精品解析：江西鹰潭市第八中学2025-2026学年中考第二次模拟试卷数学

江西省鹰潭市第八中学2025-2026学年中考第二次模拟试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 几何直观如图，从腰长为a的等腰直角三角形纸片中剪掉一个腰长为b的等腰直角三角形，得到一个直角梯形，上述操作能验证的等式是（） A. B. C. D. 4. 在一个仓库里堆积着若干个大小相同的正方体货箱，要搬运这些货箱很困难，可是仓库管理员要落实一下货箱的数量，于是就想出一个办法，将这堆货箱组成的几何体的三视图画了出来，如图所示，现要取走一些货箱，但要求剩余货箱的主视图不变，最多可以取走货箱的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 6. 如图，在四边形ABCD中，，点P是四边形ABCD边上的一个动点．若点P到AC的距离为，则点P的位置有（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：______． 8. 新素材算盘 算盘是我国古代劳动人民创造发明的一种简便的计算工具，曾经在生产和生活中广泛应用，至今仍然发挥着它独特的作用．图（1）中算盘表示的数为35，图（2）中算盘表示的数为209，则图（3）中算盘表示的数为_____． 9. 跨学科物理 科学考察船利用声呐从海面向海底垂直发射超声波，经过秒接收到回波信号．已知声音在海水中的传播速度为1500米/秒，则该处海底的深度为_____米（用含的代数式表示）． 10. 《增删算法统宗》有这样一首诗：“今有坡田一段，西高东下增量．十步五寸是斜长，南北均阔六丈．欲要修为平埌，东增一丈新墙．不知几许请推详，须要算皆停当．”大意：今有一段坡田，量得斜坡长为10步5寸（50.5尺），宽为6丈（60尺），想要修整为平地，需在东边修一新墙，墙高为1丈（10尺），如图，则矩形平地的面积为 ____________亩．（1步尺，1尺寸，1丈尺，1亩平方尺） 11. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，交于点E，若，，则的长为______． 12. 如图，矩形ABCD的边AB、BC是一元二次方程的两个解（其中），点E在BC边上，连接AE，把沿AE折叠，点B落在点处.当为直角三角形时，则的长是____________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）化简：． 14. 如图，在梯形纸片中，，，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C与点A重合，折痕与交于点E． （1）试判断四边形的形状，并证明； （2）若，求梯形的面积． 15. 班级开展迎新年联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个福袋A，B，C，D．在抽奖时，每次随机取下一个福袋，且取A之前需先取下，取之前需先取下，直到4个福袋都被取下． （1）第一个取下的是福袋的概率为_______． （2）请用画树状图或列表的方法，求第二个取下的是A福袋的概率． 16. 如图，四边形ABCD是菱形，BE是AD边上的高，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹） （1）在图①中，BD＝AB，作△BCD的边BC上的中线DF； （2）在图②中，BD≠AB作△ABD的边AB上的高DF． 17. 某商场购进A，B两种太阳能充电设备，已知购进3件A设备和5件B设备所需费用相同，购进3件A设备和1件B设备的总费用为360元． （1）求A，B两种设备每件的进价； （2）若该商场计划购进A，B两种设备共11件，且购进A设备的费用不超过B设备费用的2倍，则最多可以购进多少件A设备？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知轴，点A在反比例函数的图象上，将线段平移，得到线段，且点B恰好落在反比例函数的图象上，点O为四边形的中心，． （1）求k的值； （2）若点D到x轴的距离为1，求直线的解析式． 19. 图1是某电动沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示．沙发通过开关控制，靠背和脚托可分别绕点B，C旋转调整角度，坐深与地面水平线平行．图2中的度数指的是的度数，如“看电视”模式时．已知，，，，初始状态时． （1）直接写出“阅读”模式下的度数为 °，该沙发从初始位置调至该模式时点D运动的路径长为 cm． （2）调至“睡觉”模式时，该沙发占地长度最大，请计算此时A，之间的水平距离（结果精确到0.1）．（参考数据：，） 20. 如图，是的直径，是上一点，过点作，交的延长线于，交于点，是的中点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，求证：. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了对我国男性体质进行评价，经科学实验发现；可以通过计算标准体重指数m来评价，其中计算公式是，其中W表示体重（单位：），H表示身高（单位：） （1）某男生的身高是，体重是，则________． （2）现某中学在本校九年级学生中，随机抽取n名男生进行体质评价，评价结果的统计表和条形统计图如下： 体质评价结果统计表： 标准体重指数 评价结果 明显消瘦 消瘦 正常 过重 肥胖 结果占比 ①________； ②分别求出a，b的值； ③若该校九年级共有男生600人，试估计该校九年级体质评价结果为“过重”和“肥胖”的男生人数，并给学校提一条合理性建议． 22. 定理证明： （1）如图（1），在中，D，E分别是，的中点，求证：． （2）类比迁移 如图（2），在矩形中，点E是边的中点，点M是边上一动点，连接，过点E作，交所在的直线于点N，连接猜想之间的数量关系，并证明． （3）拓展应用 如图（3），在四边形中，，，，，点为边的中点，且，求边的长（用含的式子表示）． 六、解答题（本大题共12分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． （1）点A的坐标是________，抛物线的顶点坐标是________． （2）当时，y的最大值为2，求a的值； （3）已知点，，若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围． （4）若点（，，）都在抛物线上．是否存在实数m，使得成立？若存在，请直接写出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省鹰潭市第八中学2025-2026学年中考第二次模拟试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数和无理数的定义，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A、是有理数，故选项不符合题意； B、是有理数，故选项不符合题意； C、是有理数，故选项不符合题意； D、是无理数，故选项符合题意． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 3. 几何直观如图，从腰长为a的等腰直角三角形纸片中剪掉一个腰长为b的等腰直角三角形，得到一个直角梯形，上述操作能验证的等式是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过计算阴影部分面积的两种不同方法建立等式：一种是大三角形面积减去小三角形面积，另一种是利用梯形面积公式计算，从而验证平方差公式． 【详解】解：和均为等腰直角三角形，且腰长分别为， ， ， 又阴影部分为直角梯形，， 上底，下底，高， ， ，即． 4. 在一个仓库里堆积着若干个大小相同的正方体货箱，要搬运这些货箱很困难，可是仓库管理员要落实一下货箱的数量，于是就想出一个办法，将这堆货箱组成的几何体的三视图画了出来，如图所示，现要取走一些货箱，但要求剩余货箱的主视图不变，最多可以取走货箱的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由三视图可确定出货箱的个数，再根据要求主视图不变即可确定最多可取走的货箱． 【详解】解：依题意得：俯视图每个正方形位置上的正方体个数如图所示： 由俯视图知，货物底部有6个货箱，第二层从左往右数第二列前后各有一个，货物总共有8个货箱； 要保持主视图不变，则货物最右边那列最多可以搬走其中的两箱，中间一列最多可以搬走第一排或第二排的两箱，故最多可以取走4个货箱． 5. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解． 【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b， 所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a＞0， 所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限， 所以，A选项错误，C选项正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关系是解题的关键． 6. 如图，在四边形ABCD中，，点P是四边形ABCD边上的一个动点．若点P到AC的距离为，则点P的位置有（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，可以求得AC、AD、BC和AB的长，然后即可得到点D到AC的距离和点B到AC的距离，从而可以得到满足条件的点P有几处，本题得以解决． 【详解】 解：过点B作于点F，过点D作于点E， ∵∠CAD=30°，CD=2，∠D=90°， ∴AC=4，， ∴在Rt△ADC中，斜边AC上的高， ∵AC=4，∠B=90°，∠BAC=45°， ∴，， ∴AB=BC=， ∴在Rt△ABC中，斜边AC上的高， ∵，点P是四边形ABCD边上的一个动点，点P到AC的距离为， ∴点P的位置在点D处，或者边BC上或者边AB上， 即满足条件的点P有3处． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，解答本题的关键是求出满足条件的点P所在的位置． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．直接利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 新素材算盘 算盘是我国古代劳动人民创造发明的一种简便的计算工具，曾经在生产和生活中广泛应用，至今仍然发挥着它独特的作用．图（1）中算盘表示的数为35，图（2）中算盘表示的数为209，则图（3）中算盘表示的数为_____． 【答案】50506 【解析】 【分析】此题主要考查学生对算盘表示数的方法的掌握情况．算盘上1个上珠表示5，1个下珠表示1，根据大数的写法：从高位到低位依次写出各位上的数字，哪位上一个单位也没有，就在那位上写0，即可写出此数． 【详解】解：由题意可知，算盘的一颗上珠表示5，一颗下珠表示1，空档表示0， 故题图（3）中算盘表示的数为50506． 故答案为：50506． 9. 跨学科物理 科学考察船利用声呐从海面向海底垂直发射超声波，经过秒接收到回波信号．已知声音在海水中的传播速度为1500米/秒，则该处海底的深度为_____米（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，根据题意正确列出代数式是解题的关键． 根据路程速度时间，列代数式即可． 【详解】解：由题意可知超声波从海面到海底的时间为秒， ∴该处海底的深度为 (米)， 故答案为：． 10. 《增删算法统宗》有这样一首诗：“今有坡田一段，西高东下增量．十步五寸是斜长，南北均阔六丈．欲要修为平埌，东增一丈新墙．不知几许请推详，须要算皆停当．”大意：今有一段坡田，量得斜坡长为10步5寸（50.5尺），宽为6丈（60尺），想要修整为平地，需在东边修一新墙，墙高为1丈（10尺），如图，则矩形平地的面积为 ____________亩．（1步尺，1尺寸，1丈尺，1亩平方尺） 【答案】0.495## 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，根据题意，先求出（尺）因此矩形的面积为：（平方尺），再根据1亩平方尺，即可得出矩形的面积为：（亩） 【详解】为10步5寸（50.5尺），墙高为1丈（10尺），， （尺） 宽为6丈（60尺）， （平方尺）， 矩形的面积为：（亩）， 故答案为：0.495． 11. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，交于点E，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用圆内接四边形的性质，可得，求得、，再通过，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 由题意可得：， 在中，，，则， 由勾股定理可得：，则 又∵， ∴， ∴，即 解得， 则 故答案为： 【点睛】此题考查了圆的有关性质以及相似三角形的判定与性质，涉及了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角为，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 12. 如图，矩形ABCD的边AB、BC是一元二次方程的两个解（其中），点E在BC边上，连接AE，把沿AE折叠，点B落在点处.当为直角三角形时，则的长是____________． 【答案】或2 【解析】 【分析】先求出AB与BC的长，当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连接AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形． 【详解】解：， ， 解得：， ∴AB=3，BC=4， 当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 图1 连接AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4， ∴AC=5， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5-3=2； ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示． 图2 此时ABEB′为正方形， ∴B'E=AB=3， ∴CE=4-3=1， ∴Rt△B'CE中，． 综上所述，B'C的长为或2． 故答案为：或2． 【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分数有理数化、负整数指数幂、锐角三角函数和分式计算， （1）求解关键是将分数分母有理化，负整数指数幂，锐角三角函数； （2）同分母分式相减直接分子相减分母不变，其次，注意利用平方差公式得到化简分式，即可得到最后结果． 【详解】解：（1） ； （2） ． 14. 如图，在梯形纸片中，，，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C与点A重合，折痕与交于点E． （1）试判断四边形的形状，并证明； （2）若，求梯形的面积． 【答案】（1）菱形，见解析 （2）26 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，勾股定理的应用，解题关键在于熟练掌握其相关知识点； （1）由折叠可知，，再证即可求证； （2）由四边形是菱形，根据勾股定理可得：再用梯形面积求解即可. 【小问1详解】 证明：四边形是菱形 由折叠可知，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵ ∴由四边形是菱形，根据勾股定理可得： ∴梯形的面积为 . 15. 班级开展迎新年联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个福袋A，B，C，D．在抽奖时，每次随机取下一个福袋，且取A之前需先取下，取之前需先取下，直到4个福袋都被取下． （1）第一个取下的是福袋的概率为_______． （2）请用画树状图或列表的方法，求第二个取下的是A福袋的概率． 【答案】（1） （2），图详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，正确画出树状图成为解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数和第二个摘下灯笼的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵第一次摘只能先从和中选择任意一个， ∴第一个摘下灯笼的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意画出状态如下： 由树状图可得：所有等可能情况有4种，其中第二个取下的是A福袋的情况有1种， 第二个取下的是A福袋的概率为． 16. 如图，四边形ABCD是菱形，BE是AD边上的高，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹） （1）在图①中，BD＝AB，作△BCD的边BC上的中线DF； （2）在图②中，BD≠AB作△ABD的边AB上的高DF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）连接AC交BD于点O，作直线OE交BC于F，连接DF，线段DF即为所求． （2）作直线AC交BE的延长线于K，作直线DK交BA于点F，线段DF即为所求． 【详解】（1）如图1中，线段DF即为所求． （2）如图2中，线段DF即为所求． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 17. 某商场购进A，B两种太阳能充电设备，已知购进3件A设备和5件B设备所需费用相同，购进3件A设备和1件B设备的总费用为360元． （1）求A，B两种设备每件的进价； （2）若该商场计划购进A，B两种设备共11件，且购进A设备的费用不超过B设备费用的2倍，则最多可以购进多少件A设备？ 【答案】（1）A设备每件的进价为100元，B设备每件的进价为60元 （2）最多可以购进6件A设备 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式的应用，正确列出二元一次方程组并求解出购进A设备件数的取值范围是解决本题的关键． （1）通过设A，B设备的进价为未知数，根据两种设备购进费用的关系建立二元一次方程组求解即可； （2）设购进A设备的数量，根据A设备的费用与B设备的费用的不等式建立一元一次不等式，求出A设备的最大值即可． 【小问1详解】 解：设A设备每件的进价为x元，B设备每件的进价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：A设备每件的进价为100元，B设备每件的进价为60元． 【小问2详解】 解：设购进A设备a件，则购进B设备件， 根据题意，得， 解得， 答：最多可以购进6件A设备． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知轴，点A在反比例函数的图象上，将线段平移，得到线段，且点B恰好落在反比例函数的图象上，点O为四边形的中心，． （1）求k的值； （2）若点D到x轴的距离为1，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及反比例函数k的几何意义，反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与几何的综合是解题的关键． (1) 设， 分别交y轴于点E，F，连接，，，由点O 是平行四边形的中心， 得，证明，得进而可求k． (2) 根据点D到x轴的距离为1，轴，点O 是平行四边形的中心，分别求得点A 、点 B 的坐标，用待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：如图，设， 分别交y轴于点E，F，连接，，， 轴， 轴， ∴由平移知轴， 则 ． 由平移可知四边形是平行四边形， ∵点O 是平行四边形的中心， ∵点O 是平行四边形的中心， ，， ， ， ， ． ∵函数 的图象在第四象限， ， ． 【小问2详解】 解：∵点D到x轴的距离为1，轴，点O 是平行四边形的中心， ∴点A 的纵坐标为， ∴ 点 B 的纵坐标为1． 将代入 得， ． 将代入 得， ． 设直线的解析式为， 将，分别代入， 得 解得 ∴直线的解析式为． 19. 图1是某电动沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示．沙发通过开关控制，靠背和脚托可分别绕点B，C旋转调整角度，坐深与地面水平线平行．图2中的度数指的是的度数，如“看电视”模式时．已知，，，，初始状态时． （1）直接写出“阅读”模式下的度数为 °，该沙发从初始位置调至该模式时点D运动的路径长为 cm． （2）调至“睡觉”模式时，该沙发占地长度最大，请计算此时A，之间的水平距离（结果精确到0.1）．（参考数据：，） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由阅读”模式知，，则，根据，计算求解即可； （2）由“睡觉”模式知，，则，如图，过作于，由题意知，，则根据A，之间的水平距离为，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由阅读”模式知，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45，； 【小问2详解】 解：由“睡觉”模式知，， ∵， ∴， 如图，过作于， 由题意知，， ∴A，之间的水平距离为 ∴点A，D'之间的水平距离为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，弧长，解直角三角形的应用解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 20. 如图，是的直径，是上一点，过点作，交的延长线于，交于点，是的中点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论； (2)根据三角形的内角和得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】(1)证明：∵是的直径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴与相切； (2)解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了对我国男性体质进行评价，经科学实验发现；可以通过计算标准体重指数m来评价，其中计算公式是，其中W表示体重（单位：），H表示身高（单位：） （1）某男生的身高是，体重是，则________． （2）现某中学在本校九年级学生中，随机抽取n名男生进行体质评价，评价结果的统计表和条形统计图如下： 体质评价结果统计表： 标准体重指数 评价结果 明显消瘦 消瘦 正常 过重 肥胖 结果占比 ①________； ②分别求出a，b的值； ③若该校九年级共有男生600人，试估计该校九年级体质评价结果为“过重”和“肥胖”的男生人数，并给学校提一条合理性建议． 【答案】（1）； （2）①；②，；③估计该校九年级体质评价结果为“过重”和“肥胖”的男生人数为人，建议学校经常组织九年级学生参加体育锻炼． 【解析】 【分析】（1）根据题中计算公式求解即可； （2）①根据明显消瘦的人数有，占比，可求解； ②先算出的值，再算的值即可； ③用总数乘以评价结果为“过重”和“肥胖”的男生占比即可，提出合理化建议． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①∵明显消瘦的人数有，占比， ∴随机抽取的人数为（人）； ②∵肥胖的有人， ∴， ∴； ③估计该校九年级体质评价结果为“过重”和“肥胖”的男生人数为： （人）， ∵该样九年级体质评价结果为 “过重”和“肥胖”的男生占， ∴建议学校经常组织九年级学生参加体育锻炼． 22. 定理证明： （1）如图（1），在中，D，E分别是，的中点，求证：． （2）类比迁移 如图（2），在矩形中，点E是边的中点，点M是边上一动点，连接，过点E作，交所在的直线于点N，连接猜想之间的数量关系，并证明． （3）拓展应用 如图（3），在四边形中，，，，，点为边的中点，且，求边的长（用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析； （2），理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）延长到点，使得，连接，证明，得到，再进一步证明四边形是平行四边形，可得结论． （2）分两种情况：当点在边上时，当点在的延长线上时，分别求解证明即可． （3）延长到点，使得，连接并延长，交于点，连接，证明，得到，，再证明四边形为矩形，得到，则，根据勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，延长到点，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，当点在边上时，延长到点，使得，连接， ∵点E是边的中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∴点在同一条直线上． 在中，，， ， 如图，当点在的延长线上时，延长到点，使得，连接， ∵点E是边的中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∴点在同一条直线上． 在中，，， ， 【小问3详解】 解：如图，延长到点，使得，连接并延长，交于点，连接， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ，， 又∵， ， ∴四边形为矩形， ， ， ，， ， ， ， ∵，， ． 六、解答题（本大题共12分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． （1）点A的坐标是________，抛物线的顶点坐标是________． （2）当时，y的最大值为2，求a的值； （3）已知点，，若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围． （4）若点（，，）都在抛物线上．是否存在实数m，使得成立？若存在，请直接写出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 或; （3） 或; （4） 存在，． 【解析】 【分析】（1）令即可求得点坐标，将抛物线解析式化为顶点式可得顶点坐标； （2）根据抛物线开口方向及对称轴为直线，分类讨论时取最大值； （3）分析点的坐标和抛物线的性质，由点在直线上运动，通过数形结合求解； （4）根据点距直线最远，点距直线最近即可求解． 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 分两种情况讨论： 当时，抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越远，纵坐标越大， 当时，在时，取最大值， ，解得； 当时，易知当时，取最大值， ，解得，， 综上，为或－1． 【小问3详解】 设抛物线上点关于直线的对称点为，则， 又， 点在同一直线上， 当线段与抛物线只有一个公共点时，分两种情况讨论： 若，则， 易知当点在点右侧（含点）时， ， ． 若，则， 易知当点在线段上（含点）且在点的左侧时， ， ， 综上，的取值范围为或． 【小问4详解】 存在．． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $