专题06 平行四边形（期末复习讲义+10重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材北师大版

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06平行四边形（期末复习讲义） 内容导航 明期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记必备知识 梳理核心脉络，扫除知识育区 破•重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01利用平行四边形的性质求解 题型02利用平行四边形的性质求面积问题 题型03利用平行四边形的性质求动点问题 题型04平行四边形中的折叠问题 题型05判断能否构成平行四边形 题型06平行四边形的性质与判定多结论问题 题型07平行四边形中的性质和判定综合问题 题型08平行四边形中的作图 题型09与三角形中位线有关的求解问题 题型10平行四边形与中位线综合问题 过分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期未考情 核心考点 复习目标 考情规律 平行四边形的 掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角 基础必考点，常以选择、填空或简单证明 性质 线互相平分等性质，能熟练运用性质进行证 题出现 明和计算 平行四边形的 理解并掌握从边、角、对角线三个角度的五 高频易错点，容易混淆判定条件，常出现 判定 种判定方法，能根据已知条件选择合适的判 在中档证明题中 定定理 三角形的中位 理解三角形中位线的定义，掌握“平行于第 常与平行四边形结合考查，多见于综合题 线 三边且等于第三边一半”的性质，能解决中 或辅助线构造题，是期末压轴题的重要工 点相关的几何问题 具 1/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 记·必备知识 昼知识点01平行四边形的定义 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。记作“ABCD”。 几何语言： ·,AB∥CD,AD∥BC,.四边形ABCD是平行四边形。 易错点： 1.只记“对边相等”而忽略“平行”是定义的核心。 2.误以为有一组对边平行就是平行四边形（梯形也有一组对边平行）。 尽知识点02平行四边形的性质 性质1：边 文字：平行四边形的对边平行且相等。 几何语言： ·:四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,AD∥BC,且AB=CD,AD=BC。 性质2：角 文字：平行四边形的对角相等，邻角互补。 几何语言： ·:四边形ABCD是平行四边形，.∠A=∠C,∠B=∠D,∠A+∠B=180°。 性质3：对角线 文字：平行四边形的对角线互相平分。 几何语言： ·:四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC,OB=OD(O为对角线交点)。 性质4：对称性 文字：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 示例：在☐ABCD中，∠A=50°，求∠B、∠C、∠D的度数。 ·解：·∠A+∠B=180°，∴∠B-130°：∠C=∠A=50°，∠D-∠B=130°。 易错点： 1.邻角互补记成相等：邻角不是相等，是互补（和为180）。 2/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.对角线互相平分错记成相等：只有矩形对角线相等，一般平行四边形对角线不相等。 3.忽略对边平行这个条件：解题时常忘记用平行线性质（如内错角相等)。 4.符号书写不规范：如“口ABCD”顶点要按顺序写（顺时针或逆时针）。 属知识点03平行四边形的判定 判定1：定义法 文字：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 判定2：边 文字：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：AB=CD且AD=BC→ABCD 判定3：边+角（一组对边平行且相等） 文字：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 几何语言：AB∥CD且AB=CD(或AD∥BC且AD=BC)→ABCD 判定4：角 文字：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∠A=∠C且∠B=∠D→ABCD 判定5：对角线 文字：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 几何语言：OA=OC且OB=OD→ABCD 示例：在四边形ABCD中，AB=CD5,ADBC-8,求证：四边形ABCD是平行四边形。 ·证明：，AB=CD,AD=BC,∴.四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等）。 易错点： 1.判定条件不全：如只用“一组对边相等”就下结论（还需要平行或另一组相等）。 2.混淆判定与性质：性质是已知平行四边形推结论；判定是已知条件证平行四边形。 3.对角线判定：只说“对角线相等”不能判定平行四边形（等腰梯形对角线也相等）。 4.“一组对边平行且相等”误写成“一组对边平行，另一组对边相等”（后者可能是等腰梯形）。 及知识点04平行四边形性质与判定的综合应用 常用思路： ·证边相等→找全等三角形或用平行四边形性质。 3/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·证平行→用同位角内错角相等，或用平行四边形判定反过来推。 ·证对角线互相平分→可得平行四边形。 示例：如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F是AC上的两点，且AE=CF。求证：四边形 BFDE是平行四边形。 ·证法：，□ABCD,.OA=OC,OB=OD。又AE=CF,∴.OA-AE=OC-CF,即OE=OF。∴.OB=OD且 OE=OF,∴，四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分）。 易错点： 1.辅助线错误：构造全等时对应点写错。 2.逻辑顺序颠倒：先用判定，再用性质，不要循环论证。 及知识点05三角形的中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 ·一个三角形有3条中位线。 定理 文字：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 几何语言： :D是B中点，E是AC中点，DB/BC,且D2=克BC, 示例：在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AB=6,BC=8,AC=10,求△DEF的周长。 ·解：由中位线定理，DE= AC-5.EF- 4B=3,DP号BC-4,△DBF周长为5+3+412。 破·重难题型 巴型一 利用平行四边形的性质求解 解|题|技|巧 平行四边形对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分；根据这些性质转移边角条件，构 造全等三角形或利用勾股定理，设未知数列方程求解边长或角度。 【典例1】(25-26八年级上福建福州期末)如图，在ABCD中，DE平分∠ADC,AD=7,BE=2, 则CD的长是 4/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D B 【典例2】(25-26八年级上重庆期末)如图，在口ABCD中，若∠ACB=54°，∠D=40°，AE=AC,则 ∠ECD= 【变式1】(25-26八年级上山东淄博期末)如图，口ABCD的对角线交于点O,且CD=4,若它的对角 线的和是32，则△AOB的周长为 B 【变式2】(25-26八年级上山东淄博期末)如图，在口ABCD中，∠ABC=120°，连接AC,过点D作 DE∥AC,交射线BA于点E,过点E作EF⊥CB延长线于点F.若CD=l,则EF的长为一 A B 巴型二 利用平行四边形的性质求面积问题 解题|技|巧 面积等于底乘高，常用割补法转化为规则图形；利用对角线分面积为四等份，或通过全等、中位线转移 面积，注意等高三角形面积比等于底边比，设未知数列方程求解。 【典例1】(24-25八年级下陕西咸阳期末)如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,直线 MN经过O点，若AB=6,AD=4,∠BAD=60°，则图中阴影部分的面积之和是一· 5/23 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D M B 【典例2】(24-25八年级下·吉林长春期末)E、F为口ABCD边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P, BF、CE相交于点Q,若5m=3cm3S.c=5cm 则阴影部分的面积为 B D 【变式1】(24-25八年级下湖北黄石期末)如图，在口ABCD中，E,F分别是边AB,CD上的点， 加与D5相交于点”，F与C相交于点”，若四边形 PFO 20cm2 的面积 ,则图中阴影部分的面积为 B 【变式2】(25-26九年级上山东济宁·期末)如图，口ABCD中，点E,F分别是BC,CD上一点，连接 1E,DE,连接1F交ED于点P,连接BF分别交M5,DE于点G,H,设△BGE S 的面积为， △PDF 的面积为，四边形CEF的面积为S,若S S1=2,S2=3,S3=18 则阴影部分四边形4GHP 的面 积为 A D F G H B E 6/23 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三利用平行四边形的性质求动点问题 解|题技|巧 利用平行四边形对边平行且相等转移线段长，建立坐标或几何关系：将动点运动转化为代数表达式，利用 时间或速度参数，结合勾股定理或全等，列方程求关键点位置。 【典例1】(25-26八年级上山东潍坊期末)如图，在梯形ABCD中，AD=8,BC=12点P从点A出发， 以每秒1个单位长度的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿 C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动.设点P,Q的运动时间为s,在 此运动过程中当四边形PQCD为平行四边形时，t的值为 【典例2】(24-25八年级下河南信阳期末)如图，在口ABCD中，已知AD=20cm,点P在AD上以 lcm/s的速度从点A向点D运动，点O在CB上以4cm/s的速度从点C出发在CB上往返运动.两点同时 出发，当点Q第一次返园C点时点P也停止运动，设运动时同为(>0).当=一时，四边形 PDCO 是平行四边形 D 【变式1】(24-25八年级下·浙江宁波期末)如图，在四边形ABCD中，BC=20cm,AD=8cm, AD∥BC.点P,卫分别从A,C同时出发，点P以2cm/s的速度沿射线AD运动，点Q以lcm/s的速度 由点C向点B运动，当点Q运动到点B时，两点均停止运动，设运动时间为，当t= 时，以P、 7/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形. A P D 【变式2】(24-25八年级下四川绵阳期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°， AD=16cm,BC=2lcm,CD=13cm.动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3cm的速度运动.动点O同 时从点A出发，在线段AD上以每秒lCm的速度向点D运动；当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运 动.设点P的运动时间为秒，当以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，的值为 A 型四 平行四边形中的折叠问题 解|题|技|巧 折叠前后对应边相等、角相等，折痕垂直平分对应点连线；利用平行四边形对边平行转化角，设未知数 表示边长，勾股定理或全等列方程，注意重合点位置与折痕性质。 【典例1】(25-26八年级下·全国期末)如图，将口ABCD折叠后，点B与点D重合，点A的对应点为A, EF 折痕为 若∠B=45°，B=5,D=8,则点C到DF 的距离为 E B 【典例2】(24-25八年级下·重庆·期末)如图，在平行四边形ABCD中，点E为边AB上一点，将△BCE 沿CE翻折，点B的对应点F恰好落在DA的延长线上，且EF L AD.若AD=12,CD=5,则BE的长度为 8/23 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 FA D B 【变式1】(25-26八年级上山东泰安·期末)如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB=5,将纸片沿对角 线AC对折，BC边与AD边交于点E,若△CDE恰为等边三角形，则AD的长度是 B D 【变式2】(24-25八年级下·宁夏银川：期末)如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为 折痕，将△ABE折叠，使点A恰好落在CD边的点F上，若△BCF的周长为l2,CF的长为3，则△DEF的 周长为 D 题型五判断能否构成平行四边形 解|题|技|巧 根据判定定理：对边平行、对边相等或对角线互相平分；己知四点坐标可用中点坐标公式验证对角线中点 重合，或计算边长与斜率，注意三点共线或四点顺序，排除自交情况。 【典例1】(24-25八年级下·云南红河期末)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O,下列条件中不能 判定四边形ABCD是平行四边形的是() A D 9/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.OA=OC.OB=OD B.AD∥BC,AD=BC C.∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD D.AD∥BC,AB=CD 【典例2】(25-26八年级上重庆期末)如图，在四边形ABCD中，AB/CD,添加下列条件后，仍无法 判定四边形ABCD是平行四边形的是() A.AD∥BC B AD=BC C.∠ADC=∠ABCD.AB=CD 【变式1】(24-25八年级下·辽宁大连期末)小强不小心将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块， 他带了其中的两块碎玻璃到商店配了一块与原先相同的平行四边形玻璃，他带的两块碎玻璃编号是 (4 ③ ① ② A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 【变式2】(25-26八年级上：山东淄博期末)在四边形ABCD中，己知AD∥BC,若再从下列条件：① ∠A+∠C=180°；②AB=CD;③∠A+∠B=180°；④∠A+∠D=180°中任意选取一个来判定四边形ABCD 是平行四边形，则能断定四边形ABCD是平行四边形的选法共有() A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 题型六平行四边形的性质与判定多结论问题 解|题|技|巧 逐项分析，判定需从边、角、对角线条件出发，性质则直接应用；每个结论单独验证，避免混淆判定与性 质，可用反例排除错误选项，注意对角线不一定平分对角，需具体判断。 【典例1】(25-26九年级上山东烟台期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,DE平分 DC交B于点E,∠BCD=6O°AD三，AB,连接OE·下列结论：①Sco=AD-BD:②DB ∠CDE:③AO=DE;④OE垂直平分BD.其中正确的有() 10/23 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 【典例2】(25-26八年级上山东烟台期末)如图，在口ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E, BFLCD于F,DE,BF相交于H,延长F交4D的延长线于点C,下列绮论：DBD=V5BE,② G ∠A=∠BHE:③AB=BH:④△BCF≌△DCE;⑤DE+EC=AD.其中正确的结论有() D G A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【变式1】(25-26八年级上山东日照·期末)两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知 ∠ABC=∠DEC=90°，∠ACB=∠DCE=30°，∠BCE=60°，点F是边AC中点，则下列结论：①△BCE 是等边三角形，②1B=CF,®B5=V51,③四边形B5DF是平行四边形，其中正流结论的个数是( E C A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式2】(24-25八年级下~湖南株洲期末)如图，AC是口ABCD的对角线，过点B作BG1AC交AD于 点G,垂足为E,过点D作DH⊥AC交BC于点H,垂足为F,连接GH.则下列结论：①BE=DF;② 四边形GBHD是平行四边形；③∠GAC=∠DHC;④GH平分的ABCD周长.其中正确的个数是() 11/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D F H C A.4 B.3 C.2 D.1 巴慕型七平行四边形中的性质和判定综合问题 解|题|技巧 先由边角条件判定形状，再运用性质推新结论；常连接对角线作桥梁，构造全等三角形，利用对边相等与 对角相等转化条件，设未知数列方程，注意多种可能分类讨论。 【典例1】(25-26八年级上山东淄博期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，连接 CD,E CD 为 中点，过点C作 F∥BD ,交E的延长线f点R,连接DF交4C于点G, D (I)判断四边形DBCF的形状，并说明理由： ②若24=30,4C=45,CF=6.求4D的长 【典例2】(24-25八年级下陕西西安期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,对角线AC、BD相 交于点O,且A0=C0, B (I)求证：四边形ABCD是平行四边形： (2)若AB=10,AD=6,AC⊥BC,求BD的长. 12/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(24-25八年级下四川资阳期末)如图，在口ABCD中，BE⊥AC于点E,DF LAC于点F, 连接DE,BF. (I)求证：四边形BEDF为平行四边形： B=0∠BED=135°，BEAC=5,求DF的长. (2)若 【变式2】(24-25八年级下广东汕头期末)如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC的中点， 过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E,连接AE,CD. E D (I)求证：四边形ADCE是平行四边形. (2)若∠B=30°，∠CAB=45°，AC=2V2,AE=BD,求AD的长. 题型八 平行四边形中的作图 解|题|技|巧 根据边角条件，利用作平行线、截取相等线段或对角线中点；己知三顶点找第四点，可作已知边平行线 或利用对角线互相平分，保留作图痕迹，注意两种可能情况。 【典例1】(25-26九年级上山西晋中·期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为边BC上一点， 连接AE. D E B (I)请在图中用无刻度的直尺和圆规，在边AD上找一点F,连接CF,使得四边形AECF是平行四边形. (要求：保留作图痕迹，不写作法) 13/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在(1)的条件下，结合你的作图原理，请试说明理由. 【典例2】(25-26九年级上·江西鹰潭期末)如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC的延长线上，请 仅用无刻度的直尺，按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）· B B 图1) 图(2) (1)如图(1)，过点E作射线EF把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分： (2)如图(2)，若EC=CD,过点C作△BEC的中线CH 【变式1】(24-25八年级下·广东广州期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BC边上，且 FC=DC (I)尺规作图：作∠ABC的角平分线BE交AD边于点E(不写作法，保留作图痕迹)： (2)在(1)中作图的条件下，求证：四边形BEDF是平行四边形： 【变式2】(24-25八年级下四川达州期末)如图，在口ABCD中，E是AD边上一点，连接CE. (I)用尺规完成以下基本作图：作∠DAF=∠ECB,交BC于点F,连接BE,交AF于点G,连接DF,交 EC于点H;(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，求证：四边形EGFH是平行四边形. 巴 题型九与三角形中位线有关的求解问题 解|题|技|巧 14/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中位线平行于第三边且等于其一半；由此得平行关系与线段倍分，构造中点三角形，转移边长与角度，常 结合平行四边形性质，设未知数利用中位线条件列方程求解。 【典例1】(25-26八年级上山东日照期末)如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点， AM=2MD,点E,点F分别是BM,CM中点，若AM=6,则EF的长为 【典例2】(25-26九年级上山东烟台期末)如图，在口ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点， CF交BE于点G,若BE=12,则GE的长为 D E B 【变式1】(25-26八年级上山东烟台期末)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为 AB的中点，F为OC的中点，连接EF交OB于点M.若OM=2,则BD的长为一 D 【变式2】(25-26九年级上河南南阳期末)如图，在口ABCD中，BE平分∠ABC,CF⊥BE,连接AE, G是AB的中点，连接GF,若AE=6,则GF= 'B 题型十平行四边形与中位线综合问题 解|题|技|巧 先利用平行四边形对角线互相平分得中点，再应用中位线定理得平行与倍分关系：构造三角形中位线，将 15/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 边角条件集中，通过等量代换与全等三角形建立联系，列方程求解。 【典例1】(25-26八年级上山东济南期末)如图，在四边形ABCD中，点E是AB的中点，DB,CE交 于点F,DF=FB,AF∥DC. (1)求证：四边形AFCD为平行四边形 (2)若∠EFB=90°，BE=3,，EF=1,求BC的长 【典例2】(25-26九年级上山东烟台期末)点E是口ABCD的边CD上的一点，连接EA并延长，使 AM=EA,连接EB并延长，使BN=EB,连接MN,F为MN的中点，连接CF,DM. M 4 B (1)求证：四边形DMFC是平行四边形： (2)连接EF,交AB于点O,若OF=5,求EF的长. 【变式1】(25-26八年级上山东淄博期末)(1)如图1，AB∥CD,AC与BD相交于点O,EF过点O, 且分别交AB,CD于点E,F,且OE=OF.判断四边形ABCD的形状，并加以证明. G B 图1 图2 (2)如图2，在△ABC中，点D,E分别为边AB,AC的中点，点H在线段CE上，连接BH,点G,F分 别为BH,CH的中点. ①求证：四边形DEFG为平行四边形： ②若DG⊥BH,BD=3,EF=2,求BH的长， 16/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上浙江宁波期末)如图，在口ABCD中，点E是AB的中点，点P是BC上一点， 连接DE,交AP于点M,N是AP上一点，且AM=MN,连接BN并延长交DC于点F. D D F D G M 图1 图2 图3 【初步尝试】 (1)四边形EBFD是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程：如果不是，请说明理由； 【深入探究】 (2)如图2，若在图1的基础上连接MC交BF于点H,过点A作AG∥MC交DE于点G, ①猜想MC与AG的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P为BC中点时，若BF=a,AP=b,且4 AB=d+46,请求出口ABCD的面积（结果用 含a,b的式子表示). 过·分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） --------------------------------------------------------- 1.(25-26八年级上山东东营期末)如图，将平行四边形ABCD的边BC延长，若∠A=110°，则∠1= 17/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.70° B.80° C.100° D.110° 2.(25-26九年级上·福建泉州期末)如图，A,B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测4，B间的距 离：先在AB外选一点C,然后步测出AC,BC的中点分别为M,N,并步测出MN的长约为45米，由此可 知A,B间的距离约为() A.22.5米 B.45米 C.85米 D.90米 3.(25-26九年级上山西晋城期末)如图，已知四边形ABCD中，R、P分别为BC、CD上的点，E、F 分别为APRP的中点.当点P在CD上从点C向点D移动，同时点R在BC上从点B向点C移动，点P和 点R同时到达终点，那么下列结论成立的是() A.线段EF的长先变大再变小 B.线段EF的长先变小再变大 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关 4.(25-26八年级下·上海奉贤期中)如图，在口ABCD中，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交边AB 于点E,再分别以点D,E为圆心，以大于2DE长为半径画弧，两弧交于点F,连接并延长A交边CD 于点G.己知AE=10,口ABCD的周长为48，则GC的长是 18/23 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B 5.(25-26八年级上山东淄博期末)如图，口ABCD中，E是边AB(不含端点)上任意一点，若S△De=3 S.EBC=5 S.BDC= 则 D 6.(25-26八年级上山东烟台期末)如图，在△ABC中，∠C=120°，AC>BC>5,E,F分别是边 AC,BC上的点，且AE=BF=5,连接EF.分别取EF,AB的中点M,N,并连接MN,则MN的长 为 E B 7.(25-26八年级上山东潍坊期末)如图，点E、F分别为线段AB、CD上的点，且AE=DF,AB∥CD 连接EC、BF,分别交AD于点G、H,连接BG,CH,∠AGE=LDHF. B G H (1)证明：AG=DH: (2)证明：四边形BGCH为平行四边形. 8.(24-25八年级下江西抚州期末)如图，O是△ABC内一点，连接OB,OC,并将AB，OB,OC, AC的中点D,E,F,G依次连接，得到四边形DEFG, 19/23 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：四边形DEFG是平行四边形， (2)如果∠0BC=45°，∠0CB=30°，0C=8,求EF的长. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(24-25八年级下陕西榆林期末)在口ABCD中，连接AC,若AC⊥AB,∠ABC=60°，则∠DAC的 度数为() A.120° B.60 C.30° D.15 2.(25-26八年级上湖南株洲期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线与 边AB相交于点卫，E是PD的中点，若AD=6,CD=9,则EO的长为() D C A.1 B.2 C.2 D.3 3.(24-25八年级下四川成都期末)如图，在口ABCD内任意取一点O,连接A0,B0,C0,D0,将 △AOD△AOB ABOC△COD 的面积分别记为 ,5,S,5,若S=28=3=5,则5的大小为 () 20/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D S Sa S3 B A.3 B.4 C.5 D.6 4.(24-25八年级下·宁夏中卫期末)如图，将口ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于 点F,若∠B=80°，∠ACE=2∠ECD,则∠BAC的度数为 5.(24-25八年级下·山东菏泽·期末)中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积 公式的出入相补法.如图，在△ABC中，分别取AB,AC的中点D,E,连接DE,过点A作AF⊥DE,垂 足为P,将△ABC分割后拼接成长方形DCHG.若DE=6,GB=4,则△ABC的面积是 6.(25-26九年级上湖北孝感期末)如图1，口ABCD中，连接BD,动点P从点A出发沿折线 AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止.设点P运动的路程为x,线段AP的长为y,图2是y与x的 函数关系的大致图象，则n= 口ABCD的面积为 B 10 12 图1 图2 7.(24-25八年级下陕西咸阳·期末)如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC的中点，过点 C作CE∥AB交DF的延长线于点E,连接AE,CD 21/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求证：四边形ADCE是平行四边形： (2)若∠B=30°，∠CAB=45°，CD=BD=4,求AD的长. 8.(25-26八年级上山东泰安期末)在口ABCD中，连接BD,点E在AB上，连接CE D E 图1 图2 (I)如图I,将CE沿CD平移至DF,连接AF,F、A、E共线，求证：△DFA≌△CEB (2)如图2，当∠CDB=60°时，若BD=CE,试探究BE、CD及BD之间的数量关系，并说明理由. 9.(24-25八年级下·吉林期末)如图，己知平行四边形ABCD,AC,BD相交于点O,延长CD到点E,使 CD=DE,连接AE. F D B (I)求证：四边形ABDE是平行四边形： (2)连接BE,交AD于点F,连接OF,则CE与OF的关系为 10.(25-26八年级上·福建福州期末)如图平行四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O,∠BAD的平 分线交DC延长线于点E,交BC于点F. 22/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D O E (I)求证：AD=DE; (2)若∠ADC=60°， D=k(k>),连接O网 ①若 k=2,AC=3/3 求平行四边形4BCD的面积： Sg边形ABF0=m ②设S.ocn ,试求m与k满足的关系. 23/23 专题06 平行四边形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 利用平行四边形的性质求解 题型02 利用平行四边形的性质求面积问题 题型03 利用平行四边形的性质求动点问题 题型04 平行四边形中的折叠问题 题型05 判断能否构成平行四边形 题型06 平行四边形的性质与判定多结论问题 题型07 平行四边形中的性质和判定综合问题 题型08 平行四边形中的作图 题型09 与三角形中位线有关的求解问题 题型10 平行四边形与中位线综合问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平行四边形的性质 掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质，能熟练运用性质进行证明和计算 基础必考点，常以选择、填空或简单证明题出现 平行四边形的判定 理解并掌握从边、角、对角线三个角度的五种判定方法，能根据已知条件选择合适的判定定理 高频易错点，容易混淆判定条件，常出现在中档证明题中 三角形的中位线 理解三角形中位线的定义，掌握“平行于第三边且等于第三边一半”的性质，能解决中点相关的几何问题 常与平行四边形结合考查，多见于综合题或辅助线构造题，是期末压轴题的重要工具 知识点01 平行四边形的定义 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。记作“□ABCD”。 几何语言： - ∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 易错点： 1. 只记“对边相等”而忽略“平行”是定义的核心。 2. 误以为有一组对边平行就是平行四边形（梯形也有一组对边平行）。 知识点02 平行四边形的性质 性质1：边 文字：平行四边形的对边平行且相等。 几何语言： - ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC，且 AB=CD，AD=BC。 性质2：角 文字：平行四边形的对角相等，邻角互补。 几何语言： - ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°。 性质3：对角线 文字：平行四边形的对角线互相平分。 几何语言： - ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD（O为对角线交点）。 性质4：对称性 文字：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 示例：在□ABCD中，∠A=50°，求∠B、∠C、∠D的度数。 - 解：∵ ∠A+∠B=180°，∴ ∠B=130°；∠C=∠A=50°，∠D=∠B=130°。 易错点： 1. 邻角互补记成相等：邻角不是相等，是互补（和为180°）。 2. 对角线互相平分错记成相等：只有矩形对角线相等，一般平行四边形对角线不相等。 3. 忽略对边平行这个条件：解题时常忘记用平行线性质（如内错角相等）。 4. 符号书写不规范：如“□ABCD”顶点要按顺序写（顺时针或逆时针）。 知识点03 平行四边形的判定 判定1：定义法 文字：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 判定2：边 文字：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：AB=CD 且 AD=BC → □ABCD 判定3：边+角（一组对边平行且相等） 文字：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 几何语言：AB∥CD 且 AB=CD（或 AD∥BC 且 AD=BC）→ □ABCD 判定4：角 文字：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∠A=∠C 且 ∠B=∠D → □ABCD 判定5：对角线 文字：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 几何语言：OA=OC 且 OB=OD → □ABCD 示例：在四边形ABCD中，AB=CD=5，AD=BC=8，求证：四边形ABCD是平行四边形。 - 证明：∵ AB=CD，AD=BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等）。 易错点： 1. 判定条件不全：如只用“一组对边相等”就下结论（还需要平行或另一组相等）。 2. 混淆判定与性质：性质是已知平行四边形推结论；判定是已知条件证平行四边形。 3. 对角线判定：只说“对角线相等”不能判定平行四边形（等腰梯形对角线也相等）。 4. “一组对边平行且相等”误写成“一组对边平行，另一组对边相等”（后者可能是等腰梯形）。 知识点04 平行四边形性质与判定的综合应用 常用思路： - 证边相等 → 找全等三角形或用平行四边形性质。 - 证平行 → 用同位角/内错角相等，或用平行四边形判定反过来推。 - 证对角线互相平分 → 可得平行四边形。 示例：如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形。 - 证法：∵ □ABCD，∴ OA=OC，OB=OD。又 AE=CF，∴ OA-AE=OC-CF，即 OE=OF。∴ OB=OD且OE=OF，∴ 四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分）。 易错点： 1. 辅助线错误：构造全等时对应点写错。 2. 逻辑顺序颠倒：先用判定，再用性质，不要循环论证。 知识点05 三角形的中位线 定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 - 一个三角形有3条中位线。 定理 文字：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 几何语言： - ∵ D是AB中点，E是AC中点，∴ DE∥BC，且DE = BC。 示例：在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AB=6，BC=8，AC=10，求△DEF的周长。 - 解：由中位线定理，DE= AC=5， EF= AB=3，DF= BC=4，∴ △DEF周长为5+3+4=12。 题型一 利用平行四边形的性质求解 解｜题｜技｜巧 平行四边形对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分；根据这些性质转移边角条件，构造全等三角形或利用勾股定理，设未知数列方程求解边长或角度。 【典例1】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，平分，，，则的长是______． 【答案】5 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，角平分线的有关计算，根据等角对等边证明边相等，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据平行四边形的性质，得出，，再利用平行线的性质证明，结合角平分线的意义得出，从而可得出，再利用线段差求得即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 又平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 【典例2】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，若，，，则______． 【答案】/23度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由平行四边形的性质得，即得，进而根据等腰三角形的性质得，再根据三角形的外角性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，的对角线交于点，且，若它的对角线的和是，则的周长为_________ ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对边相等，对角线互相平分，故此可求出的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，连接，过点作，交射线于点，过点作延长线于点．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，进而利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，进而解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 由勾股定理可得，， 故答案为：． 题型二 利用平行四边形的性质求面积问题 解｜题｜技｜巧 面积等于底乘高，常用割补法转化为规则图形；利用对角线分面积为四等份，或通过全等、中位线转移面积，注意等高三角形面积比等于底边比，设未知数列方程求解。 【典例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 【答案】3 【分析】作于点E，则，先求出，得出，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，即可解答． 【详解】解：作于点E，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【典例2】（24-25八年级下·吉林长春·期末）E、F为边上的点，与相交于点P，、相交于点Q，若，则阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】本题综合性较强，考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，构造同底等高的三角形．作出辅助线，因为与同底等高，所以面积相等，所以阴影图形的面积可解． 【详解】解：如图：连接， 与同底等高， ， 即， 即， 同理可得， 阴影部分的面积为 故答案为： 【变式1】（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为_______________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，平行线之间的距离（利用平行线间距离解决问题）等知识点，由平行线间距离处处相等得出是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质可得，由平行线间距离处处相等可得和同高且等底，由三角形的面积公式可得，进而可得，即，同理可得，则图中阴影部分的面积，于是得解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， 和等底同高， ， ， ， 同理可得：， 图中阴影部分的面积 ， 故答案为：20． 【变式2】（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，中，点，分别是，上一点，连接，，连接交于点，连接分别交，于点，，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，则阴影部分四边形 的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，关键是知识点的灵活应用；利用平行四边形的性质可得，进而求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， 即：， 故答案为：． 题型三 利用平行四边形的性质求动点问题 解｜题｜技｜巧 利用平行四边形对边平行且相等转移线段长，建立坐标或几何关系；将动点运动转化为代数表达式，利用时间或速度参数，结合勾股定理或全等，列方程求关键点位置。 【典例1】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定是解题的关键．设点，的运动时间为，根据题意，得，，，然后分类计算即可． 【详解】解：设点，的运动时间为，根据题意，得，，， 当点P到达点D时所用时间为， 根据题意，得， 当时，四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点C返回向点B运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第二次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得，大于，舍去， 故答案为：或或． 【典例2】（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当______时，四边形是平行四边形． 【答案】4或 【分析】此题重点考查平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用、一元一次方程的应用等知识与方法，正确地用代数式表示线段和线段的长是解题的关键．由平行四边形的性质得，，而点P在上，点Q在上，则，所以当时，四边形是平行四边形，求得当点Q与点B重合时，；当点Q返回点C时，，再分两种情况求t的值，一是当时，则，求得；二是当时，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点P在上，点Q在上， ， 当时，四边形是平行四边形， 当点Q与点B重合时，则， 解得：； 当点Q返回点C时，则， 解得， 当时，由得， 解得； 当时，由得， 解得， 当或时，四边形是平行四边形， 故答案为：4或 【变式1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，，，．点，分别从，同时出发，点以的速度沿射线运动，点以的速度由点向点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，设运动时间为，当__________时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或8 【分析】此题考查了平行四边形的判定方法，熟练运用方程的思想方法是解题的关键．根据题意有，，，点P位于线段上时，，且时，四边形是平行四边形；当点P位于射线上点D右侧时，，且时，四边形是平行四边形，分别求出t即可． 【详解】解：根据题意有，，， ∵，当点P位于线段上时，， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得， ∴运动时四边形是平行四边形， ∵，当点P位于射线上点D右侧时，， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得， ∴运动时，四边形是平行四边形， 故答案为：或8． 【变式2】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 题型四 平行四边形中的折叠问题 解｜题｜技｜巧 折叠前后对应边相等、角相等，折痕垂直平分对应点连线；利用平行四边形对边平行转化角，设未知数表示边长，勾股定理或全等列方程，注意重合点位置与折痕性质。 【典例1】（25-26八年级下·全国·期末）如图，将折叠后，点与点重合，点的对应点为，折痕为．若，，，则点到的距离为____________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，设，则，通过平行四边形的性质证明是等腰直角三角形，先根据勾股定理列方程可得的长，最后由三角形面积可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点． 设，则． 由折叠的性质，得． ∵四边形是平行四边形， ， ， 是等腰直角三角形． ， ∴由勾股定理，得． ， ， 解得， ． 的面积， ， ， 即点到的距离为． 【典例2】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在平行四边形中，点E为边上一点，将沿翻折，点B的对应点F恰好落在的延长线上，且．若，则的长度为____． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠问题，勾股定理，折叠结合平行四边形的性质，得到，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵平行四边形，， ∴， ∵将沿翻折，点B的对应点F恰好落在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故答案为： 【变式1】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，若恰为等边三角形，则的长度是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握这些性质并能综合运用，推导出线段之间的等量关系是解题的关键． 先利用平行四边形的性质得到对边相等，再根据折叠性质和等边三角形的性质，推导出的边长，进而求出的长度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵为等边三角形， ∴，． ∵， ∴． 由折叠性质可知，， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·宁夏银川·期末）如图，在平行四边形中，点E 在边上，以为折痕，将折叠，使点A 恰好落在边的点F上，若的周长为12，的长为3，则的周长为_______． 【答案】6 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、三角形周长的计算，由折叠的性质得出，由的周长得出，即可求出的周长． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长； 故答案为：6． 题型五 判断能否构成平行四边形 解｜题｜技｜巧 根据判定定理：对边平行、对边相等或对角线互相平分；已知四点坐标可用中点坐标公式验证对角线中点重合，或计算边长与斜率，注意三点共线或四点顺序，排除自交情况。 【典例1】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据平行四边形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：A、当，时，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故不符合题意； B、当，时，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当，时，则有，所以，所以，同理可得，所以根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D、当，时，无法判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选D． 【典例2】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，，不可得出四边形是平行四边形，故符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）小强不小心将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了其中的两块碎玻璃到商店配了一块与原先相同的平行四边形玻璃，他带的两块碎玻璃编号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】此题重点考查平行四边形的判定，通过观察，找到拼在一起后能够确定原来平行四边形的两组对边所在位置的两块玻璃的编号是解题的关键．观察图形，将②号玻璃和④号玻璃拼在一起，能够确定原来平行四边形的两组对边所在的位置，所以他带的两块碎玻璃编号是②④，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，将②号玻璃和④号玻璃拼在一起，延长交于点A，延长交于点C， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴他带的两块碎玻璃编号是②④， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·山东淄博·期末）在四边形中，已知，若再从下列条件：①；②；③；④中任意选取一个来判定四边形是平行四边形，则能断定四边形是平行四边形的选法共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定、平行线的判定与性质分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：如图所示， ①∵， ∴ ∵， ∴ ∴不能得到四边形是平行四边形； ②由，，不能得到四边形是平行四边形； ③∵ ∴， ∴不能得到四边形是平行四边形； ④∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形． 综上所述，能断定四边形是平行四边形的选法共有1种． 故选：A． 题型六 平行四边形的性质与判定多结论问题 解｜题｜技｜巧 逐项分析，判定需从边、角、对角线条件出发，性质则直接应用；每个结论单独验证，避免混淆判定与性质，可用反例排除错误选项，注意对角线不一定平分对角，需具体判断。 【典例1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质和垂直平分线的判定的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题先证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，求得，即，即可得到，可以判断①正确；依据，，可得②正确；假设③正确，那么，即，那么不能构成，可判断③错误； 根据点是的中点，点是的中点，进而得出是的中位线，则可得出，可判断④正确；然后即可求解． 【详解】解：在中， ，，平分，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴平分， 故②正确，符合题意； 已知：，， 假设③正确，那么， 即，那么不能构成， ∴③错误，不符合题意； ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的为①②④， 故选：D． 【典例2】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】先证明是等腰直角三角形，即可判断①，利用平行四边形对角相等、直角三角形两个锐角互余以及同角或等角的余角相等即可判断②，证明，即可判断④和③，利用平行四边形对边相等进一步可以判断⑤． 【详解】解：∵中，，于， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，故①正确； ∵于，于， ∴， ∴， ∵在中， ∴，故②正确； ∵，，， ∴，故④错误； ∴， ∵在中，， ∴，故③正确； ∵，故⑤正确； 故选：B ． 【变式1】（25-26八年级上·山东日照·期末）两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】①根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可判定； ②利用“直角三角形中所对的直角边是斜边的一半”和中点的定义，即可判断； ③利用勾股定理，可得，再根据线段之间的关系，代换即可； ④利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，即可判定． 【详解】解：由题可知，，则， ， 是等边三角形，故①正确； ，， ， 点F是边中点， ， ，故②正确； 在中，， 则，即， 是等边三角形，点F是边中点，， ，， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则， ， ， ， ， 在中，点F是边中点， ， ， ，则， 又， 四边形是平行四边形，故④正确； 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长．其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，证即可判断出①；证即可判断出②；由，而不一定等于，即可判断出③；由即可判断出④． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ∵，而不一定等于，故③错误； ∵， ∴， 故平分的周长，故④正确； 所以正确的有3个， 故选：B． 题型七 平行四边形中的性质和判定综合问题 解｜题｜技｜巧 先由边角条件判定形状，再运用性质推新结论；常连接对角线作桥梁，构造全等三角形，利用对边相等与对角相等转化条件，设未知数列方程，注意多种可能分类讨论。 【典例1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，．求的长． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)2 【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意得即可求证四边形是平行四边形； （2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， 解得（负值舍去）， ， ． 【典例2】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，且，    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据“”证明，得，即可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形； （2）因为，所以，，求得，则，所以，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 【变式1】（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，在中，于点E，于点F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)3 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，则，由，，得，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形； （2）由（1）得，得到，，求得，根据平行线的性质得到，得到，设，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得 ∴， ∵，， ∴， 由（1）得四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴设，， ∴， 则， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴． 【变式2】（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，结合，于是得到四边形是平行四边形； （2）过点C作于点G．根据勾股定理得到，，由得到．在中，利用勾股定理得到、，再由可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵F是中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点C作于点G， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型八 平行四边形中的作图 解｜题｜技｜巧 根据边角条件，利用作平行线、截取相等线段或对角线中点；已知三顶点找第四点，可作已知边平行线或利用对角线互相平分，保留作图痕迹，注意两种可能情况。 【典例1】（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，四边形是平行四边形，点为边上一点，连接． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点，连接，使得四边形是平行四边形．（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（）的条件下，结合你的作图原理，请试说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)见解析 【分析】（）以点为圆心，以为半径画弧，交于点，连接，则四边形即为所求； （）由平行四边形的性质得，，进而得，再根据平行四边形的判定即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：理由如下：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 【典例2】（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）如图，在平行四边形中，点在的延长线上，请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图（1），过点作射线把平行四边形分成面积相等的两部分； (2)如图（2）， 若，过点作的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质与全等三角形的判定及性质，熟练掌握平行四边形对角线互相平分的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键。 （1）连接、，交于，作射线交于，交于点，则射线即为所求； （2）连接、，交于，连接交于，作直线交于点，连接，则线段即为所求。 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴（）， ∴， ∴， ∴，即过点作射线把平行四边形分成面积相等的两部分； （2）解：如图，线段即为所求。 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是的中线． 【变式1】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，四边形是平行四边形，点在边上，且． (1)尺规作图：作的角平分线交边于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）中作图的条件下，求证：四边形是平行四边形； 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查尺规作图—作已知角的角平分线，平行四边形的性质与判定定理，角平分线的定义，平行四边形的判定等知识点，掌握作图方法是解题关键． （1）按要求作出的角平分线（保留作图痕迹）即可； （2）由角平分线的定义和平行四边形的性质得到，进而得到，再由边的和差关系得到，最后由一组对边平行且相等即可判定四边形是平行四边形． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）证明：为的平分线， ， 四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， ，， ，，即 ， 四边形是平行四边形． 【变式2】（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在中，是边上一点，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：作，交于点，连接，交于点，连接，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用基本作图作作一个角等于已知角即可； （2）先利用平行四边形的性质证明四边形、是平行四边形，即可得，，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明结论即可． 推导出从而得到结论． 【详解】（1）解：尺规作图如图： （2）证明：在中，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， . ， ，即. ， 四边形是平行四边形， . ，， 四边形是平行四边形． 题型九 与三角形中位线有关的求解问题 解｜题｜技｜巧 中位线平行于第三边且等于其一半；由此得平行关系与线段倍分，构造中点三角形，转移边长与角度，常结合平行四边形性质，设未知数利用中位线条件列方程求解。 【典例1】（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，在平行四边形中，点M为边上一点，，点E，点F分别是，中点，若，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质和中位线定理，熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据线段之间的关系，求出，再根据平行四边形的性质，求出，最后利用中位线定理即可求解． 【详解】解：，， ，则， 平行四边形， ， 点E，点F分别是，中点，即是的中位线， ． 故答案为：． 【典例2】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为____． 【答案】3 【分析】本题主要涉及平行四边形的性质与判定以及三角形中位线定理，取的中点，连接构造中位线，利用中位线性质和平行四边形性质得到新的平行四边形，进而得出线段之间的关系，最后根据已知线段长度求出． 【详解】解：取的中点，连接，如图， 是的中点，是的中点， 是的中位线， 平行于，， ∵四边形是平行四边形， ，平行于， 是的中点， ， 平行于，， ∴四边形是平行四边形， ， ，是的中点， ， ． 故答案为：3． 【变式1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，取中点，连接，则，由平行四边形性质可得，，通过中位线定理可得，，，从而可证明四边形是平行四边形，所以，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的中点，为的中点， ∴是中位线，是中位线，是中位线， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，平分，，连接，G是的中点，连接，若，则_______． 【答案】3 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解，即可得，利用等腰三角形的性质可得，进而可得是的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵G是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 题型十 平行四边形与中位线综合问题 解｜题｜技｜巧 先利用平行四边形对角线互相平分得中点，再应用中位线定理得平行与倍分关系；构造三角形中位线，将边角条件集中，通过等量代换与全等三角形建立联系，列方程求解。 【典例1】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在四边形中，点E是的中点，，交于点F，，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）因为，所以是的中点，而是的中点，根据三角形中位线定理得，即，因为，所以四边形是平行四边形； （2）由是的中点，是的中点，，根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【详解】（1）证明：点E是的中点， ． ， 是的中位线， ∴， ∴． ∵， 四边形为平行四边形． （2）解：由（1）知是的中位线， ． 四边形为平行四边形， ． ，， ，， ． 【典例2】（25-26九年级上·山东烟台·期末）点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的性质证明，，由“对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可得到结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线相互平分，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴为的中位线， ，， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ，， ，， ∴四边形为平行四边形； （2）解：连接， ，， ∴是的中位线， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点． ①求证：四边形为平行四边形； ②若，求的长． 【答案】（1）四边形的形状为平行四边形，证明见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可证，，结合对角线互相平分的四边形为平行四边形即可求解； （2）①根据三角形中位线的性质可得，且，再结合平行四边形的判定即可证明；②由平行四边形的性质结合勾股定理先求出，再根据为中点即可求答案． 【详解】（1）解：四边形的形状为平行四边形，证明如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 同理：， ∴， 即对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形； （2）①证明：∵点D、E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∵点G、F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； ②解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∵点G为的中点， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F． 【初步尝试】 （1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G， ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）． 【答案】（1）四边形是平行四边形，见解析；（2）①，见解析；②的面积为 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得出，结合点E是的中点，，根据三角形中位线定理得出，即可证明四边形是平行四边形． （2）①如图，作交于点K，则四边形是平行四边形， 得出，根据四边形、是平行四边形，得出，，则，，证明，得出，则，再证明，得出，即可得． ②如图，延长交的延长线于点R，证明，得出，，，作交的延长线于点L，作于点Q，证明四边形是平行四边形，得出，则，，结合，证出是直角三角形，且，则，再根据，得出，即可得． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （2）①解：；理由如下： 如图，作交于点K， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形、是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． ②如图，延长交的延长线于点R， ∵点P为中点，， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴， 作交的延长线于点L，作于点Q， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，将平行四边形的边延长，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形两组对角分别相等可得，再根据邻补角互补可得的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：A． 2．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键． 利用三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴(米) ． 故选：D． 3．（25-26九年级上·山西晋城·期末）如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长先变大再变小 B．线段的长先变小再变大 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理，连接，根据三角形中位线定理得到，得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点R在上从点B向点C移动， ∴先变小再变大， ∴线段的长先变小再变大． 故选：B． 4．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________． 【答案】4 【分析】由四边形是平行四边形，则，，所以，由作图可知平分，，通过，可得，又平行四边形的周长为48，则，然后通过线段和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由作图可知：平分，， ∴， ∴， ∵平行四边形的周长为48， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，中，E是边AB（不含端点）上任意一点，若，，则_____ ． 【答案】8 【分析】根据平行四边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，，分别是边，上的点，且，连接．分别取，的中点，，并连接，则的长为____________． 【答案】 【分析】连接并延长，使，连接，，证明，得出，，证明为等边三角形，得出，根据中位线性质得出． 【详解】解：连接并延长，使，连接，，如图所示： ∵N为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵M为的中点，， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直线平行的判定与性质，平行四边形的判定，掌握相关定理与性质是解题的关键． （1）由，得到，接着证明即可得到； （2）根据题意可得，即，再证明，得到，进而根据对边平行且相等的四边形为平行四边形即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， 所以四边形为平行四边形． 8．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，，，从而得到，，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）过点作，交于点．由含的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合三角形的中位线即可求得结果． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， ，． ，分别是，的中点， ，， ，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，过点作，交于点． 在中，由，，得， ． 在中，由，，得， ， ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）在中，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，平行四边形的性质求解． 【详解】解：如图， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，等腰三角形的性质和判定，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 由平行四边形的性质及角平分线的定义得，从而得的长，由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点，， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在内任意取一点，连接，将，，，的面积分别记为，若，则的大小为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的面积等知识点，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 如图，过点O作于点N交于点M．由平行四边形的性质、三角形的面积公式可得平行四边形的面积、平行四边形的面积，即，最后代入数据计算即可． 【详解】解：如图，过点O作于点N交于点M． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积； 同理可得：平行四边形的面积， ∴， ∴． 故选：B． 4．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，则的度数为_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握平行四边形的性质是关键． 根据平行四边形的性质得到，由折叠得到，结合题意得到，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴设，， ∴， 解得，， ∴， 在中，， 故答案为： ． 5．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，则的面积是__________． 【答案】48 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质；由题意得，，则全等三角形的面积相等；由三角形中位线定理得；根据的面积等于长方形的面积即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴；，， ∴的中点分别为D，E， ∵， ∴； ∵ ． 故答案为：48． 6．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图1，中，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则__________，的面积为___________． 【答案】 22 【分析】此题主要考查点的移动距离及函数图象的关系，理解题意，确定关键点的对应关系是解题关键． 作，垂足为E，在下图中标注点M、N，且，结合运动轨迹及运动图象得出，然后利用等腰三角形的性质得出，结合勾股定理求出平行四边形的高，即可求解面积． 【详解】解：如图所示，作，垂足为E， 在下图中标注点M、N，且， 当点P从点A运动到点B时，对应于线段， ∴， 当点P从点B运动到点D时，对应于曲线， ∴， ∴， 当点P到点D时，对应于图中的点N， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ， ∴平行四边形的面积为：， 故答案为：，． 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识． （1）证明，则，又由即可证明结论； （2）过点C作于点G，求出，  由勾股定理得到，证明，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，．           ∵F是AC的中点， ∴， ∴，           ∴， 又∵， ∴四边形ADCE是平行四边形． （2）解：过点C作于点G， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，           ∴， ∵， ∴，           ∴． 8．（25-26八年级上·山东泰安·期末）在中，连接，点E在上，连接． (1)如图1，将沿平移至，连接AF，F、A、E共线，求证：； (2)如图2，当时，若，试探究、及之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）根据平移的性质得出，，则，再根据平行四边形的性质得出，则，即可证明． （2）过点B作交延长线于点F，证明四边形为平行四边形，结合已知条件得出，，证明是等边三角形，得出，即可证明． 【详解】（1）证明：根据平移的性质，，， ， 在中，， ， 在和中， ， ． （2）解：． 过点B作交延长线于点F ，， 四边形为平行四边形， ，， 又， 是等边三角形， ． 故． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平移的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正确做出辅助线是解本题的关键． 9．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，已知平行四边形相交于点O，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点F，连接，则与的关系为______． 【答案】(1)见解析 (2)且 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形中位线定理可得，,再由，可得，即． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解： 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：且． 10．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图平行四边形，对角线，交于点，的平分线交延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，连接; ①若，求平行四边形的面积； ②设，试求与满足的关系． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）由平行四边形的性质、角平分线及等边三角形的判定即可证明； （2）①由，得为等边三角形．由得点C是的中点，即；再由勾股定理求得，即可求得平行四边形的面积； ②证为等边三角形，再证明，则有，从而得，由此即可求得m与k的关系． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴． ∴， ∵平分， ∴． ∴． ∴． （2）解：①∵， ∴为等边三角形． ∵， ∴， ∴． 在中，， 由勾股定理得：，即， ∴． ∴平行四边形的面积为． ②∵为等边三角形，， ∴， ∴为等边三角形． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵ ， ∴． 1 / 4 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