池最浅处深1.2米，游泳池最深处深1.6米，是一个不规则的立体图形。为了便于思考，同学们画出了下面的示意图。 （1） （2）注满这个游泳池，需要多少立方米的水？ （3）请你换个新角度想一想，如何用其他方法求出注满这个游泳池需要多少立方米的水。尝试写出你解决问题的思路，如果有需要，可以在下面的示意图上标一标、画一画。 【答案】（1）300立方米到400立方米 （2）350立方米 （3）350立方米；方法见详解 【思路引导】（1）已知这个游泳池最浅处深1.2米，游泳池最深处深1.6米，根据长方体的容积公式V＝abh，分别求出高最小1.2米和高最大1.6米的长方体容积，也就是注水量的大致范围。 （2）根据老爷爷的提示，补一个和原游泳池完全一样的游泳池，和原游泳池拼成一个新游泳池，新游泳池是一个长为25米、宽为10米，高为（1.2＋1.6）米的长方体，根据长方体的容积公式V＝abh，求出新游泳池的容积，再除以2，即是原游泳池的容积。 （3）如下图，把不规则的游泳池分成上下两部分，下面是一个长为25米、宽为10米、高为1.2米的长方体，根据长方体的容积公式V＝abh，求出这个长方体的容积； 上面的立体图形截面是一个底为25米、高为（1.6－1.2）米的三角形，先根据三角形的面积公式S＝ah÷2，求出截面的面积；再根据公式V＝Sh求出这个立体图形的容积； 最后把两个图形的体积相加，就是原游泳池的体积。 【规范解答】（1）25×10×1.2＝300（立方米） 25×10×1.6＝400（立方米） 答：注水量的大致范围是300立方米到400立方米。 （2）25×10×（1.2＋1.6） ＝25×10×2.8 ＝700（立方米） 700÷2＝350（立方米） 答：注满这个游泳池，需要350立方米的水。 （3）如图： 25×10×1.2＝300（立方米） 25×（1.6－1.2）÷2×10 ＝25×0.4÷2×10 ＝5×10 ＝50（立方米） 300＋50＝350（立方米） （方法不唯一） 答：注满这个游泳池，需要350立方米的水。 【考点剖析】（1）本题考查长方体容积公式的灵活运用。 （2）借助研究平面图形面积的经验，用一个相同的不规则游泳池和原游泳池组合成一个规则的长方体，再利用长方体的容积公式求出新长方体的体积，除以2即可。 （3）利用分割法，把不规则游泳池图形分割成两部分，分别计算出容积，再相加即可。 10．（24-25五年级下·浙江台州·期末）下面是一个长方体的展开图，标有字母( )的这个面是长方体的上面。这个长方体前后、左右4个面的面积之和是( )cm。 【答案】 C 108 【思路引导】长方体展开图中，相对的面完全相同，且在展开图中里不相邻、中间一定会隔一个面。这道题的图为：中间一排A、B、D、E四个面，下方一排单独标注为底面，上方一排单独C面，底面和C面不相邻且中间隔开一面，满足相对面规律，长方体的底面的对面即为上面，因此C是上面。 长方体的前后左右4个面展开就是长方体的侧面，即A、B、D、E这四个面，合在一起是个长方形，长为18cm，宽为6cm，长和宽相乘就是这4个面的面积和。 【规范解答】这个展开图中，标有字母C的这个面是长方体的上面。 前后、左右4个面的面积之和： 18×6＝108（cm） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第三单元 长方体和正方体『期末复习精编讲义』（培优版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+13个考点讲练+8个奥数拓展+真题演练 共62题） 同学你好，该份讲义用于人教新五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 4 知识点一 长方体的认识及特征 4 知识点二 正方体的认识及特征 4 知识点三 长方体的表面展开图 6 知识点四 正方体的表面展开图 6 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 7 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 7 知识点七 长方体的表面积 7 知识点八 正方体的表面积 8 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 8 知识点十 立方体表面染色问题 9 知识点十一 体积和容积的认识 9 知识点十二 体积和容积的单位 10 知识点十三 长方体的体积 11 知识点十四 正方体的体积 11 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 11 知识点十六 剪角折叠求体积问题 12 知识点十七 等积变形问题 12 知识点十八 排水法求不规则物体体积 12 知识点十八 不规则及组合立体图形的表面积和体积 13 考点讲练 真题汇总 13 高频考点一 长方体的展开图 13 高频考点二 正方体的展开图 13 高频考点三 长方体表面积的计算与应用 14 高频考点四 正方体表面积的计算与应用 14 高频考点五 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 15 高频考点六 组合体的表面积（长方体、正方体) 16 高频考点七 表面涂色的正方体 16 高频考点八 长方体的体积的计算与应用 17 高频考点九 正方体的体积计算与应用 17 高频考点十 体积的等积变形（长方体、正方体) 18 高频考点十一 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 18 高频考点十二 组合体的体积（长方体、正方体) 18 高频考点十三 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 19 奥数拓展 拔尖冲刺 20 奥数拓展一 长方体表面积的计算与应用 20 奥数拓展二 正方体表面积的计算与应用 21 奥数拓展三 长方体的体积的计算与应用 21 奥数拓展四 正方体的体积计算与应用 21 奥数拓展五 体积的等积变形（长方体、正方体) 22 奥数拓展六 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 23 奥数拓展七 组合体的体积（长方体、正方体) 23 奥数拓展八 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 24 优选真题 实战演练 25 【基础夯实 知识巩固】 25 【拓展提高 能力拔尖】 26 知识点一 长方体的认识及特征 1. 长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成 （1）面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征 4. 长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二 正方体的认识及特征 1. 正方体的认识：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成 （1）面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系 （1）转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别 知识点三 长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四 正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义：长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七 长方体的表面积 1. 长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4. 表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八 正方体的表面积 1. 正方体的表面积：正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十 立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点十二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3） 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3） 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3） 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L） 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十八 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 高频考点一 长方体的展开图 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南郑州·期末）妙妙准备制作一个无盖的长方体盒子，她在方格纸上画出了长方体的表面展开图（如图）。这个长方体相交于同一顶点的三条棱的长度之和是( )分米，底面面积是( )平方分米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广西柳州·期末）小亮画正方体的展开图（如图）。请把漏画的一个面补充完整，使得这个展开图折叠后能围成一个正方体。 高频考点二 正方体的展开图 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·重庆忠县·期末）下面图（    ）不能折成一个正方体。 A． B． C． D． 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）．（24-25五年级下·重庆巴南·期末）工人制作了一个如图所示的正方体礼盒（上面无盖），左右两边相同位置留有手提袋的穿线孔，这个礼盒的展开图是（    ）。 A． B． C． D． 高频考点三 长方体表面积的计算与应用 25．（24-25五年级下·浙江湖州·期末）根据长方体的展开图，求它的表面积。（单位：厘米） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·黑龙江牡丹江·期末）学校要给一间教室的四壁和天花板刷涂料。教室长9米，宽7米，高3米，门窗面积15平方米。如果每平方米用涂料0.6千克，一共需要涂料多少千克？如果涂料每千克30元，总费用是多少？ 高频考点四 正方体表面积的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·贵州黔西南·期末）如图，从一个正方体的一角切去一个长方体后，剩下图形的表面积是多少？（单位：分米） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·北京平谷·期末）（1）李叔叔因地制宜打造了一个沙包游戏活动区，想请王阿姨帮忙缝制一些棱长为1分米的正方体沙包。因为在制作时需要缝合，沙包的每个面在裁剪时均为边长1.1分米的正方形。缝制这样的一个沙包需要多少平方分米的花布？ （2）王阿姨找到一块长1.8米、宽1.7米的花布，可以做多少个上面这样的沙包？（沙包的每个面不能用碎花布拼接） 高频考点五 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·浙江杭州·期末）下面是一个长方体木块，请你沿着与面平行的方向切一刀，使表面积增加得尽可能多，你会怎么切？请画出切割的示意图。 ★你能提出一个与切割有关的、更值得思考的数学问题吗？（不用解答） __________________________。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南新乡·期末）一根方木的表面积是100dm2，横截面是边长为1dm的正方形。工人师傅每次都锯下一个棱长为1dm的小方木。 （1）完成下面表格。 锯下小方木的个数 1 2 3 … 剩下方木的表面积/dm2 … （2）当锯下8个小方木时，剩下方木的表面积是（    ）dm2。 （3）当剩下方木的表面积是20dm2时，一共锯下了（    ）个小方木。 高频考点六 组合体的表面积（长方体、正方体) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·四川广元·期末）如图，图①、图②都是由棱长1cm的正方体搭成的。 根据这样的算法，图②的表面积是( )cm2（填算式）。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·黑龙江绥化·期末）下图为棱长1dm的小正方体搭成的立体图形堆放在墙角，这个立体图形露在外面的面积是( )，至少还需要( )个这样的小正方体才能搭成一个大正方体。 高频考点七 表面涂色的正方体 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·云南德宏·期末）用64个棱长为1cm的小正方体拼成一个大正方体，表面涂上红色，其中一面涂色的小正方体有（    ）个。 A．24 B．48 C．36 D．8 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·湖北恩施·期末）用小正方体拼成长方体（如图所示），将长方体表面涂上颜色。一面涂色的小正方体有（    ）块。 A．6 B．8 C．10 D．12 高频考点八 长方体的体积的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南三门峡·期末）一根体积是6.4立方米的方木，其横截面是边长8分米的正方形。这根方木长多少米？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 高频考点九 正方体的体积计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河北保定·期末）我国航天事业不断取得新突破，在一次模拟太空实验中，有一个正方体太空舱模型，它的棱长总和是60cm，这个正方体的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）启启用一个长为8厘米，宽为7厘米，高为6厘米的长方体玻璃容器做实验。他先往容器中倒入5厘米深的水，再把一块棱长4厘米的正方体铁块放入水中，水会不会溢出来？ （1）你的判断结果是（        ）。（填“会”或“不会”） （2）请你用算式表示出你的判断的理由。 高频考点十 体积的等积变形（长方体、正方体) 39．（24-25五年级下·江西宜春·期末）为了喜迎“六一儿童节”，不断丰富孩子们的动手实践能力，5月30日，县二小开展“创意无限捏出精彩”的捏橡皮泥活动。乐乐参加这次活动时，将3个横截面的面积是9.6平方厘米，长是4厘米长方条橡皮泥改捏成一个长8厘米、宽4厘米的长方体作为自己作品的底座。 （1）捏成的这个长方体底座的高是多少厘米？ （2）乐乐的作品快要完成时，她决定将长方体底座的各个面（不含底面）涂成红色，需要涂色的面积是多少平方厘米？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山东济宁·期末）有一个工匠将一个棱长3dm的正方体钢铁材料熔铸成了一个长15dm，宽9dm的长方体钢板，且材料没有剩余，则这个长方体钢板的厚是( )dm。 高频考点十一 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）把两个长6厘米、宽3厘米、高5厘米的长方体，拼成一个表面积最小的长方体，拼成后的长方体体积是（    ）立方厘米。 A．90 B．120 C．180 D．252 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·湖北省直辖县级单位·期末）一个正方体的体积是长方体体积的2倍，如果把它们拼摆在一起，正好能拼成一个新的长方体。新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加了64平方厘米。新长方体的体积是( )立方厘米。 高频考点十二 组合体的体积（长方体、正方体) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）．（24-25五年级下·广西百色·期末）有一个棱长为6dm的大正方体，在其一个顶点处挖去一个长为2dm、宽为2dm、高为3dm的小长方体（如图），此时该图形的表面积是( )dm2，体积是( )dm3。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广西河池·期末）乐乐用8个小正方体拼成一个大正方体，被弟弟拿走了一个小正方体，如图，下面说法正确的是（    ）。 A．体积减小，表面积不变 B．体积不变，表面积也不变 C．体积减小，表面积减少 D．体积减小，表面积增加 高频考点十三 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖北黄石·期末）用排水法测量土豆和红薯的体积，已知长方体容器长15厘米，宽15厘米，高20厘米。仔细观察实验过程，比较土豆和红薯的体积，谁的体积大？大多少？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广西南宁·期末）张华用“排水法”测量1颗玻璃球的体积，下面是他的测量记录。 ①选择一个正方体容器，从里面量，棱长是10厘米。 ②往这个容器中倒入一些水，测得水面的高度是7厘米。 ③把12颗完全相同的玻璃球轻轻地放入容器中，所有玻璃球都被水完全浸没。 ④再次测得水面的高度是8.8厘米。 根据上面的测量记录，请你计算出1颗玻璃球的体积是多少立方厘米？ 奥数拓展一 长方体表面积的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·北京西城·期末）一个长方体纸箱，它的上面和下面都是由两个完全一样的长方形纸板拼成的，如图1。 图1 （1）沿粘合处把纸箱拆开后，除了粘合处，其余部分恰好形成一个长方形，这个长方形比纸箱的表面多出A、B、C、D四个相同的面，如图2，请把相关数据填写在图2的括号里。      图2 （2）算上粘合处，制作这个纸箱需要多少平方厘米的纸板？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·浙江杭州·期末）如图，有一个长方体物体，底面是正方形，中间是空心的正方形。如果把这个物体浸没在水中，它与水接触的面积是多少平方厘米？ 奥数拓展二 正方体表面积的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·河北邢台·阶段检测）小宇用硬纸板做了一个无盖的正方体储物盒，已知储物盒的棱长是25厘米，制作这个储物盒至少需要( )平方厘米的硬纸板。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·河南开封·阶段检测）三阶魔方是一种机械益智玩具，形状为正方体。小涛测得一个三阶魔方的一个面的周长是28厘米，这个魔方的表面积是______平方厘米。 奥数拓展三 长方体的体积的计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·浙江湖州·期中）明明有4根长2厘米，3根3厘米，9根4厘米的小棒，选取12根搭成一个长方体，这个长方体的棱长总和是( )厘米；体积是( )立方厘米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26六年级上·河南洛阳·期末）下图是奇思在院子墙角处搭的一个长方体猫舍。已知搭猫舍共用去2.9米的钢筋，则这个猫舍的宽是( )米，搭这个猫舍至少需要( )平方米塑料网，这个猫舍占地( )平方米，猫舍所占的空间是( )立方米。（靠墙和地的地方不需要材料） 奥数拓展四 正方体的体积计算与应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）如图①，一个棱长为6cm的正方体，从前面的中心向后面挖去一个长方体（向后面全部挖空），前面的孔是一个边长为2cm的正方形，图①剩余部分的体积是多少？如果像图②这样从前面和上面的中心各向对面挖一个这样的孔道，那么图②剩余部分的体积是多少？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2023五年级下·广东广州·专题练习）从一个长方体中锯掉一个正方体后，成了下图所示的形状。求现在这个物体的表面积和体积。（单位：厘米） 奥数拓展五 体积的等积变形（长方体、正方体) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·甘肃定西·期中）泥塑，俗称“彩塑”，是以黏土为主要原料，经手工捏制或模塑成型后施以彩绘的中国传统民间工艺。浩浩酷爱捏泥塑，他将一个棱长为6厘米的正方体彩泥捏成一个长9厘米、宽8厘米的长方体，捏成的长方体的高是多少厘米？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·广东揭阳·期中）淘气在一个密封的长方体容器装了10厘米深的水，容器从内部测量得到长45厘米、宽15厘米、高15厘米。 (1)制作一个这样的密封的长方体容器，需要多少平方分米的铁皮？ (2)现将容器竖立起来（如图），此时水深是多少厘米？ 奥数拓展六 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·北京密云·期末）一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加12立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加30立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加60立方厘米。那么这个长方体的表面积是( )平方厘米。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·广东佛山·期中）苹苹用棱长为1cm的小正方体积木搭了一个立体图形，从上面看到的形状如左下图所示，方格中的数字表示在这个位置上所用的小正方体个数。 (1)请在虚线格中分别画出这个立体图形从前面和左面看到的图形。 (2)这个立体图形至少再增加( )个同样的小正方体才可以拼成更大的正方体，拼成的大正方体的体积是( )cm3。 奥数拓展七 组合体的体积（长方体、正方体) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·河南濮阳·期中）计算下面图形的体积。（单位：dm） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·江西抚州·期中）计算下面图形的体积。（单位：厘米） 奥数拓展八 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·广东佛山·期中）如图，长方体密封容器的一个侧面有一个边长为3厘米的正方形开口，往容器里倒了一些水，水刚好无溢出，然后将容器倒过来摆放，水会减少616立方厘米。这个容器最初放了多少立方厘米的水？（容器的厚度忽略不计） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·北京西城·期末）张红家有一个长6分米，宽3分米，高5分米的无盖长方体玻璃鱼缸。由于鱼缸有一些破损，爷爷裁去了一部分，把它改造成了一个新型无盖鱼缸（如下图）。 （1）改造后鱼缸的玻璃总面积是多少平方分米？ （2）张红在改造后的鱼缸中倒入54升水，接着将一块假山石放入水中并完全浸没，此时鱼缸中水面的高度是3.5分米（如下图）。这块假山石的体积是多少立方分米？ 【基础夯实 知识巩固】 1．（24-25五年级下·湖南湘西·期末）一件商品说明书上标明的尺寸是75cm×50cm×160cm。这件商品可能是（    ）。 A．行李箱 B．微波炉 C．简易衣柜 D．洗衣机 2．（24-25五年级下·浙江台州·期末）下图是一个长方体物品的长、宽、高，请根据具体数据估计这可能是一个（    ）。 A．粉笔盒 B．数学书 C．铅笔盒 D．电视机 3．（24-25五年级下·湖南湘西·期末）一个长方体，如果高减少4分米就变成一个正方体，它的表面积比原来减少96平方分米。那么原来长方体的体积是（    ）立方分米。 A．90 B．160 C．250 D．360 4．（24-25五年级下·重庆渝北·期末）一个棱长是4分米的正方体纸箱，它的表面积是( )平方分米，它的体积是( )立方分米。 5． （24-25五年级下·湖南常德·期末） _______           380L＝_______＝_______ 45秒＝_______分                     _______ 6．（24-25五年级下·山东济宁·期末）把一块正方体橡皮泥捏成一个长方体。它们体积相等，表面积不相等。( )（判断对错） 7．（2022·河北保定·小升初真题）棱长6dm的正方体，表面积和体积相等。( )（判断对错） 8．（24-25五年级下·浙江台州·期末）有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如下图）。请你算出它的表面积和体积。（长度单位：厘米） 9．（24-25五年级下·湖北黄石·期末）计算下面组合图形的表面积和体积。（单位：厘米） 10．（24-25五年级下·浙江杭州·期末）一个长方体容器，长15厘米，宽9厘米，高9厘米。容器里面装着水，水面高度是6厘米（如下图）。 (1)如果把容器竖起来放（如下图），水面高度是多少厘米？ (2)竖起来后，打开顶盖，浸没一块体积500立方厘米的石块，水会不会溢出来？ 【拓展提高 能力拔尖】 1．（24-25五年级下·重庆渝北·期末）一个长、宽、高分别为5分米、4分米、3分米的小纸箱，在所有的棱上都粘上胶带，至少需要（    ）分米的胶带。 A．60 B．48 C．94 2．（24-25五年级下·湖南常德·期末）一种肥皂的尺寸如下图所示。品牌搞促销活动（买三送一），需要把4块这样的肥皂装在一个包装盒中，那么下面的包装方式中，最省包装纸板的是（    ）。 A． B． C． D． 3．（24-25五年级下·河北保定·期末）曲阳石雕，是中国传统雕刻艺术的瑰宝。王师傅从下面的长方体大理石料上截下一块体积最大的正方体石材制作浮雕，这块正方体石材的体积是( )dm3。 4．（24-25五年级下·新疆克拉玛依·期末）把一根长1.5dm的长方体木料等分锯成6段，表面积比原来增加了，则这根木料原来的体积是( )。 5．（24-25五年级下·重庆永川·期末）如图，图①是一个盛满水的无盖长方体容器，水深，将容器如图②所示倾斜倒出一部分水，此时的长度是，再把容器放平，如图③所示，这时容器中水的深度是( )cm。 6．（24-25五年级下·山东济宁·期末）计算下面图形的表面积。 7．（24-25五年级下·浙江杭州·期末）如下图，一个正方体礼品盒的棱长是30厘米。用彩带捆扎这个礼品盒，彩带的打结部分长50厘米。 (1)捆扎这个礼品盒，至少需要多长的彩带？ (2)这个礼品盒的上面，是两块相同的正方形纸板折叠在一起的。制作这个盒子，一共需要多少平方厘米的纸板？（其他粘贴部分面积不计） 8．（24-25五年级下·湖南常德·期末）修建一个游泳池，要挖一个长50米，宽40米，深2米的坑。 (1)用挖土机每小时可挖80立方米，需要几小时挖完？ (2)在这个游泳池的四壁和底面贴上瓷砖，需要贴瓷砖多少平方米？ 9．（24-25五年级下·北京海淀·期末）学校新建了一个游泳池，围绕“游泳池的注水量”问题，数学小组的同学们展开了研究。他们从内部测量出游泳池长25米，宽10米，游泳池最浅处深1.2米，游泳池最深处深1.6米，是一个不规则的立体图形。为了便于思考，同学们画出了下面的示意图。 （1） （2）注满这个游泳池，需要多少立方米的水？ （3）请你换个新角度想一想，如何用其他方法求出注满这个游泳池需要多少立方米的水。尝试写出你解决问题的思路，如果有需要，可以在下面的示意图上标一标、画一画。 10．（24-25五年级下·浙江台州·期末）下面是一个长方体的展开图，标有字母( )的这个面是长方体的上面。这个长方体前后、左右4个面的面积之和是( )cm。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null