精品解析：山东聊城市2026届高三下学期模拟预测数学试题

聊城市2026年高考模拟试题 数学（三） 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置上． 2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由，可知在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点位于第二象限. 【详解】因为， 所以在复平面内对应的点为， 则复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性结合定义域，求出集合，再求出即可. 【详解】解：因为，则，所以， 又，所以，因此， 所以. 3. 已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量模的坐标表示，向量数量积公式求解即可. 【详解】因为，所以， 又，， 即， 因为，所以. 4. 已知点在抛物线C：上，则C的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将点的坐标代入标准方程，求出，再求出准线即可. 【详解】由点在抛物线上，则， 即，解得或（舍）， 因为抛物线准线方程为，即， 因此，抛物线C的准线方程为. 5. 上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥内切球半径即为圆锥轴截面三角形的内切圆半径求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，则，则, 所以圆锥的高, 由于圆锥的轴截面为等腰三角形，其面积，周长, 所以轴截面等腰三角形内切圆的半径, 故该圆锥形模型的内切球的半径为 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一条对称轴的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ . 令，解得. 对选项A：当时，，符合对称轴方程，故A正确. 对选项B：令，解得，故B错误. 对选项C：令，解得，故C错误. 对选项D：令，解得，故D错误. 7. 记等差数列的前n项和为，则“的公差为2”是“为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】若的公差，则， 故， 记，则为常数，故是等差数列，充分性成立； 若为等差数列，则为常数，而， 故常数，故，即，必要性成立， 因此“的公差为2”是“为等差数列”的充要条件. 8. 已知函数，的定义域均为R，且，，若是偶函数，且，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】联立两个函数关系式消去，推导得出的对称轴，结合偶函数性质推出函数周期，利用周期性和对称性求出，再代入关系式求出，最终计算目标值. 【详解】由得. 又因，则有， 即，故函数的图象关于直线对称. 又是偶函数，其图象关于直线对称. 故的一个周期为. 由得. 在中令，得. 由得. 因此. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，所以，B错误； 对于C，因为，的正态曲线关于对称， ，， 所以，C正确； 对于D，，， ，， 所以，D正确. 10. 若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（ ） A. 有3个不同的零点 B. 在区间上单调递增 C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据切线斜率条件求导，由得，确定，再分析其零点、导数与单调性，结合函数在各区间的增减性，逐一判断选项． 【详解】，， 因为函数的图象在点处的切线的斜率为， 所以，解得， 所以，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增， 对于A，由，得，，A错误； 对于B，区间，即是， 因为在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，B正确； 对于C，当时，，所以， 因为在区间上单调递减，所以，C正确； 对于D，， ，所以恒成立， 即对所有成立，D错误． 11. 点为圆上的动点，点，线段的垂直平分线与直线交于点，点的轨迹与轴交于点，，则（ ） A. 的最小值为1 B. 点不在轴上时，直线，的斜率之积为 C. 当时， D. 当于点时，动点的轨迹是圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：借助垂直平分线性质可得，再利用可得，即可由双曲线定义得到点的轨迹方程，计算判断即可；对B：设，可得，再表示出并计算即可得；对C：借助三角形内角和及诱导公式可得，再借助B中所得结合斜率与倾斜角的关系，利用两角和的余弦公式与同角三角函数基本关系计算即可得；对D：取点关于对称点，可得的轨迹方程，则可得中点的轨迹方程. 【详解】又：，则，半径， 由为线段的垂直平分线，故， 又为上的任意一点，故， 由，则， 则或，则， 故点的轨迹为以、为焦点，的双曲线， 由、，故，则， 即点的轨迹方程为，故的最小值为1正确，故A正确； 对B：设在左侧，由点的轨迹方程为，故、， 设，则有，故， 则，故B错误； 对C：由，故， 则， 即， 由B知，又， ， 故， 即， 则， 即，故C正确； 对D：取点关于对称点，则， 故点的轨迹方程为， 由在上且，则为中点，则有，， 故，，即有， 化简得，所以动点的轨迹是圆. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等比数列中，，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】设等比数列的公比为. ∴ ，，， 则 ， ∵ ，， ∴ 代入得 ，解得，即， 将代入，得，解得， ∴ . 13. 高一年级安排一班的甲、乙，二班的丙、丁，三班的戊共5名同学去Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个社区做志愿者，每名同学只去1个社区，每个社区至少1名同学，且同一班级的同学不去同一个社区，则不同的安排方法共有________种．（用数字作答） 【答案】192 【解析】 【分析】先将5名同学分成4组，再将分好的4组全排列安排到4个社区，同时要考虑同一班级的同学不去同一个社区这一限制条件，最后用分步乘法计数原理计算总数即可. 【详解】5人分配到4个社区，且每个社区至少1人，则分组模式为2，1，1，1型（1个2人组，3个1人组）， 不考虑限制时，从5人中选2人的组合数：， 剔除同班同学同组的无效组合：{甲，乙}、{丙，丁}，共2种，有效2人组有种， 再将1个2人组和3个1人组分配到4个不同社区进行全排，则不同的安排方法共有种. 14. 在三棱柱中，为等腰直角三角形，且，，若直线与平面所成的角为60°，则的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】可通过空间向量分解和线面角性质来求解，核心是利用线面角的约束条件，将向量正交分解，转化为平面向量求最值即可. 【详解】， 即， 因为直线与平面所成的角为60°，故在平面内的投影满足：， 即投影点在底面以为圆心，半径为的圆上，故的竖直分量垂直于平面， 因此，等价于投影向量，其中，， 根据向量性质，， 当且仅当与同向时取得最大值24， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤． 15. 在中，内角Ａ,Ｂ,Ｃ的对边分别为a，b，c，已知，且A为锐角． （1）求A； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理实现边角互化，结合两角和的正弦公式与三角形内角和定理消元，直接求解角A. （2）联立余弦定理与已知边的关系得到边的比例，再通过正弦定理转化为角的关系，结合两角差的正弦公式展开计算目标值. 【小问1详解】 由正弦定理得. 交叉相乘得. 移项整理得. 由两角和的正弦公式得. 在中，，故. 因此. 由得，两边同除以得. 又为锐角，故. 【小问2详解】 由余弦定理得. 代入得. 结合已知，联立得. 两边同乘得. 移项整理得. 因式分解得. 由得，故，即. 由正弦定理得，即. 由得，故. 因此. 联立得. 化简得，即，则为锐角， 由，解得，. 所以，. 因此. 16. 已知函数． （1）当时，证明：； （2）当时，求的极大值点． 【答案】（1）证明见解析 （2）当时，极大值点为；当时，无极大值点；当时，极大值点为. 【解析】 【分析】(1)代入化简函数，通过求导分析单调性，求得最小值为1，从而证明不等式. (2)对函数求导并因式分解，根据两个临界点的大小关系分情况讨论函数单调性，进而确定极大值点. 【小问1详解】 当时，，定义域为. 求导得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此在处取得最小值，故. 【小问2详解】 函数的定义域为. 求导得. 对分子因式分解得. 令，解得或，由知. 当时，. 此时时，，单调递减； 时，，单调递增； 时，，单调递减. 故的极大值点为. 当时，，此时，当且仅当时取等号. 因此在上单调递减，无极值点. 当时，. 此时时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减. 故的极大值点为. 17. 为研究某疾病患病情况，某研究机构调查了1000户三口之家，得到户内患病人数与对应户数的数据如下表： 户内患病人数 0 1 2 3 对应户数 530 360 90 20 （1）求本次调查的总体患病率(总体患病率总患病人数总调查人数)； （2）假设各户患病人数均服从二项分布，且，其中为(1)中的总体患病率，求户内患病人数所对应的概率以及对应的户内患病人数为的理论预期户数，． （3）为检验(2)中假设是否合理，统计学上常用卡方来检验二项分布的拟合优度，其中卡方统计量的定义为：．小概率值0.05的卡方拟合优度检验的临界值，当时，认为数据服从二项分布；反之认为不服从二项分布，说明患病情况存在家庭聚集性．计算卡方统计量的值，并判断该疾病患病情况是否存在家庭聚集性． 【答案】（1）总体患病率为 （2），；，；，；， （3），该疾病患病情况存在家庭聚集性 【解析】 【分析】(1)根据总体患病率的定义，计算总调查人数与总患病人数的比值得到患病率. (2)利用二项分布的概率公式计算各患病人数对应的概率，再乘以总户数得到理论预期户数. (3)代入卡方统计量公式计算数值，与临界值比较后判断是否存在家庭聚集性. 【小问1详解】 总调查人数为人. 总患病人数为人. 因此总体患病率. 【小问2详解】 由题意知，其概率分布为，. 理论预期户数. 当时，，. 当时，，. 当时，，. 当时，，. 【小问3详解】 代入卡方统计量公式， 分别计算各项： ， ， ， . 求和得. 由于，故认为数据不服从二项分布，即该疾病患病情况存在家庭聚集性. 18. 如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，分别为，的中点，沿将折起，得到四棱锥，如图2． （1）若平面与平面的交线为，证明：； （2）证明：平面平面； （3）若平面与平面夹角的余弦值为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行判定定理证得平面，再利用线面平行的性质定理证得； （2）建立空间直角坐标系，设，二面角的平面角为，求出两个平面的法向量，并计算向量的点积，根据法向量的位置关系证明两个平面的位置关系； （3）同（2）问，先求出两个平面的法向量，再根据两平面夹角余弦值列方程求出. 【小问1详解】 因为，分别为，的中点，所以， 又平面平面，所以平面， 又平面平面，所以； 【小问2详解】 由题可知，，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 以为原点，分别为轴，轴， 过点且垂直于底面的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，二面角的平面角为，则， 所以， 所以， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 所以，令，则， 所以， 同理，令，则， 所以， 所以， 所以平面平面； 【小问3详解】 由（2）可知， 设平面与平面的法向量分别为， 所以，， 令，则，所以， 令，则，所以， 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以， 即， 解得或（舍去）， 所以二面角的余弦值为. 19. 已知椭圆E：的离心率为，上、下顶点分别为，，左、右顶点分别为，， （1）求的方程； （2）点列，在E上，且直线过的右焦点，其中，，，若，证明： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】（1） （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用离心率定义和两点间距离公式，结合椭圆中即可得到椭圆方程. （2）（ⅰ）向量平行即斜率相等，利用韦达定理，及椭圆方程条件证明即可； （ⅱ）利用，得到 ，从而，可递推出结论. 【小问1详解】 已知椭圆E：，离心率， 所以，又，所以， 因为顶点坐标，,，因为， 解得 ，， 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 （ⅰ）椭圆的右焦点,设直线的方程为，，, 联立， 整理得：， ，，，即 设， ，， ， ， ， ，化简得， 代入， 因为在椭圆上，满足 ， 故，， 则，故. （ⅱ）由（ⅰ）知，，即，因为，所以， 坐标在椭圆上，满足 代入得到 ， 化简得： ，因为，所以 ， 即 ，已知，，点在椭圆上， 求得，所以，即，，； ， 即，所以化简结束，成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 聊城市2026年高考模拟试题 数学（三） 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置上． 2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在抛物线C：上，则C的准线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一条对称轴的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 记等差数列的前n项和为，则“的公差为2”是“为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数，的定义域均为R，且，，若是偶函数，且，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 10. 若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（ ） A. 有3个不同的零点 B. 在区间上单调递增 C. ， D. ， 11. 点为圆上的动点，点，线段的垂直平分线与直线交于点，点的轨迹与轴交于点，，则（ ） A. 的最小值为1 B. 点不在轴上时，直线，的斜率之积为 C. 当时， D. 当于点时，动点的轨迹是圆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等比数列中，，，则________． 13. 高一年级安排一班的甲、乙，二班的丙、丁，三班的戊共5名同学去Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个社区做志愿者，每名同学只去1个社区，每个社区至少1名同学，且同一班级的同学不去同一个社区，则不同的安排方法共有________种．（用数字作答） 14. 在三棱柱中，为等腰直角三角形，且，，若直线与平面所成的角为60°，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤． 15. 在中，内角Ａ,Ｂ,Ｃ的对边分别为a，b，c，已知，且A为锐角． （1）求A； （2）若，求的值． 16. 已知函数． （1）当时，证明：； （2）当时，求的极大值点． 17. 为研究某疾病患病情况，某研究机构调查了1000户三口之家，得到户内患病人数与对应户数的数据如下表： 户内患病人数 0 1 2 3 对应户数 530 360 90 20 （1）求本次调查的总体患病率(总体患病率总患病人数总调查人数)； （2）假设各户患病人数均服从二项分布，且，其中为(1)中的总体患病率，求户内患病人数所对应的概率以及对应的户内患病人数为的理论预期户数，． （3）为检验(2)中假设是否合理，统计学上常用卡方来检验二项分布的拟合优度，其中卡方统计量的定义为：．小概率值0.05的卡方拟合优度检验的临界值，当时，认为数据服从二项分布；反之认为不服从二项分布，说明患病情况存在家庭聚集性．计算卡方统计量的值，并判断该疾病患病情况是否存在家庭聚集性． 18. 如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，分别为，的中点，沿将折起，得到四棱锥，如图2． （1）若平面与平面的交线为，证明：； （2）证明：平面平面； （3）若平面与平面夹角的余弦值为，求二面角的余弦值． 19. 已知椭圆E：的离心率为，上、下顶点分别为，，左、右顶点分别为，， （1）求的方程； （2）点列，在E上，且直线过的右焦点，其中，，，若，证明： （ⅰ）； （ⅱ）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $