专题04 浮力（期末压轴题训练）八年级物理下学期新教材苏科版

**基本信息** 聚焦浮力核心考点，通过江苏多地期末真题构建概念辨析、实验探究、综合计算三维训练体系，强化物理观念与科学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|8题（如21-25题）|选择/填空，涉及浮沉条件、液面变化|从浮力产生原因到浮沉条件，建立密度-浮力-状态关系链| |实验探究|6题（如13、28题）|验证阿基米德原理、探究影响因素|通过控制变量法，衔接理论推导与实验证据| |综合计算|11题（如15、32题）|结合密度计、潜水艇等实际模型|整合阿基米德原理与受力分析，提升问题解决能力|

专题04 浮力 1．（24-25八年级下·江苏常州·期末）小明家的鱼缸中水深为，为了清洗鱼缸底部观赏用的鹅卵石，先将一个重为2N的空桶放在水面上漂浮，此时水的深度为，然后将鱼缸底部的鹅卵石全部捞出放置在桶内，桶仍漂浮在水面（如图所示），此时水的深度为。不考虑鹅卵石被捞出过程中带出的水，桶口一直竖直向上，水的密度。则：空桶漂浮在水面上时，桶排开水的体积______；水的深度______（>/＝/<）、______（>/＝/<）。 【答案】 < < 【详解】[1]空桶漂浮在水面时，根据浮沉条件可知浮力等于重力，即F浮=G=2N 根据阿基米德原理，可得 [2]将空桶放入鱼缸后，排开水的体积增加，导致水位上升，因此h1<h2。 [3] 鱼缸底部的鹅卵石捞出前由于沉底，所以浮力小于重力，鹅卵石放入桶中后，承担桶所受到的浮力不变，但鹅卵石从沉底时受到的浮力小于重力，到放入桶中后通过桶来多排开水增加浮力以实现漂浮，即受到的总浮力水等于总重力，故总浮力变大了，排开的总体积也变大了，水位继续上升，所以h2<h3。 2．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在常温下分别有两个烧杯，一个装有半杯水，另一个装有半杯盐水。将两块密度、体积都相等的冰块分别投入其中（不接触杯底），标记此时的水面与盐水液面高度。一段时间后冰块完全熔化，则水面高度与其标记处______，盐水液面高度与其标记处______（均选填“上升”“下降”或“不变”）。（ρ盐水>ρ水>ρ冰） 【答案】 不变 上升 【详解】[1]冰块漂浮于水面上，浮力等于重力，则F浮=ρ水gV排=G冰----① 冰块熔化成水后，质量不变，则G水=G冰，即G水=ρ水gV水=G冰----② 由①②可得ρ水gV排=ρ水gV水，则V排=V水，即冰块熔化为水的体积等于冰块排开水的体积，所以，冰块熔化后水面的高度不变。 [2]盐水中冰块漂浮，浮力等于重力，则F浮=ρ盐水gV排=G冰----③ 冰块熔化成水后，质量不变，则G水=G冰，即G水=ρ水gV水=G冰----④ 由③④可得ρ盐水gV排=ρ水gV水，因为，则V排<V水，所以冰块熔化后盐水液面上升。 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）图甲为一彩球“温度计”，密闭玻璃容器内装有一种特殊液体（遵循热胀冷缩）。液体中有5个挂有温度标牌的彩球，彩球体积（包括标牌）相等，其热胀冷缩可以忽略，悬浮的彩球标牌上的温度值就是所测得的当前环境温度。图乙为这个温度计的示意图，编号为4的彩球标牌所标温度值为22℃，相邻编号的彩球标牌上的温度值相差为2℃。则5号小球所标温度值为______℃。若要增大该温度计能测得的最高温度，可增加一个与原来5个彩球体积相等、质量_______（选填“更大”、“更小”或“相等”）的彩球。 【答案】 20 更小 【详解】[1]编号4的彩球标牌所标温度值为22℃，即温度为22℃时，4号球悬浮，浮力等于自身的重力；液体的温度降低时，液体密度变大，大于4号球的密度，则由浮沉条件可知，4号球最终漂浮，此时5号球可能悬浮，因而5号球的温度低于22℃；相邻编号的彩球标牌上的温度值间隔为2℃，所以5号小球所标温度值为20℃。 [2]要增大该温度计能测得的最高温度，此时说明彩球内的液体密度最小，最后悬浮，故需要找一个密度小的彩球，可增加一个与原来5个彩球体积相等、质量更小的彩球，最后悬浮。 4．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图所示，甲、乙两个相同的溢水杯盛满水。把体积相同的两个小球放入其中，静止时如图所示，甲溢出40g水，乙溢出30g水，两小球在甲、乙杯中受到的浮力分别为、，甲、乙两个溢水杯底对桌面的压强分别为、，则______，______（均选填“＞”、“＝”或“＜”）。 【答案】 > > 【详解】[1]如图，甲球全部浸入，乙球部分浸入，甲排开水的体积大，根据阿基米德原理知，甲排开液体的重力大，受到的浮力大，即。 [2]甲沉底，小球的重力大于排开液体的重力，而乙小球的重力等于排开液体的重力，乙可以等效替换为全部是水，故甲溢水杯的总重力大于乙溢水杯的总重力，两容器底面积相等，由可知，甲的压强大于乙，即。 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图甲所示，底面积为的金属圆筒重3N，开口向上漂浮在水面上，这时有的体积浸没在水中；若向金属圆筒里倒入的某种液体，水面恰好与金属圆筒口相平，如图乙所示，此时水对金属圆筒底部的压强为__________Pa，该液体的密度为__________（）。 【答案】 9000 【详解】[1]金属圆筒漂浮在水面上，金属圆筒受到的浮力为 在乙图中，金属圆筒全部浸入水中时受到的浮力为 金属圆筒上表面受到的压力为0，则金属圆筒底部受到的压力为，则金属圆筒底部受到的压强为 [2]如图乙，金属圆筒漂浮，浮力等于重力，即 则液体的重力为 液体的密度为 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）一个盛有水的溢水杯放在水平桌面上，体积相同材料不同的A、B、C三个实心小球，质量之比为1∶2∶5。先将小球A轻放入溢水杯中，A漂浮，溢出水30g；再将小球B轻放入溢水杯中，B也漂浮，再次溢出水100g；再将小球C轻放入溢水杯中，C沉底，再次溢出水125g；则A的浮力是___________N，B的质量是___________g，C的密度是___________kg/m3。 【答案】 0.5 100 2×103 【详解】[1]先往溢水杯中投入小球A，从溢水杯中溢出的水的质量为30g；再往溢水杯中投入小球B，从溢水杯中再次溢出的水的质量为100g，因投入小球B之前溢水杯是满的，所以小球B受到的浮力为 因为小球A和小球B的质量比为1:2，都处于漂浮状态，浮力等于自身的重力，所以A的浮力为 [2]因为小球B处于漂浮状态，浮力等于自身的重力，即为，根据公式可知，小球B的质量为 [3]根据阿基米德原理可知，小球C的浮力为 小球C的排开液体的体积为 因为小球C沉底，所以 又因为小球B和小球C的质量比为2:5，所以小球C的质量为 根据公式可知，小球C的密度为 7．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图所示，水平桌面上三个完全相同的容器内装有三种不同液体，将三个相同的小球分别放入容器内，待小球静止后，A漂浮  B悬浮  C沉底，三容器中液面相平，下列判断正确的是（　　） A．小球受到的浮力关系F浮A=F浮B<F浮C B．三种液体的密度ρ甲＝ρ乙>ρ丙 C．液体对容器底部的压强p甲>p乙>p丙 D．容器对桌面的压力F甲<F乙<F丙 【答案】C 【详解】A．甲中小球漂浮，小球受到的浮力等于重力，乙中小球悬浮，小球受到的浮力等于重力，丙中小球沉底，小球受到的浮力小于重力，由于A、B、C三个小球完全相同，故小球受到的浮力关系为FA=FB>FC，故A错误； B．根据浮沉情况，小球在甲液体里漂浮，则有液体甲的密度大于小球的密度，球在乙中悬浮，则有液体乙的密度等于小球的密度，小球在丙中沉底，则有液体丙的密度小于球的密度，即，故B错误； C．小球在甲液体里漂浮，则有液体甲的密度大于小球的密度，球在乙中悬浮，则有液体乙的密度等于小球的密度，小球在丙中沉底，则有液体丙的密度小于球的密度，即，小球静止时，三个容器内液面高度相同，即h相同，根据可知，容器底受到水的压强关系为p甲＞p乙＞p丙，故C正确； D．小球浸在液体中的体积为，因为液面深度一样，所以三个图中浸入液体的体积加上液体体积相等，所以液体体积大小为，又因为，所以得甲液体质量最大，甲液体重力也最大，三种液体重力大小为，而容器对桌面的压力为，所以有，故D错误。 故选C。 8．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图（a），A、B两个底面积相同的柱形容器置于水平桌面上，容器内分别装有质量相等的水和未知液体；将体积相等的甲、乙两个实心正方体物块分别放入A、B容器中，静止时状态如图（b）所示，且两容器液面相平。若ρ甲=0.6×103kg/m3，甲、乙所受浮力之比为1： 2，乙所受支持力和浮力之比为1：3，下列说法正确的是（　　） A．图（a）中液体对容器底的压强pA＜pB B．图（b）中容器对桌面的压强pA′=pB′ C．未知液体的密度为0.83×103kg/m3 D．甲、乙物块的重力之比为3：8 【答案】D 【详解】A．图（a）中两个容器是底面积相同的柱形柱形容器，则液体的重力等于液体对容器底的压力，由题意可知，水和未知液体的质量相等，由可得，水和未知液体的重力相等，即它们对容器底的压力相等，由可得，A、B中液体对容器底的压强相等即，故A错误； BC．图（b）中甲物体漂浮在水中，根据物体的浮沉条件可得，① 乙物体沉底，根据阿基米德原可得，② 由题意可知，③且④ 由①②③④可得， 图（b）中，乙受到的支持力为⑥ 由题意知，⑦ 由②⑥⑦可得， 因为甲和乙两个实心正方体，体积相同，甲的密度小于乙的密度，由可知，甲的质量小于乙的质量，由可知，甲的重力小于乙的重力即 图（b）中，A容器对对桌面的压强为 B容器对对桌面的压强为 由 可得 故BC错误； D．由题意可知，，所以甲、乙的重力之比为 故D正确。 故选D。 9．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，硬杆的一端固定在容器底，另一端连着自制的探头，探头上方蒙有橡皮膜。现向容器中注水，已知水浸没探头时，杆仍对探头有力的作用。下列表示容器对桌面的压力F₁、容器对桌面的压强p、探头所受浮力 F浮、硬杆对探头作用力 F₂随容器中水深度h的变化关系图线中，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．容器对桌面的压力F1等于容器、水、探头和硬杆的总重力之和。向容器中注水时，随着水深度h的增加，水的质量不断增多，总重力逐渐增大，因此容器对桌面的压力F₁随h的增加而变大。但容器对桌面的压力F1，在没有注水之前，就有了压力，不可能从原点开始，故A错误； B．容器对桌面的压强p由压力F1和容器与桌面的接触面积S共同决定，即，容器与桌面的接触面积S是固定不变的，而F1随h的增加而变大，所以容器对桌面的压强p 随h的增加而变大。但阀门打开后，水龙头是匀速流水的，故变化图线不应该是曲线，故B错误； C．根据阿基米德原理，浮力的大小等于物体排开液体所受的重力，即。在水没有到达探头底部之前，探头不受浮力。当探头开始浸在水中到在水未浸没探头前，随着h的增加，探头浸入水中的体积逐渐增大，排开水的体积也随之变大，此时浮力会变大。当水浸没探头后，橡皮膜在水的压力作用下会向下形变，这种形变使得探头实际排开水的体积比不形变时减小；而且随着h的继续增加，水对橡皮膜的压强增大，形变程度加剧，V排进一步减小，因此此时浮力会随h的增加而变小，所以图像的最后一段不应该是水平的。故C错误； D．对探头进行受力分析可知，在水没有到达探头底部之前，探头不受浮力，探头仅仅受到竖直向下的重力G、硬杆对它的支持力F2，二力平衡，故F2不变。当探头开始浸在水中到在水未浸没探头前，受到竖直向下的重力G、竖直向上的浮力F浮以及硬杆对它的作用力F2，这三个力处于平衡状态。若浮力一直没有等于或者大于浮力，那么随着浮力不断增大，硬杆对探头的支持力F2为不断减小，直至完全浸没时。但当水浸没探头后，橡皮膜在水的压力作用下会向下形变，这种形变使得探头实际排开水的体积比不形变时减小，故浮力开始减小，那么探头需要硬杆对其支持力增加，图像开始转折向上，所以这个图像是可能正确的。故D正确。 故选D。 10．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图所示，把一底面积为400cm2，高度为20cm的正方体物块放进盛有水的薄壁柱形容器中，并用30N的压力F使物体刚好浸没在水中，此时水对容器底的压强为3500Pa。已知容器重10N，底面积为500cm2，则下列说法中不正确的是（　　） A．物体刚好浸没在水中时，水的深度为35cm B．物块的密度625kg/m3 C．改变压力F，静止后物体有四分之一体积露出水面，此时水对容器底的压强为3100Pa D．改变压力F，静止后物体有四分之一体积露出水面，此时容器对地面的压力为160N 【答案】D 【详解】A．物体刚好浸没在水中时，水的深度为 故A正确，不符合题意； B．正方体物块的体积为 物体刚好浸没在水中时受到的浮力为 物体处于静止状态，受到竖直向下的压力和重力的作用及竖直向上的浮力作用，由力的平衡有G+F =F浮，物体的重力G=F浮-F=80N-30N=50N 则物块的密度为 故B正确，不符合题意； CD．改变压力F，静止后物体有四分之一体积露出水面时，排开水的体积减小0.25V，则水面下降的高度为 此时水的深度为 则此时水对容器底的压强为 此时水对容器底的压力 则此时容器对地面的压力为 故D错误，符合题意，C正确，不符合题意。 故选D。 11．（24-25八年级下·江苏南通·期末）（多选）科创小组用如图甲的装置探究浮力大小与哪些因素有关。升降台上有重为20N、底面积为的盛水薄壁轻质柱形容器（容器重忽略不计），上方有一底面积为、高为的圆柱体，其上表面中央沿竖直方向固定一根体积不计的细杆，下表面刚好与水面接触。现将升降台以的速度匀速竖直向上运动（水始终没有溢出），通过细杆上端压力传感器测得细杆对圆柱体A的作用力的大小与时间的关系如图乙所示，其中，与间隔2.5s。下列说法错误的是（　　） A．A的质量 B．的密度 C．时，刚好全部浸没 D．时升降台台面受到的压强 【答案】CD 【详解】C．容器中水的深度为 由图乙可知，t3时刻物体A与容器底接触，则 与间隔2.5s，且，则 ， 由图乙可知，时刻物体A全部浸没，故C错误，符合题意； A．由图乙可知，t1时刻物体A所受浮力等于重力，升降台上升的高度为 水面上升的高度为 物体A所受浮力为 物体A质量为 故A正确，不符合题意； B．由图乙可知，t2时刻物体A全部浸没，升降台上升的高度为 水面上升的高度为 物体A体积为 物体A密度为 故B正确，不符合题意； D．t3时刻物体A受到的浮力为 升降台台面受到的压强为 故D错误，符合题意。 故选CD。 12．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）制作简易的密度计，器材有：长度为20cm的吸管一根，铁屑、石蜡、小瓶、记号笔、刻度尺、天平。 （g取10N/kg） 如图甲所示，用刻度尺和记号笔在吸管上标出长度刻度，用石蜡将标0cm的一端封闭，添加铁屑至管内，使其总质量为10g，能竖直漂浮在液体中； (1)当将它放入密度为1.0g/cm3的水中时，浸入的深度为H。若放入密度为0.8g/cm3的酒精中，密度计所受的浮力大小为___________N，浸入的深度为___________H； (2)将它放入密度为0.8-1.2g/cm3的不同液体中，浸入的深度h与液体密度ρ液之间的关系应符合图乙中___________（选填“a”“b”或“c”）； (3)为使该简易密度计测量水和酒精的密度时，两条刻度线间的距离大一些，利用现有器材，合理的做法是：___________； (4)密度计不光能测量液体密度，还能间接测量固体密度。 在测量鸡蛋密度时（鸡蛋密度大于水），可以将鸡蛋放入清水中后，向清水中不断加盐搅拌，至鸡蛋处于___________状态，此时使用密度计测量盐水密度即为鸡蛋密度； (5)如图丙所示，在底面积为1cm2的吸管下方安装一个体积为5cm3的小瓶，将铁屑装入瓶中，制成另一支简易密度计，使其总质量为15g，放入液体后能竖直漂浮，小瓶始终完全浸没。将密度计放入水中，在密度计上标记出水面位置M，密度计排开水的体积为___________厘米3.从水中取出擦干后，放入待测的盐水中，M比液面高2.5cm。则盐水的密度为___________克/厘米3。 【答案】(1) 0.1 1.25 (2)a (3)适当增大密度计的重力 (4)悬浮 (5) 15 1.2 【详解】（1）1①[1][2]密度计在酒精中漂浮，其受到的浮力等于重力，则浮力为F浮=G物=mg=10×10-3kg×10N/kg=0.1N 由于密度计在水中和酒精中均漂浮，在水中和酒精中受到的浮力均等于其重力，则密度计在水中受到的浮力等于其在酒精中受到的浮力，所以有ρ水gSH=ρ酒gSH′ 可得 （2）密度计在液体中漂浮，则有G密度计=F浮=ρ液gSh 可得 当密度计重力，吸管的横截面积一定时，h与ρ液成反比，故a图线符合h随ρ液变化的规律。 （3）适当增大密度计的重力，则密度计浸入水中的深度增大，即H增大，密度计放入酒精中漂浮时，浸入酒精中的深度为1.25H，也随之增大，则两条刻度线间的距离会变大。 （4）在测量鸡蛋密度时（鸡蛋密度大于水），可以将鸡蛋放入清水中后，向清水中不断加盐搅拌，至鸡蛋处于悬浮状态，由悬浮的条件，鸡蛋的密度等于盐水的密度，此时使用密度计测量盐水密度即为鸡蛋密度。 （5）[1]当密度计总质量为15g，仍能漂浮在水中，则受到的浮力为F′浮=G物=m密度计g 由阿基米德原理有F′浮=ρ水gV排，则有m密度计g=ρ水gV排 解得密度计排开水的体积为 [2]当密度计浸入盐水中的深度比M低2.5cm，由此可知在盐水中浸入的（排开盐水）体积为V排盐=15cm3-2.5cm×1cm2=12.5cm3 由前面分析结论m密度计g=ρ水gV排 同理，当密度计在盐水中漂浮时有m密度计g=ρ盐水gV′排 则盐水的密度为 13．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）某实验小组的同学，想验证阿基米德原理，进行下面的实验，如图甲所示： (1)为了方便操作和减小测量误差，最合理的操作步骤顺序应该是______； A．①②③④ B．④②①③ C．④①②③ D．②①③④ (2)按照正确的操作步骤，当测量结果满足等式______时（用弹簧测力计示数F1  F2  F3  F4表示），则说明阿基米德原理成立； (3)小华利用身边的器材对实验进行了改进：两个相同的弹簧测力计A和B  重物  溢水杯（由饮料瓶和吸管组成）  薄塑料杯（质量忽略不计）等器材，装置如图乙所示．实验时逐渐向下移动水平横杆，使重物缓慢浸入盛满水的溢水杯中直至刚好全部浸没，观察到弹簧测力计A的示数逐渐______（选填“增大”“减小”或“不变”），弹簧测力计B的示数逐渐增大，若弹簧测力计A的示数变化量为ΔFA，B的示数变化量为ΔFB，则它们的大小关系是ΔFA______ΔFB（选填“大于”“等于”或“小于”）； (4)在这个过程中溢水杯对升降台的压力______（选填“变大”“变小”或“不变”）. (5)为了更加直观的验证阿基米德原理，聪明的小红又对实验进行了改进，如下图丙所示：把弹簧测力计上端固定在铁架台上，用粗铁丝做一个框，挂在弹簧测力计挂钩上，在粗铁丝框上端悬吊一个金属块，下端放一小杯，在金属块的正下方，有一个溢水杯，装满水的溢水杯放置在铁架台的支架上，溢水杯跟金属块  粗铁丝都不接触． ①平稳缓慢地抬高溢水杯支架，使金属块完全浸没入水中（如图丙→丁→戊），在此过程中．弹簧测力计示数：F丙______F戊（选填“大于”  “等于”或“小于”）． ②再平稳缓慢地降低溢水杯支架，使金属块完全离开水面（如图己）．可以计算出图戊中金属块所受到的浮力约为______N，此浮力的测量数值比真实数值将______（选填“偏大”或“偏小”）． 【答案】(1)B (2) (3) 减小 等于 (4)不变 (5) 等于 1.2 偏大 【详解】（1）ABCD．为了方便操作和减小测量误差，应先测量空桶的重力，即④；再测量物体的重力，即②；然后让物体浸没在溢水杯中，读出弹簧测力计的示数，即①；最后测量桶和溢出水的总重力，即③。所以最合理的操作步骤顺序应该是④②①③，故B符合题意，ACD不符合题意。 故选B。 （2）根据称重法，物体受到的浮力，排开液体的重力，当时，说明阿基米德原理成立。 （3）[1]实验时逐渐向下移动水平横杆，使重物缓慢浸入盛满水的溢水杯中直至刚好全部浸没，根据称重法，重物受到的浮力逐渐增大，重力不变，所以弹簧测力计A的示数逐渐减小。 [2]根据阿基米德原理，浮力等于排开液体的重力，弹簧测力计A示数的变化量等于浮力的大小，弹簧测力计B示数的变化量等于排开液体的重力，所以。 （4）溢水杯对升降台的压力等于溢水杯、水和物体的总重力减去物体受到的浮力（因为物体受到浮力，对水有反作用力，相当于减轻了溢水杯对升降台的压力），而物体受到的浮力等于排开液体的重力，排开的水又流入了薄塑料杯，所以溢水杯、水和物体的总重力不变，浮力不变，那么溢水杯对升降台的压力不变。 （5）[1]平稳缓慢地抬高溢水杯支架，使金属块完全浸没入水中（如图丙→丁→戊），在此过程中，金属块排开液体的体积不变，液体密度不变，根据阿基米德原理，浮力不变，对整个装置（金属块、小杯、粗铁丝框）进行受力分析，其总重力不变，受到的浮力不变，所以弹簧测力计示数。 [2]由图己可知弹簧测力计示数F己为4.4N，由图戊可知弹簧测力计示数F戊为3.2N，则浮力 [3]因为金属块离开水面时会带一些小水滴，使得测量的重力F己偏大，根据，F戊不变，F己偏大，所以此浮力的测量数值比真实数值偏大。 14．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）小红将石块放入杯子的水中，发现石块下沉，为验证下沉的物体是否受浮力以及浮力大小与哪些因素有关，她采取了以下实验探究。 (1)设计A、B、C图示实验，当手托石块或把石块浸入水中时，根据观察到______的现象，可得“在水中下沉的物体也受到浮力”。C图中，石块所受浮力的表达式为______（用所测物理量的符号表示）。 (2)将石块逐渐浸入水中（未完全浸没前），小红发现石块所受浮力逐渐变大，于是猜想“物体所受浮力的大小随物体浸入液体中深度的增大而增大”。为验证猜想是否正确，她将一长方体铁块挂在弹簧测力计下（如图D），并将长方体铁块分别一半放在水中（如图E和F），根据关系式______（用所测物理量的符号表示），可证明猜想是错误的。 (3)她又将长方体铁块浸没水中（如图G），分析D、E和G实验数据可得：在液体的密度相同时，______越大，受到的浮力越大。 (4)小红再将长方体铁块浸没浓盐水中（如图H），分析D、______和H实验数据可得：浸在液体中的物体所受浮力的大小与液体的密度有关。根据这三次实验中弹簧测力计的示数，小红还求出了浓盐水的密度，其表达式为______（用所测物理量的符号和水的密度ρ水表示）。 【答案】(1) 弹簧测力计的示数均减小 (2) (3)物体排开液体的体积 (4) G 【详解】（1）[1]对比A、B、C三图中弹簧测力计的示数，发现F1（石块在空气中）>F2（手托石块）>F3（石块浸入水中），说明无论是手托还是浸入水中，测力计示数均减小，表明石块受到向上的力（浮力或支持力），从而证明下沉的物体在水中也受浮力。 [2]C图中石块所受浮力等于重力与浸入水中后测力计示数的差值，即F浮=F1－F3 （2）图E中铁块平放浸入一半（F5），图F中铁块竖放浸入一半（F6），若浮力与深度有关，则 但实验发现 说明浮力与浸入深度无关，仅与排开液体的体积有关，从而证明猜想错误。 （3）对比D（F4，空气中）、E（F5，半浸）和G（F7，全浸）数据，铁块浸入水中的体积越大（排开液体体积越大）， 说明浮力随排开液体体积的增大而增大。 （4）[1]探究浮力与液体密度的关系需控制排开液体体积相同，因此对比D（F4）、G（F7，水中全浸）和H（F8，浓盐水中全浸）数据。 [2]铁块在水中所受浮力 铁块在浓盐水中所受浮力 根据阿基米德原理，因相同，故 解得 15．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）小丽洗水果时发现，苹果漂浮在水面上，于是将装有适量细沙的瓶子密封后用细绳系在苹果下，制作一个可悬浮的“潜水艇模型”，如图所示。小丽用电子秤测出苹果的质量为180g，苹果浸没时排开水的质量为200g，加盖后瓶子的总体积为255cm³。ρ水=1.0g/cm³，不考虑细绳的自重和体积，g取10N/kg。求： (1)苹果漂浮时的浮力； (2)苹果的密度； (3)当“潜水艇模型”悬浮在水中时，细绳对瓶子的拉力。 【答案】(1)1.8N (2) (3)0.2N 【详解】（1）苹果的重力 苹果漂浮时的浮力等于重力，所以苹果漂浮时所受浮力 （2）苹果浸没时排开水的质量为200g，则排开水的体积 苹果浸没时排开水的体积等于自身的体积，所以苹果的体积 故苹果的密度 （3）苹果悬浮时所受到的浮力 当“潜水艇模型”悬浮在水中时，苹果受到竖直向上的浮力和竖直向下的重力、细绳对苹果的拉力，在这三个力下受力平衡，即，所以细绳对苹果的拉力 细绳对瓶子的拉力等于细绳对苹果的拉力，故细绳对瓶子的拉力 16．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）青少年在游泳和水上运动时应特别注意安全问题。有一种防溺水救生手环，如图所示，具有一定的安全防护作用。紧急情况下，只要启动手环上的开关，手环内的气囊就立刻充满气体，承载人体使头部露出水面。某同学的质量为52.5kg，密度为1.05×103kgm3，若要使约占人体总体积的头部露出水面。手环所受的重力忽略不计，g取10N/kg。求： (1)人体总体积； (2)头部露出水面时，人体受到的浮力； (3)充气后气囊的体积的最小值。 【答案】(1)0.05m3 (2)450N (3)7.5×10-3m3 【详解】（1）由得人体总体积为 （2）头部露出水面，人体排开水的体积为 头部露出水面，人体受到的浮力大小为 （3）人受到的重力大小为G =mg =52.5kg×10N/kg =525N 手环所受的重力忽略不计，气囊完全打开后，人最终处于漂浮状态， 由物体的浮沉条件可知，此时该同学和气囊在水中受到总浮力等于该同学的重力，则气囊受到的浮力为F气囊=G－F浮=525N－450N=75N 由得气囊体积的最小值为 17．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图所示，正方体物体（不吸水）重6N，被一体积可以忽略的细线拉住固定在容器底部，细线受到拉力为2N，此时物体总体积的80%浸入水中。求： (1)此时物体受到的浮力； (2)物体的体积； (3)往容器中加水使其浸没在水中，此时细线拉力。 【答案】(1)8N (2)10-3m3 (3)4N 【详解】（1）当物体部分浸入水中时，它受到向上的浮力、竖直向下的重力G和向下的拉力。根据力的平衡原理，我们可以得出 因此，此时物体受到的浮力为 （2）根据阿基米德原理，可得物体排开水的体积 由于物体总体积的80%浸入水中，所以物体体积为 （3）当物体完全浸没在水中时，它排开水的体积等于其总体积，此时的浮力为 此时，物体受到向上的浮力和向下的重力，为了保持平衡，细线需要提供一个向下的拉力，则此时细线拉力大小 18．郑和下西洋所用的多桅木帆船都有“水密隔舱”，该技术沿用至今，如图（a）所示。小东也制作了一艘具有10个水密隔舱（每个隔舱相互隔离，确保行船安全）的实验小船，如图（b）所示。 (1)将实验小船先后放到海水实验池和淡水池中时，该船受到的浮力分别为、，隔舱底部所在的深度分别为、，则______，______；（均选填“A大于”、“B小于”或“C等于”）（，） (2)当实验小船在淡水实验池中排开水的体积为，则它受到液体浮力________牛； (3)在海水池中航行过程中，小船不幸触碰到隐藏在水下的暗礁，导致其中一个水密隔舱破损进满水。已知每个水密隔舱均为长2m，宽1m，高0.5m的长方体形状。此时小船的吃水深度比破损前增加了______米。 【答案】(1) C B (2) (3)0.05 【详解】（1）小船在海水和淡水中均处于漂浮状态，浮力等于重力不变，故浮力不变，即 根据阿基米德原理可得 所以 简化得 已知海水的密度大于淡水的密度，即，所以小船在海水中的深度h1小于在淡水中的深度h2，即。 （2）它受到液体浮力 （3）小船与海水接触的底面积 一个水密隔舱破损进满水，海水的质量 漂浮时，浮力等于重力，所以，即 可以得到 19．底面积为的足够高的圆柱形容器中装有适量的液体，用细线悬挂物体A，物体A的密度为，当它有一半体积浸入液体中时，电子秤的示数为750g，如图甲所示。当把细线剪断，物体A浸没且沉底时，电子秤的示数为950g，如图乙所示，前、后两次容器内液面上升了2cm。则图甲中细绳的拉力为______N，液体的密度为__________。 【答案】 2 3 【详解】物体A一半体积浸入到完全浸没，液面上升，容器底面积，增加的排开体积等于A一半的体积 ，即 解得，则A的质量 A的重力 甲中电子秤压力 其中 乙中电子秤压力 其中 两式作差得，甲中A处于平衡状态，，因此 由，得 甲中 则液体的密度为 20．水平桌面上有一高度为12cm、底面积为100cm²的薄壁圆柱形平底烧杯，将质量为500g的圆柱形金属块挂在弹簧测力计下，此时金属块下表面刚好接触水面（图甲所示）。将金属块缓慢下移至刚好浸没时，烧杯对水平桌面的压强增大了200Pa，此时弹簧测力计的示数为2.5N，则图乙中金属块所受的浮力是 ___________N，图甲中烧杯底部所受水的压力为___________N。 【答案】 2.5 10 【详解】[1]圆柱形金属块重力 图乙中金属块所受的浮力 [2]金属块浸没时排开的水的体积 假设金属块浸没后水未溢出，则水面上升高度 根据题意放入金属块后水面上升的高度为 说明水有溢出，则现在水的深度为杯子的深度，即12cm，则图甲中水的深度 则图甲中烧杯底部所受水的压力 21．隔板从中间将容器隔开两边分别装有盐水、淡水（），甲、乙实心球体积相同，若甲、乙所受的重力和排开液体所受的重力如下表，则两球静止在液体中时的情形可能是（     ） 实心球 实心球的重力/N 排开液体的重力/N 甲 5 5 乙 8 5 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】甲球所受的重力为，排开液体所受的重力也为，根据阿基米德原理，甲球受到的浮力等于其排开液体的重力，即 因此，甲球在液体中可能处于悬浮或漂浮状态。乙球所受的重力为，排开液体所受的重力为，说明乙球受到的浮力小于其重力，即 因此，乙球在液体中会下沉；由于，故甲球在盐水中，乙球在淡水中。由题意可知，两球的体积相同，记为，两球排开液体的重力相同，即 根据阿基米德原理，有 根据公式，，则甲排开液体的体积小于乙排开液体的体积，即 故甲应当处于漂浮状态。故选 B。 22．某同学制作了如图所示的潜水艇模型，通过移动注射器的活塞注入或抽出气体，实现潜水艇模型的浮与沉。关于该模型，不计水的阻力，以下说法正确的是（　　） A．潜水艇工作原理是改变自身体积 B．潜水艇漂浮在水面上时浮力大于重力 C．潜水艇在水面下匀速下潜时，重力大于浮力 D．若想让潜水艇上浮，需要向左压注射器活塞 【答案】D 【详解】A．潜水艇是通过吸水或排水来改变自身重力，从而实现上浮或下沉的，而不是改变自身体积，故A错误； B．根据物体的浮沉条件，当物体漂浮在水面上时，物体处于平衡状态，受到的浮力和重力是一对平衡力，大小相等，即，故B错误； C．潜水艇在水面下匀速下潜时，处于平衡状态，受平衡力，因此重力等于浮力，故C错误； D．若想让潜水艇上浮，在浮力（体积）不变的情况下，需要减小自身的重力，使 。如图所示，向左压注射器活塞，将空气压入潜水艇模型内，模型内部气压增大，将模型内的水排出，使模型的总重力减小，当总重力小于浮力时，潜水艇模型会上浮，故D正确。 故选D。 23．如图所示，有三个实心小球甲、乙、丙，甲球能漂浮在水面上，乙球能在水中悬浮，丙球能在水中下沉。现将甲、乙、丙三球同时放在一只敞口的小铁盒里，然后将小铁盒漂浮在盛水的容器中，下列判断正确的是（　　） A．只将小球甲从盒中取出放入水中后，液体对容器底部的压强变大 B．只将小球乙从盒中取出放入水中后，液体对容器底部的压力变小 C．只将小球丙从盒中取出放入水中后，液体对容器底部的压强变小 D．将甲、乙、丙三球同时放入水中后，液体对容器底部的压力不变 【答案】C 【详解】A．只将甲球取出放入水中： 甲球漂浮，，此时总浮力和原来相等。 根据，不变，水面高度不变，由可知，液体对容器底部的压强不变，故A错误； B．只将乙球取出放入水中： 乙球悬浮，，此时总浮力和原来相等。不变，水面高度不变，由可知，液体对容器底部的压力不变。故B错误； C．只将丙球取出放入水中： 丙球下沉，，取出后铁盒仍漂浮，总浮力 总浮力减小，减小，水面下降，由可知，液体对容器底部的压强变小。故C正确； D．通过前面的分析已然明确，只有将乙拿出放入水中时，容器中的水面高度会下降，而其余两个拿出放入水中时均不变，所以当将甲、乙、丙三球同时放入水中后，容器中水面高度会下降，由可知，液体对容器底部的压力变小。故D错误。 故选C。 24．边长均为10cm、材料不同的实心正方体A和B，用质量不计的细线连接，轻轻放入某液体中，最终悬浮，细线处于绷紧状态，如图所示。剪断细线后，B物体对容器底的压力为3N，已知，容器底面积为，则下列说法错误的是（　　） A．细绳上拉力为3N B．A漂浮时露出的体积 C．密度大小是，且该液体密度是 D．剪断细线后，容器底部受到的液体压强减小150Pa 【答案】C 【详解】A．原来AB整体悬浮，B受到向下的重力，向上的浮力和细线向上的拉力，即……① 剪断细线后B沉底，B受到向下的重力，向上的浮力和容器底部向上的支持力，即……② 联立①②可得，绳子上的拉力等于容器底对B物体的支持力，根据相互作用力的特点，可得细绳上拉力为 故A正确； BC．A、B两物体的体积为 A物体的重力为 原来AB整体悬浮，A受到向上的浮力，向下的重力和细线拉力，即 解得 A、B两物体排开液体的体积相同，即所受浮力相同，即 则B物体的重力为 B物体的密度为 因此；剪断细线后，A漂浮，此时，A物体排开液体的体积为 则A物体露出的体积为 故B正确，C错误； D．剪断细线后，总排开体积减小量为 液面下降高度为 则液体压强减小量为 故D正确。 题目要求选错误的，故选C。 25．某小组设计了水箱自动控制进水装置，如图所示。水箱内的圆柱形金属控制棒用细线悬挂在力传感器下方，并始终浸在水中。当达到自动控制的最低水位时，力传感器拉力为，力传感器触发开关水泵开始注水；当达到自动控制的最高水位时，力传感器拉力为，力传感器触发开关水泵停止注水。已知控制棒的质量为，下列说法正确的是（　　） A．控制棒受到的最小浮力为4N B．缩短细线，可使水箱中控制的最高和最低水位均升高 C．控制棒受到的浮力最大时，其排开水的体积为 D．力传感器受到的拉力在4N与8N之间时，则水箱一定在进水状态 【答案】B 【分析】物体受到了重力、浮力和拉力的作用，根据平衡力的知识分析这三个力的关系，再结合阿基米德原理进行分析。 【详解】A．当水位到达最低水位时，力传感器受到的拉力，方向向下，根据力的作用是相互的，控制棒受到的拉力等于8N，方向向上。此时控制棒排开水的体积为最小，浮力最小。控制棒的重力、浮力和拉力三个力的关系是 控制棒受到的最小浮力 故A错误； B．缩短悬挂控制棒的细线，因F1和F2触发的条件不变，控制棒的重力不变，由可知则控制棒受到的浮力不变，排开液体的体积 若初始时细线的长度为 L，控制棒的长度为h，水箱底到力传感器的距离为H。控制棒浸入水中的体积为V排，设浸入深度为d，控制棒的横截面积为S棒，则，则浸入深度 因mg、F1、ρ水、S棒均不变，所以d不变；则水位高度，缩短细线长度L，水位高度y变大，故B正确； C．由题意，控制棒受到了重力、浮力和拉力的作用。当水位达到最高水位时，此时力传感器所受的拉力为F2，方向向下，根据力的作用是相互的，控制棒受到的拉力F2'，大小等于F2，方向向上。此时控制棒排开水的体积为最大，浮力最大。控制棒的重力、浮力和拉力三个力的关系是 可知 控制棒此时排开水的体积 故C错误； D．由题意，最低水位时传感器的拉力为F1，此时控制棒对传感器的拉力最大，水泵启动进水。最高水位时传感器的拉力为F2，此时控制棒对传感器的拉力最小，水泵停止向水箱注水。故注水过程中，拉力逐渐从F1减小到F2。若进水过程中同时用水，相同时间内进水量大于出水量，所以此时水位是上升的，拉力是从F1减小到F2。若水泵停止注水（拉力已达到F2），开始用水，水位下降，则拉力从F2逐渐增大，直到水泵启动（此时拉力为F1）则不管是进水还是出水，拉力均处于F1和F2之间，拉力均在4N与8N之间，故D错误。 故选B。 26．（多选）水平桌面上，完全相同的甲、乙、丙容器中装有三种不同液体，将同一实心小球放入容器中，静止时三容器中液面相平，如图所示。下列说法：正确的是（　　） A．小球所受的浮力 B．三种液体密度的关系 C．液体对容器底的压强 D．桌面所受的压力 【答案】BCD 【详解】A．甲图小球悬浮，浮力等于重力，即；乙图小球沉底，浮力小于重力，即；丙图小球漂浮，浮力等于重力，即。  因此浮力关系为，故A错误； B．甲图小球悬浮，说明；乙图小球沉底，说明；丙图小球漂浮，说明，因此液体密度关系为，故B正确； C．根据液体压强公式，三容器中液面相平，即h相同，且，所以液体对容器底的压强关系为，故C正确； D． 由，且液面等高，容器底面积相同，甲、乙中小球排开液体的体积都等于小球的体积，丙中小球排开液体的体积小于小球的体积，因此液体体积关系为 由，可得液体重力关系 桌面受到的压力等于容器、液体和小球的总重力。容器完全相同，小球为同一实心小球，因此桌面压力关系为 故D正确。 故选BCD。 27．（多选）在两个相同溢水杯中装满不同的液体A、B，将质量相等的甲、乙两球轻轻放入两种液体中，静止时如图所示。已知甲、乙两球排开液体的重力相等，下列判断正确的是（　　） A．乙球所受浮力大于甲球所受浮力 B．A液体的密度大于B液体的密度 C．A液体对杯底的压强小于B液体对杯底的压强 D．甲球对杯底的压力等于乙球对杯底的压力 【答案】BD 【详解】A．根据阿基米德原理，已知甲、乙排开液体重力相等，所以乙球所受浮力等于甲球所受浮力，故A错误； B．由图可知，甲球排开A液体的体积小于乙球排开B液体的体积，又因为甲、乙两球所受浮力相等，根据可知，A液体的密度大于B液体的密度，故B正确； C．因为烧杯内A、B液体的高度相同，由可知，A液体对杯底的压强大于B液体对杯底的压强，故C错误； D．因为甲、乙两球的质量相等，所受浮力相等，根据可知，甲球对杯底的压力等于乙球对杯底的压力，D正确。 故选BD。 28．小泽同学在“验证阿基米德原理”的实验中，提出了两种不同的实验方案： (1)方案一： ①如图1甲所示，为减小测量误差并使操作更简便，最合理的操作步骤应该是 ___________ ； A．ACBD        B．ABCD        C．BCAD         D．CDBA ②以下选项中若___________成立，则可以得出浮力的大小与排开液体所受重力的关系，从而验证了阿基米德原理的成立；（甲图中弹簧测力计示数依次分别为F1、F2、F3、F4） A．F1﹣F2=F3﹣F4    　　B．F1﹣F3=F4﹣F2       　　C．F3﹣F2=F4﹣F1 ③如果换用密度小于液体密度的物体（不吸液体）来进行该实验，则图___________步骤中可不使用弹簧测力计；（选填“A”、“B”、“C”、“D”） ④按最合理顺序操作，以下影响验证结果的是 ___________ 。 A．图B中溢水杯内未装满水；　　B．图B中合金块未浸没在水中；　　　C．图A中小桶内有少量水。 (2)方案二：如图1乙所示，将装满水的溢水杯放在升降台上，缓慢调高升降台（溢水杯不与重物接触），发现随着重物浸入水中的体积越来越大，弹簧测力计A的示数___________（选填“变大”“变小”或“不变”），且弹簧测力计A示数的变化量___________（选填“大于”“小于”或“等于”）B示数的变化量，从而证明了阿基米德原理； (3)在验证了阿基米德原理后，小泽同学又设计了如图2的实验来“测量玻璃瓶的密度”：他找来一个小玻璃瓶进行了如下实验：先在量筒中倒入适量的水50mL，再使小玻璃瓶漂浮在量筒内的水面上，量筒中水面的示数为80mL，最后将该玻璃瓶浸没水中，沉入水底，量筒中水面的示数为62mL，那么玻璃瓶的体积为___________cm3，玻璃瓶的密度为___________kg/m3。 【答案】(1) A C B A (2) 变小 等于 (3) 12 2.5×103 【详解】（1）[1]为了减小误差，应先测空桶重力（A），再测物体重力（C），然后物体浸入水中测拉力（B），最后测桶和水的总重力（D）。正确顺序ACBD，故选A。 [2]物体所受浮力 排开液体重力 根据阿基米德原理，，即，故选 C。 [3]密度小于液体的物体，在液体中静止时漂浮，浮力等于重力，不需要用弹簧测力计拉着物体浸入液体中，所以B步骤可不使用弹簧测力计。 [4]A．溢水杯未装满水，排开的水无法全部溢出，测得的G排偏小，影响结果，故A符合题意； B．合金块未浸没，浮力变小，但G排也同步变小，仍成立，不影响结果，故B不符合题意； C．小桶内有少量水，F4​与F1的差值不变，不影响结果，故C不符合题意。 故选A。 （2）随着重物浸入水中体积变大，浮力变大，弹簧测力计A的示数（G−F浮​）变小；根据阿基米德原理，​，所以A示数的变化量等于B示数的变化量。 （3）玻璃瓶浸没时排开水的体积与玻璃瓶的体积相等，则其体积 玻璃瓶漂浮时浮力等于重力，则排开水的质量等于瓶的质量，玻璃瓶的质量 玻璃瓶密度 29．实验小组探究“浮力大小与哪些因素有关”的实验过程如图所示： (1)图b中物体受到的浮力大小为_________N； (2)由____________三图可知，浸在同种液体中的物体所受浮力大小与浸在液体中的深度无关； (3)比较图a、c、d中弹簧测力计的示数，可得出的结论是__________； (4)本次实验还可以求出盐水的密度为________（保留两位小数）g/cm3；若在使用弹簧测力计时，指针指在零刻度线以上，没有调零而直接进行测量，这样利用上述方法计算出盐水的密度将___________（选填“偏大”、“不变”或“偏小”）。 (5)实验小组还想探究“物体受到的浮力大小与其形状是否有关”，于是找来薄铁片继续进行实验，实验步骤如下： 步骤一，将铁片放入盛水的烧杯中，铁片下沉至杯底； 步骤二，将铁片弯成“碗状”再放入盛水的烧杯中，让它漂浮在水面上。 ①分析可知，步骤一铁片受到的浮力___________（选填“大于”、“小于”或“等于”）步骤二铁片受到的浮力； ②实验小组得到一个错误结论：物体受到的浮力大小与其形状有关。导致实验小组得出错误结论的原因是_____________。 【答案】(1)1.4 (2)abc (3)液体密度一定时，物体排开液体的体积越大，受到的浮力越大 (4) 1.07 不变 (5) 小于 没有控制物体排开液体的体积一定 【详解】（1）图a中弹簧测力计示数为 ，即物体重力 ；图b中测力计示数 。根据称重法 ，可得b中物体受到的浮力 。 （2）图a、b、c中，物体排开体积相同、液体密度相同，深度不同但测力计示数相同（浮力相同）。可知浸在同种液体中的物体所受浮力大小与浸在液体中的深度无关。 （3）图a、c、d中，物体浸入水中的体积不同（排开体积不同），测力计示数不同（浮力不同）。可得出结论：液体密度一定时，物体排开液体的体积越大，受到的浮力越大。 （4）由图a、d可知，物体浸没在水中时受到的浮力 由图a、e可知，物体浸没在盐水中时受到的浮力 根据阿基米德原理 ，物体浸没时 等于物体的体积 ，所以 将 代入 ，可得 若测力计未调零（指针在零上），测量的重力和拉力都偏小相同的值，计算得浮力值不变，故密度计算结果不变。 （5）① 步骤一铁片下沉， ；步骤二铁片漂浮， 。同一铁片重力 不变，故 。 ② 实验中没有控制铁片排开液体的体积相同（铁片弯成碗状后排开体积变大），导致浮力变化，从而得出错误结论。 30．小明想探究浮力的大小与哪些因素有关，于是用弹簧测力计、烧杯、物块、细线、水等器材进行了如下操作（g取10N/kg，）； (1)弹簧测力计调零后，将物块挂在弹簧测力计下，使物块逐渐下降，直至浸没在水中，该过程中弹簧测力计的示数如图所示，则物块在图乙位置受到的浮力为________N； (2)比较实验甲、丙、丁，可以分析得出物体所受浮力的大小与物体浸没在液体中的深度________；比较实验甲、乙、丙，可以分析得出物体所受浮力的大小与它排开液体的体积________； (3)做完图丁实验后，若要继续探究浮力大小与液体密度的关系，还需要增加的一次实验是：________； (4)在小明所做实验的基础上，根据有关数据，可以计算出物块的密度为________kg/m³。 【答案】(1)1.4 (2) 无关 有关 (3)将物块浸没在密度不同的液体中，用弹簧测力计测出拉力，比较浮力大小 (4) 【详解】（1）物块在图乙位置受到的浮力为 （2）[1]比较实验甲、丙、丁，物体浸没时所受的浮力为 物体浸没在液体中的深度不同，浮力相同，故物体所受浮力的大小与物体浸没在液体中的深度无关。 [2]比较实验甲、乙、丙，排开液体的体积不同，浮力不同，可以分析得出物体所受浮力的大小与它排开液体的体积有关。 （3）做完图丁实验后，若要继续探究浮力大小与液体密度的关系，需要改变液体的密度，控制排开液体的体积相同，可以将物块浸没在密度不同的液体中，用弹簧测力计测出拉力，比较浮力大小。 （4）物块的质量为 物体浸没时，所受的浮力为 物体的体积为 物块的密度为 31．科技创新小组同学设计了一款水下带传感器的遥感探测器，其总重为5N，体积。某次水底采样时，通过遥感传感器自动从进水口向探测器内注水，当探测器内水的深度为时刚好沉入水底，进行采集样品（如图所示）。采集样品完成后，遥感传感器通过高压气体将部分水从探测器的出水口排出后，探测器连同样品恰能匀速上浮，已知样品重，体积，，不计模型厚度，忽略气体质量和水的阻力，求： (1)当探测器刚好沉入水底时，探测器内的水对探测器底部的压强； (2)探测器和样品受到的总浮力； (3)探测器匀速上升时，探测器内剩余水的质量。 【答案】(1) (2)22N (3)1.4kg 【详解】（1）当探测器刚好沉入水底时，探测器内水的深度为，探测器内的水对探测器底部的压强 （2）因为探测器处于浸没状态，所以排开液体的体积为 探测器和样品受到的总浮力 （3）探测器连同样品恰能匀速上浮，探测器和样品处于平衡态，受平衡力，故探测器和样品的总重力为 剩余水的重力为 探测器匀速上升时，探测器内剩余水的质量 32．物理兴趣小组受“曹冲称象”典故的启发，找来一个上端开口的空透明圆筒，底部用细线系一块质量适当的铁块，然后将其静止放置在水中，如图甲所示，此时圆筒浸入水中的深度为5cm，水面与圆筒A点相平。利用此装置标上刻度后放入水中，可以方便地测量出物体的质量。在圆筒内放上一个物体后，如图乙所示，圆筒浸入水中的深度为10cm，水面与圆筒B点相平。已知圆筒底面积为，圆筒和铁块总重为6N，装置始终处于漂浮状态，圆筒始终竖直。求：（） (1)图甲中铁块受到的浮力； (2)图乙中圆筒底部受到水的压力； (3)为方便测量，圆筒A点应标上0kg刻度线，若利用此装置测量，圆筒B点的刻度线对应的质量。 【答案】(1)1N (2)10N (3) 【详解】（1）图甲中圆筒和铁块整体处于漂浮状态，受到的总浮力 图甲中圆筒受到的浮力 铁块受到的浮力 （2）图乙中圆筒底部受到水的压强 由得，圆筒底部受到水的压力 （3）物体处于漂浮状态，物体的重力等于排开液体的变化量，即 物体的质量 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 浮力 1．（24-25八年级下·江苏常州·期末）小明家的鱼缸中水深为，为了清洗鱼缸底部观赏用的鹅卵石，先将一个重为2N的空桶放在水面上漂浮，此时水的深度为，然后将鱼缸底部的鹅卵石全部捞出放置在桶内，桶仍漂浮在水面（如图所示），此时水的深度为。不考虑鹅卵石被捞出过程中带出的水，桶口一直竖直向上，水的密度。则：空桶漂浮在水面上时，桶排开水的体积______；水的深度______（>/＝/<）、______（>/＝/<）。 2．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在常温下分别有两个烧杯，一个装有半杯水，另一个装有半杯盐水。将两块密度、体积都相等的冰块分别投入其中（不接触杯底），标记此时的水面与盐水液面高度。一段时间后冰块完全熔化，则水面高度与其标记处______，盐水液面高度与其标记处______（均选填“上升”“下降”或“不变”）。（ρ盐水>ρ水>ρ冰） 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）图甲为一彩球“温度计”，密闭玻璃容器内装有一种特殊液体（遵循热胀冷缩）。液体中有5个挂有温度标牌的彩球，彩球体积（包括标牌）相等，其热胀冷缩可以忽略，悬浮的彩球标牌上的温度值就是所测得的当前环境温度。图乙为这个温度计的示意图，编号为4的彩球标牌所标温度值为22℃，相邻编号的彩球标牌上的温度值相差为2℃。则5号小球所标温度值为______℃。若要增大该温度计能测得的最高温度，可增加一个与原来5个彩球体积相等、质量_______（选填“更大”、“更小”或“相等”）的彩球。 4．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图所示，甲、乙两个相同的溢水杯盛满水。把体积相同的两个小球放入其中，静止时如图所示，甲溢出40g水，乙溢出30g水，两小球在甲、乙杯中受到的浮力分别为、，甲、乙两个溢水杯底对桌面的压强分别为、，则______，______（均选填“＞”、“＝”或“＜”）。 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图甲所示，底面积为的金属圆筒重3N，开口向上漂浮在水面上，这时有的体积浸没在水中；若向金属圆筒里倒入的某种液体，水面恰好与金属圆筒口相平，如图乙所示，此时水对金属圆筒底部的压强为__________Pa，该液体的密度为__________（）。 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）一个盛有水的溢水杯放在水平桌面上，体积相同材料不同的A、B、C三个实心小球，质量之比为1∶2∶5。先将小球A轻放入溢水杯中，A漂浮，溢出水30g；再将小球B轻放入溢水杯中，B也漂浮，再次溢出水100g；再将小球C轻放入溢水杯中，C沉底，再次溢出水125g；则A的浮力是___________N，B的质量是___________g，C的密度是___________kg/m3。 7．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图所示，水平桌面上三个完全相同的容器内装有三种不同液体，将三个相同的小球分别放入容器内，待小球静止后，A漂浮  B悬浮  C沉底，三容器中液面相平，下列判断正确的是（　　） A．小球受到的浮力关系F浮A=F浮B<F浮C B．三种液体的密度ρ甲＝ρ乙>ρ丙 C．液体对容器底部的压强p甲>p乙>p丙 D．容器对桌面的压力F甲<F乙<F丙 8．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图（a），A、B两个底面积相同的柱形容器置于水平桌面上，容器内分别装有质量相等的水和未知液体；将体积相等的甲、乙两个实心正方体物块分别放入A、B容器中，静止时状态如图（b）所示，且两容器液面相平。若ρ甲=0.6×103kg/m3，甲、乙所受浮力之比为1： 2，乙所受支持力和浮力之比为1：3，下列说法正确的是（　　） A．图（a）中液体对容器底的压强pA＜pB B．图（b）中容器对桌面的压强pA′=pB′ C．未知液体的密度为0.83×103kg/m3 D．甲、乙物块的重力之比为3：8 9．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，硬杆的一端固定在容器底，另一端连着自制的探头，探头上方蒙有橡皮膜。现向容器中注水，已知水浸没探头时，杆仍对探头有力的作用。下列表示容器对桌面的压力F₁、容器对桌面的压强p、探头所受浮力 F浮、硬杆对探头作用力 F₂随容器中水深度h的变化关系图线中，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图所示，把一底面积为400cm2，高度为20cm的正方体物块放进盛有水的薄壁柱形容器中，并用30N的压力F使物体刚好浸没在水中，此时水对容器底的压强为3500Pa。已知容器重10N，底面积为500cm2，则下列说法中不正确的是（　　） A．物体刚好浸没在水中时，水的深度为35cm B．物块的密度625kg/m3 C．改变压力F，静止后物体有四分之一体积露出水面，此时水对容器底的压强为3100Pa D．改变压力F，静止后物体有四分之一体积露出水面，此时容器对地面的压力为160N 11．（24-25八年级下·江苏南通·期末）（多选）科创小组用如图甲的装置探究浮力大小与哪些因素有关。升降台上有重为20N、底面积为的盛水薄壁轻质柱形容器（容器重忽略不计），上方有一底面积为、高为的圆柱体，其上表面中央沿竖直方向固定一根体积不计的细杆，下表面刚好与水面接触。现将升降台以的速度匀速竖直向上运动（水始终没有溢出），通过细杆上端压力传感器测得细杆对圆柱体A的作用力的大小与时间的关系如图乙所示，其中，与间隔2.5s。下列说法错误的是（　　） A．A的质量 B．的密度 C．时，刚好全部浸没 D．时升降台台面受到的压强 12．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）制作简易的密度计，器材有：长度为20cm的吸管一根，铁屑、石蜡、小瓶、记号笔、刻度尺、天平。 （g取10N/kg） 如图甲所示，用刻度尺和记号笔在吸管上标出长度刻度，用石蜡将标0cm的一端封闭，添加铁屑至管内，使其总质量为10g，能竖直漂浮在液体中； (1)当将它放入密度为1.0g/cm3的水中时，浸入的深度为H。若放入密度为0.8g/cm3的酒精中，密度计所受的浮力大小为___________N，浸入的深度为___________H； (2)将它放入密度为0.8-1.2g/cm3的不同液体中，浸入的深度h与液体密度ρ液之间的关系应符合图乙中___________（选填“a”“b”或“c”）； (3)为使该简易密度计测量水和酒精的密度时，两条刻度线间的距离大一些，利用现有器材，合理的做法是：___________； (4)密度计不光能测量液体密度，还能间接测量固体密度。 在测量鸡蛋密度时（鸡蛋密度大于水），可以将鸡蛋放入清水中后，向清水中不断加盐搅拌，至鸡蛋处于___________状态，此时使用密度计测量盐水密度即为鸡蛋密度； (5)如图丙所示，在底面积为1cm2的吸管下方安装一个体积为5cm3的小瓶，将铁屑装入瓶中，制成另一支简易密度计，使其总质量为15g，放入液体后能竖直漂浮，小瓶始终完全浸没。将密度计放入水中，在密度计上标记出水面位置M，密度计排开水的体积为___________厘米3.从水中取出擦干后，放入待测的盐水中，M比液面高2.5cm。则盐水的密度为___________克/厘米3。 13．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）某实验小组的同学，想验证阿基米德原理，进行下面的实验，如图甲所示： (1)为了方便操作和减小测量误差，最合理的操作步骤顺序应该是______； A．①②③④ B．④②①③ C．④①②③ D．②①③④ (2)按照正确的操作步骤，当测量结果满足等式______时（用弹簧测力计示数F1  F2  F3  F4表示），则说明阿基米德原理成立； (3)小华利用身边的器材对实验进行了改进：两个相同的弹簧测力计A和B  重物  溢水杯（由饮料瓶和吸管组成）  薄塑料杯（质量忽略不计）等器材，装置如图乙所示．实验时逐渐向下移动水平横杆，使重物缓慢浸入盛满水的溢水杯中直至刚好全部浸没，观察到弹簧测力计A的示数逐渐______（选填“增大”“减小”或“不变”），弹簧测力计B的示数逐渐增大，若弹簧测力计A的示数变化量为ΔFA，B的示数变化量为ΔFB，则它们的大小关系是ΔFA______ΔFB（选填“大于”“等于”或“小于”）； (4)在这个过程中溢水杯对升降台的压力______（选填“变大”“变小”或“不变”）. (5)为了更加直观的验证阿基米德原理，聪明的小红又对实验进行了改进，如下图丙所示：把弹簧测力计上端固定在铁架台上，用粗铁丝做一个框，挂在弹簧测力计挂钩上，在粗铁丝框上端悬吊一个金属块，下端放一小杯，在金属块的正下方，有一个溢水杯，装满水的溢水杯放置在铁架台的支架上，溢水杯跟金属块  粗铁丝都不接触． ①平稳缓慢地抬高溢水杯支架，使金属块完全浸没入水中（如图丙→丁→戊），在此过程中．弹簧测力计示数：F丙______F戊（选填“大于”  “等于”或“小于”）． ②再平稳缓慢地降低溢水杯支架，使金属块完全离开水面（如图己）．可以计算出图戊中金属块所受到的浮力约为______N，此浮力的测量数值比真实数值将______（选填“偏大”或“偏小”）． 14．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）小红将石块放入杯子的水中，发现石块下沉，为验证下沉的物体是否受浮力以及浮力大小与哪些因素有关，她采取了以下实验探究。 (1)设计A、B、C图示实验，当手托石块或把石块浸入水中时，根据观察到______的现象，可得“在水中下沉的物体也受到浮力”。C图中，石块所受浮力的表达式为______（用所测物理量的符号表示）。 (2)将石块逐渐浸入水中（未完全浸没前），小红发现石块所受浮力逐渐变大，于是猜想“物体所受浮力的大小随物体浸入液体中深度的增大而增大”。为验证猜想是否正确，她将一长方体铁块挂在弹簧测力计下（如图D），并将长方体铁块分别一半放在水中（如图E和F），根据关系式______（用所测物理量的符号表示），可证明猜想是错误的。 (3)她又将长方体铁块浸没水中（如图G），分析D、E和G实验数据可得：在液体的密度相同时，______越大，受到的浮力越大。 (4)小红再将长方体铁块浸没浓盐水中（如图H），分析D、______和H实验数据可得：浸在液体中的物体所受浮力的大小与液体的密度有关。根据这三次实验中弹簧测力计的示数，小红还求出了浓盐水的密度，其表达式为______（用所测物理量的符号和水的密度ρ水表示）。 15．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）小丽洗水果时发现，苹果漂浮在水面上，于是将装有适量细沙的瓶子密封后用细绳系在苹果下，制作一个可悬浮的“潜水艇模型”，如图所示。小丽用电子秤测出苹果的质量为180g，苹果浸没时排开水的质量为200g，加盖后瓶子的总体积为255cm³。ρ水=1.0g/cm³，不考虑细绳的自重和体积，g取10N/kg。求： (1)苹果漂浮时的浮力； (2)苹果的密度； (3)当“潜水艇模型”悬浮在水中时，细绳对瓶子的拉力。 16．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）青少年在游泳和水上运动时应特别注意安全问题。有一种防溺水救生手环，如图所示，具有一定的安全防护作用。紧急情况下，只要启动手环上的开关，手环内的气囊就立刻充满气体，承载人体使头部露出水面。某同学的质量为52.5kg，密度为1.05×103kgm3，若要使约占人体总体积的头部露出水面。手环所受的重力忽略不计，g取10N/kg。求： (1)人体总体积； (2)头部露出水面时，人体受到的浮力； (3)充气后气囊的体积的最小值。 17．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图所示，正方体物体（不吸水）重6N，被一体积可以忽略的细线拉住固定在容器底部，细线受到拉力为2N，此时物体总体积的80%浸入水中。求： (1)此时物体受到的浮力； (2)物体的体积； (3)往容器中加水使其浸没在水中，此时细线拉力。 18．郑和下西洋所用的多桅木帆船都有“水密隔舱”，该技术沿用至今，如图（a）所示。小东也制作了一艘具有10个水密隔舱（每个隔舱相互隔离，确保行船安全）的实验小船，如图（b）所示。 (1)将实验小船先后放到海水实验池和淡水池中时，该船受到的浮力分别为、，隔舱底部所在的深度分别为、，则______，______；（均选填“A大于”、“B小于”或“C等于”）（，） (2)当实验小船在淡水实验池中排开水的体积为，则它受到液体浮力________牛； (3)在海水池中航行过程中，小船不幸触碰到隐藏在水下的暗礁，导致其中一个水密隔舱破损进满水。已知每个水密隔舱均为长2m，宽1m，高0.5m的长方体形状。此时小船的吃水深度比破损前增加了______米。 19．底面积为的足够高的圆柱形容器中装有适量的液体，用细线悬挂物体A，物体A的密度为，当它有一半体积浸入液体中时，电子秤的示数为750g，如图甲所示。当把细线剪断，物体A浸没且沉底时，电子秤的示数为950g，如图乙所示，前、后两次容器内液面上升了2cm。则图甲中细绳的拉力为______N，液体的密度为__________。 20．水平桌面上有一高度为12cm、底面积为100cm²的薄壁圆柱形平底烧杯，将质量为500g的圆柱形金属块挂在弹簧测力计下，此时金属块下表面刚好接触水面（图甲所示）。将金属块缓慢下移至刚好浸没时，烧杯对水平桌面的压强增大了200Pa，此时弹簧测力计的示数为2.5N，则图乙中金属块所受的浮力是 ___________N，图甲中烧杯底部所受水的压力为___________N。 21．隔板从中间将容器隔开两边分别装有盐水、淡水（），甲、乙实心球体积相同，若甲、乙所受的重力和排开液体所受的重力如下表，则两球静止在液体中时的情形可能是（     ） 实心球 实心球的重力/N 排开液体的重力/N 甲 5 5 乙 8 5 A． B． C． D． 22．某同学制作了如图所示的潜水艇模型，通过移动注射器的活塞注入或抽出气体，实现潜水艇模型的浮与沉。关于该模型，不计水的阻力，以下说法正确的是（　　） A．潜水艇工作原理是改变自身体积 B．潜水艇漂浮在水面上时浮力大于重力 C．潜水艇在水面下匀速下潜时，重力大于浮力 D．若想让潜水艇上浮，需要向左压注射器活塞 23．如图所示，有三个实心小球甲、乙、丙，甲球能漂浮在水面上，乙球能在水中悬浮，丙球能在水中下沉。现将甲、乙、丙三球同时放在一只敞口的小铁盒里，然后将小铁盒漂浮在盛水的容器中，下列判断正确的是（　　） A．只将小球甲从盒中取出放入水中后，液体对容器底部的压强变大 B．只将小球乙从盒中取出放入水中后，液体对容器底部的压力变小 C．只将小球丙从盒中取出放入水中后，液体对容器底部的压强变小 D．将甲、乙、丙三球同时放入水中后，液体对容器底部的压力不变 24．边长均为10cm、材料不同的实心正方体A和B，用质量不计的细线连接，轻轻放入某液体中，最终悬浮，细线处于绷紧状态，如图所示。剪断细线后，B物体对容器底的压力为3N，已知，容器底面积为，则下列说法错误的是（　　） A．细绳上拉力为3N B．A漂浮时露出的体积 C．密度大小是，且该液体密度是 D．剪断细线后，容器底部受到的液体压强减小150Pa 25．某小组设计了水箱自动控制进水装置，如图所示。水箱内的圆柱形金属控制棒用细线悬挂在力传感器下方，并始终浸在水中。当达到自动控制的最低水位时，力传感器拉力为，力传感器触发开关水泵开始注水；当达到自动控制的最高水位时，力传感器拉力为，力传感器触发开关水泵停止注水。已知控制棒的质量为，下列说法正确的是（　　） A．控制棒受到的最小浮力为4N B．缩短细线，可使水箱中控制的最高和最低水位均升高 C．控制棒受到的浮力最大时，其排开水的体积为 D．力传感器受到的拉力在4N与8N之间时，则水箱一定在进水状态 26．（多选）水平桌面上，完全相同的甲、乙、丙容器中装有三种不同液体，将同一实心小球放入容器中，静止时三容器中液面相平，如图所示。下列说法：正确的是（　　） A．小球所受的浮力 B．三种液体密度的关系 C．液体对容器底的压强 D．桌面所受的压力 27．（多选）在两个相同溢水杯中装满不同的液体A、B，将质量相等的甲、乙两球轻轻放入两种液体中，静止时如图所示。已知甲、乙两球排开液体的重力相等，下列判断正确的是（　　） A．乙球所受浮力大于甲球所受浮力 B．A液体的密度大于B液体的密度 C．A液体对杯底的压强小于B液体对杯底的压强 D．甲球对杯底的压力等于乙球对杯底的压力 28．小泽同学在“验证阿基米德原理”的实验中，提出了两种不同的实验方案： (1)方案一： ①如图1甲所示，为减小测量误差并使操作更简便，最合理的操作步骤应该是 ___________ ； A．ACBD        B．ABCD        C．BCAD         D．CDBA ②以下选项中若___________成立，则可以得出浮力的大小与排开液体所受重力的关系，从而验证了阿基米德原理的成立；（甲图中弹簧测力计示数依次分别为F1、F2、F3、F4） A．F1﹣F2=F3﹣F4    　　B．F1﹣F3=F4﹣F2       　　C．F3﹣F2=F4﹣F1 ③如果换用密度小于液体密度的物体（不吸液体）来进行该实验，则图___________步骤中可不使用弹簧测力计；（选填“A”、“B”、“C”、“D”） ④按最合理顺序操作，以下影响验证结果的是 ___________ 。 A．图B中溢水杯内未装满水；　　B．图B中合金块未浸没在水中；　　　C．图A中小桶内有少量水。 (2)方案二：如图1乙所示，将装满水的溢水杯放在升降台上，缓慢调高升降台（溢水杯不与重物接触），发现随着重物浸入水中的体积越来越大，弹簧测力计A的示数___________（选填“变大”“变小”或“不变”），且弹簧测力计A示数的变化量___________（选填“大于”“小于”或“等于”）B示数的变化量，从而证明了阿基米德原理； (3)在验证了阿基米德原理后，小泽同学又设计了如图2的实验来“测量玻璃瓶的密度”：他找来一个小玻璃瓶进行了如下实验：先在量筒中倒入适量的水50mL，再使小玻璃瓶漂浮在量筒内的水面上，量筒中水面的示数为80mL，最后将该玻璃瓶浸没水中，沉入水底，量筒中水面的示数为62mL，那么玻璃瓶的体积为___________cm3，玻璃瓶的密度为___________kg/m3。 29．实验小组探究“浮力大小与哪些因素有关”的实验过程如图所示： (1)图b中物体受到的浮力大小为_________N； (2)由____________三图可知，浸在同种液体中的物体所受浮力大小与浸在液体中的深度无关； (3)比较图a、c、d中弹簧测力计的示数，可得出的结论是__________； (4)本次实验还可以求出盐水的密度为________（保留两位小数）g/cm3；若在使用弹簧测力计时，指针指在零刻度线以上，没有调零而直接进行测量，这样利用上述方法计算出盐水的密度将___________（选填“偏大”、“不变”或“偏小”）。 (5)实验小组还想探究“物体受到的浮力大小与其形状是否有关”，于是找来薄铁片继续进行实验，实验步骤如下： 步骤一，将铁片放入盛水的烧杯中，铁片下沉至杯底； 步骤二，将铁片弯成“碗状”再放入盛水的烧杯中，让它漂浮在水面上。 ①分析可知，步骤一铁片受到的浮力___________（选填“大于”、“小于”或“等于”）步骤二铁片受到的浮力； ②实验小组得到一个错误结论：物体受到的浮力大小与其形状有关。导致实验小组得出错误结论的原因是_____________。 30．小明想探究浮力的大小与哪些因素有关，于是用弹簧测力计、烧杯、物块、细线、水等器材进行了如下操作（g取10N/kg，）； (1)弹簧测力计调零后，将物块挂在弹簧测力计下，使物块逐渐下降，直至浸没在水中，该过程中弹簧测力计的示数如图所示，则物块在图乙位置受到的浮力为________N； (2)比较实验甲、丙、丁，可以分析得出物体所受浮力的大小与物体浸没在液体中的深度________；比较实验甲、乙、丙，可以分析得出物体所受浮力的大小与它排开液体的体积________； (3)做完图丁实验后，若要继续探究浮力大小与液体密度的关系，还需要增加的一次实验是：________； (4)在小明所做实验的基础上，根据有关数据，可以计算出物块的密度为________kg/m³。 31．科技创新小组同学设计了一款水下带传感器的遥感探测器，其总重为5N，体积。某次水底采样时，通过遥感传感器自动从进水口向探测器内注水，当探测器内水的深度为时刚好沉入水底，进行采集样品（如图所示）。采集样品完成后，遥感传感器通过高压气体将部分水从探测器的出水口排出后，探测器连同样品恰能匀速上浮，已知样品重，体积，，不计模型厚度，忽略气体质量和水的阻力，求： (1)当探测器刚好沉入水底时，探测器内的水对探测器底部的压强； (2)探测器和样品受到的总浮力； (3)探测器匀速上升时，探测器内剩余水的质量。 32．物理兴趣小组受“曹冲称象”典故的启发，找来一个上端开口的空透明圆筒，底部用细线系一块质量适当的铁块，然后将其静止放置在水中，如图甲所示，此时圆筒浸入水中的深度为5cm，水面与圆筒A点相平。利用此装置标上刻度后放入水中，可以方便地测量出物体的质量。在圆筒内放上一个物体后，如图乙所示，圆筒浸入水中的深度为10cm，水面与圆筒B点相平。已知圆筒底面积为，圆筒和铁块总重为6N，装置始终处于漂浮状态，圆筒始终竖直。求：（） (1)图甲中铁块受到的浮力； (2)图乙中圆筒底部受到水的压力； (3)为方便测量，圆筒A点应标上0kg刻度线，若利用此装置测量，圆筒B点的刻度线对应的质量。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $