8.1.2 样本相关系数教案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该教案聚焦高中数学“样本相关系数”核心知识点，通过问题导入，从散点图直观判断相关性的局限性出发，引出量化分析需求，衔接前期散点图知识，搭建从直观到量化的学习支架。 此资料亮点在于以“中心化”“标准化”数据处理为线索，引导学生自主构造样本相关系数，渗透数学抽象与数学运算素养。结合向量夹角解释相关系数取值，培养数学思维，通过年龄与脂肪含量等实例分析，发展数据分析能力。助力学生提升抽象建模能力，为教师提供探究式教学清晰路径。

教学设计 课题 8.1.2 样本相关系数 学科 数学 年级 高二 教学目标 1.了解样本相关系数的统计含义.（数学抽象） 2.会通过样本相关系数判断多组成对样本数据的相关性.（数学运算、数据分析） 重点 样本相关系数. 难点 样本相关系数判断相关性. 教学环节 教学过程 设计意图 新课导入 问题导入：通过观察散点图中成对样本数据的分布规律，我们可以大致推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关、是线性相关还是非线性相关等．散点图虽然直观，但无法确切地反映成对样本数据的相关程度，也就无法量化两个变量之间相关程度的大小．能否像引入均值、方差等数字特征对单个变量数据进行分析那样，引入一个适当的“数字特征”，对成对样本数据的相关程度进行定量分析呢？ 设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课. 新课讲授 知识点：样本相关系数 对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，，…，，其中和的均值分别为和．为了刻画每个变量的观测数据相对其均值的增减情况，将每个变量的观测数据减去其均值，得到成对数据为，，…，，并绘制散点图． 编号 1 2 3 4 5 6 7 年龄／岁 23 27 39 41 45 49 50 脂肪含量／％ 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 编号 8 9 10 11 12 13 14 年龄／岁 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量／％ 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 利用上述方法处理表中的数据，得到如图．我们发现，这时的散点大多数分布在第一象限、第三象限，大多数散点的横、纵坐标同号．显然，这样的规律是由人体脂肪含量与年龄正相关所决定的． 一般地，如果变量和正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第一象限、第三象限，对应的成对数据同号的居多，如图（1）所示；如果变量和负相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数据异号的居多，如图（2）所示． 教师提问：根据上述分析，你能利用正相关变量和负相关变量的成对样本数据平移后呈现的规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数字特征吗？ 学生通过观察、讨论发现：从上述讨论得到启发，利用散点的横、纵坐标是否同号，可以构造一个量 ．一般情形下，表明成对样本数据正相关；表明成对样本数据负相关． 教师提问：你认为的大小一定能度量出成对样本数据的相关程度吗？ 学生思考、讨论，提出猜想，教师讲解. 样本数据正相关与同号； 样本数据负相关与异号．（其中）． 因为的大小与数据的度量单位有关，所以不宜直接用它度量成对样本数据相关程度的大小．例如，在研究体重与身高之间的相关程度时，如果体重的单位不变，把身高的单位由米改为厘米，则相应的将变为原来的100倍，但单位的改变并不会导致体重与身高之间相关程度的改变． 为了消除度量单位的影响，需要对数据作进一步的“标准化”处理．我们用，分别除和，得，，…，． 样本相关系数：为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为，，…，，仿照的构造，可以得到（1）．称为变量和变量的样本相关系数． 教师提问：样本相关系数的大小与成对样本数据的相关程度有什么内在联系呢？ 学生自主思考，小组讨论，教师引导. 观察的结构，联想到二维（平面）向量、三维（空间）向量数量积的坐标表示，将向量的维数推广到维，维向量的数量积仍然定义为，其中为向量的夹角．类似于平面或空间向量的坐标表示，对于向量和，有．设“标准化”处理后的成对数据，，…，的第一分量构成维向量，第二分量构成维向量，则有． 因为，所以样本相关系数，其中为向量和向量的夹角． 由，可知． 教师提问：当时，成对样本数据之间具有怎样的关系呢？ 当时，中的或，向量和共线．由向量的知识可知，存在实数，使得，即，．这表明成对样本数据都落在直线上．这时，成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系． 样本相关系数的取值范围为．样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度： 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 样本相关系数有时也称样本线性相关系数，刻画了样本点集中于某条直线的程度．当时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系． 下图是不同成对样本数据的散点图和相应的样本相关系数．图（1）中的散点有明显的从左下角到右上角沿直线分布的趋势，说明成对样本数据呈现出线性相关关系；样本相关系数，表明成对样本数据的正线性相关程度很强．图（2）中的散点有明显的从左上角到右下角沿直线分布的趋势，说明成对样本数据也呈现出线性相关关系；样本相关系数，表明成对样本数据的负线性相关程度比较强． 从样本相关系数来看，图（1）中成对样本数据的线性相关程度要比图（2）中强一些；图（3）和图（4）中的成对样本数据的线性相关程度很弱，其中图（4）中成对样本数据的线性相关程度极弱． 综上可知，两个随机变量的相关性可以通过成对样本数据进行分析，而样本相关系数可以反映两个随机变量之间的线性相关程度：的符号反映了相关关系的正负性；的大小反映了两个变量线性相关的程度，即散点集中于一条直线的程度． 在有限总体中，若要确切地了解两个变量之间相关关系的正负性及线性相关的程度，我们可以利用这两个变量取值的所有成对数据，通过公式（1）就可以计算出两个变量的相关系数．例如，要确切了解脂肪含量与年龄的线性相关程度，需要调查所有人的年龄及其脂肪含量，再将得到的成对数据代入公式（1），计算出相关系数．这个相关系数就能确切地反映变量之间的相关程度． 不过，在实际中，获得总体中所有的成对数据往往是不容易的．因此，我们还是要用样本估计总体的思想来解决问题．也就是说，我们先要通过抽样获取两个变量的一些成对样本数据，再计算出样本相关系数，通过样本相关系数去估计总体相关系数，从而了解两个变量之间的相关程度．对于简单随机样本而言，样本具有随机性，因此样本相关系数也具有随机性．一般地，样本容量越大，用样本相关系数估计两个变量的相关系数的效果越好． 例1 根据表中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度． 编号 1 2 3 4 5 6 7 年龄／岁 23 27 39 41 45 49 50 脂肪含量／％ 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 编号 8 9 10 11 12 13 14 年龄／岁 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量／％ 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 例2 有人收集了某城市居民年收入（所有居民在一年内收入的总和）与A商品销售额的10年数据，如表所示． 第年 1 2 3 4 5 居民年收入／亿元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 A商品销售额／万元 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 第年 6 7 8 9 10 居民年收入／亿元 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0 A商品销售额／万元 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0 画出散点图，推断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断A商品销售额与居民年收入的相关程度和变化趋势的异同． 例3 在某校高一年级中随机抽取25名男生，测得他们的身高、体重、臂展等数据，如表所示． 体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性？ 跟踪训练 1.甲、乙、丙、丁四位同学各自对x，y两变量的线性相关性做试验，分别求得样本相关系数r，如下表： 甲 乙 丙 丁 r 则试验结果中x，y两变量有更强线性相关性的是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2.（多选）关于相关系数r，下面说法正确的是( ) A. B.若，则两个变量线性不相关 C.若，则一个变量增加，另一个变量有减少的趋势 D.越小，变量之间的线性相关程度越高 通过单变量数字特征的回忆，激发学生寻找单变量处理与成对变量处理之间的关系，了解“中心化”处理在统计中的含义，为构造成对数据数字特征做好铺垫. 了解中心化处理数据的作用，为构造刻画正负性相关关系的数字特征搭建桥梁. 借助上个问题的分析，趁热打铁，构造数字特征刻画变量相关的正负性；体验形成的过程. 让学生了解数据“标准化”的必要性，知道标准化数据的含义，体验合理建构样本相关系数的过程，知道样本相关系数可以刻画相关关系的正负性，也可以用来刻画相关程度. 让学生深入理解相关系数的结构特征，学会用联系的观点分析问题，也为深入学习r刻画变量的相关程度做铺垫，同时培养学生的探究能力和创新意识. 了解r与向量的关系，明确样本相关系数与标准化处理后数据的向量夹角之间的关系，借助向量的位置关系理解r大小与变量相关程度的内在联系，最终理解的统计含义. 让学生体会散点图中观察到的线性相关和相关系数大小判断的线性相关的匹配关系，由数形结合来认识线性相关关系. 让学生了解样本相关系数的随机性，了解样本相关系数和总体相关系数的关系，体会样本估计总体的思想处处存在. 通过例题直观比较到量化计算比较，体现散点图和样本相关系数在推断相关关系时各自的优劣，体会推断相关关系的一般过程，在猜测、直观、量化、解释的环节中培养学生分析和解决问题的能力. 考查学生对于样本相关系数的统计含义的理解及分析问题的能力. 课堂小结 1.样本相关系数 2.相关系数判断相关性 通过总结，巩固本节所学内容，提高概括能力. 板书设计 8.1.2 样本相关系数 样本相关系数 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $