精品解析：山东省聊城市2025届高考模拟试题（三）数学试题

2025年聊城市高考模拟试题 数学（三） 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置上． 2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知数据，9，7，9的中位数和平均数相等，那么的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 5或9 D. 7或11 4. 已知平面向量，是两个单位向量，若的模为，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 记为公差不为0的等差数列的前项和，若，，，成等比数列，则（ ） A. 0 B. 6 C. 12 D. 18 6. 已知是直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知某圆台的轴截面中有一个角为，且下底是上底的2倍，若该圆台的外接球的表面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为可导函数，设其导函数为．若为偶函数，且，则（ ） A. 60 B. 40 C. 20 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知曲线，，，为曲线上的动点，则（ ） A. 若第一象限，则 B. 若在第二象限，则在轴上存在两点，，使为定值 C. 若在第三象限，过点向直线作垂线，垂足分别为，则 D. 直线是曲线的一条切线 11. 对于数列，设区间内偶数的个数为，则称数列为的“数列”，则（ ） A. 若数列是数列的“数列”，则 B. 若数列是数列的“数列”，则是常数列 C. 若数列是数列的“数列”，则是等比数列 D. 若数列是数列的“数列”，则数列的前项的和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是关于的方程的一个根，则的模为_____． 13. 函数的最小值为_____． 14. 已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，连接与轴交于点，若是的角平分线，则椭圆的离心率为_____． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，且边上的高为，求的周长． 16. 如图，在三棱柱中，，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求的方程； （2）若，分别是的左、右顶点，不与轴垂直的动直线与交于，两点（不同于，），且直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求证：直线经过定点． 18. 已知函数． （1）若恒成立，求的取值范围； （2）当时，（i）求的最小值；（ii）证明：． 19. 一种微生物可以经过自身分裂不断生存下来，对于每个微生物，每次分裂的结果为：有的概率消失，有的概率得到一个新微生物，有的概率得到两个新微生物，有的概率得到三个新微生物．假设开始只有一个这样的微生物． （1）若，求该微生物经过第一次分裂得到新微生物个数的均值； （2）若，求该微生物至多经过两次分裂后消失条件下，第一次分裂得到两个新微生物的概率； （3）若希望最终这种微生物消失的概率不超过，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年聊城市高考模拟试题 数学（三） 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置上． 2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数单调性来解指数不等式，再利用交集运算即可. 【详解】由， 则， 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由，根据对数函数的性质，可得，所以必要性成立； 若时，此时不成立，所以充分不成立， 所以”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知数据，9，7，9的中位数和平均数相等，那么的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 5或9 D. 7或11 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数的计算及中位数的定义，分类讨论，列出方程即可求解． 【详解】平均数为， 将这组数据排序，若，7，9，9，则中位数为， 所以，符合题意； 将这组数据排序，若7，，9，9，则中位数为， 所以，符合题意； 若7，9，9，，则中位数为， 所以，符合题意； 综上所述，的值为7或11， 故选：D． 4. 已知平面向量，是两个单位向量，若的模为，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再求出投影向量. 【详解】依题意，，则，而，解得， 所以在上的投影向量是. 故选：C 5. 记为公差不为0的等差数列的前项和，若，，，成等比数列，则（ ） A. 0 B. 6 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得，再由等比中项的性质可得，结合等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设等差数列的公差为， 由可得，即， 又，，成等比数列，所以，即， 化简可得，解得或（舍）， 则，所以， 则. 故选：C 6. 已知是直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】应用点到直线距离得出，最小时，利用面积公式结合角的范围即得. 【详解】∵圆心O到直线的距离，所以， 设 ，，所以，，所以， 则面积 故选：A. 7. 已知某圆台轴截面中有一个角为，且下底是上底的2倍，若该圆台的外接球的表面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出圆台的高，然后根据外接球的表面积求出上底和下底半径，然后根据圆台体积公式求出其体积. 【详解】设圆台的上底半径为，则下底半径. 轴截面为等腰梯形，两底边长分别为和，腰与下底的夹角为. 则圆台的高，即梯形的高为. 因为外接球的表面积为，所以球半径为. 设球心到上底圆心距离为，则到下底圆心距离为. 根据球心到上下底面圆周的距离均为2，得方程： ，解得. 所以圆台体积为： . 故选：C. 8. 已知是定义域为的可导函数，设其导函数为．若为偶函数，且，则（ ） A. 60 B. 40 C. 20 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性结合求导数，得出函数周期，应用周期计算求解函数值即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 所以，所以， 所以，且， 所以，，所以， 所以，所以的周期为4， 因为，令，可得， 令， 所以 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据两角和差公式计算求解判断A，B，结合同角三角函数关系判断C，应用二倍角正弦公式计算判断D. 【详解】A选项，已知，， 则，A错误； B选项，，B正确； C选项，，所以，C正确； D选项， ，D错误； 故选：BC. 10. 已知曲线，，，为曲线上的动点，则（ ） A. 若在第一象限，则 B. 若在第二象限，则在轴上存在两点，，使为定值 C. 若在第三象限，过点向直线作垂线，垂足分别为，则 D. 直线是曲线的一条切线 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出表达式，进而求出的范围判断A；利用椭圆的定义判断B；利用点到直线距离判断C；联立方程组，借助判别式计算判断D. 【详解】对于A，设点，， ，同理，则 ，而，因此，故A错误； 对于B，当在第二象限时，曲线是椭圆在第二象限的部分， 该椭圆的焦点为，长轴长为4，由椭圆定义得，故B正确； 对于C，设，， 则，故C正确； 对于D，当在第二象限时，由消去得， ，因此直线与椭圆相切于点， 即直线是曲线的一条切线，故D正确. 故选：BCD. 11. 对于数列，设区间内偶数的个数为，则称数列为的“数列”，则（ ） A. 若数列是数列的“数列”，则 B. 若数列是数列的“数列”，则是常数列 C. 若数列是数列的“数列”，则是等比数列 D. 若数列是数列的“数列”，则数列的前项的和为 【答案】ACD 【解析】 分析】根据数列新定义，结合常数列，等差数列，等比数列及错位相减法即可分别判断各个选项． 【详解】对于A，由题意得，在区间内偶数有13个，故，故A正确； 对于B，设，在区间内最大的偶数为， 所以共有个偶数，则，不为常数列，故B错误； 对于C，，在区间内最大的偶数为， 所以共有个偶数，则，为等比数列，故C正确； 对于D，由C得，，设前项和为， 则， ， 两式相减得， ，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是关于的方程的一个根，则的模为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题知，即，再根据复数相等求解即可. 【详解】知是关于的方程的一个根， 所以，即， 所以，解得. 的模为. 故答案为：. 13. 函数的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据，和三种情况，分别对函数解析式进行化简，求导，讨论单调性，计算出最小值 【详解】， 当时，. ， 故在上单调递减； 当时，. ， 在上单调递减； 当时，. ， 令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增. 又为连续函数， 因此函数的最小值为. 故答案为：. 14. 已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，连接与轴交于点，若是的角平分线，则椭圆的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用角平分线定理，转化线段之比，再利用已知线段以及抛物线焦半径公式可求出点，从而可得方程求解，最后可求得离心率. 【详解】 利用角平分线定理： 因为是的角平分线，所以有， 设，根据抛物线的定义可得， 由图可知与之比等于点横坐标与之比， 则有，解得，根据，交点在第一象限， 所以，即把点代入椭圆方程可得： ， 又因为， 所以联立上面两式可得：， 解得， 所以， 即离心率， 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，且边上的高为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，即可求得的大小； （2）根据题意，利用面积相等法，求得，再由余弦定理，列出关于的方程，求得，进而求得的周长. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理，可得， 又因为，可得，所以， 即， 因为，可得，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 解：由边上的高为，可得， 又由且，可得面积为， 所以，解得，即， 在中，由余弦定理得， 可得，整理得， 解得或（舍去），此时， 所以的周长为. 16. 如图，在三棱柱中，，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明四边形为矩形，需证明其中一组邻边垂直，可通过向量运算或几何方法利用已知角度和边长关系来证明； （2）首先建立空间直角坐标系，利用平面的法向量来求解. 【小问1详解】 根据题意，设， . 因为； ， 所以，所以. 又三棱柱中，四边形为平行四边形， 所以四边形为矩形. 【小问2详解】 取的中点，连接.作交于点. 由（1）知，四边形为矩形，所以. 因为，所以. 因为为等腰直角三角形，是中点，所以. 又，所以平面. 因为平面，所以. 又，所以平面. 在中，由余弦定理得：. 所以. 在中，由勾股定理可得. 在中，由余弦定理得：. 所以，从而. 由此可得. 以为原点，分别以所在直线为轴，过作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设平面的法向量为，则为平面的一个法向量. 因为， 所以，. 设平面的法向量为，则 ，所以，令， 则平面的一个法向量为. 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求的方程； （2）若，分别是的左、右顶点，不与轴垂直的动直线与交于，两点（不同于，），且直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求证：直线经过定点． 【答案】（1）; （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的参数意义，即可联立求解椭圆方程； （2）利用直线与椭圆联立方程组和韦达定理公式，再借助已知的斜率关系，可转化根与系数的关系上来，最后可得，从而可证直线过定点. 【小问1详解】 由题意得：， ，所以解得， 即椭圆方程； 【小问2详解】 设直线方程为，与椭圆联立，消得： ， 其中， 设，则， 由已知得：， 再化简得：， 代入得：， 整理得：， 因为直线不经过点，所以， 即， 所以直线的方程为， 因此直线经过定点. 18. 已知函数． （1）若恒成立，求的取值范围； （2）当时，（i）求的最小值；（ii）证明：． 【答案】（1）； （2）；证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论，再求导研究单调性，即可求出最小值，从而可求解的取值范围； （2）（i）利用常规求导来判断函数的单调性，即可求得最小值； （ii）利用第（i）问的结论，从而把要证明的不等式转化为，再作差构造函数求导来证明即可. 【小问1详解】 因为函数的定义域为， 当时，恒成立， 当时，，所以此时不恒成立， 当时，求导得， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 所以， 即不等式恒成立，等价于， 综上，的取值范围为. 【小问2详解】 （i）当时，，则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 所以， （ii）由，则要证明，只需要证明， 构造，则， 所以在上单调递增， 即，所以有， 即成立． 19. 一种微生物可以经过自身分裂不断生存下来，对于每个微生物，每次分裂的结果为：有的概率消失，有的概率得到一个新微生物，有的概率得到两个新微生物，有的概率得到三个新微生物．假设开始只有一个这样的微生物． （1）若，求该微生物经过第一次分裂得到新微生物个数的均值； （2）若，求该微生物至多经过两次分裂后消失的条件下，第一次分裂得到两个新微生物的概率； （3）若希望最终这种微生物消失的概率不超过，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)利用离散型概率分布列来求期望即可； (2)利用全概率公式和贝叶斯概率公式来求解即可； (3)利用全概率公式进行计算，化简，结合求值域可得的取值范围. 【小问1详解】 设该微生物经过第一次分裂得到新微生物个数为，可能取值有， 因为，则有，， 所以； 【小问2详解】 设事件“该微生物至多经过两次分裂后消失”， 事件“该微生物第一次分成个，”， 则， ， ， 所以， 故该微生物至多经过两次分裂后消失的条件下，第一次分裂得到两个新微生物的概率； 【小问3详解】 开始有一个这样的微生物，设最终消失的概率为， 那么有个这样的微生物最终消失的概率为，， 则， 代入得：， 整理得：， 即 因为，所以有， 即，解得， 故的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $