20.2 勾股定理的逆定理及其应用 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件围绕勾股定理的逆定理展开，涵盖互逆命题、互逆定理、勾股数及应用等核心知识点。通过知识回顾直角三角形性质衔接勾股定理旧知，结合“想一想”军事航海应用引入，搭建从性质到判定的学习支架。 其亮点是以合作探究（港口轮船航行方向问题）和实际应用（森林公园公路、噪声影响学校）为载体，运用几何直观和推理意识引导学生用数学思维解决问题。例题含四边形面积计算、勾股数判断等，小结对比勾股定理与逆定理的区别联系，帮助学生构建知识体系，教师可借实例提升教学实效，学生增强应用意识和创新意识。

20.2勾股定理的逆定理及其应用 素养目标 1.了解互逆命题、互逆定理之间的联系和区别，并能写出一个命题的逆命题； 2.掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形； 3.了解勾股数，会判断三个数是不是勾股数； 重难点 重点 4.经历勾股定理的逆定理的探索过程，体验用全等三角形证明勾股定理的逆定理的过程. 重点 知识回顾 1. 直角三角形有哪些性质? (1)有一个角是直角； (2)两个锐角互余； (3)两直角边的平方和等于斜边的平方； (4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半. 勾股定理 a b c A B C 我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？ 在军事和航海上经常要确定方向和位置，常用到勾股定理的逆定理. 想一想 4 1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ E P N R Q 思考1：题目已知了哪些信息？ “远航”、“海天”号的速度， 运行时间， QR30， “远航”号的航向. 思考2：由题目信息，可以得出什么？ PQ，PR， QR的长度， 145°. 合作探究 5 2 1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ E P N R Q 思考3：需要解决的问题是什么？ 求出两艘船航向所成的角 思考4：已知线段的长度求角的度数，可以用什么知识呢？ 勾股定理的逆定理 2 6 ∵CD=13 , BC=12 ∴∠DBC=90° 在△BCD中， 解：连接BD ∵AB=3，AD=4 ∴BD= =5 ∴CD2=BC2+BD2 ∴△BCD是直角三角形 ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD = ×3×4+ ×5×12=36 答：这个零件的面积是36 dm2. 在Rt△ABD中， 5 A D B C 3 4 13 12 ┐ 点A是一个圆形森林公园的中心，在森林公园附近有 B 、C 两个村庄，现要在 B、C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两村连通，经测得AB=600m，AC=800m，问此公路是否会穿过该森林公园? 1000 600 800 B C A 公园半径为400m 影响因素：1. 公园的半径 2. 点A到公路BC的距离 合作探究 　　(课本P37例3)如图，在四边形ABCD中，AB=5，BC=3，AD=，DC=.如果AC⊥BC，判断AC与AD是否也垂直，并说明理由. 例2 解　因为AC⊥BC，所以∠ACB=90°， 在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2=A-BC2=52-32=16. 所以AC=4. 在△ACD中，AC2+AD2=42+=，CD2==， 所以AC2+AD2=CD2， 因此△ACD为直角三角形，即AC⊥AD. 　　　如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=8，BC=6，CD=24，AD=26，求四边形ABCD的面积. 跟踪训练2 解　如图，连接AC， ∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形， ∴AC2=AB2+BC2=82+62=102，∴AC=10. 在△ACD中， ∵AC2+CD2=100+576=676，AD2=262=676， ∴AC2+CD2=AD2， ∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°， ∴=S△ABC+S△ACD=×6×8+×10×24=144. 　　解：学校 C 会受噪声影响． 　　理由：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于 D， 　　∵AC＝150 m，BC＝200 m，AB＝250 m， 　　∴AC2＋BC2＝AB2， 　　∴△ABC是直角三角形． 　　∴S△ABC＝ AC·BC＝ CD·AB， 　　∴150×200＝250CD， 　　∴CD＝ ＝120（m）， 　　∵拖拉机周围 130 m 以内为受噪声影响区域， 　　∴学校 C 会受噪声影响． A B C D （2）若拖拉机的行驶速度为 50 m/min，拖拉机噪声影响该学校持续的时间 有多少分钟？ 分析：利用勾股定理得出 ED 以及 EF 的长，进而可 得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间． E F A B C D 问题：勾股定理与其逆定理的区别和联系是什么？ 区别 联系 (1) 勾股定理是已知直角三角形，得出三边之间的关系；勾股定理的逆定理是已知三角形的三边关系，得出直角三角形. (2) 勾股定理是直角三角形的性质定理， 而其逆定理是判定定理. 勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关. 例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝5，BC＝3，AD＝ ，DC＝ . 如果 AC⊥BC，判断 AC 与AD 是否也垂直，并说明理由. 分析：若能求出 AC 的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD 是不是直角三角形，从而判断 AC 是否垂直于 AD. A B C D 知识点3： 互逆命题与互逆定理 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2. 命题2 如果三角形的三边长 a 、b 、c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 前面我们学习了两个命题，分别为： 观察两个命题的题设和结论，它们有何联系？ 它们是题设和结论正好相反的两个命题. 互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 归纳总结 互为逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.如：勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理. 注意 (1) 命题有真有假，而定理都是真命题； (2) 每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理； (3) 原命题的真假与其逆命题的真假没有关系. 原命题 逆命题 定理 逆定理 归纳总结 推出 推出 证明 5. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12， AD = 13，∠B = 90°. 求四边形 ABCD 的面积. 解：AB = 3，BC = 4，∠B = 90°， ∴ 由勾股定理得 AC2 = AB2 + BC2， 得 AC = = 5. 又 CD =12，AD = 13， ∴ AC2 + CD2 = AD2，∴△ACD为直角三角形， ∴ S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD = AB·BC + AC·CD = ×3×4 + ×5×12 = 36. 6. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，且 CF = CD. 求证∠AEF = 90°. 证明：设 CF = x，则 EC = BE = 2x，DF = 3x， AD = AB = 4x. 由勾股定理得：EF2 = EC2 + FC2 = 5x2， AE2 = AB2 + BE2 = 20x2，AF2 = AD2 + DF2 = 25x2 = 25x2， ∴EF2 + AE2 = 25x2 = AF2. 由勾股定理的逆定理知，∠AEF = 90°. 归纳总结 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数. 例如15，8，17这样能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，为勾股数. 归纳总结 常见勾股数： 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26 等等. 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数 k ( k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 如：3，4，5 6，8，10 扩大 2 倍 勾股数 勾股数 23 24 2．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋＋|c－3|＝0，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【点拨】由题意得解得∴a2＋b2＝c2，且a＝b.∴△ABC是等腰直角三角形，故选D. $