2026年河北省石家庄市长安区河北师范大学附属中学初中学业水平模拟数学（状元卷二）

**基本信息** 试卷聚焦数学眼光、思维与语言的综合发展，通过梯度化问题设计与真实情境融合，全面覆盖初中数学核心知识，适配模拟预测的能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|8题72分|函数应用、几何证明、统计分析|以科技情境（如无人机飞行轨迹）考查函数建模，体现模型意识；几何探究题分层设问，发展推理能力与创新意识|

2026年河北初中学业水平模拟 数学（状元卷二） 注意事项：共8页，总分120分，时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1．氢氧化钠（）具有强腐蚀性，用途广泛．已知该化合物中各元素的正负化合价的代数和为0，下表是部分元素的化合价，则氢元素的化合价应为（ ） 元素 钠 氧 氢 化合价 __________ A． B． C．0 D． 2．如图1，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（ ） A． B． C． D． 3．要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（传统文化）石碾是我国古代劳动人民智慧的结晶，由碾盘、碾砣等部件组成，如图2，其俯视图是（ ） A． B． C． D． 5．不等式组的整数解有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．无数个 6．如图3，在中，，，点是边上一点，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．设一个正多边形的边数为，每一个外角的度数为，则与函数关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 8．已知，其中，均为常数，则与的关系正确的是（ ） A． B． C． D． 9．在如图4-1所示的等边三角形中，内部一点为等边三角形的中心，边上的点均为三等分点．现连接其中一些点围成一个三角形（阴影部分），如图4-2，则（ ） A． B． C． D．1 10．已知，是关于的一元二次方程的两个根，且，在数轴上的对应点如图5所示，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（跨学科）在光的反射中，反射角等于入射角．如图6，已知是半圆的直径，且，平面镜与半圆相切于点，从上的点发出一束光线，经平面镜反射后与半圆交于点．若，要使劣弧的长为，需调整（ ） A． B． C． D． 12．已知抛物线与抛物线关于原点成中心对称，当时，函数值有最大值4，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13．规定：对于一个三位数，当时，则称这样的三位数为“上升数”．现有一个三位数，若从，，，，，这6个数中任意抽取一个数作为百位上的数，组成的三位数为“上升数”的概率为__________． 14．如图7，菱形与正方形的两个对角顶点重合于点和点，若，，则正方形的对角线的长为__________． 15．嘉嘉计算时，由于错将分式前的“”抄成了“”，得到的错误结果为，则正确的计算结果应是__________． 16．（传统文化）图8-1是我国三国时期数学家赵爽在《周髀算经》注中绘制的几何图形，通过四个全等的直角三角形围成一个中空正方形，利用面积关系证明勾股定理．已知大正方形的边长为，将绕点逆时针旋转得到，如图8-2，当点与点的距离最大时，的值为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分7分） 图9是一个计算程序． （1）按照顺序计算并填写其中的“ ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； （2）计算：． 18．（本小题满分8分） 一个多项式的错误的计算过程如下： 计算：． 解：原式…第一步 …第二步 ．…第三步 （1）请指出在第几步开始出现错误，并写出正确的计算过程； （2）当时，求原式的值（结果用科学记数法表示）． 19．（本小题满分8分） 为守护青少年健康成长，我国对于青少年使用手机的规定涵盖合理使用、内容健康、隐私保护及网络安全等诸多方面．某校开展合理使用手机宣传活动，随机挑选了甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，并收集了这四名同学近10天使用手机时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析，得到如下信息． a．甲同学10天使用手机时长：，，，，，，，，，； b．乙、丙同学10天使用手机时长的折线统计图，如图10； c．四名同学10天使用手机时长的情况统计分析表： 甲 乙 丙 丁 平均数 16 17 16 中位数 15.5 15 16.5 方差 15 7.8 7.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）比较大小：__________15（填“”“”或“”）； （2）求，的值； （3）规定：首先比较平均数，平均数较小者优先进行分享；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先进行分享；若平均数、方差分别相等，则使用手机时长小于平均数的次数较多者优先进行分享．该校决定按上述方式决定四名同学的分享顺序，则四名同学最先分享的是__________，最后分享的是__________．（均填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 20．（本小题满分8分） “这么近，那么美，周末到河北”．嘉淇周末到赵州桥游览，如图11，她想估算圆弧形主桥拱（即）的高度（即的中点到弦的距离），在，两处观察桥洞的同一点的仰角分别为和（即，），已知主桥拱的跨度（即弦的长）为． （1）尺规作图：在图11中，作出弦的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的垂直平分线分别与，弦交于，两点，求的度数及点到的距离．（参考数据：取0.38） 21．（本小题满分9分） 综合与实践 【情境】有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图12-1所示，已知，，，，现要把每块木板都只分割一次，将其拼成正方形（说明：木板拼接不重叠，无缝隙，无剩余）； 【操作】选取其中一块四边形木板拼成一个正方形，如图12-2，嘉嘉过点分别作于点，交的延长线于点，并说：“沿进行分割，得到能与完全重合的，即可拼得正方形．” （1）求证：； （2）求的长； 【拓展】将两块四边形木板拼成一个大正方形，淇淇说：“如图12-3，将每一块四边形都沿同一条分割线进行分割，即可拼成两个等腰直角三角形，最终拼得一个大正方形．” （3）在图12-3中画出一条分割线，并直接写出这条分割线的长． 22．（本小题满分9分） 某综合实践小组对教学楼的楼梯开展探究活动，并了解了楼梯的信息如下表，楼梯的示意图如图13所示，设踏步总级数为（为正整数），歇脚台宽度为． 关于教学楼楼梯的技术参数表 踏步面宽 每级楼梯水平踩踏面的宽度，为保障行走安全，规范要求：，且每级踏步面宽相等 踏步高度 每级楼梯的垂直高度，规范要求：，且每级踏步高度相等 歇脚台 楼梯顶端与大门之间的水平平台，供行人临时停留 总进深 从楼梯最底端到大门的水平总距离，本次测量值为 总高度 从地面到大门的垂直总高度，本次测量值为 （1）当，时，求踏步高度和踏步面宽的值； （2）用含，的式子表示歇脚台宽度； （3）为最大化歇脚台使用空间，即当歇脚台宽取得最大值时，请通过计算确定最合理的踏步高度和踏步面宽，并求出此时歇脚台的宽度的值． 23．（本小题满分11分） 如图14-1和图14-2，在中，，，，，分别是，上的点，将四边形沿折叠，点，分别落在，处，且点始终在边上． （1）如图14-1，当点与点重合时，判断的形状，并说明理由； （2）如图14-2，当点恰好落在的延长线上时，求的长； （3）随点在边上位置的改变， ①直接写出的最小值； ②当是直角三角形时，直接写出的长． 24．（本小题满分12分） 如图15，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为点，抛物线的顶点为点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）第一象限内一点到轴的距离为8，当抛物线经过点时，点也恰好落在上，求点的坐标； （3）记抛物线与相交于点，直线与的另一个交点为． ①试说明点的横坐标始终为定值，并求出这个定值； ②作直线，当直线与直线交于点时，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $