小升初奥数思维之典型应用题精讲精练——合作问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义：合作问题 一、知识点精讲 （一）合作问题核心定义 合作问题是小升初奥数典型应用题之一，核心是研究“多个主体共同完成一项工作（或任务）”的效率、时间、工作总量之间的关系，核心关联量为：工作总量、工作效率、工作时间，三者之间的关系是合作问题的解题关键。 （二）核心公式（必背） 1. 基础公式（单个主体）： 工作总量 = 工作效率 工作时间 工作效率 = 工作总量 工作时间 工作时间 = 工作总量 工作效率 1. 合作公式（多个主体）： ① 合作总效率 = 各个主体的工作效率之和； ② 合作完成工作的总时间 = 工作总量 合作总效率； ③ 部分工作量 = 单个主体的工作效率 其工作时间； ④ 剩余工作量 = 工作总量 已完成工作量（已完成工作量 = 合作总效率 已合作时间）。 （三）奥数解题关键技巧（核心突破） 1. 赋值法（最常用）：当题目中未明确给出“工作总量”时，通常赋值工作总量为“各个主体单独完成工作时间的最小公倍数”，简化计算（避免分数运算，降低出错率）。 1. 分效率法：明确每个主体的单独工作效率，再根据合作情况，计算合作总效率（注意：效率可以叠加，时间不能直接叠加）。 1. 分段计算法：当合作过程中出现“主体中途加入/退出”“工作方式变化”时，需分段计算已完成工作量，再结合剩余工作量求解后续问题。 1. 比例法：当多个主体的工作效率存在比例关系时，可利用比例求解效率、时间，简化计算（适配奥数提升题型）。 （四）常见题型分类（小升初奥数高频） 类型 描述 基础型 两个主体合作完成工作，求合作时间、单个主体效率或工作总量。 提升型 多个主体合作，其中部分主体中途加入/退出，求总时间或剩余工作量。 培优型 结合比例、分数，求主体效率比、分段工作时间，或多轮合作问题。 易错型 混淆“工作效率”与“工作时间”的叠加关系，忽略“中途加入/退出”对总效率的影响。 二、典型例题精讲（奥数思维拆解，步步突破） 说明：例题按“基础→提升→培优”分层，每道例题配套“思路分析 + 详细解析 + 易错提醒”，贴合小升初奥数解题规范，原创题型，无重复，适配真题趋势。 （一）基础型例题（必掌握） 例题 1：一项工程，甲单独做需要 12 天完成，乙单独做需要 18 天完成。如果甲、乙两人合作，多少天能完成这项工程的一半？ 思路分析：题目未给出工作总量，优先用赋值法，赋值工作总量为 12 和 18 的最小公倍数 36（简化计算）；再分别求出甲、乙的单独工作效率，进而求出合作总效率；最后根据“工作时间 = 工作量 合作总效率”，求解完成工程一半的时间。 详细解析： 1. 赋值工作总量为 12 和 18 的最小公倍数：36（单位：份，可省略不写）； 2. 计算甲、乙单独工作效率： - 甲的效率 = 工作总量 甲单独时间 = （份/天）； - 乙的效率 = 工作总量 乙单独时间 = （份/天）； 3. 计算甲、乙合作总效率：（份/天）； 4. 完成工程的一半，工作量为：（份）； 5. 合作时间 = 工作量 合作总效率 = （天）； 答：甲、乙两人合作，3.6 天能完成这项工程的一半。 易错提醒： ① 不可直接将甲、乙单独时间相加再除以 2（时间不能直接叠加）； ② 注意题目求的是“工程的一半”，需先计算一半的工作量，再求时间。 （二）提升型例题（重点突破） 例题 2：一项工作，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成。甲先单独做 3 天，之后乙加入和甲一起合作，还需要多少天才能完成这项工作？ 思路分析：先赋值工作总量，求出甲、乙的单独效率；再计算甲单独做 3 天的工作量，进而求出剩余工作量；最后用剩余工作量除以甲、乙合作总效率，得到还需要的时间（分段计算法）。 详细解析： 1. 赋值工作总量为 10 和 15 的最小公倍数：30； 2. 计算甲、乙单独效率： - 甲的效率 = （份/天）； - 乙的效率 = （份/天）； 3. 甲单独做 3 天的工作量：（份）； 4. 剩余工作量：（份）； 5. 甲、乙合作总效率：（份/天）； 6. 还需要的时间 = 剩余工作量 合作总效率 = （天）； 答：还需要 4.2 天才能完成这项工作。 易错提醒： ① 忘记计算甲单独完成的工作量，直接用总工作量除以合作效率； ② 中途加入时，总效率发生变化，需分段计算，不可统一按合作效率计算总时间。 （三）培优型例题（奥数拓展） 例题 3：甲、乙、丙三人合作完成一项工程，甲、乙合作需要 8 天完成，乙、丙合作需要 10 天完成，甲、丙合作需要 12 天完成。如果甲、乙、丙三人一起合作，多少天能完成这项工程？ 思路分析：题目给出甲、乙，乙、丙，甲、丙的合作时间，需先通过这三组合作时间，求出甲、乙、丙三人的合作总效率；赋值工作总量为三组合作时间的最小公倍数，简化计算，再求解三人合作的总时间。 详细解析： 1. 赋值工作总量为 8、10、12 的最小公倍数：120； 2. 计算各组合作效率： - 甲、乙合作效率 = （份/天）； - 乙、丙合作效率 = （份/天）； - 甲、丙合作效率 = （份/天）； 3. 三人合作总效率 = （甲、乙效率 + 乙、丙效率 + 甲、丙效率） 2 = （份/天）； （注：每组效率相加，甲、乙、丙的效率各计算了 2 次，因此需除以 2） 4. 三人合作总时间 = 工作总量 三人合作总效率 = （天）（保留两位小数，或写成分数形式）； 答：甲、乙、丙三人一起合作，约 6.49 天能完成这项工程（或 天）。 易错提醒： ① 误将三组合作效率直接相加作为三人合作总效率，忽略“各效率重复计算 2 次”； ② 计算分数时，通分失误，导致结果出错。 三、易错点剖析（规避陷阱，精准提分） 小升初奥数合作问题核心易错点（结合真题高频错误总结，原创梳理）： 1. 效率与时间混淆：误将“单独完成时间”直接叠加作为“合作时间”，忽略“效率叠加、时间不叠加”的核心原则（如：甲 10 天完成，乙 15 天完成，误算合作时间为 天，正确应为 6 天）。 1. 赋值法使用不当：未赋值工作总量，直接用分数计算效率，导致计算繁琐、出错；或赋值的工作总量不是单独时间的最小公倍数，增加计算难度。 1. 分段计算遗漏：当有主体中途加入、退出，或工作方式变化时，未分段计算工作量和效率，统一按一种效率计算总时间。 1. 剩余工作量计算错误：忽略“完成部分工作量后，剩余工作量 = 总工作量 - 已完成工作量”，误将已完成工作量当作剩余工作量。 1. 多人合作效率计算失误：三人及以上合作时，漏加某个主体的效率，或重复计算效率（如例题 3 中，未将三组效率和除以 2）。 避错技巧： ① 牢记核心公式，明确“效率可叠加、时间不可叠加”； ② 优先用赋值法，赋值总工作量为单独时间的最小公倍数； ③ 遇到“中途加入/退出”，先分段算已完成工作量，再算剩余； ④ 计算后验算，用“效率 时间=工作量”验证结果是否合理。 四、分层精练 说明：精练题按“基础巩固（5 道）→ 提升突破（3 道）→ 培优拓展（2 道）”分层，全部原创，适配小升初奥数真题难度，每道题配套详细解析和易错提醒，方便学生自主练习、查漏补缺。 （一）基础巩固题 1. 一项工程，甲单独做需要 15 天完成，乙单独做需要 20 天完成。甲、乙两人合作，多少天能完成这项工程？ 1. 一批零件，师傅单独加工需要 8 小时完成，徒弟单独加工需要 12 小时完成。师徒两人一起加工，4 小时能加工完这批零件的几分之几？ 1. 一项工作，甲单独做每天能完成总量的 ，乙单独做每天能完成总量的 。甲、乙合作，每天能完成这项工作的几分之几？ 1. 甲、乙两人合作完成一项工程，合作效率为每天完成总量的，甲单独做每天完成总量的 ，乙单独做需要多少天完成这项工程？ 1. 一项工程，甲、乙合作需要 6 天完成，已知甲单独做需要 9 天完成，乙单独做需要多少天完成？ （二）提升突破题（重点做，强化思维） 1. 一项工程，甲单独做需要 12 天完成，乙单独做需要 16 天完成。甲先单独做 4 天，之后乙加入，两人合作，还需要多少天才能完成这项工程？ 1. 甲、乙两人合作完成一项工作，计划 10 天完成。合作 3 天后，甲因事请假，剩下的工作由乙单独做，又用了 14 天完成。如果乙单独做这项工作，需要多少天？ 1. 一项工程，甲单独做需要 20 天完成，乙单独做需要 25 天完成。甲、乙合作 5 天后，甲中途退出，剩下的工作由乙单独完成，乙还需要多少天？ （三）培优拓展题（奥数冲刺，选做） 1. 甲、乙、丙三人合作完成一项工程，甲、乙合作需要 6 天完成，甲、丙合作需要 9 天完成，乙、丙合作需要 12 天完成。如果丙单独做这项工程，需要多少天？ 1. 一项工作，甲、乙合作需要 8 天完成，乙、丙合作需要 12 天完成。甲单独做 3 天完成后，乙、丙一起合作，还需要多少天才能完成剩下的工作？ 精练题答案与解析 （一）基础巩固题答案与解析 1. 答案： 天（或 天） 解析：赋值工作总量为 15 和 20 的最小公倍数 60；甲的效率 = ，乙的效率 = ；合作总效率 = ；合作时间 = 天。 易错点：直接将 15 和 20 相加，误算合作时间。 2. 答案： 解析：赋值零件总量为 8 和 12 的最小公倍数 24；师傅效率 = ，徒弟效率 = ；合作总效率 = ；4 小时加工工作量 = ；占总量的 。 易错点：忘记计算 4 小时的工作量，直接求合作效率。 3. 答案： 解析：合作效率 = 甲的效率 + 乙的效率 = 。 易错点：分数通分失误，导致结果出错。 4. 答案：10 天 解析：乙的效率 = 合作效率 - 甲的效率 = ；乙单独完成时间 = 天。 易错点：用甲的效率减去合作效率，混淆效率关系。 5. 答案：18 天 解析：赋值工作总量为 6 和 9 的最小公倍数 18；合作效率 = ，甲的效率 = ；乙的效率 = ；乙单独完成时间 = 天。 易错点：误将合作时间当作乙的单独时间。 （二）提升突破题答案与解析 6. 答案： 天（或 天） 解析：赋值工作总量为 12 和 16 的最小公倍数 48；甲的效率 = ，乙的效率 = ；甲单独做 4 天工作量 = ；剩余工作量 = ；合作总效率 = ；还需时间 = 天。 易错点：未计算甲单独完成的工作量，直接用总工作量除以合作效率。 7. 答案：20 天 解析：赋值工作总量为 10 和 14 的最小公倍数 70；合作效率 = ；合作 3 天工作量 = ；剩余工作量 = ；乙的效率 = ；乙单独完成时间 = 天。 易错点：忽略“合作 3 天后，乙单独做 14 天”，误将 14 天当作乙的单独完成时间。 8. 答案：13.75 天（或 天） 解析：赋值工作总量为 20 和 25 的最小公倍数 100；甲的效率 = ，乙的效率 = ；甲、乙合作 5 天的工作量 = ；剩余工作量 = ；剩余工作由乙单独完成，所需时间 = 天（或 天）。 易错点：计算剩余工作量时出错，或混淆甲、乙的效率，误将甲的效率当作乙的效率计算。 （三）培优拓展题答案与解析 9. 答案：72 天 解析：赋值工作总量为 6、9、12 的最小公倍数 36；甲、乙合作效率 = ，甲、丙合作效率 = ，乙、丙合作效率 = ；三人合作总效率 = ；丙的效率 = 三人合作总效率 - 甲、乙合作效率 = ；丙单独完成这项工程的时间 = 天。 易错点：未将三组合作效率和除以 2，导致丙的效率计算错误；或计算分数除法时，误将被除数与除数颠倒。 10. 答案：9 天 解析：赋值工作总量为 8、12 的最小公倍数 24；甲、乙合作效率 = ，乙、丙合作效率 = ；由“甲、乙合作 8 天完成”可推出甲的效率 = 3 - 乙的效率，结合甲单独完成工作的合理效率，确定甲的效率为 2（即甲单独 12 天可完成全部工作），则乙的效率 = ；丙的效率 = ；甲单独做 3 天的工作量 = ；剩余工作量 = ；乙、丙合作总效率 = ；还需要的时间 = 天。 易错点：未合理推导甲、乙、丙的效率关系，导致效率计算矛盾；或忽略题干中“甲单独做 3 天”的条件，误算剩余工作量。 2 学科网（北京）股份有限公司 $