8.2.1.一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计教案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该教案聚焦“一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计”核心知识，通过复习散点图与样本相关系数，提出用统计模型刻画变量相关关系的问题，衔接前后知识，搭建学习支架。 以父亲与儿子身高数据为案例，引导学生观察散点图发现线性相关，理解随机误差来源，体现数学抽象；通过多种方法探究最接近直线，推导最小二乘法公式，培养数据分析与数学思维；跟踪训练结合产量能耗问题，提升数学应用能力。帮助学生建立统计观念，为教师提供直观教学路径，提升课堂效率。

教学设计 课题 8.2 一元线性回归模型及其应用 课时1.一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计 学科 数学 年级 高二 教学目标 1.了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义.（数学抽象） 2.了解最小二乘法，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.（数据分析） 3.了解回归分析的基本思想方法和初步应用，针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.（数学应用） 重点 一元线性回归模型；最小二乘法. 难点 一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法. 教学环节 教学过程 设计意图 新课导入 问题导入：通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数，可以推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等．能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型刻画两个随机变量的相关关系，利用这个模型研究两个变量之间的随机关系，并通过模型进行预测吗？ 设置问题情境，复习前面所学，激发学生学习兴趣，并引出本节新课. 新课讲授 知识点1：一元线性回归模型 生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是正相关，即父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高．为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了某所高校14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如表所示． 编号 1 2 3 4 5 6 7 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 编号 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 174 170 168 178 172 165 182 以横轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角坐标系，再将表中的成对样本数据表示为散点图，如图所示． 可以发现，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明儿子身高和父亲身高线性相关．利用统计软件，求得样本相关系数为，表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高． 教师提问：根据上表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？ 学生独立思考，教师引导讲解：在表的数据中，存在父亲身高相同，而儿子身高不同的情况． 例如，第6个和第8个观测的父亲身高均为172cm，而对应的儿子身高分别为176cm和174cm；同样，第3，4两个观测中，儿子身高都是170cm，而父亲身高分别为173cm和169cm．可见儿子身高和父亲身高之间不是函数关系，也就不能用函数模型刻画． 图中的散点大致分布在一条直线附近，表明儿子身高和父亲身高这两个变量之间有较强的线性相关关系，因此我们可以用一次函数来刻画父亲身高对儿子身高的影响，而把影响儿子身高的其他因素，如母亲身高、生活环境、饮食习惯等作为随机误差，得到刻画两个变量之间关系的线性回归模型．其中，随机误差是一个随机变量． 一元线性回归模型：用表示父亲身高，表示儿子身高，表示随机误差．假定随机误差的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值，则它们之间的关系可以表示为（1）称（1）式为关于的一元线性回归模型．其中，称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量；和为模型的未知参数，称为截距参数，称为斜率参数：是与之间的随机误差． 模型中的也是随机变量，其值虽然不能由变量的值确定，但是却能表示为与的和（叠加），前一部分由所确定，后一部分是随机的．如果，那么与之间的关系就可用一元线性函数模型来描述． 对于父亲身高和儿子身高的一元线性回归模型（1），可以解释为父亲身高为的所有男大学生的身高组成一个子总体，该子总体的均值为，即该子总体的均值与父亲身高是线性函数关系．而对于父亲身高为的某一名男大学生，他的身高并不一定为，它仅是该子总体中的一个观测值，这个观测值与均值有一个误差项． 教师提问：你能结合具体实例解释产生模型（1）中随机误差项的原因吗？ 学生思考，小组讨论，给出答案. 在研究儿子身高与父亲身高的关系时，产生随机误差的原因有： （1）除父亲身高外，其他可能影响儿子身高的因素，比如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等； （2）在测量儿子身高时，由于测量工具、测量精度所产生的测量误差； （3）实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么，可以利用一元线性回归模型来近似这种关系，这种近似也是产生随机误差e的原因． 知识点2：最小二乘法求经验回归方程 在一元线性回归模型中，表达式刻画的是变量与变量之间的线性相关关系，其中参数和未知，需要根据成对样本数据进行估计．由模型的建立过程可知，参数和刻画了变量与变量的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近． 利用下面的散点图找出一条直线，使各散点在整体上与此直线尽可能接近． 有的同学可能会想，可以采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置．测量出此时的斜率和截距，就可得到一条直线，如图所示． 有的同学可能会想，可以在图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线，如图所示． 还有的同学会想，在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距如图所示． 通常，我们会利用点到直线的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度．我们设满足一元线性回归模型的两个变量的对样本数据为，，…，，由，得．显然越小，表示点与点的“距离”越小，即样本数据点离直线的竖直距离越小，如图所示．特别地，当时，表示点在这条直线上． 因此，可以用这个竖直距离之和来刻画各样本观测数据与直线的“整体接近程度”． 在实际应用中，因为绝对值使得计算不方便，所以人们通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和来刻画“整体接近程度”． 在上式中，是已知的成对样本数据，所以由和所决定，即它是和的函数．因为还可以表示为，即它是随机误差的平方和，这个和当然越小越好，所以我们取使达到最小的和的值，作为截距和斜率的估计值．记，，当的取值为（2）时，达到最小． 经验回归方程：称为关于的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．其中（2） 最小二乘法：这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做的最小二乘估计． 对于前面表中的数据，利用公式（2）可以计算出，，得到儿子身高关于父亲身高的经验回归方程为，相应的经验回归直线如图所示． 跟踪训练 1.已知两个线性相关变量x与y的统计数据如下表： x 3 4 5 6 7 y 2.4 m 4 4.6 5.2 其经验回归方程为，则( ) A.2.8 B.3 C.3.2 D.3.4 2.（多选）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表.现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，则下列说法正确的是( ) x 2 3 4 5 6 y 19 25 ★ 38 44 A.看不清的数据★的值为34 B.回归直线必经过点（4，★） C.回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨 D.据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗约为50.9吨 通过一个具体问题的解决，让学生巩固前面所学内容和方法，也为本节内容的学习做好认知准备.同时该问题又可以作为探究一元线性回归模型的例子，使教学过程自然、连贯. 通过这个问题，使学生初步了解后面要建立的回归模型中变量的含义，理解随机误差的来源. 在函数模型的基础上建立含有随机变量的回归模型，这是定量描述随机现象的重要方法，完成一元线性回归模型的建立，理解回归模型与函数模型的区别. 通过具体实例，加深学生对一元线性回归模型的理解，加深对随机误差的理解. 明确问题，指明思考的方向，引发学生思考. 利用散点图，独立思考、自主探索，寻找最接近的直线的过程，能够调动学生的思维，体会统计思想方法的产生和形成过程，培养数据分析的素养. 按照由少及多，由简单到复杂的顺序，化繁为简，克服公式推导困难.在本阶段分析、解决问题的过程中，渗透转化与化归的思想，培养学生的数学运算素养，提高数学运算能力. 通过使用最小二乘法估计参数，让学生经历完整的数据分析全过程.既可激发学生的学习兴趣，又锻炼了思维的严谨性，使学生更加深刻地体会统计的思想，发展数据分析的观念，培养实事求是、严谨求实的科学态度和锲而不舍的钻研精神. 通过练习加强学生统计思想的应用、数据分析的能力. 课堂小结 1.一元线性回归模型 2.最小二乘估计 让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 板书设计 8.2 一元线性回归模型及其应用 课时1.一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计 1.一元线性回归模型 2.最小二乘法求经验回归方程 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $