8.1.1 变量的相关关系教案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

教学设计 课题 8.1.1 变量的相关关系 学科 数学 年级 高二 教学目标 1.结合实例，体会两个变量间的相关关系，会判断正、负相关.（数学抽象） 2.会用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系和线性相关关系.（直观想象） 重点 变量间的相关关系；正、负相关；散点图. 难点 通过散点图判断相关关系. 教学环节 教学过程 设计意图 新课导入 问题导入：如果变量y是变量x的函数，那么由x就可以唯一确定y．然而，现实世界中还存在这样的情况：两个变量之间有关系，但密切程度又达不到函数关系的程度．例如，人的体重与身高存在关系，但由一个人的身高值并不能确定他的体重值．那么，该如何刻画这两个变量之间的关系呢？ 设置问题情境，由函数关系引出两个变量之间的关系的刻画. 新课讲授 知识点1：相关关系 相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 两个变量具有相关关系的事例在现实中大量存在．例如： 1．子女身高y与父亲身高x之间的关系．一般来说，父亲的个子高，其子女的个子也会比较高；父亲个子矮，其子女的个子也会比较矮．但影响子女身高的因素，除父亲身高外还有其他因素，例如母亲身高、饮食结构、体育锻炼等，因此父亲身高又不能完全决定子女身高． 2．商品销售收入与广告支出之间的关系．一般来说，广告支出越多，商品销售收入越高．但广告支出并不是决定商品销售收入的唯一因素，商品销售收入还与商品质量、居民收入等因素有关． 3．空气污染指数与汽车保有量之间的关系．一般来说，汽车保有量增加，空气污染指数会上升．但汽车保有量并不是造成空气污染的唯一因素，气象条件、工业废气排放、居民生活和取暖、垃圾焚烧等都是影响空气污染指数的因素． 4．粮食亩产量与施肥量之间的关系．在一定范围内，施肥量越大，粮食亩产量就越高．但施肥量并不是决定粮食亩产量的唯一因素，粮食亩产量还要受到土壤质量、降水量、田间管理水平等因素的影响． 因为在相关关系中，变量的值不能随变量的值的确定而唯一确定，所以我们无法直接用函数去描述变量之间的这种关系．对上述各例中两个变量之间的相关关系，我们往往会根据自己以往积累的经验作出推断．“经验之中有规律”，经验的确可以为我们的决策提供一定的依据，但仅凭经验推断又有不足．例如，不同经验的人对同一情形可能会得出不同结论，不是所有的情形都有经验可循等．因此，在研究两个变量之间的相关关系时，我们需要借助数据说话，即通过样本数据分析，从数据中提取信息，并构建适当的模型，再利用模型进行估计或推断． 在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表所示．表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果，它们构成了成对数据． 编号 1 2 3 4 5 6 7 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 含量/％ 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 编号 8 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 含量/％ 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 教师提问：根据以上数据，你能推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗？ 学生尝试回答. 为了更加直观地描述上述成对样本数据中脂肪含量与年龄之间的关系，类似于用直方图描述单个变量样本数据的分布特征，我们用图形展示成对样本数据的变化特征．用横轴表示年龄，纵轴表示脂肪含量，则表中每个编号下的成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了如图所示的统计图． 这样的统计图叫做散点图． 观察散点图，可以发现，这些散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近，表明随年龄值的增加，相应的脂肪含量值呈现增加的趋势．这样，由成对样本数据的分布规律，我们可以推断脂肪含量变量和年龄变量之间存在着相关关系． 知识点2：正、负相关 正、负相关：从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，就称这两个变量正相关；当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量负相关． 由图，能够推断脂肪含量与年龄这两个变量正相关． 教师提问：（1）两个变量负相关时，成对样本数据的散点图有什么特点？ （2）你能举出生活中两个变量正相关或负相关的一些例子吗？ 学生思考、讨论，给出回答：（1）两个变量负相关时，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域. （2）正相关：一个学生的学习成绩与其日学习时间之间的关系； 负相关：视力与用眼时间之间的关系. 知识点3：线性相关 散点图是描述成对数据之间关系的一种直观方法．观察散点图，从中我们不仅可以大致看出脂肪含量和年龄呈现正相关，而且从整体上可以看出散点落在某条直线附近． 线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，就称这两个变量线性相关． 教师提问：观察散点图，发现：图（1）中的散点落在某条曲线附近，而不是落在一条直线附近，说明这两个变量具有相关性，但不是线性相关；类似地，图（2）中的散点落在一条折线附近，这两个变量也具有相关性，但它们既不是正相关，也不是负相关；图（3）中的散点杂乱无章，无规律可言，看不出这两个变量有什么相关性． 非线性相关：一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 跟踪训练 1.下列两个变量中能够具有相关关系的是( ) A.人所站的高度与视野 B.人眼的近视程度与身高 C.正方体的体积与棱长 D.某同学的学籍号与考试成绩 2.由变量x，y观测数据，得散点图①；由变量u，v观测数据，得散点图②.根据这两个散点图可以判断( ) A.变量x与y正相关，变量u与v正相关 B.变量x与y正相关，变量u与v负相关 C.变量x与y负相关，变量u与v正相关 D.变量x与y负相关，变量u与v负相关 通过列举丰富的案例，让学生感受到相关关系在现实中大量存在，体现研究变量之间相关关系的必要性，深化学生对相关关系概念的理解. 从数据的表格呈现到利用统计图形进行直观表示，得到散点图的概念，体现统计图的意义和作用，提高学生的数据处理能力. 通过引入散点图的概念，帮助学生理解两个变量之间的相关关系，并能够区分正相关、负相关以及线性相关和非线性相关. 使学生学会通过观察散点图判断变量之间的相关性，培养学生的观察力和逻辑推理能力，强调数据的重要性，为后续学习奠定基础. 考查学生利用散点图对成对样本数据相关关系作出定性判断的情况以及对相关关系的判断. 课堂小结 1.相关关系 2.散点图 3.线性相关 通过总结，让学生巩固本节所学，提高概括能力. 板书设计 8.1.1 变量的相关关系 1.相关关系 2.正、负相关 3.线性相关 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $