专题07 电磁感应中的“杆和导轨、导线框”模型（期末真题汇编，人教版）高二物理下学期

**基本信息** 聚焦电磁感应“杆和导轨、导线框”核心模型，整合多地区高二期末真题，覆盖单杆、等宽/不等宽双棒、导线框四大高频考点，融入比亚迪专利、高铁再生制动等真实科技情境，突出模型建构与综合应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|5题|单杆切割、导线框运动等基础分析|结合斜面、电容情境，考查电磁感应基本规律| |多选题|13题|双棒动量守恒、能量转化等综合判断|设置等宽/不等宽双棒对比，强化科学推理| |解答题|26题|含电源/磁场变化的复杂杆轨系统、多过程导线框运动|以汽车减震、电磁缓冲为背景，融合力学与电磁学综合应用，匹配期末压轴题要求|

专题07 电磁感应中的“杆和导轨、导线框”模型 4大高频考点概览 考点01 典型单杆模型 考点02 等宽双棒模型 考点03 不等宽双棒模型 考点04 典型导线框模型 地 城 考点01 典型单棒模型 一、单选题 1．（23-24高二下·江西吉安·期末）如图所示，两条平行放置的光滑金属导轨间距为，导轨的左端接电动势为的电源，匀强磁场垂直于导轨平面。足够长的质量为的金属棒接触良好地静止斜放在两导轨之间，与导轨的夹角为，当合上开关，经过一段时间金属棒稳定运行的速度为，，，下列说法正确的是（　　） A．合上开关后，金属棒运动的速度方向与金属导轨平行 B．金属棒在达到稳定的运动速度之前，速度与加速度都增大 C．匀强磁场的磁感应强度大小为 D．若回路中的总电阻恒为，则合上开关的瞬间，金属棒的加速度为 二、多选题 2．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）学校汽车动力兴趣小组探究油电混合动力汽车电能回收原理，将储能装置简化为电容器，将旋转切割磁感线简化为直线运动切割磁感线，设计了如图所示电路。设在竖直平面内有足够长的两平行金属光滑导轨，导轨间距为，电阻不计。现有一根质量为、电阻为的金属棒两端分别套在金属导轨上，棒与导轨垂直，并接触良好。导轨之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为。导轨上端连接有电阻和电容器，已知电阻阻值为，电容器电容为，重力加速度为。将金属棒由静止释放，在金属棒运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．电容器右极板带正电荷 B．金属棒减少的重力势能全部转化为电阻产生的焦耳热 C．金属棒的最大速度为 D．电容器所带的最大电荷量为 3．（25-26高二上·北京海淀·期末）如图所示，水平放置的平行的光滑金属导轨左端连接一个电阻，导轨上垂直导轨水平放置一个金属棒，金属棒与导轨接触良好。匀强磁场垂直导轨平面向下。棒和导轨的电阻不计。现给棒一个向右的瞬时冲量，让棒开始向右运动，当棒向右运动的速度大小为时开始计时并从该位置开始沿着运动方向建立一维坐标系，棒从该位置开始到停止的过程中，棒的瞬时速度大小与时间的图像或与位移的图像基本正确的是（　　） A． B． C． D． 三、解答题 4．（24-25高二下·天津·期末）如图甲所示，匝数N=100，电阻r=1Ω，面积的圆形金属线圈与粗糙倾斜金属导轨连接成一个回路，导轨宽度L=1m，倾角θ=37°，轨道上连有阻值的电阻，在线圈中存在垂直于线圈平面向上的均匀变化的磁场B1，B1变化规律如图乙所示，在倾斜导轨上存在垂直导轨平面向下大小恒定的磁场B2，且；在导轨上放置一根质量，阻值，与导轨等宽的金属棒ab，并锁定。现将开关S闭合，解除锁定后，发现金属棒恰好能在导轨上保持静止状态，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其余电阻不计。已知求： (1)流经金属棒的电流大小和方向； (2)金属棒和导轨间的动摩擦因数； (3)现将开关S断开，当金属棒向下滑0.4m时速度达到，求该过程中电阻R上产生的热量。 5．（25-26高二上·浙江·期末）如图所示，足够长的光滑倾斜金属导轨和间距，倾角均为。开关S打到1时，连接阻值、横截面积的线圈，线圈处于轴线方向的匀强磁场中，其磁感应强度变化率；开关S打到2时，连接阻值的定值电阻。一根质量、电阻为、长度为的导体棒始终与导轨垂直且接触良好。导轨处于磁感应强度恒为的匀强磁场中，方向垂直导轨平面向上。不计其余电阻和回路自感。 (1)当开关打到1时，导体棒恰好静止在导轨上，求： ①线圈中电流的大小和方向（俯视图，用“顺时针”或“逆时针”表示）； ②线圈的匝数； (2)再将开关打到2，导体棒静止释放，经过时间后，导体棒已达最大速度，求： ①最大速度； ②内导体棒的位移和产生的焦耳热。 6．（25-26高二上·湖北武汉·期末）比亚迪官方2024年3月公开一份名为《一种可变磁通量永磁同步电机》的专利，其核心思想在于通过精确控制输入电压和磁通量从而改善电机的工作效率，现将其原理简化成如图所示电路。两根足够长的平行长直金属导轨水平放置，一金属棒ab静止放置于金属导轨上且与金属导轨接触良好；E为可调电源，按图示方式接在导轨的左侧；金属导轨对金属棒的阻力恒为。时刻打开可调电源，使其输出电压为，此时金属棒ab从静止开始加速，在时刻前金属棒就已经达到了最大速度。已知导轨间距为，时间内，导轨间的磁感应强度为，金属棒在导轨间的电阻为，其余部分电阻忽略不计。求： (1)时，通过金属棒的电流； (2)金属棒ab的最大速度； (3)若在时刻后，计算机将磁场调节成，同时计算机会调节电源的输出电压U以保持金属棒继续以做匀速运动。不考虑因磁场变化瞬间形成的感应电动势。求：磁场变化前与变化后电源的输出功率和的比值。（结果可用分式表示） 7．（25-26高二上·江苏南京·期末）固定在水平桌面上的平行光滑金属导轨如图甲所示，导轨间距L=1m，左端与R=4Ω的电阻相连，导轨间有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，导体棒ab垂直放在导轨上。现给导体棒施加一水平向右的恒力F，测得导体棒速度随时间变化的图像如图乙所示。已知导体棒质量m=0.5kg，有效阻值r=1Ω，磁场磁感应强度B=2T，其它电阻不计。 (1)求t=1s时导体棒加速度的大小； (2)若导体棒开始运动后1s内通过的位移x=7m，求该时间内电阻R上产生的热量。 8．（24-25高二下·河北邯郸·期末）如图所示，MN和PQ为两根间距不等的光滑金属导轨，水平放置在竖直向下的匀强磁场中。导轨M、P端间接阻值的电阻和电流表，N、Q端间接阻值为的电阻。质量的金属棒放在导轨上以的初速度从处向右滑到处所用时间为。处导轨间距，处导轨间距。若金属棒滑动时电流表的读数始终保持不变，不计金属棒和导轨的电阻。求： (1)金属棒在处的速度； (2)电阻上产生的热量； (3)电流表上的读数； (4)匀强磁场的磁感应强度。 9．（24-25高二下·山东滨州·期末）如图两段水平放置的平行光滑金属导轨的间距均为，左端之间连接电动势为、内阻为的电源，右端之间连接阻值为的电阻，两段导轨中间处通过一小段绝缘光滑轨道平滑连接。空间存在垂直导轨平面竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为，质量为、电阻为、长为的金属棒静止在导轨上。闭合开关，金属棒在安培力的作用下开始运动，在到达之前已经达到最大速度。导轨电阻不计，金属棒与导轨垂直且接触良好，右侧的导轨足够长。求： (1)金属棒到达时的速度大小； (2)金属棒在左侧从静止到最大速度过程中产生的焦耳热； (3)金属棒在右侧运动的最远距离。 10．（25-26高二上·四川眉山·期末）如图甲所示，间距为的平行金属导轨由水平部分和倾斜部分连接而成，导轨光滑且电阻不计。水平部分接有面积为、电阻为的单匝线圈，线圈水平放置且处在方向竖直向下的磁场中，磁感应强度随时间变化的情况如图乙所示。倾斜部分足够长，其cd间接一阻值为的电阻，倾角，处在垂直导轨平面向上的匀强磁场中，其磁感应强度大小未知。将质量为的导体棒MN垂直倾斜导轨放置，0~2s内导体棒MN恰好处于静止状态。已知导体棒MN接入电路的电阻为，，，g取。 (1)求0~2s内ab间的电压； (2)求磁感应强度的大小； (3)导体棒MN从开始运动到速度最大的过程中，在电阻上产生的热量，求此过程中流过导体棒MN的电荷量q。 11．（24-25高二下·江苏淮安·期末）如图所示，两光滑长直平行导轨间距，与水平面间成角，其上端的单刀双掷开关可与定值电阻、电容器（初始时不带电）相连，空间存在着方向垂直于导轨平面向上、磁感应强度的匀强磁场（图中未画出）。开关先与1相接，质量金属棒在处由静止释放，经时间沿导轨向下运动到达处，已知定值电阻的阻值，重力加速度取，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，其余电阻不计。求： (1)棒释放时的加速度大小； (2)棒运动至时的速度大小； (3)若棒运动至处时，迅速将改接到2上，同时对棒施加一方向垂直于棒、且沿导轨平面向上的恒力，使其沿导轨向下运动至最远处，已知电容器的电容，求与间的距离。 12．（25-26高二上·河北保定·期末）如图所示，固定于水平面内的光滑金属导轨由与x轴重合的直线导轨1和方程为的曲线导轨2组成，导轨处于垂直于纸面向外、磁感应强度大小的匀强磁场中。足够长、质量的导体棒初始时与y轴重合，0时刻导体棒在平行于x轴正方向的水平拉力作用下由静止开始做加速度大小的匀加速直线运动，运动时导体棒与y轴始终平行。已知导体棒的电阻率、横截面积，导体棒与导轨始终接触良好，导轨电阻不计。求： (1)导体棒运动至处时通过导体棒的电流； (2)内通过导体棒的电荷量q； (3)水平拉力对导体棒做的功W与导体棒的位移大小x间的关系式。 地 城 考点02 等宽双棒模型 一、多选题 1．（24-25高二下·广东广州·期末）如图甲所示，水平面内有两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨固定且间距为L。空间中存在磁感应强度方向竖直向下、大小为B的匀强磁场，两根材料相同、横截面积不同、长度均为L的金属棒ab、cd分别静置在导轨上。现使ab棒获得水平向右的瞬时速度，ab棒的速度随时间变化的关系如图乙所示。cd棒的质量为m，电阻为R，两金属棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻可忽略不计，下列说法正确的是（　　） A．ab棒和cd棒组成的系统动量守恒 B．ab棒的电阻为2R C．时间内，cd棒产生的热量为 D．时间内，通过cd棒任一横截面的电荷量为 2．（24-25高二下·广西南宁·期末）近年来，我国高速铁路迅速发展，已成为国家新名片。高铁动车组在制动过程中采用“再生制动”方式，将列车的动能转化为可再生利用的能量，有效降低能耗。一种再生利用的方式是将列车甲制动产生的电能，提供给同一电网下处于启动状态的列车乙。此过程可简化为如图所示的模型：固定在水平地面上的足够长的平行金属导轨，处于竖直方向的匀强磁场中；甲、乙是两根相同的金属棒，放在导轨上，与导轨良好接触，且始终与导轨保持垂直。已知磁场的磁感应强度大小为，导体棒质量均为，电阻均为，长度与导轨间距相等，均为；导体棒甲、乙在导轨上运动时，受到的摩擦阻力大小均为；时，导体棒甲的速度大小为，方向向左，导体棒乙的速度为0。已知导体棒甲经过位移，速度从减到时，乙不能再加速，此时再生制动结束。不计导轨的电阻。则以下说法正确的是（　　） A．时刻，导体棒乙获得的加速度大小为 B．在制动过程中，导体棒中的电流与两导体棒的速度差的关系为 C．再生制动结束时，乙的位移为 D．再生制动结束时，设导体棒甲乙相对位移为，则全过程摩擦阻力做功产生的热量 3．（25-26高二上·河南南阳·期末）如图，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面上，导轨间距为，其间存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。两根长度相同的金属棒a、b垂直于导轨放置，金属棒的质量为，其接入电路的电阻分别为、。初始时刻金属棒a、b间距离足够大，同时给两金属棒方向相反、大小分别为、的初速度，两金属棒相向运动。两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻。下列说法正确的是（　　） A．初始时刻金属棒b的加速度大小为 B．整个运动过程中通过金属棒a的电荷量为4C C．整个运动过程中金属棒a产生的焦耳热为12J D．为使两金属棒不相碰，则初始距离最小为16m 二、解答题 4．（24-25高二下·江苏镇江·期末）如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为。导轨上面横放着两根距离为的导体棒和。导体棒的质量为，两棒电阻皆为，其余部分的电阻不计。在整个导轨平面内都有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度随时间的关系如图所示。两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时，将两棒锁定。 (1)求在时刻，棒受到的安培力大小； (2)在的某个时刻，只解除棒的锁定，并使棒以初速度向右运动。求棒上产生的焦耳热； (3)在的某个时刻，解除两根棒的锁定，使棒以初速度向右运动的同时使棒以初速度向左运动，发现两根棒刚好同时停止运动。求棒的质量以及棒运动到速度为零时发生的位移。 5．（24-25高二下·安徽六安·期末）如图所示，左侧有一半径为的水平金属圆盘绕竖直中心轴匀速转动，角速度大小。圆盘所在空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小。右侧有两根足够长的光滑平行金属导轨固定在水平面内，间距d=1m，中间部分导轨非常短且光滑绝缘。导轨所在空间存在另一竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小。两根质量均为m=0.2kg、长度均为d=1m、阻值均为的导体棒M、N静止垂直放置在导轨上，导体棒M到导轨处的距离足够长，导体棒N到导轨处的距离。从圆盘中心和圆盘边缘用电刷引出两根导线分别接在两根导轨上，闭合开关，导体棒M会沿金属导轨向右运动，达到最大速度后，再通过导轨，之后与导体棒N发生弹性正碰，碰撞时间极短，不计金属圆盘和导轨的电阻，求： (1)闭合开关瞬间，导体棒M的加速度大小； (2)从闭合开关到导体棒M达到最大速度的过程中，通过导体棒M的电荷量； (3)最终稳定后，M、N两导体棒之间的距离。 6．（24-25高二下·山东菏泽·期末）如图所示，光滑平行导轨ADPC和MFNE处在磁感应强度为且与轨道平面垂直的匀强磁场中，导轨间距为，其中D点和M点，C点和N点利用光滑绝缘材料平滑连结，现有质量均为，电阻均为的导体棒，a棒固定在导轨AP处，b棒紧靠a棒但不接触。 (1)如图甲所示，b棒以初速度向右运动，若在到达CD之前速度减为零，求b棒的位移大小？ (2)在甲图中，给b棒以较大初速度开始运动，当b棒经过MN处速度为，如果b棒和c棒不相碰，求c棒与MN两点间的最小距离； (3)如图乙所示，若以P点为坐标原点建立直线坐标系，把两棒中点用长为的绝缘轻杆连结成“工字型”框架，如果磁场随按照变化（，且为常数），当初速度也是，且在到达CD之前速度减为零时，求框架的运动位移大小？ 7．（24-25高二下·云南临沧·期末）如图所示，间距为的平行光滑导轨固定在绝缘水平面上，有部分导轨处在垂直于导轨平面的有界匀强磁场中，磁场的边界线与导轨垂直，磁场的宽度为，质量均为的金属棒、垂直导轨放置，用长为的绝缘轻杆连接、，构成一个工字形框架。给工字形框架一水平向右、大小为的初速度，并且当棒进入磁场时对工字形框架施加一水平恒力，使得工字形框架保持匀速运动，当棒进入磁场后撤去力。金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，、棒接入电路的电阻均为，不计导轨的电阻。求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)工字形框架进入磁场的过程中，棒的电功率； (3)要保证工字形框架穿过磁场的右边界，工字形框架的动能必须满足的条件。 8．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）如图所示，两根平行光滑导轨竖直固定，上方用阻值的定值电阻连接在一起，下方有两水平分界面、，、之间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度T，用外力使粗细均匀的水平导体棒、静止在导轨上。现撤去外力，、棒同时开始沿导轨由静止滑下，恰好都能匀速穿过磁场区域，当棒离开磁场时棒刚好进入磁场。已知导体棒的质量g、电阻，导体棒的质量g、电阻，重力加速度取m/s2，两导体棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，忽略空气阻力和电磁辐射。 (1)求导体棒、在磁场中运动时的速度大小之比； (2)若、之间相距，求导轨之间的距离L和到导体棒离开磁场时回路产生的总热量。 9．（24-25高二下·江西·期末）如图所示，一间距的光滑平行倾斜金属导轨倾角，轨道上端连接一个电容的电容器，轨道下端通过一小段绝缘光滑圆弧与间距也为L的水平光滑足够长的金属导轨相切连接在一起，整个装置处于垂直导轨平面向上、磁感应强度大小均为的匀强磁场中，a棒的电阻不计，b棒的电阻，a、b棒的长度均为L，b棒通过绝缘细绳跨过固定光滑轻质定滑轮与一小物块相连，细绳与水平导轨平行，a、b棒及物块的质量均为，在外力控制下b棒和物块处于静止状态。a棒从斜轨上由静止释放，a棒运动的同时释放b棒和物块，经过，a棒到达斜轨末端，速度大小无损失滑上水平导轨，经过，a、b棒的加速度相同。导轨电阻不考虑，忽略电磁波辐射和空气阻力，b棒始终与导轨垂直，且不与滑轮相碰，取重力加速度大小，。求： (1)棒到达斜轨末端的速度大小和电容器上最终储存的电势能； (2)棒刚滑上水平导轨时a、b两棒的加速度大小； (3)从a棒滑上水平导轨到a、b两棒加速度相同，通过b棒的电荷量q。 10．（24-25高二下·湖北·期末）如图所示，间距为的倾斜平行光滑金属导轨与水平面的夹角为，有一匀强磁场垂直于斜面向上，磁感应强度大小为，倾斜轨道完全处在该磁场中，轨道上端连接一定值电阻。间距为的水平平行光滑金属导轨与足够长，导轨的水平部分和倾斜部分由光滑绝缘微小圆弧平滑连接，矩形区域完全处在竖直向上的另一匀强磁场中，磁感应强度大小为，该区域边长为。的右边静置一根质量为的金属棒，金属棒右侧还有足够多相同的塑料棒，塑料棒质量均为，从右向左编号1，2，3…n。最初开关闭合，现将质量为的细金属棒从离水平面足够高处静止释放，运动到倾斜轨道底端时断开开关。已知两金属棒的电阻值均为，重力加速度取，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计，所有棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。求： (1)金属棒运动到倾斜轨道底端时已经达到稳定，求此时该棒速度的大小； (2)求金属棒第一次跨过的速度的大小； (3)所有碰撞均为弹性碰撞，求最终运动的塑料棒最大序号，其速度的大小为多少？（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可） 11．（24-25高二下·安徽合肥·期末）如图，两根足够长的固定光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为L，两导轨及其所构成的平面均与水平面成θ=30°角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现将质量均为m的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，已知L=1m，B=2T，m=0.4kg，R=2Ω，重力加速度为g=10m/s2。 (1)先保持棒b静止，将棒a由静止释放，求棒a匀速运动时的速度大小v； (2)在（1）问中，当棒a匀速运动时，再将棒b由静止释放，说明此后棒的运动性质（速度、加速度变化情况）；并求解经足够长时间后棒的加速度； (3)仍保持棒b静止，将棒a由静止释放，若棒a经过t=1s后匀速运动，求棒a此过程中产生的热量Q。 地 城 考点03 不等宽双棒模型 一、多选题 1．（24-25高二下·湖南郴州·期末）如图所示，两段足够长的光滑平行金属导轨水平放置，导轨左右两部分的间距分别为L、；空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，质量分别为m、的导体杆a、b均垂直导轨放置，接入电路的电阻分别为R、，导轨电阻忽略不计；a、b两杆同时分别以的初速度向右运动，a总在左边窄导轨上运动，b总在右边宽导轨上运动，从开始运动到两杆稳定的过程中，下列说法正确的是（　　） A．a杆安培力方向与b杆安培力方向相反 B．a杆加速度与b杆加速度大小相等 C．电路中a杆上产生的焦耳热为 D．稳定时a杆和b杆的速度相等，即为 2．（25-26高二上·山东泰安·期末）如图所示，足够长的光滑水平金属导轨置于竖直方向的匀强磁场中，磁感应强度为，左侧导轨宽度为右侧导轨宽度的2倍为。电阻相等的两导体棒a、b垂直静置于导轨上，质量分别为m和2m。现使两导体棒分别获得相反的初速度，在以后的运动过程中（　　） A．稳定时a、b棒最终停止运动 B．稳定时a棒以的速度向左运动、b棒以的速度向左运动 C．通过a棒的电量为 D．通过a棒的电量为 3．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）如图所示，间距为2m的平行光滑金属导轨、和间距为1m的平行光滑金属导轨、固定在绝缘水平面上，、、、四个点在同一直线上，、之间连接一电容为0.1F的电容器（耐压值足够大），质量均为0.6kg、长度均为2m的金属棒和分别静止在左右导轨上，整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度大小为1T的匀强磁场中。现给棒施加一水平向右的恒力，经过2s的时间到达、处，此时立即撤去，金属棒平滑进入导轨、上。已知金属棒接入电路的电阻为1，其余电阻均不计，整个运动过程中两金属棒未发生碰撞且始终与导轨垂直并接触良好，导轨、足够长。下列说法正确的是（　　） A．金属棒到达、处的速度大小为4m/s B．整个运动过程通过金属棒的电荷量为1.2C C．整个运动过程金属棒产生的焦耳热为2.4J D．金属棒在导轨、上做变速运动的位移大小为1.2m 4．（25-26高二上·辽宁大连·期末）如图所示，足够长的水平轨道左侧部分轨道间距为，右侧部分的轨道间距为，曲线轨道与水平轨道相切于，所有轨道均光滑且电阻不计。在水平轨道内有斜向下与竖直方向成的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为的金属棒垂直于导轨静止放置在右侧窄轨道上，质量为的金属棒自曲线轨道上距水平轨道高为的处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与轨道保持良好接触，金属棒在宽轨道上运动稳定很长一段时间后进入窄轨道上运动，金属棒总在窄轨道上运动。已知：金属棒在宽轨道上运动时，两金属棒接入电路的有效电阻均为，，，，，。则（　　） A．金属棒在宽轨道上稳定运动的速度大小 B．金属棒在宽轨道上运动过程中，通过金属棒某截面的电荷量 C．金属棒在宽轨道上运动过程中，金属棒、在水平轨道间扫过的面积之差是 D．金属棒最终速度大小为 二、解答题 5．（24-25高二下·贵州黔南·期末）某研究性学习小组学习了电磁感应的相关知识后，在绝缘水平桌面上设计了如图所示的电路来探究导体棒的运动。电路左端为匝、面积的线圈，里面均匀分布着匀强磁场，磁感应强度变化率；线圈两端A、B与光滑金属轨道Ⅰ连接，P为将金属轨道分离的一小段光滑绝缘材料；轨道Ⅰ右侧连接着光滑的金属轨道Ⅱ，两轨道内分布着磁感应强度的匀强磁场；a、b两导体棒质量均为，导体棒b静止于轨道Ⅱ上。导体棒a从轨道Ⅰ上P的左侧无初速度释放，导体棒a运动到P前达到匀速，过P后运动到轨道的CD点前重新达到稳定状态。电阻为的导体棒a的长度与轨道Ⅰ的宽度相同均为0.2m，电阻为的导体棒b的长度与轨道Ⅱ的宽度相同均为0.4m。轨道、线圈均固定且电阻均忽略不计。（“·”表示磁场方向垂直纸面向外，“×”表示磁场方向垂直纸面向里） (1)导体棒a在轨道上释放瞬间的加速度； (2)导体棒a运动到P前匀速的速度大小； (3)导体棒b从开始运动到稳定状态过程中，导体棒b产生的热量。 6．（24-25高二下·重庆·期末）如图所示，同一平面内两组宽度分别为、的足够长光滑导体轨道倾斜固定，倾角为，两轨道间连有定值电阻R=2Ω，其余部分电阻不计。金属杆a、b水平放置并与轨道垂直且接触良好，其中金属杆b通过平行于导轨的轻绳系在固定的拉力传感器上。整个装置处于磁感应强度大小为B=1T、方向垂直轨道平面向上的匀强磁场中，现将金属杆a由静止释放。已知金属杆a、b的质量分别为和，重力加速为。 (1)当金属杆a的速度为时（未达到匀速状态），求拉力传感器的示数； (2)若金属杆a从释放到恰好达到匀速直线运动的过程中定值电阻R上产生的焦耳热为Q=13.6J，求该过程杆沿轨道下滑的距离； (3)当金属杆a由静止释放时，若同时剪断轻绳，求最终两杆的速度大小。 7．（24-25高二上·广东汕尾·期末）如图所示，和固定在同一水平面内的、足够长的光滑平行金属导轨，段和段间距为，和段间距为；左侧导轨区域的匀强磁场的磁感应强度大小为，右侧导轨区域的匀强磁场的磁感应强度大小为；两根相同的金属杆分别垂直于两侧导轨放置，杆中点用一不可伸长的绝缘细线通过轻质定滑轮与一重物相连，细绳处于伸直状态且与杆垂直。已知杆和重物的质量均为，杆接入电路的电阻分别为和，不计导轨电阻，重力加速度为。 (1)若重物离地面的高度为，时刻无初速度释放重物，同时在杆中点处施加一水平拉力，使杆始终静止；重物落地前某时刻已经匀速，求： ①匀速时回路的电流大小、重物的速度大小； ②从释放重物至落地过程中，回路产生的焦耳热。 (2)若重物离地面的高度为，时刻无初速度释放重物，同时在杆中点处施加一水平向右的恒力，重物下落至地面所需时间为，求重物落地瞬间，杆的速度大小。 地 城 考点04 典型导线框模型 一、单选题 1．（24-25高二下·湖北宜昌·期末）如图所示，甲、乙是两个完全相同的闭合正方形导线线框，、是边界范围、磁感应强度大小和方向都相同的两个匀强磁场区域，只是区域到地面的高度比高一些。甲、乙线框分别从磁场区域的正上方相同高度处同时由静止释放，穿过磁场后落到地面。下落过程中线框平面始终保持与磁场方向垂直。以下说法正确的是（　　） A．下落过程中甲框产生的焦耳热大 B．下落过程中两框产生的焦耳热一样大 C．落地时甲框的速度比乙框小 D．落地时甲框的速度比乙框大 2．（25-26高二上·云南昆明·期末）如图所示，边长L=0.2m的正方形金属线框abcd下方存在一个宽度也为L的匀强磁场区域，磁场边界水平，磁场方向垂直纸面向里。初始时，线框ab边距磁场上边界高度为h。将线框由静止释放，线框ab边进入磁场后立即开始做匀速运动。已知线框的质量为m=0.1kg，电阻为R=0.2Ω，磁感应强度大小B=1T，重力加速度大小g取10m/s2，线框下落过程中ab边始终与磁场边界平行，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．线框ab边刚进入磁场时，线框中的电流方向为adcba B．线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热为0.4J C．线框ab边进入磁场时的速度大小为2m/s D．线框进入磁场的过程中，通过线框横截面的电荷量为0.1C 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图甲所示的足够长的光滑斜面与水平面成，边界上方的区域内存在垂直斜面方向的磁场，磁感应强度变化规律如图乙所示，时刻磁场方向垂直斜面向上，时间内，单匝正方形闭合金属框在外力作用下静止在斜面上，边与边界的距离为。时刻撤去外力，金属框沿斜面下滑，此后磁感应强度保持不变。已知金属框质量为，边长为，每条边电阻均为，边始终与边界平行，边刚到达边界时的速度大小为，为重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．边刚出边界时，、两点间的电势差为 B．金属框过边界过程的加速度大小一定先减小后不变 C．从时刻到金属框刚好完全离开磁场的过程中，边产生的焦耳热大于 D．从撤去外力到金属框刚好完全离开磁场经历的时间为 4．（25-26高二上·河南三门峡·期末）如图所示，同一竖直面内的正方形导线框、的质量分别为和。二者的边长均为、电阻均为。它们分别系在一跨过两个定滑轮的绝缘轻绳两端，在两导线框之间有一宽度为、磁感应强度大小为、方向垂直于线框所在平面的匀强磁场区域。开始时，线框的上边与匀强磁场的下边界重合，线框的下边到匀强磁场上边界的距离为。现将线框由静止释放，当线框全部进入磁场时恰好开始做匀速直线运动。不计摩擦和空气阻力，重力加速度为。则下列说法正确的是（　　） A．匀速运动的速度为 B．进入磁场后匀速下降，完全进入磁场后加速下降 C．进入磁场与进入磁场过程中通过两线框导线横截面的电荷量不相等 D．从开始运动到线框全部进入磁场的过程中，线框所产生的焦耳热为 二、解答题 5．（24-25高二下·海南·期末）如图所示，光滑绝缘水平面上两条平行线、之间均匀分布着宽度为、磁感应强度大小为垂直纸面向里的匀强磁场区域，匀强磁场之间的间隔也等于（即图中虚线之间的距离均为）。把一个电阻为、质量为、边长为的正方形单匝金属线圈放在之间，线圈的右侧边与第一个磁场区域左侧边界线相距，给线圈一个水平向右大小为的恒定拉力，让线圈从静止开始向右运动。求： (1)线圈右侧边刚进入第一个磁场区域时的加速度大小； (2)线圈能获得的最大速度大小； (3)若从线圈右侧边刚进入第一个磁场区域到线圈边刚进入第六个磁场区域，线圈的速度达到，这个过程中线圈上产生的热量是多少。 6．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）汽车减震器可以有效抑制车辆振动，某电磁阻尼减震器的简化原理图如图所示，匀强磁场的宽度m，磁感应强度大小T，方向竖直向下。一轻质弹簧处于原长，将它水平且垂直于磁场边界放置在光滑水平面上，弹簧右端固定，左端恰与磁场右边界平齐。一宽度m、足够长的10匝闭合矩形硬质金属线框水平固定在一塑料小车上（图中小车未画出），线框右端与小车右端平齐，二者的总质量kg，线框的电阻Ω，使小车带着线框以m/s的速度沿光滑水平面垂直于磁场边界正对弹簧向右运动，边向右穿过磁场右边界后小车开始压缩弹簧，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力。求: (1)线框刚进入磁场左边界时，小车的加速度大小a； (2)小车向右运动，边在磁场中运动的过程中，线框产生的焦耳热Q； (3)小车向右运动过程中弹簧获得的最大弹性势能。 7．（24-25高二上·广东佛山·期末）某科技小组利用水平绝缘传送带设计运送工件装置，如图甲所示：待加工的工件固定在边长为的绝缘正方形载物台上，载物台侧面四周均匀缠绕匝总电阻为的闭合线圈，工件、载物台及线圈总质量为。为使工件在特定区域减速并对其进一步加工，在区域内加一个垂直于传送带平面向下、磁感应强度为的匀强磁场，边界与传送带运行方向垂直且；载物台在运动过程中左右两边始终与磁场边界平行，其底面与传送带间的动摩擦因数为，进入磁场区前已和传送带共速，传送带的速度为；载物台右侧线圈在时刻到达边，时刻到达边，该过程的图像如图乙所示，求： (1)载物台完全在磁场中运动时的加速度大小a； (2)在时间内载物台线圈产生的焦耳热Q； (3)时线圈所受安培力大小F以及进入磁场过程中通过线圈的电荷量q。 8．（24-25高二下·江苏连云港·期末）如图，在竖直平面内正方形efgh区域有磁感应强度的匀强磁场，ef边与水平方向夹角为，正方形单匝线框abcd质量、电阻、边长，ab边离gh边界距离也为L，cbgf四点共线，让线框自由下落，当dc边刚进入磁场时ad边恰好到达eh边界，重力加速度g取，运动过程中线框面始终与磁场垂直，不计空气阻力。求： (1)线框进入磁场过程中通过其某横截面的电荷量q； (2)ab边刚进入磁场时产生的电动势E； (3)线框进入磁场过程中产生的热量Q。 9．（24-25高二下·四川眉山·期末）如图1所示，间距的足够长倾斜导轨倾角，导轨顶端连一电阻，左侧存在一面积的圆形磁场区域B，磁场方向垂直于斜面向下，大小随时间变化如图2所示，右侧存在着方向垂直于斜面向下的恒定磁场，一长为，电阻的金属棒ab与导轨垂直放置，至，金属棒ab恰好能静止在右侧的导轨上，之后金属棒ab开始沿导轨下滑，经过足够长的距离进入，且在进入前速度已经稳定，最后停止在导轨上。已知左侧导轨均光滑，右侧导轨与金属棒间的摩擦因数，取，不计导轨电阻与其他阻力。求： (1)至内流过电阻的电流和金属棒ab的质量； (2)金属棒ab进入时的速度大小； (3)已知棒ab进入后滑行的距离停止，求在此过程中通过电阻R的电荷量和整个回路产生的焦耳热。 10．（24-25高二下·广东广州·期末）为了确保载人飞船返回舱安全着陆，设计师在返回舱的底部安装了4台完全相同的电磁缓冲装置，如图（a）所示，图（b）为其中一台电磁缓冲装置的结构简图。舱体沿竖直方向固定着两光滑绝缘导轨MN、PQ，导轨内侧安装电磁铁（图中未画出），能产生垂直于导轨平面的匀强磁场。导轨内的缓冲滑块K内部用绝缘材料填充，外侧绕有n匝闭合矩形线圈abcd，其总电阻为R，ab边长为L。着陆时电磁缓冲装置以速度v0与地面碰撞后，滑块K立即停下，此后在线圈与轨道的磁场作用下使舱体减速，导轨MN、PQ及线圈的ad和bc边足够长，经过减速过程后最终舱体速度减到v，从而实现缓冲。返回舱质量为m（缓冲滑块K质量忽略不计），取重力加速度为g，一切摩擦阻力不计。求： (1)匀强磁场的磁感应强度B的大小； (2)若舱体的速度大小从v0减到v的过程中，每台电磁缓冲装置中产生的焦耳热为Q，求在此过程中舱体下落的高度h。 11．（25-26高二上·河北·期末）电磁制动是通过电磁规律实现制动的技术，具有响应速度快，方便控制，不易磨损等优点，广泛应用于现代各种机械设备中。某学习小组对正方形线框进入磁场的制动特点进行研究。现将模型简化如下：如图所示，两根足够长的、电阻可忽略的平直光滑金属导轨和固定在水平面内，轨道间距为，间接有定值电阻。与平直导轨垂直的虚线与之间的区域存在竖直向下的有界匀强磁场，磁感应强度大小为，磁场宽度为，右侧与左侧的区域为无场区域，宽度为 。金属导轨与平直导轨在和两点用绝缘材料连接（连接点大小不计），为等腰三角形，顶角，其内部的区域存在竖直向下的匀强磁场。左侧附近静止一质量为的导体棒，导体棒与金属导轨所用材料完全相同，单位长度电阻为，导体棒所处位置附近平直导轨上涂有绝缘涂层。现将一质量为、边长为，总电阻为的均匀正方形线框垂直放置在导轨上，其中边与虚线重合。已知、、、、，不计一切摩擦。若线框受力，其形变可忽略不计，线框和导体棒之间的碰撞为弹性碰撞，且碰撞时间极短。现给正方形线框一个向右的初速度。 (1)求正方形线框边刚进入区域时的加速度大小； (2)求正方形线框边刚进入区域时的速度大小； (3)若导体棒恰好运动到点时速度为零，求区域内匀强磁场的磁感应强度大小。 12．（25-26高二上·辽宁·期末）如图所示，在光滑水平桌面上有沿x轴方向分布的交替出现的很多个竖直方向的条形磁场，磁感应强度大小为B，磁场的宽度均为L，在纸面内垂直于x轴方向上磁场的范围足够大。现有一边长为L，质量为m，电阻为R（未知量）粗细均匀的单匝正方形导体线框abcd静止在光滑的水平桌面上，其bc边与第一个磁场的左边界重合。某时刻线框获得一个在水平面内与x轴正方向成60°角斜向上，大小为的初速度。若，试求： (1)线框刚进入第一个磁场的瞬间b、c两点间电势差； (2)线框刚好完全进入第一个磁场时的速度； (3)从开始进入磁场到线框稳定运动这一过程中，线框产生的焦耳热及线框沿x轴方向运动的距离。 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 电磁感应中的“杆和导轨、导线框”模型 4大高频考点概览 考点01 典型单杆模型 考点02 等宽双棒模型 考点03 不等宽双棒模型 考点04 典型导线框模型 地 城 考点01 典型单棒模型 一、单选题 1．（23-24高二下·江西吉安·期末）如图所示，两条平行放置的光滑金属导轨间距为，导轨的左端接电动势为的电源，匀强磁场垂直于导轨平面。足够长的质量为的金属棒接触良好地静止斜放在两导轨之间，与导轨的夹角为，当合上开关，经过一段时间金属棒稳定运行的速度为，，，下列说法正确的是（　　） A．合上开关后，金属棒运动的速度方向与金属导轨平行 B．金属棒在达到稳定的运动速度之前，速度与加速度都增大 C．匀强磁场的磁感应强度大小为 D．若回路中的总电阻恒为，则合上开关的瞬间，金属棒的加速度为 【答案】D 【详解】A．由左手定则可知，其金属棒受到的安培力的方向垂直与金属棒斜向上，所以金属棒运动的速度方向垂直于金属棒斜向上，故A错误； B．导体棒的切割磁感线其电动势为 电路中的电流为 安培力大小为 由牛顿第二定律有 解得 由于在稳定前，金属棒做加速运动所以其速度增加，由上述分析，其加速度在减小，故B错误； C．当加速度为零时，其达到最大速度，结合之前分析有 解得 故C错误； D．由之前分析有 则合上开关的瞬间，金属棒速度为零，解得 故D正确。 故选D。 二、多选题 2．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）学校汽车动力兴趣小组探究油电混合动力汽车电能回收原理，将储能装置简化为电容器，将旋转切割磁感线简化为直线运动切割磁感线，设计了如图所示电路。设在竖直平面内有足够长的两平行金属光滑导轨，导轨间距为，电阻不计。现有一根质量为、电阻为的金属棒两端分别套在金属导轨上，棒与导轨垂直，并接触良好。导轨之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为。导轨上端连接有电阻和电容器，已知电阻阻值为，电容器电容为，重力加速度为。将金属棒由静止释放，在金属棒运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．电容器右极板带正电荷 B．金属棒减少的重力势能全部转化为电阻产生的焦耳热 C．金属棒的最大速度为 D．电容器所带的最大电荷量为 【答案】AD 【详解】A．根据右手定则可知，B点电势高于A点，则电容器右极板带正电荷，选项A正确； B．金属棒减少的重力势能转化为电阻产生的焦耳热、导体棒的动能以及电容器储存的电能，选项B错误； C．金属棒达到最大速度时满足， 解得金属棒的最大速度为，选项C错误； D．电容器所带的最大电荷量为，选项D正确。 故选AD。 3．（25-26高二上·北京海淀·期末）如图所示，水平放置的平行的光滑金属导轨左端连接一个电阻，导轨上垂直导轨水平放置一个金属棒，金属棒与导轨接触良好。匀强磁场垂直导轨平面向下。棒和导轨的电阻不计。现给棒一个向右的瞬时冲量，让棒开始向右运动，当棒向右运动的速度大小为时开始计时并从该位置开始沿着运动方向建立一维坐标系，棒从该位置开始到停止的过程中，棒的瞬时速度大小与时间的图像或与位移的图像基本正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】AB．设导轨间距为L，由法拉第电磁感应定律，由欧姆定律得棒所受的安培力大小，方向与速度方向相反，棒的速度减小，安培力减小 由牛顿第二定律有，加速度方向与速度方向相反，加速度大小也减小，故棒做加速度减小的减速，A正确，B错误； CD．由动量定理有，其中，， 整理得，图像为斜率为负的直线，C错误，D正确。 故选AD。 三、解答题 4．（24-25高二下·天津·期末）如图甲所示，匝数N=100，电阻r=1Ω，面积的圆形金属线圈与粗糙倾斜金属导轨连接成一个回路，导轨宽度L=1m，倾角θ=37°，轨道上连有阻值的电阻，在线圈中存在垂直于线圈平面向上的均匀变化的磁场B1，B1变化规律如图乙所示，在倾斜导轨上存在垂直导轨平面向下大小恒定的磁场B2，且；在导轨上放置一根质量，阻值，与导轨等宽的金属棒ab，并锁定。现将开关S闭合，解除锁定后，发现金属棒恰好能在导轨上保持静止状态，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其余电阻不计。已知求： (1)流经金属棒的电流大小和方向； (2)金属棒和导轨间的动摩擦因数； (3)现将开关S断开，当金属棒向下滑0.4m时速度达到，求该过程中电阻R上产生的热量。 【答案】(1)，方向从到 (2) (3) 【详解】（1）线圈中产生的感应电动势的大小 回路的总电流 又 流经金属棒的电流大小 根据楞次定律可知电流方向从到； （2）根据平衡条件 可得 （3）由动能定理可知 由功能关系 电阻产生的热量为 解得 5．（25-26高二上·浙江·期末）如图所示，足够长的光滑倾斜金属导轨和间距，倾角均为。开关S打到1时，连接阻值、横截面积的线圈，线圈处于轴线方向的匀强磁场中，其磁感应强度变化率；开关S打到2时，连接阻值的定值电阻。一根质量、电阻为、长度为的导体棒始终与导轨垂直且接触良好。导轨处于磁感应强度恒为的匀强磁场中，方向垂直导轨平面向上。不计其余电阻和回路自感。 (1)当开关打到1时，导体棒恰好静止在导轨上，求： ①线圈中电流的大小和方向（俯视图，用“顺时针”或“逆时针”表示）； ②线圈的匝数； (2)再将开关打到2，导体棒静止释放，经过时间后，导体棒已达最大速度，求： ①最大速度； ②内导体棒的位移和产生的焦耳热。 【答案】(1)①，顺时针；② (2)①；②， 【详解】（1）①对导体棒进行受力分析可知，导体棒要想静止在斜面上，其受到的安培力应沿斜面向上，则由左手定则可知，线圈中的感应电流应为顺时针方向（俯视图）。对导体棒根据共点力的平衡规律可得 代入数据解得线圈中的感应电流大小为 ②根据闭合电路欧姆定律可得电源的感应电动势为 则根据法拉第电磁感应定律有 代入数据解得线圈的匝数为 （2）①将开关打到2后，导体棒由静止释放，对导体棒进行受力分析可知，导体棒将向下做加速度减小的加速运动，则当时，其速度达到最大值，设此时电路中的感应电动势为，则有 此时电路中的电流为 则对导体棒根据共点力平衡的规律有 代入数据联立解得导体棒的最大速度为 ②从导体棒静止释放到达到最大速度的过程，对导体棒列动量定理方程有 又因为 代入数据联立解得内导体棒的位移为 根据能量守恒定律有 又因为 联立解得内导体棒产生的焦耳热为 6．（25-26高二上·湖北武汉·期末）比亚迪官方2024年3月公开一份名为《一种可变磁通量永磁同步电机》的专利，其核心思想在于通过精确控制输入电压和磁通量从而改善电机的工作效率，现将其原理简化成如图所示电路。两根足够长的平行长直金属导轨水平放置，一金属棒ab静止放置于金属导轨上且与金属导轨接触良好；E为可调电源，按图示方式接在导轨的左侧；金属导轨对金属棒的阻力恒为。时刻打开可调电源，使其输出电压为，此时金属棒ab从静止开始加速，在时刻前金属棒就已经达到了最大速度。已知导轨间距为，时间内，导轨间的磁感应强度为，金属棒在导轨间的电阻为，其余部分电阻忽略不计。求： (1)时，通过金属棒的电流； (2)金属棒ab的最大速度； (3)若在时刻后，计算机将磁场调节成，同时计算机会调节电源的输出电压U以保持金属棒继续以做匀速运动。不考虑因磁场变化瞬间形成的感应电动势。求：磁场变化前与变化后电源的输出功率和的比值。（结果可用分式表示） 【答案】(1) (2) (3)（或1.039） 【详解】（1）在时刻前金属棒就已经达到了最大速度，则金属棒做匀速运动有， 解得 （2）当达到最大速度时，金属棒两端的反电动势 根据闭合电路的欧姆定律 代入数据解得 （3）由（1）（2）可知，当磁场增大为后，由于金属棒继续以做匀速运动，则金属棒受力情况不变，依然有， 可得 同时 其中 解得 则（或1.039） 7．（25-26高二上·江苏南京·期末）固定在水平桌面上的平行光滑金属导轨如图甲所示，导轨间距L=1m，左端与R=4Ω的电阻相连，导轨间有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，导体棒ab垂直放在导轨上。现给导体棒施加一水平向右的恒力F，测得导体棒速度随时间变化的图像如图乙所示。已知导体棒质量m=0.5kg，有效阻值r=1Ω，磁场磁感应强度B=2T，其它电阻不计。 (1)求t=1s时导体棒加速度的大小； (2)若导体棒开始运动后1s内通过的位移x=7m，求该时间内电阻R上产生的热量。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图乙可知导体棒的最大速度为，当导体棒的速度最大时，加速度为零，此时外力水平向右的恒力F等于导体棒受到的安培力，则有 其中 联立解得 由图乙可知，在t=1s时导体棒的速度为 则电流为 则安培力为 对导体棒，根据牛顿第二定律有 解得 （2）设导体棒开始运动后1s内安培力做功为，根据动能定理有 代入数据解得 故整个电路产生的焦耳热为 根据焦耳热公式 可得该时间内电阻R上产生的热量为 8．（24-25高二下·河北邯郸·期末）如图所示，MN和PQ为两根间距不等的光滑金属导轨，水平放置在竖直向下的匀强磁场中。导轨M、P端间接阻值的电阻和电流表，N、Q端间接阻值为的电阻。质量的金属棒放在导轨上以的初速度从处向右滑到处所用时间为。处导轨间距，处导轨间距。若金属棒滑动时电流表的读数始终保持不变，不计金属棒和导轨的电阻。求： (1)金属棒在处的速度； (2)电阻上产生的热量； (3)电流表上的读数； (4)匀强磁场的磁感应强度。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）设金属棒在处的速度为，因金属棒滑动时电流表的读数始终保持不变，金属棒产生的感应电动势不变，则有 解得 （2）不计金属棒和导轨的电阻，则电阻、两端的电压等于金属棒产生的感应电动势，电阻、产生的热量分别为， 则 根据能量守恒有 解得 （3）电阻上产生的热量 得 （4）由电阻两端的电压等于金属棒产生的感应电动势可知 则 9．（24-25高二下·山东滨州·期末）如图两段水平放置的平行光滑金属导轨的间距均为，左端之间连接电动势为、内阻为的电源，右端之间连接阻值为的电阻，两段导轨中间处通过一小段绝缘光滑轨道平滑连接。空间存在垂直导轨平面竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为，质量为、电阻为、长为的金属棒静止在导轨上。闭合开关，金属棒在安培力的作用下开始运动，在到达之前已经达到最大速度。导轨电阻不计，金属棒与导轨垂直且接触良好，右侧的导轨足够长。求： (1)金属棒到达时的速度大小； (2)金属棒在左侧从静止到最大速度过程中产生的焦耳热； (3)金属棒在右侧运动的最远距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）金属棒到达前做加速度逐渐减小的加速运动，当电源和金属棒组成的回路中电流为0时金属棒的速度达到最大，由法拉第电磁感应定律得 则金属棒到达时的速度大小为 （2）金属棒在左侧运动过程中，根据动量定理有 根据电流定义式有 则金属棒在左侧从静止到最大速度过程中产生的焦耳热为 解得 金属棒在左侧从静止到最大速度过程中产生的焦耳热为 （3）金属棒在右侧运动，由法拉第电磁感应定律得 由动量定理得 解得最远距离为 10．（25-26高二上·四川眉山·期末）如图甲所示，间距为的平行金属导轨由水平部分和倾斜部分连接而成，导轨光滑且电阻不计。水平部分接有面积为、电阻为的单匝线圈，线圈水平放置且处在方向竖直向下的磁场中，磁感应强度随时间变化的情况如图乙所示。倾斜部分足够长，其cd间接一阻值为的电阻，倾角，处在垂直导轨平面向上的匀强磁场中，其磁感应强度大小未知。将质量为的导体棒MN垂直倾斜导轨放置，0~2s内导体棒MN恰好处于静止状态。已知导体棒MN接入电路的电阻为，，，g取。 (1)求0~2s内ab间的电压； (2)求磁感应强度的大小； (3)导体棒MN从开始运动到速度最大的过程中，在电阻上产生的热量，求此过程中流过导体棒MN的电荷量q。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律 外电路为与并联 ab 间电压为路端电压，其中 解得 （2）0~2s 内导体棒静止，根据受力平衡条件 根据欧姆定律 解得 （3）导体棒达到最大速度时 安培力 因，与并联，电流、电阻均相同所以 与电阻相同，通过的电流为通过电流的2倍，所以产生的热量为的4倍，即 整体电路产生的总热量 设导体棒达到最大速度时，下滑距离为，根据能量关系 解得 流过导体棒MN的电荷量 解得 11．（24-25高二下·江苏淮安·期末）如图所示，两光滑长直平行导轨间距，与水平面间成角，其上端的单刀双掷开关可与定值电阻、电容器（初始时不带电）相连，空间存在着方向垂直于导轨平面向上、磁感应强度的匀强磁场（图中未画出）。开关先与1相接，质量金属棒在处由静止释放，经时间沿导轨向下运动到达处，已知定值电阻的阻值，重力加速度取，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，其余电阻不计。求： (1)棒释放时的加速度大小； (2)棒运动至时的速度大小； (3)若棒运动至处时，迅速将改接到2上，同时对棒施加一方向垂直于棒、且沿导轨平面向上的恒力，使其沿导轨向下运动至最远处，已知电容器的电容，求与间的距离。 【答案】(1) (2)v=2m/s (3) 【详解】（1）棒刚释放时，棒只受重力和支持力作用，根据牛顿第二定律有 解得 （2）对于金属棒，根据动量定理有 根据法拉第电磁感应定律有，感应电动势 磁通量 开关打到1时，感应电流 由电流的定义有电荷量 联立上式解得 代入数据解得v=2m/s （3）由法拉第电磁感应定律得 根据电容定义有，电荷量 则电路中电流为 电动势的变化 根据牛顿第二定律有 联立解得 代入数据解得 棒沿导轨向下做匀减速直线运动，可得 代入数据解得 12．（25-26高二上·河北保定·期末）如图所示，固定于水平面内的光滑金属导轨由与x轴重合的直线导轨1和方程为的曲线导轨2组成，导轨处于垂直于纸面向外、磁感应强度大小的匀强磁场中。足够长、质量的导体棒初始时与y轴重合，0时刻导体棒在平行于x轴正方向的水平拉力作用下由静止开始做加速度大小的匀加速直线运动，运动时导体棒与y轴始终平行。已知导体棒的电阻率、横截面积，导体棒与导轨始终接触良好，导轨电阻不计。求： (1)导体棒运动至处时通过导体棒的电流； (2)内通过导体棒的电荷量q； (3)水平拉力对导体棒做的功W与导体棒的位移大小x间的关系式。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）导体棒做初速度为0的匀加速直线运动，则有 此时导体棒切割磁场的有效长度 导体棒中的感应电动势 导体棒接入电路的电阻 通过导体棒的电流 解得 （2）t时刻导体棒的速度大小 导体棒的位移大小 导体棒切割磁场的有效长度 导体棒中的感应电动势 导体棒接入电路的电阻 通过导体棒的电流 解得 即通过导体棒的电流随时间均匀增大，因此内通过导体棒的电荷量 其中， 解得 （3）t时刻导体棒受到的安培力大小 其中， 由于导体棒的位移大小 则有 结合上述解得 对导体棒进行受力分析有 整理可得 即水平拉力随位移均匀增大导体棒从开始运动至位移大小为x的过程中水平拉力做的功 其中 解得 地 城 考点02 等宽双棒模型 一、多选题 1．（24-25高二下·广东广州·期末）如图甲所示，水平面内有两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨固定且间距为L。空间中存在磁感应强度方向竖直向下、大小为B的匀强磁场，两根材料相同、横截面积不同、长度均为L的金属棒ab、cd分别静置在导轨上。现使ab棒获得水平向右的瞬时速度，ab棒的速度随时间变化的关系如图乙所示。cd棒的质量为m，电阻为R，两金属棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻可忽略不计，下列说法正确的是（　　） A．ab棒和cd棒组成的系统动量守恒 B．ab棒的电阻为2R C．时间内，cd棒产生的热量为 D．时间内，通过cd棒任一横截面的电荷量为 【答案】ABD 【详解】A．根据左手定则可知，两金属棒所受安培力大小相等，方向相反，对两金属棒构成的系统，所受外力合力为0，则ab棒和cd棒组成的系统动量守恒，故A正确； D．根据图像可知，当两金属棒速度相等时，根据动量守恒定律有 解得 对cd棒进行分析，根据动量定理有 结合上述解得，故D正确； B．金属棒ab、cd材料相同、横截面积不同、长度均为L，则有， 两材料密度相同，则有 解得，故B正确； C．时间内，根据能量守恒定律有 cd棒产生的热量 解得，故C错误。 故选ABD。 2．（24-25高二下·广西南宁·期末）近年来，我国高速铁路迅速发展，已成为国家新名片。高铁动车组在制动过程中采用“再生制动”方式，将列车的动能转化为可再生利用的能量，有效降低能耗。一种再生利用的方式是将列车甲制动产生的电能，提供给同一电网下处于启动状态的列车乙。此过程可简化为如图所示的模型：固定在水平地面上的足够长的平行金属导轨，处于竖直方向的匀强磁场中；甲、乙是两根相同的金属棒，放在导轨上，与导轨良好接触，且始终与导轨保持垂直。已知磁场的磁感应强度大小为，导体棒质量均为，电阻均为，长度与导轨间距相等，均为；导体棒甲、乙在导轨上运动时，受到的摩擦阻力大小均为；时，导体棒甲的速度大小为，方向向左，导体棒乙的速度为0。已知导体棒甲经过位移，速度从减到时，乙不能再加速，此时再生制动结束。不计导轨的电阻。则以下说法正确的是（　　） A．时刻，导体棒乙获得的加速度大小为 B．在制动过程中，导体棒中的电流与两导体棒的速度差的关系为 C．再生制动结束时，乙的位移为 D．再生制动结束时，设导体棒甲乙相对位移为，则全过程摩擦阻力做功产生的热量 【答案】BC 【详解】A．时刻，导体棒甲产生的感应电动势为 回路的电流为 导体棒乙受到的安培力力为 根据牛顿第二定律可得导体棒乙获得的加速度大小为 故A错误； B．若两导体棒的速度差为，则回路电动势为 导体棒中的电流为，故B正确； C．设再生制动结束时导体棒乙的速度为，此时导体棒乙受到的安培力等于阻力，则有 设从时刻到再生制动结束时经历的时间为，对甲导体棒，由动量定理得 对乙导体棒，由动量定理得 其中 联立解得乙的位移为，故C正确； D．再生制动结束时，全过程摩擦阻力做功产生的热量为，故D错误。 故选BC。 3．（25-26高二上·河南南阳·期末）如图，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面上，导轨间距为，其间存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。两根长度相同的金属棒a、b垂直于导轨放置，金属棒的质量为，其接入电路的电阻分别为、。初始时刻金属棒a、b间距离足够大，同时给两金属棒方向相反、大小分别为、的初速度，两金属棒相向运动。两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻。下列说法正确的是（　　） A．初始时刻金属棒b的加速度大小为 B．整个运动过程中通过金属棒a的电荷量为4C C．整个运动过程中金属棒a产生的焦耳热为12J D．为使两金属棒不相碰，则初始距离最小为16m 【答案】BD 【详解】A．初始时刻，回路中感应电动势为 回路中的电流为 对金属棒b，由牛顿第二定律有 解得，故A项错误； B．对整体，由动量守恒有 解得 对金属棒a，有， 解得，故B项正确； C．最终两棒以共同的速度向左匀速运动，有 整个过程中金属棒a产生的热量 解得，故C项错误； D．设整个过程有， 由电磁感应定律有， 整理有，故D项正确。 故选BD。 二、解答题 4．（24-25高二下·江苏镇江·期末）如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为。导轨上面横放着两根距离为的导体棒和。导体棒的质量为，两棒电阻皆为，其余部分的电阻不计。在整个导轨平面内都有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度随时间的关系如图所示。两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时，将两棒锁定。 (1)求在时刻，棒受到的安培力大小； (2)在的某个时刻，只解除棒的锁定，并使棒以初速度向右运动。求棒上产生的焦耳热； (3)在的某个时刻，解除两根棒的锁定，使棒以初速度向右运动的同时使棒以初速度向左运动，发现两根棒刚好同时停止运动。求棒的质量以及棒运动到速度为零时发生的位移。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）由图可知：在时刻，， 在时刻，回路的电动势 电流强度 棒受到的安培力 解得 （2）最终棒停下，根据能量守恒，则回路产生的热量 导体棒cd产生的热量 （3）两根棒受到的安培力大小相等，方向相反。在任意一段时间内，两根棒在各自运动方向上的动量减小量相同。所以有 所以 在的任一时刻，两根棒的相对速度为，对棒，由动量定理可得 两边求和得到，两根棒的相对运动位移 由于与棒的瞬时速度大小之比始终为，所以 5．（24-25高二下·安徽六安·期末）如图所示，左侧有一半径为的水平金属圆盘绕竖直中心轴匀速转动，角速度大小。圆盘所在空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小。右侧有两根足够长的光滑平行金属导轨固定在水平面内，间距d=1m，中间部分导轨非常短且光滑绝缘。导轨所在空间存在另一竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小。两根质量均为m=0.2kg、长度均为d=1m、阻值均为的导体棒M、N静止垂直放置在导轨上，导体棒M到导轨处的距离足够长，导体棒N到导轨处的距离。从圆盘中心和圆盘边缘用电刷引出两根导线分别接在两根导轨上，闭合开关，导体棒M会沿金属导轨向右运动，达到最大速度后，再通过导轨，之后与导体棒N发生弹性正碰，碰撞时间极短，不计金属圆盘和导轨的电阻，求： (1)闭合开关瞬间，导体棒M的加速度大小； (2)从闭合开关到导体棒M达到最大速度的过程中，通过导体棒M的电荷量； (3)最终稳定后，M、N两导体棒之间的距离。 【答案】(1) (2)2C (3)0.6m 【详解】（1）圆盘匀速转动过程中，圆盘中心与边缘的电势差为 解得 闭合开关，圆盘与导体棒M形成闭合回路，回路中的电流大小为 导体棒M受到的安培力为 解得F=20N 所以闭合开关瞬间，导体棒M的加速度大小为。 （2）当导体棒M加速度为0时，速度最大；此时导体棒M受到的安培力大小为0，即回路中的电流为0；设此时导体棒M的速度为v0，则此时导体棒M切割磁感线产生的电动势大小为 且满足 从闭合开关S到导体棒M达到最大速度的过程中，由动量定理可知 解得通过导体棒M的电荷量。 （3）导体棒M通过导轨后到与导体棒N发生碰撞前，回路中的电动势大小为 回路中的电流 设微元时间内，对导体棒M，有 对导体棒N，有 整理得， 对导体棒M通过导轨后到与导体棒N发生碰撞前的过程累计求和有 所以， 解得， 两导体棒发生弹性正碰，根据动量守恒，有 机械能守恒，有 解得， 碰撞后两导体棒组成的系统动量守恒，最终稳定时，两导体棒共速，有 解得 该过程中对导体棒N，由动量定理，有 解得 所以最终稳定后M、N两导体棒之间的距离为0.6m。 6．（24-25高二下·山东菏泽·期末）如图所示，光滑平行导轨ADPC和MFNE处在磁感应强度为且与轨道平面垂直的匀强磁场中，导轨间距为，其中D点和M点，C点和N点利用光滑绝缘材料平滑连结，现有质量均为，电阻均为的导体棒，a棒固定在导轨AP处，b棒紧靠a棒但不接触。 (1)如图甲所示，b棒以初速度向右运动，若在到达CD之前速度减为零，求b棒的位移大小？ (2)在甲图中，给b棒以较大初速度开始运动，当b棒经过MN处速度为，如果b棒和c棒不相碰，求c棒与MN两点间的最小距离； (3)如图乙所示，若以P点为坐标原点建立直线坐标系，把两棒中点用长为的绝缘轻杆连结成“工字型”框架，如果磁场随按照变化（，且为常数），当初速度也是，且在到达CD之前速度减为零时，求框架的运动位移大小？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对b棒分析，安培力作用下b棒做加速度逐渐减小的减速运动，由动量定理可得 其中 联立以上各式得 两边求和得 （2）由题意可知，cd两棒的运动情况完全相同，bcd三棒组成的系统在水平方向动量守恒，并且当三者共速时，bc距离最近，由动量守恒定律 三个棒均运动时，电路中的总感应电动势为， 又因为 对应用动量定理得 联立得 两边求和得 （3）当ab棒一起运动时 总电动势为 ab两棒安培力方向相反，则 故 对ab棒整体分析，有动量定理得 即 两边求和得 故 7．（24-25高二下·云南临沧·期末）如图所示，间距为的平行光滑导轨固定在绝缘水平面上，有部分导轨处在垂直于导轨平面的有界匀强磁场中，磁场的边界线与导轨垂直，磁场的宽度为，质量均为的金属棒、垂直导轨放置，用长为的绝缘轻杆连接、，构成一个工字形框架。给工字形框架一水平向右、大小为的初速度，并且当棒进入磁场时对工字形框架施加一水平恒力，使得工字形框架保持匀速运动，当棒进入磁场后撤去力。金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，、棒接入电路的电阻均为，不计导轨的电阻。求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)工字形框架进入磁场的过程中，棒的电功率； (3)要保证工字形框架穿过磁场的右边界，工字形框架的动能必须满足的条件。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）工字形框架匀速进入磁场的过程中，棒切割磁感线产生的感应电动势 根据闭合回路欧姆定律可知，回路中的电流 棒受到的安培力 根据受力平衡有 解得 （2）工字形框架进入磁场的过程中，棒的电功率 解得 （3）由（1）知 设工字形框架恰好通过磁场右边界，以水平向右为正方向，工字形框架出磁场的过程，根据动量定理有 其中 又，， 联立可得 则工字形框架的动能 8．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）如图所示，两根平行光滑导轨竖直固定，上方用阻值的定值电阻连接在一起，下方有两水平分界面、，、之间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度T，用外力使粗细均匀的水平导体棒、静止在导轨上。现撤去外力，、棒同时开始沿导轨由静止滑下，恰好都能匀速穿过磁场区域，当棒离开磁场时棒刚好进入磁场。已知导体棒的质量g、电阻，导体棒的质量g、电阻，重力加速度取m/s2，两导体棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，忽略空气阻力和电磁辐射。 (1)求导体棒、在磁场中运动时的速度大小之比； (2)若、之间相距，求导轨之间的距离L和到导体棒离开磁场时回路产生的总热量。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）对导体棒a，在磁场中做匀速运动，有 设导体棒a在磁场中运动时棒中的电流为，速度为，电动势为，总电阻为，根据欧姆定律有 总电阻为 根据法拉第电磁感应定律有 对导体棒b，在磁场中做匀速运动，有 设导体棒b在磁场中运动时棒中的电流为，速度为，电动势为，总电阻为，有，， 联立以上各式，代入数据得 （2）设导体棒a做自由落体的时间为、做匀速运动的时间为，导体棒b做自由落体的时间为，做匀速运动的时间为，由运动学规律，有，，，， 联立以上各式，代入数据得，， 根据焦耳定律有 解得 9．（24-25高二下·江西·期末）如图所示，一间距的光滑平行倾斜金属导轨倾角，轨道上端连接一个电容的电容器，轨道下端通过一小段绝缘光滑圆弧与间距也为L的水平光滑足够长的金属导轨相切连接在一起，整个装置处于垂直导轨平面向上、磁感应强度大小均为的匀强磁场中，a棒的电阻不计，b棒的电阻，a、b棒的长度均为L，b棒通过绝缘细绳跨过固定光滑轻质定滑轮与一小物块相连，细绳与水平导轨平行，a、b棒及物块的质量均为，在外力控制下b棒和物块处于静止状态。a棒从斜轨上由静止释放，a棒运动的同时释放b棒和物块，经过，a棒到达斜轨末端，速度大小无损失滑上水平导轨，经过，a、b棒的加速度相同。导轨电阻不考虑，忽略电磁波辐射和空气阻力，b棒始终与导轨垂直，且不与滑轮相碰，取重力加速度大小，。求： (1)棒到达斜轨末端的速度大小和电容器上最终储存的电势能； (2)棒刚滑上水平导轨时a、b两棒的加速度大小； (3)从a棒滑上水平导轨到a、b两棒加速度相同，通过b棒的电荷量q。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）a棒沿倾斜导轨下滑的过程，对电容器充电；对a棒，根据牛顿第二定律有 根据，，，，联立解得 a棒做匀加速直线运动，时刻a棒的速度， 位移 对a棒和电容器，根据能量守恒定律有 解得 （2）以b棒和物块为研究对象，设其加速度为，根据牛顿第二定律有 解得 时刻b棒的速度 此时回路的电动势 此时电流 对a棒，由牛顿第二定律有 解得 对b棒和物块，由牛顿第二定律有 解得 （3）设两棒加速度相同时a、b棒的速度分别为和，回路中的电动势 由闭合电路欧姆定律得 安培力 由两棒加速度相同得 解得 对a棒利用动量定理有 则 对b棒和物块利用动量定理有 则 联立解得 10．（24-25高二下·湖北·期末）如图所示，间距为的倾斜平行光滑金属导轨与水平面的夹角为，有一匀强磁场垂直于斜面向上，磁感应强度大小为，倾斜轨道完全处在该磁场中，轨道上端连接一定值电阻。间距为的水平平行光滑金属导轨与足够长，导轨的水平部分和倾斜部分由光滑绝缘微小圆弧平滑连接，矩形区域完全处在竖直向上的另一匀强磁场中，磁感应强度大小为，该区域边长为。的右边静置一根质量为的金属棒，金属棒右侧还有足够多相同的塑料棒，塑料棒质量均为，从右向左编号1，2，3…n。最初开关闭合，现将质量为的细金属棒从离水平面足够高处静止释放，运动到倾斜轨道底端时断开开关。已知两金属棒的电阻值均为，重力加速度取，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计，所有棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。求： (1)金属棒运动到倾斜轨道底端时已经达到稳定，求此时该棒速度的大小； (2)求金属棒第一次跨过的速度的大小； (3)所有碰撞均为弹性碰撞，求最终运动的塑料棒最大序号，其速度的大小为多少？（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可） 【答案】(1)21m/s (2)20m/s (3)， 【详解】（1）稳定时金属棒a产生动生电动势 由闭合电路欧姆定律，通过金属棒a的电流 根据平衡条件有 解得 （2）金属棒a穿越水平导轨磁场区域产生的感应电动势的平均值 感应电流的平均值 根据动量定理有 则有 解得 （3）金属棒a和金属棒b发生弹性碰撞，则有， 解得， 后面金属棒b和塑料棒依次发生弹性碰撞，则有， 解得， 速度发生交换，同理金属棒a和金属棒b第二次碰撞前 碰撞后， 第三次碰撞前有 碰撞后有， 由于 故塑料棒最大序号i=3， 11．（24-25高二下·安徽合肥·期末）如图，两根足够长的固定光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为L，两导轨及其所构成的平面均与水平面成θ=30°角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现将质量均为m的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，已知L=1m，B=2T，m=0.4kg，R=2Ω，重力加速度为g=10m/s2。 (1)先保持棒b静止，将棒a由静止释放，求棒a匀速运动时的速度大小v； (2)在（1）问中，当棒a匀速运动时，再将棒b由静止释放，说明此后棒的运动性质（速度、加速度变化情况）；并求解经足够长时间后棒的加速度； (3)仍保持棒b静止，将棒a由静止释放，若棒a经过t=1s后匀速运动，求棒a此过程中产生的热量Q。 【答案】(1)2m/s (2)5m/s2 (3)0.8J 【详解】（1）棒a匀速时，产生的感应电动势为 感应电流为 根据平衡条件有 代入题中数据，解得 （2）由楞次定律及左手定则可知，释放b棒后，b棒所受安培力方向沿导轨平面向下，做加速度减小的加速运动；a棒做加速度增大的加速运动。经足够长时间后，棒a、b加速度相等，对棒a、b整体有 故棒a、b加速度均为 （3）对a棒，从开始运动到匀速的过程中，设沿斜面向下为正，由动量定理，有 又有，， 整理可得 代入数据解得 由能量守恒定律有 解得 地 城 考点03 不等宽双棒模型 一、多选题 1．（24-25高二下·湖南郴州·期末）如图所示，两段足够长的光滑平行金属导轨水平放置，导轨左右两部分的间距分别为L、；空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，质量分别为m、的导体杆a、b均垂直导轨放置，接入电路的电阻分别为R、，导轨电阻忽略不计；a、b两杆同时分别以的初速度向右运动，a总在左边窄导轨上运动，b总在右边宽导轨上运动，从开始运动到两杆稳定的过程中，下列说法正确的是（　　） A．a杆安培力方向与b杆安培力方向相反 B．a杆加速度与b杆加速度大小相等 C．电路中a杆上产生的焦耳热为 D．稳定时a杆和b杆的速度相等，即为 【答案】ABC 【详解】AB．a杆、b杆和金属轨道组成闭合回路，感应电流大小相等，根据牛顿第二定律有， 可知，加速度大小相等，根据右手定则可知，从上往下看，感应电流方向沿顺时针方向，根据左手定则可知，a受到的安培力方向向右，b受到的安培力方向向左，安培力方向相反，故AB正确； CD．稳定时，感应电流为0，回路总的感应电动势为0，则有 对a杆，根据动量定理有 对b杆，根据动量定理有 解得， 回路产生的总的焦耳热 电路中a杆上产生的焦耳热 解得，故C正确，D错误。 故选ABC。 2．（25-26高二上·山东泰安·期末）如图所示，足够长的光滑水平金属导轨置于竖直方向的匀强磁场中，磁感应强度为，左侧导轨宽度为右侧导轨宽度的2倍为。电阻相等的两导体棒a、b垂直静置于导轨上，质量分别为m和2m。现使两导体棒分别获得相反的初速度，在以后的运动过程中（　　） A．稳定时a、b棒最终停止运动 B．稳定时a棒以的速度向左运动、b棒以的速度向左运动 C．通过a棒的电量为 D．通过a棒的电量为 【答案】AC 【详解】A B．a、b棒中电流大小相等，左侧导轨宽度为右侧导轨宽度的2倍，则b棒受到的安培力为a棒受到的安培力的2倍，即合外力为2倍，而b棒质量也为2倍，则加速度相等，故同时减速到0，然后均保持静止，故A正确, B错误； CD．设运动时间为，a棒中的平均电流为，根据电流的定义得 以a棒为研究对象，由动量定理可得 联立解得，故C正确, D错误； 故选AC。 3．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）如图所示，间距为2m的平行光滑金属导轨、和间距为1m的平行光滑金属导轨、固定在绝缘水平面上，、、、四个点在同一直线上，、之间连接一电容为0.1F的电容器（耐压值足够大），质量均为0.6kg、长度均为2m的金属棒和分别静止在左右导轨上，整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度大小为1T的匀强磁场中。现给棒施加一水平向右的恒力，经过2s的时间到达、处，此时立即撤去，金属棒平滑进入导轨、上。已知金属棒接入电路的电阻为1，其余电阻均不计，整个运动过程中两金属棒未发生碰撞且始终与导轨垂直并接触良好，导轨、足够长。下列说法正确的是（　　） A．金属棒到达、处的速度大小为4m/s B．整个运动过程通过金属棒的电荷量为1.2C C．整个运动过程金属棒产生的焦耳热为2.4J D．金属棒在导轨、上做变速运动的位移大小为1.2m 【答案】ABC 【详解】A．设金属棒在左导轨上运动时某时刻的速度为，则金属棒切割磁感线产生的电动势为 经过速度变为，则 此时感应电动势为 时间内流入电容器的电荷量为 电路中电流 所以金属棒受到的安培力为 对金属棒列牛顿第二定律方程有 解得加速度 代入数据解得 所以金属棒以的加速度做匀加速直线运动。设金属棒ab到达、处速度为，则有，故A正确； B．金属棒ab进入导轨、后在安培力的作用下减速运动，金属棒cd在安培力的作用下加速运动，两金属棒组成的系统动量守恒，设最终速度为v，对两金属棒组成的系统列动量守恒方程有 解得 对金属棒cd列动量定理方程有 可得通过金属棒的电荷量为 代入数据解得，故B正确； C．整个过程中减少的动能全部转化为焦耳热，即整个运动过程金属棒产生的焦耳热为，故C正确； D．设金属棒ab在导轨、上减速运动相对于cd棒的位移为x，则通过金属棒的电荷量 代入数据解得 所以金属棒ab在导轨、上做变速运动的位移大于1.2m，故D错误。 故选ABC。 4．（25-26高二上·辽宁大连·期末）如图所示，足够长的水平轨道左侧部分轨道间距为，右侧部分的轨道间距为，曲线轨道与水平轨道相切于，所有轨道均光滑且电阻不计。在水平轨道内有斜向下与竖直方向成的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为的金属棒垂直于导轨静止放置在右侧窄轨道上，质量为的金属棒自曲线轨道上距水平轨道高为的处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与轨道保持良好接触，金属棒在宽轨道上运动稳定很长一段时间后进入窄轨道上运动，金属棒总在窄轨道上运动。已知：金属棒在宽轨道上运动时，两金属棒接入电路的有效电阻均为，，，，，。则（　　） A．金属棒在宽轨道上稳定运动的速度大小 B．金属棒在宽轨道上运动过程中，通过金属棒某截面的电荷量 C．金属棒在宽轨道上运动过程中，金属棒、在水平轨道间扫过的面积之差是 D．金属棒最终速度大小为 【答案】BD 【详解】A．金属棒A在曲线轨道上下滑，设刚进入磁场时的速度大小为，由机械能守恒定律得： 解得：v0=2m/s 选取水平向右为正方向，对A、B分别利用动量定理可得： 对B： 对A： 根据F安=BIL可知 FA安=2FB安 联立得： 两棒最后匀速时，电路中无电流：有 得： 联立后两式得金属棒B匀速运动的速度 金属棒在宽轨道上稳定运动的速度大小，故A错误； B．对B由动量定理：其中 F安B=BIL，q=It 可得金属棒在宽轨道上运动过程中，通过金属棒某截面的电荷量，故B正确； C．据法拉第电磁感应定律有： 其中磁通量变化量： 电路中的电流： 通过截面的电荷量： 得，故C错误； D．金属棒和金属棒在窄轨道上运动时系统动量守恒，设两棒最后一起匀速的速度大小为，则 解得 故D正确。 故选BD。 二、解答题 5．（24-25高二下·贵州黔南·期末）某研究性学习小组学习了电磁感应的相关知识后，在绝缘水平桌面上设计了如图所示的电路来探究导体棒的运动。电路左端为匝、面积的线圈，里面均匀分布着匀强磁场，磁感应强度变化率；线圈两端A、B与光滑金属轨道Ⅰ连接，P为将金属轨道分离的一小段光滑绝缘材料；轨道Ⅰ右侧连接着光滑的金属轨道Ⅱ，两轨道内分布着磁感应强度的匀强磁场；a、b两导体棒质量均为，导体棒b静止于轨道Ⅱ上。导体棒a从轨道Ⅰ上P的左侧无初速度释放，导体棒a运动到P前达到匀速，过P后运动到轨道的CD点前重新达到稳定状态。电阻为的导体棒a的长度与轨道Ⅰ的宽度相同均为0.2m，电阻为的导体棒b的长度与轨道Ⅱ的宽度相同均为0.4m。轨道、线圈均固定且电阻均忽略不计。（“·”表示磁场方向垂直纸面向外，“×”表示磁场方向垂直纸面向里） (1)导体棒a在轨道上释放瞬间的加速度； (2)导体棒a运动到P前匀速的速度大小； (3)导体棒b从开始运动到稳定状态过程中，导体棒b产生的热量。 【答案】(1)，方向水平向右 (2) (3) 【详解】（1）线圈产生的感应电动势 代入数据解得 通过导体棒的电流为 则导体棒受到的安培力为 导体棒a在光滑轨道上释放瞬间的加速度为 由楞次定律可知加速度方向水平向右。 （2）当导体棒运动稳定时，电路中无感应电流产生，总电动势为零，故有 且 代入数据解得导体棒a到P前匀速运动的速度 （3）两导体棒稳定状态时总电动势为零，有 由动量定理分析，对导体棒有 对导体棒有 由以上各式解得， 从导体棒开始运动到稳定状态的过程中，电路中产生的热量为 导体棒产生的热量为 由以上各式解得 6．（24-25高二下·重庆·期末）如图所示，同一平面内两组宽度分别为、的足够长光滑导体轨道倾斜固定，倾角为，两轨道间连有定值电阻R=2Ω，其余部分电阻不计。金属杆a、b水平放置并与轨道垂直且接触良好，其中金属杆b通过平行于导轨的轻绳系在固定的拉力传感器上。整个装置处于磁感应强度大小为B=1T、方向垂直轨道平面向上的匀强磁场中，现将金属杆a由静止释放。已知金属杆a、b的质量分别为和，重力加速为。 (1)当金属杆a的速度为时（未达到匀速状态），求拉力传感器的示数； (2)若金属杆a从释放到恰好达到匀速直线运动的过程中定值电阻R上产生的焦耳热为Q=13.6J，求该过程杆沿轨道下滑的距离； (3)当金属杆a由静止释放时，若同时剪断轻绳，求最终两杆的速度大小。 【答案】(1)0.5N (2)28.8m (3) 【详解】（1）当金属杆a的速度为时，产生的感应电动势 此时回路的感应电流 对金属棒b进行分析有 解得拉力传感器的示数 （2）金属杆a恰好达到匀速直线运动时有，， 该过程设杆轨道下滑距离为x，根据能量守恒定律有 解得 （3）两棒一起下滑时，由于电流方向相同，所受安培力方向均沿导轨向上，根据牛顿第二定律有， 根据题中所给数据可知 即两棒加速度相等，两棒最终一起达到最大速度，向下做匀速直线运动，则有，， 解得 7．（24-25高二上·广东汕尾·期末）如图所示，和固定在同一水平面内的、足够长的光滑平行金属导轨，段和段间距为，和段间距为；左侧导轨区域的匀强磁场的磁感应强度大小为，右侧导轨区域的匀强磁场的磁感应强度大小为；两根相同的金属杆分别垂直于两侧导轨放置，杆中点用一不可伸长的绝缘细线通过轻质定滑轮与一重物相连，细绳处于伸直状态且与杆垂直。已知杆和重物的质量均为，杆接入电路的电阻分别为和，不计导轨电阻，重力加速度为。 (1)若重物离地面的高度为，时刻无初速度释放重物，同时在杆中点处施加一水平拉力，使杆始终静止；重物落地前某时刻已经匀速，求： ①匀速时回路的电流大小、重物的速度大小； ②从释放重物至落地过程中，回路产生的焦耳热。 (2)若重物离地面的高度为，时刻无初速度释放重物，同时在杆中点处施加一水平向右的恒力，重物下落至地面所需时间为，求重物落地瞬间，杆的速度大小。 【答案】(1)①，；② (2) 【详解】（1）①对重物以及杆整体分析 解得 又 联立解得 ②对重物以及杆系统分析，根据能量守恒可知 解得 （2）任意时刻，对与重物整体受力分析有 同一时刻，对受力分析有 已知，解得 根据上式可知，无论重物落地前是否匀速，任意时刻杆的速度大小都是杆的两倍，根据加速度、速度关系可知杆运动的位移一定为杆的2倍，即为； 对杆分析，根据动量定理可知 又 其中， 联立可得 地 城 考点04 典型导线框模型 一、单选题 1．（24-25高二下·湖北宜昌·期末）如图所示，甲、乙是两个完全相同的闭合正方形导线线框，、是边界范围、磁感应强度大小和方向都相同的两个匀强磁场区域，只是区域到地面的高度比高一些。甲、乙线框分别从磁场区域的正上方相同高度处同时由静止释放，穿过磁场后落到地面。下落过程中线框平面始终保持与磁场方向垂直。以下说法正确的是（　　） A．下落过程中甲框产生的焦耳热大 B．下落过程中两框产生的焦耳热一样大 C．落地时甲框的速度比乙框小 D．落地时甲框的速度比乙框大 【答案】D 【详解】AB．区域到地面的高度比高一些，所以乙线框进入磁场时速度较大，安培力较大，线框克服安培力做功较多，即产生的焦耳热较多，AB错误； CD．甲、乙线框由静止释放到落地时重力势能减小量相同，由前面分析知乙框产生的焦耳热多，根据能量守恒定律知，乙线框落地时的动能较小，所以乙线框落地时的速度较小，C错误，D正确。 故选D。 2．（25-26高二上·云南昆明·期末）如图所示，边长L=0.2m的正方形金属线框abcd下方存在一个宽度也为L的匀强磁场区域，磁场边界水平，磁场方向垂直纸面向里。初始时，线框ab边距磁场上边界高度为h。将线框由静止释放，线框ab边进入磁场后立即开始做匀速运动。已知线框的质量为m=0.1kg，电阻为R=0.2Ω，磁感应强度大小B=1T，重力加速度大小g取10m/s2，线框下落过程中ab边始终与磁场边界平行，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．线框ab边刚进入磁场时，线框中的电流方向为adcba B．线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热为0.4J C．线框ab边进入磁场时的速度大小为2m/s D．线框进入磁场的过程中，通过线框横截面的电荷量为0.1C 【答案】B 【详解】A．根据右手定则可知，线框ab边刚进入磁场时，线框中的电流方向为abcda，故A错误； B．线框穿过磁场的过程中，根据能量守恒定律，有，故B正确； C．设线框ab边进入磁场时的速度大小为v1，根据平衡条件，有， 解得，故C错误； D．线框进入磁场的过程中，通过线框横截面的电荷量为，故D错误。 故选B。 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图甲所示的足够长的光滑斜面与水平面成，边界上方的区域内存在垂直斜面方向的磁场，磁感应强度变化规律如图乙所示，时刻磁场方向垂直斜面向上，时间内，单匝正方形闭合金属框在外力作用下静止在斜面上，边与边界的距离为。时刻撤去外力，金属框沿斜面下滑，此后磁感应强度保持不变。已知金属框质量为，边长为，每条边电阻均为，边始终与边界平行，边刚到达边界时的速度大小为，为重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．边刚出边界时，、两点间的电势差为 B．金属框过边界过程的加速度大小一定先减小后不变 C．从时刻到金属框刚好完全离开磁场的过程中，边产生的焦耳热大于 D．从撤去外力到金属框刚好完全离开磁场经历的时间为 【答案】C 【详解】A．CD边刚出磁场时，AB边切割磁感线相当于电源，CD边运动到EF的过程中由动能定理得 解得 所以C、D两点间的电势差为，A错误； B．CD边运动到EF时的速度 AB边刚到达边界EF时的速度大小为，可知线框一定先做减速运动，由可知安培力一定先减小，根据 可知，加速度一定先减小，如果在AB边出磁场前安培力减小到等于mgsin30°，之后线框匀速下滑出磁场，则加速度先减小后不变；如果在AB边出磁场时安培力仍大于mgsin30°，则加速度一直减小，B错误； C．从t＝0时刻到AB边刚好运动到边界EF的过程中，AB边产生的焦耳热分为两部分，第一部分为金属框静止时， 根据法拉第电磁感应定律可得 联立解得 第二部分为金属框运动过程中AB边产生的热量，金属框从CD边刚过边界EF，运动至AB边刚到达边界EF，整个金属框产生的热量为4Q2，令AB边刚到边界EF时的速度大小为v2，根据能量守恒定律得 解得 AB边产生的焦耳热，C正确； D．从撤去外力到金属框刚好完全离开磁场时经历的时间分为两段，第一段为CD边到达边界EF用时t1，此过程为匀加速直线运动，根据牛顿第二定律 运动学公式 解得 第二段为CD边刚经过边界EF到AB边到达边界EF用时t2，设沿斜面向下为正方向，根据动量定理 其中 解得 总时间为 ，D错误； 故选C。 4．（25-26高二上·河南三门峡·期末）如图所示，同一竖直面内的正方形导线框、的质量分别为和。二者的边长均为、电阻均为。它们分别系在一跨过两个定滑轮的绝缘轻绳两端，在两导线框之间有一宽度为、磁感应强度大小为、方向垂直于线框所在平面的匀强磁场区域。开始时，线框的上边与匀强磁场的下边界重合，线框的下边到匀强磁场上边界的距离为。现将线框由静止释放，当线框全部进入磁场时恰好开始做匀速直线运动。不计摩擦和空气阻力，重力加速度为。则下列说法正确的是（　　） A．匀速运动的速度为 B．进入磁场后匀速下降，完全进入磁场后加速下降 C．进入磁场与进入磁场过程中通过两线框导线横截面的电荷量不相等 D．从开始运动到线框全部进入磁场的过程中，线框所产生的焦耳热为 【答案】D 【详解】A．b匀速运动时，研究b受力情况，由平衡条件可得 研究a线框，可得 解得，A错误； B．当线框b全部进入磁场时恰好开始做匀速直线运动，此后线框a进入磁场，同样受向上等大的安培力，则系统仍然做匀速运动，B错误； C．根据，可知，b进入磁场与a进入磁场过程中通过两线框导线横截面的电荷量相等，C错误； D．从线框a开始进入磁场到线框a全部进入磁场的过程中，系统匀速运动，线框b全部在磁场中运动，则不产生焦耳热，则由能量关系可知，线框a所产生的焦耳热为，D正确。 故选D。 二、解答题 5．（24-25高二下·海南·期末）如图所示，光滑绝缘水平面上两条平行线、之间均匀分布着宽度为、磁感应强度大小为垂直纸面向里的匀强磁场区域，匀强磁场之间的间隔也等于（即图中虚线之间的距离均为）。把一个电阻为、质量为、边长为的正方形单匝金属线圈放在之间，线圈的右侧边与第一个磁场区域左侧边界线相距，给线圈一个水平向右大小为的恒定拉力，让线圈从静止开始向右运动。求： (1)线圈右侧边刚进入第一个磁场区域时的加速度大小； (2)线圈能获得的最大速度大小； (3)若从线圈右侧边刚进入第一个磁场区域到线圈边刚进入第六个磁场区域，线圈的速度达到，这个过程中线圈上产生的热量是多少。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设线圈右侧边刚进入第一个磁场区域时的速度为，根据动能定理 代入数据解得 此时线圈中的感应电流 线圈受到的安培力 根据牛顿第二定律可得加速度 （2）设线圈的最大速度为，线圈速度最大时拉力等于安培力 解得 （3）线圈右侧边刚进入第一个磁场区域到线圈边刚进入第六个磁场区域，线圈向右移动了x= 根据能量守恒 解得 6．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）汽车减震器可以有效抑制车辆振动，某电磁阻尼减震器的简化原理图如图所示，匀强磁场的宽度m，磁感应强度大小T，方向竖直向下。一轻质弹簧处于原长，将它水平且垂直于磁场边界放置在光滑水平面上，弹簧右端固定，左端恰与磁场右边界平齐。一宽度m、足够长的10匝闭合矩形硬质金属线框水平固定在一塑料小车上（图中小车未画出），线框右端与小车右端平齐，二者的总质量kg，线框的电阻Ω，使小车带着线框以m/s的速度沿光滑水平面垂直于磁场边界正对弹簧向右运动，边向右穿过磁场右边界后小车开始压缩弹簧，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力。求: (1)线框刚进入磁场左边界时，小车的加速度大小a； (2)小车向右运动，边在磁场中运动的过程中，线框产生的焦耳热Q； (3)小车向右运动过程中弹簧获得的最大弹性势能。 【答案】(1)2.5m/s2 (2)18J (3)32J 【详解】（1）线框刚进入磁场左边界时，根据牛顿第二定律有，， 解得 （2）根据 又，， 设边刚到磁场右边界时的速度大小为，根据动量定理有 联立可得 解得 根据能量守恒定律可得，线框产生的焦耳热 （3）边从磁场右边界出来后压缩弹簧，通过线框的磁通量不变，故线框中不产生感应电流，根据能量守恒定律，可知线框的动能全部转化为弹簧的弹性势能，则弹簧获得的最大弹性势能 解得 7．（24-25高二上·广东佛山·期末）某科技小组利用水平绝缘传送带设计运送工件装置，如图甲所示：待加工的工件固定在边长为的绝缘正方形载物台上，载物台侧面四周均匀缠绕匝总电阻为的闭合线圈，工件、载物台及线圈总质量为。为使工件在特定区域减速并对其进一步加工，在区域内加一个垂直于传送带平面向下、磁感应强度为的匀强磁场，边界与传送带运行方向垂直且；载物台在运动过程中左右两边始终与磁场边界平行，其底面与传送带间的动摩擦因数为，进入磁场区前已和传送带共速，传送带的速度为；载物台右侧线圈在时刻到达边，时刻到达边，该过程的图像如图乙所示，求： (1)载物台完全在磁场中运动时的加速度大小a； (2)在时间内载物台线圈产生的焦耳热Q； (3)时线圈所受安培力大小F以及进入磁场过程中通过线圈的电荷量q。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）载物台完全在磁场中运动过程中，线圈回路的磁通量不变，没有感应电流，根据牛顿第二定律有 解得 方向水平向右。 （2）根据功能关系 又 解得 （3）载物台刚开始进入磁场时，安培力为 又， 联立解得 根据 又， 联立解得 8．（24-25高二下·江苏连云港·期末）如图，在竖直平面内正方形efgh区域有磁感应强度的匀强磁场，ef边与水平方向夹角为，正方形单匝线框abcd质量、电阻、边长，ab边离gh边界距离也为L，cbgf四点共线，让线框自由下落，当dc边刚进入磁场时ad边恰好到达eh边界，重力加速度g取，运动过程中线框面始终与磁场垂直，不计空气阻力。求： (1)线框进入磁场过程中通过其某横截面的电荷量q； (2)ab边刚进入磁场时产生的电动势E； (3)线框进入磁场过程中产生的热量Q。 【答案】(1)0.1C (2)0.1V (3)0.01J 【详解】（1）根据 其中，， 联立解得 代入数据解得 （2）根据几何关系，可得ab边刚进入磁场之前过程的位移 根据自由落体运动有 解得 建立如图坐标系 则有 可得ab边刚进入磁场时产生的电动势 （3）产生的感应电流为 则沿y方向有 所以线框在y方向匀速进入磁场区，电流恒定为1A 运动的时间为 根据公式 代入数据解得 9．（24-25高二下·四川眉山·期末）如图1所示，间距的足够长倾斜导轨倾角，导轨顶端连一电阻，左侧存在一面积的圆形磁场区域B，磁场方向垂直于斜面向下，大小随时间变化如图2所示，右侧存在着方向垂直于斜面向下的恒定磁场，一长为，电阻的金属棒ab与导轨垂直放置，至，金属棒ab恰好能静止在右侧的导轨上，之后金属棒ab开始沿导轨下滑，经过足够长的距离进入，且在进入前速度已经稳定，最后停止在导轨上。已知左侧导轨均光滑，右侧导轨与金属棒间的摩擦因数，取，不计导轨电阻与其他阻力。求： (1)至内流过电阻的电流和金属棒ab的质量； (2)金属棒ab进入时的速度大小； (3)已知棒ab进入后滑行的距离停止，求在此过程中通过电阻R的电荷量和整个回路产生的焦耳热。 【答案】(1)0.3A，0.05kg (2) (3)， 【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律可得至内回路中的感应电动势为 解得 根据闭合电路欧姆定律可得至内流过电阻的电流为 设金属棒的质量为，这段时间内金属棒受力平衡，即 解得 （2）设金属棒进入时的速度大小为，此时回路中的感应电动势为 回路中的电流为 导体棒所受安培力大小为 根据平衡条件可得 解得 （3）设金属棒从进入到最终停下的过程中，有 电流为 电动势为 磁通量变化量为 联立解得 设此过程中整个回路产生的焦耳热为，根据能量守恒定律可得 解得 10．（24-25高二下·广东广州·期末）为了确保载人飞船返回舱安全着陆，设计师在返回舱的底部安装了4台完全相同的电磁缓冲装置，如图（a）所示，图（b）为其中一台电磁缓冲装置的结构简图。舱体沿竖直方向固定着两光滑绝缘导轨MN、PQ，导轨内侧安装电磁铁（图中未画出），能产生垂直于导轨平面的匀强磁场。导轨内的缓冲滑块K内部用绝缘材料填充，外侧绕有n匝闭合矩形线圈abcd，其总电阻为R，ab边长为L。着陆时电磁缓冲装置以速度v0与地面碰撞后，滑块K立即停下，此后在线圈与轨道的磁场作用下使舱体减速，导轨MN、PQ及线圈的ad和bc边足够长，经过减速过程后最终舱体速度减到v，从而实现缓冲。返回舱质量为m（缓冲滑块K质量忽略不计），取重力加速度为g，一切摩擦阻力不计。求： (1)匀强磁场的磁感应强度B的大小； (2)若舱体的速度大小从v0减到v的过程中，每台电磁缓冲装置中产生的焦耳热为Q，求在此过程中舱体下落的高度h。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）缓冲滑块K刚好停止运动时，每个矩形线圈产生的电动势为 回路中的电流为 每个矩形线圈所受安培力为 又 解得 （2）由能量守恒 解得 11．（25-26高二上·河北·期末）电磁制动是通过电磁规律实现制动的技术，具有响应速度快，方便控制，不易磨损等优点，广泛应用于现代各种机械设备中。某学习小组对正方形线框进入磁场的制动特点进行研究。现将模型简化如下：如图所示，两根足够长的、电阻可忽略的平直光滑金属导轨和固定在水平面内，轨道间距为，间接有定值电阻。与平直导轨垂直的虚线与之间的区域存在竖直向下的有界匀强磁场，磁感应强度大小为，磁场宽度为，右侧与左侧的区域为无场区域，宽度为 。金属导轨与平直导轨在和两点用绝缘材料连接（连接点大小不计），为等腰三角形，顶角，其内部的区域存在竖直向下的匀强磁场。左侧附近静止一质量为的导体棒，导体棒与金属导轨所用材料完全相同，单位长度电阻为，导体棒所处位置附近平直导轨上涂有绝缘涂层。现将一质量为、边长为，总电阻为的均匀正方形线框垂直放置在导轨上，其中边与虚线重合。已知、、、、，不计一切摩擦。若线框受力，其形变可忽略不计，线框和导体棒之间的碰撞为弹性碰撞，且碰撞时间极短。现给正方形线框一个向右的初速度。 (1)求正方形线框边刚进入区域时的加速度大小； (2)求正方形线框边刚进入区域时的速度大小； (3)若导体棒恰好运动到点时速度为零，求区域内匀强磁场的磁感应强度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）正方形线框的边刚进入区域时 电路中的总电阻 干路电流 边所受安培力 代入得 （2）设正方形线框向右移动的距离为，当时， 设时，线框的速度为，则 当时， 设时，线框的速度为，则 当时， 设时，线框的速度为，则 其中 整理得 （3）正方形线框完全进入区后做匀速直线运动，设其和导体棒发生弹性碰撞后的速度分别为，则， 代入得 设导体棒向前移动时的有效切割长度为，则， 根据动量定理可知 其中， 代入得 12．（25-26高二上·辽宁·期末）如图所示，在光滑水平桌面上有沿x轴方向分布的交替出现的很多个竖直方向的条形磁场，磁感应强度大小为B，磁场的宽度均为L，在纸面内垂直于x轴方向上磁场的范围足够大。现有一边长为L，质量为m，电阻为R（未知量）粗细均匀的单匝正方形导体线框abcd静止在光滑的水平桌面上，其bc边与第一个磁场的左边界重合。某时刻线框获得一个在水平面内与x轴正方向成60°角斜向上，大小为的初速度。若，试求： (1)线框刚进入第一个磁场的瞬间b、c两点间电势差； (2)线框刚好完全进入第一个磁场时的速度； (3)从开始进入磁场到线框稳定运动这一过程中，线框产生的焦耳热及线框沿x轴方向运动的距离。 【答案】(1) (2) (3)，7L 【详解】（1）将线框刚进入磁场时的速度分解：x方向分速度 y方向分速度 由bc边切割磁场线产生电动势 得 bc两点间电压为路端电压 （2）在x方向对线框从开始到完全进入第一个磁场区域的过程列动量定理 其中， 由以上三式可得 结合题中条件，可得 此时速度 得 （3）线框进入磁场的运动过程中x方向受到安培力作用，y方向合力为零。稳定时x方向速度减小为0，只剩y方向速度。 因此全过程产生焦耳热 得 线框进入第二个及以后磁场区域时，均为两个边切割磁感线，产生电动势为 感应电流为 线框左右两边所受安培力合力为 综合可得 对于线框从完全进入第一个磁场区域到最后稳定的过程列动量定理 将安培力代入可得 解得 所以从开始到稳定，x方向移动的距离为 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $