8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计第2课时教学设计——2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 春季 课题 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时） 教科书 书 名：选择性必修第三册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年3月 教学目标 1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件. 2.了解非线性回归模型. 3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果. 教学内容 教学重点：一元线性回归模型的含义。最小二乘估计的原理与方法。残差分析。 教学难点：一元线性回归模型参数最小二乘估计的推导，解释预测值的含义。理解刻画模型拟合效果的指标。 教学过程 （一）教材分析 1. 教材来源 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第八章《成对数据的统计相关性》 2. 地位与作用 建立一元线性回归模型过程中，方程的建立、参数的估计、模型有效性分析等都是培养学生数据分析、数学建模、逻辑推理、数学抽象的重要素材，也是加强学生“四基”，提高“四能”的重要内容。 （二）学情分析 1.认知基础：通过散点图判断成对数据的相关性已经很熟练。 2.认知障碍：线性回归模型中随机误差的假设、最小二乘原理和方法等存在理解困难。 （三）教学目标 1. 知识目标：.通过用教学方法刻画散点与直线接近的程度，体会一元线性回归模型参数的最小二乘估计原理 2. 能力目标：通过对残差和残差图分析，用残差判断一元线性回归模型的有效性，发展数据分析能力 3. 素养目标：培养学生数学运算与数据分析素养 新知探究 在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要运用散点图选择适当的函数模型来拟合观测数据，然后通过适当的变量代换，把非线性问题转化为线性问题，从而确定未知参数，建立相应的线性回归方程． 问题　具有相关关系的两个变量的线性回归方程为＝x＋.预测值与真实值y一样吗？预测值与真实值y之间误差大了好还是小了好？ 提示　不一定；越小越好． 1．残差的概念 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 2．刻画回归效果的方式 (1)残差图法 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好． (2)残差平方和法 残差平方和 (yi－i)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差． (3)利用R2刻画回归效果 决定系数R2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力． R2＝1－，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差． 拓展深化 [微判断] 1．残差平方和越接近0, 线性回归模型的拟合效果越好．(√) 2．在画两个变量的散点图时， 响应变量在x轴上，解释变量在y轴上．(×) 提示　在画两个变量的散点图时， 响应变量在y轴上，解释变量在x轴上． 3．R2越小， 线性回归模型的拟合效果越好．(×) 提示　R2越大， 线性回归模型的拟合效果越好． [微训练] 1．在残差分析中， 残差图的纵坐标为__________． 答案　残差 2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表： 甲 乙 丙 丁 R2 0.98 0.78 0.50 0.85 哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？ 解　R2越大，表示回归模型的拟合效果越好，故甲同学建立的回归模型拟合效果最好． [微思考] 在使用经验回归方程进行预测时，需要注意哪些问题？ 提示　(1)经验回归方程只适用于所研究的样本的总体；(2)所建立的经验回归方程一般都有时效性；(3)解释变量的取值不能离样本数据的范围太远．一般解释变量的取值在样本数据范围内，经验回归方程的预报效果好，超出这个范围越远，预报的效果越差；(4)不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值. 题型一　线性回归分析 【例1】　已知某种商品的价格x(单位：元/件)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据： x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏． 解　＝(14＋16＋18＋20＋22)＝18， ＝(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4， x＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， xi yi＝14×12＋1