小升初奥数思维之典型应用题精讲精练——合作问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义：合作问题

一、知识点精讲

（一）合作问题核心定义

合作问题是小升初奥数典型应用题之一，核心是研究“多个主体共同完成一项工作（或任务）”的效率、时间、工作总量之间的关系，核心关联量为：工作总量、工作效率、工作时间，三者之间的关系是合作问题的解题关键。

（二）核心公式（必背）

1. 基础公式（单个主体）：

工作总量 = 工作效率 工作时间

工作效率 = 工作总量 工作时间

工作时间 = 工作总量 工作效率

2. 合作公式（多个主体）：
   ① 合作总效率 = 各个主体的工作效率之和；
   ② 合作完成工作的总时间 = 工作总量 合作总效率；
   ③ 部分工作量 = 单个主体的工作效率 其工作时间；
   ④ 剩余工作量 = 工作总量 已完成工作量（已完成工作量 = 合作总效率 已合作时间）。

（三）奥数解题关键技巧（核心突破）

1. 赋值法（最常用）：当题目中未明确给出“工作总量”时，通常赋值工作总量为“各个主体单独完成工作时间的最小公倍数”，简化计算（避免分数运算，降低出错率）。
2. 分效率法：明确每个主体的单独工作效率，再根据合作情况，计算合作总效率（注意：效率可以叠加，时间不能直接叠加）。
3. 分段计算法：当合作过程中出现“主体中途加入/退出”“工作方式变化”时，需分段计算已完成工作量，再结合剩余工作量求解后续问题。

4. 比例法：当多个主体的工作效率存在比例关系时，可利用比例求解效率、时间，简化计算（适配奥数提升题型）。

（四）常见题型分类（小升初奥数高频）

类型	描述
基础型	两个主体合作完成工作，求合作时间、单个主体效率或工作总量。
提升型	多个主体合作，其中部分主体中途加入/退出，求总时间或剩余工作量。
培优型	结合比例、分数，求主体效率比、分段工作时间，或多轮合作问题。
易错型	混淆“工作效率”与“工作时间”的叠加关系，忽略“中途加入/退出”对总效率的影响。

二、典型例题精讲（奥数思维拆解，步步突破）

说明：例题按“基础→提升→培优”分层，每道例题配套“思路分析 + 详细解析 + 易错提醒”，贴合小升初奥数解题规范，原创题型，无重复，适配真题趋势。

（一）基础型例题（必掌握）

例题 1：一项工程，甲单独做需要 12 天完成，乙单独做需要 18 天完成。如果甲、乙两人合作，多少天能完成这项工程的一半？

思路分析：题目未给出工作总量，优先用赋值法，赋值工作总量为 12 和 18 的最小公倍数 36（简化计算）；再分别求出甲、乙的单独工作效率，进而求出合作总效率；最后根据“工作时间 = 工作量 合作总效率”，求解完成工程一半的时间。

详细解析：
1. 赋值工作总量为 12 和 18 的最小公倍数：36（单位：份，可省略不写）；
2. 计算甲、乙单独工作效率：
- 甲的效率 = 工作总量 甲单独时间 = （份/天）；
- 乙的效率 = 工作总量 乙单独时间 = （份/天）；
3. 计算甲、乙合作总效率：（份/天）；
4. 完成工程的一半，工作量为：（份）；
5. 合作时间 = 工作量 合作总效率 = （天）；

答：甲、乙两人合作，3.6 天能完成这项工程的一半。

易错提醒：
① 不可直接将甲、乙单独时间相加再除以 2（时间不能直接叠加）；
② 注意题目求的是“工程的一半”，需先计算一半的工作量，再求时间。

（二）提升型例题（重点突破）

例题 2：一项工作，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成。甲先单独做 3 天，之后乙加入和甲一起合作，还需要多少天才能完成这项工作？

思路分析：先赋值工作总量，求出甲、乙的单独效率；再计算甲单独做 3 天的工作量，进而求出剩余工作量；最后用剩余工作量除以甲、乙合作总效率，得到还需要的时间（分段计算法）。

详细解析：
1. 赋值工作总量为 10 和 15 的最小公倍数：30；
2. 计算甲、乙单独效率：
- 甲的效率 = （份/天）；
- 乙的效率 = （份/天）；
3. 甲单独做 3 天的工作量：（份）；
4. 剩余工作量：（份）；