20.2 勾股定理的逆定理及其应用 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“勾股定理的逆定理及其应用”，通过古埃及结绳画直角的故事导入，衔接勾股定理，以实例分析、判断练习、勾股数归纳等构建学习支架，帮助学生理解逆定理的推导与应用。 其亮点在于结合生活实例（零件面积、航行方向）培养数学眼光与思维，通过典例精析和易错警示强化推理能力，课堂小结清晰归纳判断步骤，助力学生掌握知识，教师可借此提升教学效率与学生应用意识。

20.2勾股定理的逆定理及其应用 R·八年级数学下册 1 据说，古埃及人用右图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. 导入新课 【故事导入】 你知道为什么吗？今天我们就来学习其中的原因. 判断以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ (1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ; 是 ∠A=90° (2) a=1 b=2 c= ____ _____ ; 是 ∠B=90° (3) a:b: c=2:3:4 _____ _____ ; 不是 常见的勾股数有： 3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41. 一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且∠DAB=90°. 你能求出这个零件的面积吗？ A D B C 3 4 13 12 ┐ 新知探究 通过题目已知条件可以得出： 1.PR 的长度 2. PQ 的长度 3.∠1 的度数 4. RQ 的长度 分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道 “海天”号的航向了. 解：根据题意， PQ=16×1.5=24， PR=12×1.5=18， RQ=30.   所以∠RPQ=90〫. 由“远航”号沿东北方向航行可知， ∠1=45〫 .因此∠2=45〫，即“海天”号沿西北方向航行. 为何是45°呢？ 1.关于定理“对顶角相等”的说法正确的为( ) A．它是逆定理 B．它有逆定理 C．它有逆命题 D．它没有逆命题 2.“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的逆定理是 ． 练一练 角平分线上的点到角的两边的距离相等 C 任务二：运用勾股定理的逆定理、勾股定理解决问题 活动：一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为 直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸：DA=4，AB=3，BC=13，BD=5，CD=12. (1) 这个零件符合要求吗?请验证你的结论. (2) 求这个零件的面积. （要求：请说说你的判断方法，谈谈你的收获） D A B C 一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理. 题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 归纳： 1.已知下列命题：①若a>b，则ac>bc；②若a＝1，则 ＝a；③内错角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 A 针对练习 典例精析 我们知道3,4,5是一组勾股数，那么3k,4k,5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？ 一般地，如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？ 解：（1）3k,4k,5k也是一组勾股数. 因为（3k）2+（4k）2=9k2+16k2=25k2,（5k）2=25k2, 所以（3k）2+（4k）2=（5k）2. 勾股数拓展性质的证明： （2）如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck也是一组勾股数. 因为a,b,c是勾股数，则a2+b2=c2 （ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2,（ck）2=c2k2 故（ak）2+（bk）2=（ck）2,所以ak,bk,ck也是一组勾股数. 新知探究 思考： 前面我们学习了两个命题，分别为： 命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 命题2：如果三角形的三边长a ，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 两个命题的题设和结论有何联系？ 2．某探险队的 A 组从驻地 O 点出发，以 12 km/h 的速度 前进，同时 B 组也从驻地 O 点出发，以 9 km/h 的速 度向另一方向前进． 2 h 后同时停下来，如图所示， 这时 A，B 两组相距 30 km． 此时，A，B 两组行进的 方向成直角吗？请说明理由． O B A 解：因为出发2小时，A组行进了12×2＝24（ km ）， B组行进了9×2＝18（km）． 又因为A，B两组相距30 km，且满足， 所以A，B两组行进的方向成直角． 3．小明向东走 80 m 后，沿另一方向又走了 60 m，再沿第三个方向走 100 m 回 到原地．小明向东走 80 m 后是向哪个方向走的？ 解：（1）小明从O走到A，再走到B1，最终由B1回到O． 因为OA＝80 m， AB1 ＝60 m， OB1 ＝100 m， 所以 所以△AOB1是直角三角形，且∠OAB1 ＝90〫． 因此小明向东走 80 m 后，又向北走了 60 m，再走 100 m 回到原地． 北 南 东 西 O A B1 B2 1.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300 m，公园到医院的距离为400 m，若公园到超市的距离为500 m，则公园在医院的 A.北偏东75°的方向上 B.北偏东65°的方向上 C.北偏东55°的方向上 D.无法确定 √ 2.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为2.4 m，宽为1.8 m，对角线长为3 m，则这个桌面　　.(填“合格”或“不合格”)  解析　∵长方形桌面的长为2.4 m，宽为1.8 m，对角线长为3 m， ∴32=9，1.82=3.24，2.42=5.76， 1.82+2.42=3.24+5.76=9， ∴1.82+2.42=32， ∴桌面的角是直角， ∴这个桌面是合格的. 合格 　　　下面各组数中，是勾股数的是 A. B.32，42，52 C.1，2，3 D.5，12，13 跟踪训练2 √ 解析　A项，不是整数，不构成勾股数，故本选项不符合题意； B项，(32)2+(42)2≠(52)2，不构成勾股数，故本选项不符合题意； C项，12+22≠32，不构成勾股数，故本选项不符合题意； D项，52+122=132，构成勾股数，故本选项符合题意.           两个数的积为0，则这两个数中至少有一个数等于0. 勾股定理的逆定理 逆定理 如何判断 直角三角形   ①找最长边 ②算两短边的平方和与长边的平方 ③判断等量关系 课堂小结 $