专题11 一次函数（期末真题汇编，辽宁专用）八年级数学下学期

**基本信息** 专题聚焦一次函数8大高频考点，精选辽宁多地期末真题，覆盖定义、图像性质、几何综合及实际应用，基础与综合题梯度分布 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/填空|约45题|一次函数定义（考点01）、图像平移（考点03）、与方程不等式结合（考点04-05）|基础题多维度考查概念辨析，如正比例函数判定、函数值比较| |解答题|约20题|几何综合（考点07）、实际应用（考点08）|几何题结合菱形、正方形动态平移，实际问题以租车、快递收费情境考查建模能力|

专题11 一次函数 高频考点概览 考点01一次函数的定义及其图像与性质 考点02函数的自变量及函数值的确定与大小比较 考点03一次函数图象的平移 考点04一次函数与不等式（组）结合 考点05一次函数与方程（组）结合 考点06求一次函数解析式 考点07一次函数与几何综合 考点08利用一次函数解决实际问题 考点01 一次函数的定义及其图像与性质 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列各函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，需满足变量为一次且无常数项． 【详解】解：选项A：，可化简为，符合的形式，其中，是正比例函数，符合题意； 选项B：，变量的次数为2，属于二次函数，不符合正比例函数的定义，不符合题意； 选项C：，虽然的次数为1，但存在常数项，属于一次函数而非正比例函数，不符合题意； 选项D：，展开后为，同样含有常数项，不符合正比例函数的形式，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）下列式子中，表示是的正比例函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数．根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，需满足：①是的一次函数；②无常数项；③与为直接的线性关系．逐项判断即可． 【详解】解：A：，含常数项，不符合正比例函数的形式，属于一次函数而非正比例函数． B：，的次数为2，不符合正比例函数的要求． C：，符合的形式（），是正比例函数． D：，被平方后导致每个对应两个值，因此y不是x的函数． 故选：C 3．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的．根据一次函数的定义，形如（，为常数，且）的函数为一次函数，逐一分析选项即可． 【详解】解：选项A：，分母含x，不符合一次函数的定义． 选项B：，整理为，符合的形式，其中，满足一次函数的条件． 选项C：，变量a的次数为2，属于二次函数，不符合一次函数的定义． 选项D：，虽然形式类似一次函数，但未明确．若，不符合一次函数的定义．因此无法确定其必然为一次函数． 故选：B． 4．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）对于一次函数下列说法正确的是（　　） A．随的增大而减小 B．图象与轴交于点 C．图象经过第一、三、四象限 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质． 根据一次函数的解析式，逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解： A：，故随的增大而增大，选项A错误； B：令，得，图象与轴交点为，而非，选项B错误； C：因，图象从左向右上升，，与轴交于负半轴，故图象经过第一、三、四象限，选项C正确； D：解不等式得，即当时，而非，选项D错误； 故选：C． 5．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）在平面直角坐标系中存在函数过第一，二，四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质．一次函数过第一、二、四象限，则，，根据选项逐一判断可得答案． 【详解】解：∵函数的图象经过第一，二，四象限， ∴，， ∴， 故选：A． 6．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）正比例函数的图象过二、四象限，则一次函数的图象所过象限为（    ） A．一、二、四 B．一、二、三 C．二、三、四 D．一、三、四 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象所经过的象限，根据题意，得到，进而得到，根据一次函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解；∵正比例函数的图象过二、四象限， ∴， ∴， ∵，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限； 故选A． 7．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．y随x增大而增大 B．图象经过第三象限 C．， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点坐标问题，根据一次函数的图象：从左往右逐渐下降，与y轴交于正半轴，再逐项判断即可得，能正确的识图是解本题的关键． 【详解】解：A、由图象可得：y随x增大而减小，原说法错误，不符合题意； B、图象不经过第三象限，原说法错误，不符合题意； C、由图象可得y随x增大而减小，所以，函数图象与y轴的交点的纵坐标为b，则，原说法正确，符合题意； D、由图象可得，当时，，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）一次函数的x与y的部分对应值如表所示，根据表中数值分析，下列结论正确的是（   ） x … 0 1 2 3 … y … 1 3 5 … A．y随x的增大而减小 B．是方程的解 C．一次函数的图象不经过第一象限 D．一次函数的图象与x轴交于点 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数的性质，解答本题的关键是利用一次函数的性质解答． 根据表格数据确定一次函数的解析式，再逐一分析各选项即可解答． 【详解】解：由表格可知，当时，，代入得． 当时，，代入得，解得． 因此，一次函数解析式为． ， ∴y随x的增大而增大，故选项A错误，不符合题意； 把代入得，故选项B错误，不符合题意； 且，图象经过第一、三、四象限，故选项C错误，不符合题意； 令，解方程，得，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 9．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点 B，下列结论正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．当时， C．的面积是4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，30度角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解：A、一次函数的，y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意； B、∵当时，，即一次函数与x轴交点坐标为， ∴当时，，原说法错误，不符合题意； C、当时，，即一次函数与y轴交点坐标为，即， 当时，，即一次函数与x轴交点坐标为，即， ∴，原说法正确，符合题意； D、∵一次函数与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴，， 若，则， 由勾股定理可知，即不成立，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 10．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列有关一次函数的说法中，正确的是（    ） A．y的值随着x值的增大而增大 B．函数图象与x轴的交点坐标为 C．当时， D．函数图象经过第二、三、四象限 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质，图象分布，与坐标轴的交点计算，解答即可． 本题考查了一次函数的性质和应用，图象分布，与坐标轴的交点，熟练掌握性质和应用是解题的关键． 【详解】解：一次函数，得函数图象与轴的交点坐标是，图象分布在第三，二，四象限，且y随x的增大而减小，时， A. y的值随着x值的增大而减小，错误，不符合题意； B. 函数图象与轴的交点坐标是，错误，不符合题意； C. 当时，，错误，不符合题意 D. 函数图象经过第二、三、四象限，正确，符合题意， 故选：D． 11．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）一次函数的图象经过点和点，下列说法正确的是(   ) A．当时、 B．一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积为8 C．该函数的解析式为 D．该一次函数图象可由平移得到 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质，一次函数的平移等知识点，先求出一次函数的解析式，然后再运用一次函数的性质逐项判断即可．通过代入已知点求出函数解析式，逐一验证各选项的正确性，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得：， ∴该函数的解析式为，选项C正确； 当时，，解得：，故A不正确； ∵一次函数的图象经过点和点， ∴， ∴一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积为，故B不正确； ∵可由平移得到，故D不正确； 故选：C． 考点02 函数的自变量及函数值的确定与大小比较 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知一次函数图象上两点、，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 一次函数中，当时，函数值随的增大而减小，根据该性质可直接比较两点纵坐标的大小． 【详解】解：函数中，，因此该函数图象从左向右是下降的，即增大时，减小， ∵点的横坐标小于点的横坐标， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）直线过点和点，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据时，随的增大而减小判断即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：． 3．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）已知直线过点和点，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数上点的坐标特征和性质．是的一次函数，且，随的增大而减小，据此判断即可． 【详解】解：∵是的一次函数，且， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）一次函数，当，的最大值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一次函数函数值，一次函数的增减性，掌握系数与增减性的关系是解题关键． 根据解析式可得该函数y随x的增大而减小，则当时取得最大值，求出此时y的值即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴该函数y随x的增大而减小， ∴当时，时取得最大值， 此时， 故选：D． 5．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在直线上的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．将各选项中点的横坐标代入中，求出值，再将其与各点的纵坐标比较后，即可得出结论． 【详解】解：A、当时，，， 点不在直线上，选项A不符合题意； B、当时，，， 点在直线上，选项B符合题意； C、当时，，， 点不在直线上，选项C不符合题意； D、当时，，， 点不在直线上，选项D不符合题意． 故选：B． 6．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）直线经过点，则a的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握图象上点的坐标满足解析式．把代入即可得到的值． 【详解】解：把代入得：，解得：， 故选：D 7．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知一次函数，当时，y的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次函数的增减性可得y随x的增大而减小，求出时的函数值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，y的最大值是． 故答案为： 8．（24-25八年级上·辽宁·期末）已知直线经过点和点，则_____（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，熟知一次函数的性质是解答的关键．根据得到函数y随x的增大而减小，进而求解即可． 【详解】解：∵在函数中，， ∴函数y随x的增大而减小， ∵直线经过点和点，， ∴， 故答案为：． 考点03 一次函数图象的平移 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）正比例函数的图象向上平移5个单位后得到的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用一次函数“上加下减”的平移规律即可得出答案． 本题考查一次函数图象与几何变换，正确记忆“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键． 【详解】解：正比例函数的图象向上平移5个单位后得到的函数解析式为， 故选：A 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向下平移3个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象平移，掌握图象平移与点坐标变化的关系是解题的关键． 根据平移得到，又由即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数的图象由直线向下平移3个单位长度得到， ∴ ∵ ∴位于第二、三、四象限． 故选：D． 3．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的几何变换．根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，直线平移，斜率不变，设平移后的直线方程为；把点B和D的坐标代入进行解答即可． 【详解】解：∵长为3的正方形中，点的坐标为， ∴，， 将直线沿轴向上平移个单位后扔解析式为，， 当直线与正方形有唯一一个交点时，即直线经过点B，D， 当经过点D时，有，解得，； 当经过点B时，有，解得，； 所以，直线与正方形有交点，则的取值范围是， 故选：B． 4．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）直线向上平移个单位，则平移后的直线与轴的交点坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键．先根据一次函数图象的平移规律可得平移后的直线的解析式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】解：直线向上平移个单位得到的直线解析式为，即 将代入直线得：， 即平移后的直线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，将直线向上平移5个单位长度后经过原点，b的值为 ______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，掌握平移规律“上加下减”是解题的关键． 根据题意得出直线向上平移5个单位长度后的解析式，再将原点坐标代入即可解决问题． 【详解】解：直线向上平移5个单位长度后的解析式为， 因为平移后的直线经过原点， 所以， 解得． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）将一次函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为________． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了一次函数图象的平移，求直线平移后的解析式时要注意平移时的值不变，只有发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减． 根据函数图象的平移规律，上加下减，可得答案． 【详解】解：将一次函数的图象沿轴向下平移3个单位长度， 则平移后的图象所对应的函数表达式为，即， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，把直线向下平移m个单位，与直线的交点在第一象限，则m的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标等知识点，掌握第一象限的点的横坐标大于0、纵坐标大于0是解题的关键． 解方程组可得直线与直线的交点坐标为，依据交点在第一象限，即可得出，再结合已知条件即可解答． 【详解】解：把直线向下平移m个单位，可得， 解方程组，解得：， ∴直线与直线的交点坐标为， ∵交点在第一象限， ∴，解得：． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，把放在直角坐标系中，其中，，点，的坐标分别是和，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，平移的性质，坐标与图形的性质，平行四边形的判定和性质，关键是由勾股定理求出的长，由平移的性质判定四边形是平行四边形．由，的坐标，得到，，求出，由勾股定理求出，当时，，求出，得到，求出，因此，由平移的性质判定四边形是平行四边形，得到线段扫过的面积． 【详解】 解：，的坐标分别是和， ，， ∴， ，， ∴， 将沿轴向右平移到，点落在直线上的， ∴， 当时，， ， ∴， ∴， ∴ 由平移的性质得到，， 四边形是平行四边形， 线段扫过的图形是， 线段扫过的面积． 故答案为：． 考点04 一次函数与不等式（组）结合 1．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，一次函数（k，b为常数，且）的图象过点，，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系、数形结合是解题的关键． 根据图象即可判断求解． 【详解】解：∵一次函数过点，， ∴ ∴， ∴， ∴y随x的增大而增大． ∵当时，， ∴当时，， 即不等式的解集为． 故选：A． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图是一次函数的图象，当图象上的点在第一象限内时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与象限的关系，解题的关键是通过观察函数图象确定第一象限内点对应的取值范围． 观察一次函数图象，找出图象在第一象限部分对应的的取值区间． 【详解】解：观察函数图象，可知：当时，图象上的点在第一象限内． 故选：D． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式：的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合是解题关键．直接利用图象得出不等式的解集． 【详解】解：如图所示： 一次函数与一次函数的图象交于点， 关于的不等式的解集是：． 故选：C． 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式； 根据图象，找出直线在直线上方部分的的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 关于的不等式的解集为：， 故选：B． 5．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，函数和图象交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象及交点坐标，判断出关于的不等式的解集是解答本题的关键．根据函数图象写出不等式的解集即可. 【详解】解：函数和的图象交于点， 由函数图象可得，当时， 故选：B． 6．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）已知一次函数与（m，n为常数，）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象下方，所以不等式的解集为，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可知， 当时，， 即不等式的解集为， 故选：B． 7．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，结合函数图象，写出直线在x轴的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象，当时，， 所以不等式的解集为． 故选：C． 8．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）已知一次函数的图象如图所示，点在该函数图象上，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据一次函数图象与一元一次不等式的联系求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴由图象可得，关于的不等式的解集是． 故选：A 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图所示，一次函数与正比例函数相交于点，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的理解和掌握，能根据图象得出当时是解此题的关键． 根据图象求出P的坐标，根据图象可以看出当时，一次函数的图象在的上方，即可得出答案． 【详解】解：由图象可知：P的坐标是， 当时，一次函数的图象在的上方，即， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，函数和的图象相交于，则关于的不等式组的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据图象解答即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，当时，， ∴不等式组的解集是， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于不等式的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数与一次函数的图象交于点， ∴由函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的上方， 关于不等式的解集是． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）如图，直线与直线相交于点，其纵坐标为1，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，由图象得到直线落在直线的上方对应的的取值即为所求． 【详解】解：把代入，得． 所以， 所以直线与直线相交于点， 所以关于的不等式的解集是， 故答案为：． 考点05 一次函数与方程（组）结合 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标；运用数形结合的方法解决此类问题． 先把代入中计算出n的值，从而得到，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题． 【详解】解：把代入得， 即， ∵一次函数 的图象与的图象相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：B． 2．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据交点坐标得到方程，即的解为：，把代入，求出的值，即可得出方程组的解集． 【详解】解：直线与直线相交于点， ∴，即：的解为：， 把代入，得：， ∴关于的方程组的解为； 故选C． 3．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，已知一次函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题主要考查了一次函数与二元一次方程组，由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此所求方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：由图知：函数和的图象交于点 则同时满足两个函数的解析式， ∴是二元一次方程组的解． 故选：B． 4．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系．首先把代入直线即可求出m的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴， ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：C． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标；运用数形结合的方法解决此类问题． 先把代入中计算出n的值，从而得到，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题． 【详解】解：把代入得， 即， ∵一次函数 的图象与的图象相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：B． 6．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，下列说法正确的是（    ） A． B．关于的方程的解是 C．关于的不等式的解集是 D．关于的不等式的解集是 【答案】C 【分析】本题考查了两条直线的交点问题.运用待定系数法可求出交点坐标和一次函数图象的解析式，再结合图形分析即可求解． 【详解】解：根据题意，把交点代入一次函数中得， ，解得，， ∴， 把点代入一次函数图象得，， 根据一次函数的图象可得，，故A选项错误，不符合题意； 当时，，则关于的方程的解是，故B选项正错误，不符合题意； 当时，，故C选项正确，符合题意； 由图可知，当时，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 7．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，一次函数与的图象交于点，下列说法：①；②，是直线上不重合的两点，则；③关于的方程的解是；④关于的不等式的解集是．其中正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据一次函数与一元一次不等式的解集的关系，图象的分布，函数的性质，不等式组的解集的关系解答即可． 本题考查了一次函数与不等式的关系，图象的分布，函数的性质，熟练掌握解集的思想是解题的关键． 【详解】解：一次函数与的图象交于点， ∴，， ∴， 故①正确； ∵，是直线上不重合的两点，， ∴y随x的增大而减小， ∴一定异号， ∴； 故②错误； ∵一次函数与的图象交于点， ∴关于的方程的解是； 故③正确； ∵一次函数与的图象交于点， ∴关于的不等式的解集是． 故④错误， 共有2个正确， 故选：B． 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的综合应用，解题关键是理解方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值．结合图像可知，方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值，即可获得答案． 【详解】解：直线与相交于点， 方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值， 方程的解为． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，和，则关于x的方程的解为________．    【答案】4 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程．根据题意，可知当时，，即可关于x的方程的解为． 【详解】解：∵直线经过点， ∴当时，， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：4． 10．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）若关于，的方程组的解是，则直线与直线的交点坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，根据两直线的交点就是二元一次方程组的解即可求解． 【详解】解：∵关于，的方程组的解是， ∴直线与直线的交点坐标是． 故答案是：． 11．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）已知直线与的交点的坐标为，则关于、的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的关系，一次函数的交点坐标就是函数解析式组成的二元一次方程组的解． 根据题意求出，交点坐标为，即可得到函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：直线与的交点的坐标为， ， 交点坐标为， 关于、的二元一次方程组的解为， 故答案为： ． 12．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）已知直线与的交点为，则方程组的解是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 根据一次函数图象上点的坐标特征确定两直线的交点坐标，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解选择答案． 【详解】解：把代入得， 则直线与的交点为， 则方程组的解为． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）新定义：关于x的一次函数，我们称函数为一次函数的“m变函数”（其中m为常数）． 例如：关于x的一次函数的“3变函数”为． 关于x的一次函数的“1变函数”为，关于x的一次函数的“m变函数”为，若函数和函数有且仅有两个交点，则m的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用、两直线平行或相交等知识．利用方程组求出交点坐标即可解决问题； 【详解】解：由题意：，， 解得两个函数的交点为，或，， 观察图象可知：时，函数和函数有且仅有两个交点． 故答案为：． 考点06 求一次函数解析式 1．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）在平面直角坐标系中，线段的端点为，，点在线段上（包含端点）．直线经过点和点．点在线段上移动，直线中的值也随之发生变化．当是整数时，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，求出函数经过点A和点B时k的临界值，即可求出整数k的值． 【详解】解：当经过点和点时， ， 解得； 当经过点和点时， ， 解得； ∴， ∴整数k的值为或． 故答案为：或． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知一次函数，当时，，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的增减性问题，当时，y随x增大而增大，则当时，，当时，，当时，y随x增大而减小，则当时，，当时，，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：当时，y随x增大而增大， ∵当时，， ∴当时，，当时，， ∴， 解得； 当时，y随x增大而减小， ∵当时，， ∴当时，，当时，， ∴， 解得； 综上所述，的值是， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，，若直线与线段有交点，则m的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特征，正确理解题意熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 函数与线段有交点，根据题意将点A和点B坐标分别代入一次函数解析式，求出m的值，据此得出m的取值范围即可． 【详解】解：∵直线与线段有交点，A、B两点的坐标分别为，， 将点代入得， 解得， 将点代入得， 解得， 因为直线与线段有交点， 所以m的取值范围是：， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线上一点，过点的直线轴，在上有一动点，连接、，的周长最小，则点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、轴对称-最短线路问题，熟练掌握以上知识点是关键． 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时的周长最小，先求出值，得到坐标，利用待定系数法求出直线解析式，由解析式得到点坐标即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时的周长最小， ∵点在一次函数的图象上， ， ∴， 在一次函数中，当时，当时， ∴，， 设直线解析式为，由条件可得： ，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知一次函数与x轴和y轴分别交于点A和点B，与过点的直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)点E为直线上任意一点，过点E作轴，交于点F，过点E作轴，垂足为G，当时，求点E的横坐标． 【答案】(1)； (2)点E的横坐标为或． 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求一次函数解析式，熟知待定系数法及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）对点E的位置进行分类讨论，再结合一次函数图象上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】（1）解：令直线的函数解析式为， 则， 解得， 所以直线的函数解析式为； （2）解：令点E的横坐标为m， 则E点坐标可表示为， 因为轴， 所以． 因为点F在直线上， 所以． 当时， ，， 由得， ， 解得（舍去）． 当时， ，， 由得， ， 解得． 当时， ，， 由得， ， 解得， 综上所述，点E的横坐标为或． 6．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， (1)将的三个顶点的横坐标分别乘，纵坐标保持不变，画出所得三个顶点并依次连接起来，记作（点A，B，C的对应点分别为，，）； (2)与（1）所得的位置关系　　； (3)在y轴上找一点P，使得最小，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)详见解析 (2)关于y轴对称 (3)见解析， 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查轴对称—最短路径问题，作图—轴对称变换，求一次函数解析式 （1）先写出、、的坐标，再描点得到； （2）利用关于y轴对称的点的坐标特征进行判断； （3）过点B作y的对称点，连接交y轴于点P，即为所求，然后求出所在直线的表达式，将代入求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：与（1）所得的位置关系是关于y轴对称； 故答案为：关于y轴对称； （3）解：如图所示，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于P， 则此时最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． 7．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）我们给出如下定义：对于给定的一次函数（k，b为常数且），把形如（k、b为常数且）的函数称为一次函数的演变函数． (1)已知函数． ①若点在这个一次函数的演变函数图象上，求的值： ②若点在这个一次函数的演变函数图象上，求的值． (2)如图，一次函数为常数且的演变函数图象与一次函数的图象相交于两点， ①求该一次函数的表达式； ②一次函数（为常数且）的演变函数图象与轴相交于点，求的面积； ③在一次函数（为常数且）的演变函数图象上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①3；②1或 (2)）①；②24；③存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，勾股定理． （1）①根据题目中给出的函数定义用待定系数法进行求解即可；②根据题目中给出的函数定义分情况用待定系数法进行求解即可； （2）①利用待定系数法求解即可；②利用函数与数轴的交点求出，利用三角形面积公式进行求解即可；③先求出的中垂线表达式，与函数解析式联立即可得出结果． 【详解】（1）解：①点在这个一次函数的演变函数图象上，， ； ②点在这个一次函数的演变函数图象上， 当时，， ， 当时，， ， 故答案为：①3；②1或； （2）解：①将两点代入一次函数， 解得，， ， 将代入，代入得： 解得：， ； ②， ， ∵设一次函数与y轴交于点D， ， ， ， ； ③设点， ， ，， ， 整理得：，即 含点P的直线函数解析式为：， 联立，解得：， ， 联立解得：  ， ． 综上，点的坐标为或． 考点07 一次函数与几何综合 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以为边向右作菱形，点D在x轴上，则点C的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、勾股定理以及菱形的性质，求出的长是解题的关键．求出点的坐标，进而可得出的长，在 中，利用勾股定理可求出的长，再利用菱形的性质，即可求出结论． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， ， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， ， 在中，， ， 又 ∵四边形为菱形， ， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，则直线对应的函数表达式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合及全等三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数的图象与性质及三角形的全等是解题的关键；过点A作轴，过点B作轴，两条直线相交于点E，根据定理得出，故可得出及的长，再用待定系数法求解析式，由此可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，两条直线相交于点E， ∴， 又， ∴，，， ∴，． ∵， ∴，． 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 设直线表达式为：， ∴ 解得： ∴直线表达式为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．等腰直角三角形按如图位置摆放，顶点在直线上，轴．现将沿直线平移，且点始终在直线上．在平移的过程中，当点落在坐标轴上时，点的坐标为___________． 【答案】或 【分析】题目主要考查一次函数综合问题，含30度的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出图形分情况分析是解题关键． 根据一次函数解析式及含30度角的直角三角形的性质确定一次函数解析式为，再由勾股定理得出，过点E作，确定，然后分两种情况分析：当点E落在x轴上时，当点E落在y轴上时，作出相应图形求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将点A代入得， 解得：， ∴， ∵等腰直角三角形，， ∴， ∴， 过点E作， ∴， 当点E落在x轴上时，如图所示： ∵轴，， ∴点D的纵坐标为，代入得， 解得：， ∵， ∴点F的横坐标为， ∴； 当点E落在y轴上时，如图所示： ∵轴，， ∴点D的横坐标为，代入得， ∴点F的横坐标为， ∴； 综上可得：或， 故答案为：或 ． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，平面直角坐标系中，点坐标为，，． (1)求点的坐标； (2)过点作轴，交轴于点，连接并延长交于点．求点的坐标． 【答案】(1)(-2,1)； (2)() 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是本题解题的关键． （1）分别过和作轴垂线，根据三角形全等求解点坐标即可； （2）根据轴得出点坐标，求出直线和直线的解析式，交点即为点坐标． 【详解】（1）解：过作轴于，过作轴于，如图： ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）轴， ， 设直线的解析式为， ， ，， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为： ， 联立直线和直线的解析式： ， 解得： ， ， 5．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴，y轴分别交于点A，点B，一次函数经过点B． (1)求线段的长； (2)动点P从点C出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t（秒）． ①当的面积为6时，请求出t的值； ②在线段上存在点D，点E是坐标平面内一点，以点B，E，P，D为顶点的四边形是正方形时，请求出t的值． 【答案】(1)9 (2)①见解析，②的值为或5 【分析】（1）先求出点A，B的坐标，然后求出直线的解析式，再求出点C的坐标解答即可； （2）①分为点P在点O的左侧，点P在点O的右侧两种情况表示长，然后根据三角形的面积公式求出值即可； ②当点P在点O右侧时，过点D作轴，垂足为G，证明，得到解题即可；当点P在点O左侧时，过点D作轴，垂足为点H，同理可得，进而得到，求出长解答即可． 【详解】（1）解：把代入，， ∴， 把代入，， ∴， 把代入中 ∴，当时，， ∴． ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴，， 当点P在点O的左侧时，， ∴ 当点P在点O的右侧时，，， ∴． ②∵直线的解析式为， 当点P在点O右侧时，过点D作轴，垂足为G，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 把代入，， ∴， ∴， 即， 当点P在点O左侧时，过点D作轴，垂足为点H，如图， ∵四边形是正方形， 同上可证∴， ∴， 设， ∴， 把代入，， 则，， 则， ， ∴，即． 综上所述，的值为或5． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，正方形的性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题． 6．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D． (1)求直线的表达式 (2)在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标：若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，点Q在直线上，当点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 (3)存在，或 【分析】（1）由直线：经过点，再利用待定系数法可得答案； （2）设，先求解，可得，，，结合是等腰三角形，再分类讨论即可； （3）如图，设，，当为对角线时，如图，当为对角线时，如图，当为对角线时，再利用平行四边形的性质建立方程求解即可； 【详解】（1）解：∵直线：经过点， ∴， 解得：， ∴直线为； （2）解：如图，设， ∵， 解得：， ∴， ∴，，， ∵是等腰三角形， 当时，， 解得：， ∴或， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：（舍去），， ∴， 综上：或或或； （3）解：如图，∵点P在直线上，Q在直线上， ∴设，， 当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，一次函数的几何应用，清晰的分类讨论是解本题的关键. 7．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为． (1)①当点在线段上时， ______（用含的式子表示），______； ②当点在线段上时，求出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)根据（1）的解答，在给定的平面直角坐标系中画出关于的函数图象； (3)结合函数图象，直接写出的图象与的图象有个公共点时的取值范围． 【答案】(1)①，3；② (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①过点作于点，则，再根据平行四边形的面积公式求出，当点在上时，则；②当点在上时，求出，即可得解， （2）描点、连线绘制图象，再观察函数图象即可求解； （3）当图象过和、时，为符合题意的临界点，由此即可得解； 【详解】（1）解：①过点作于点， ， ∵，四边形为平行四边形， ∴， ∴， 则，即， 则， 当点在上时，则， 故答案为：，； 如图，当点在上时， ， ∵，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：当时，，当时，， 根据上述点坐标描点、连线绘制图象如下： （3）解：当图象过和、时，为符合题意的临界点， 当图象过时，则， 直线的表达式为：，即， 当图象过时，则，则， 故或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）直线经过点，与y轴交于点B，与直线交于点C，点C的横坐标为2，点P是直线上的一个动点（点P不与A，B，C重合），过点P作x轴的平行线，交直线于点D，过点P作y轴的平行线，交x轴于点E，设动点P的横坐标为t． (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，当点P在线段上时，求的长（用含t的代数式表示）； (3)在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得以A，P，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是一次函数的综合，考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的判定，分类讨论等知识与思想； （1）由题意可求得点C的坐标为，由待定系数法即可求得直线的函数表达式； （2）由点P的横坐标及点P在直线上，可求得点P的纵坐标，从而求得点D的坐标，即可求得的长； （3）分两种情况考虑：点在射线上；点在射线上；根据平行四边形的判定即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点C，点C的横坐标为2， ∴把点C的横坐标代入直线中，得， 即点C的坐标为； 设直线的解析式为, 由于直线经过点，点，则有，解得：， ∴， 即直线的解析式为； （2）解：∵点P在线段上，且点P的横坐标为t， ∴点P的纵坐标为，即； ∵轴，且直线解析式为， ∴点的纵坐标为， ∴点的横坐标为， 即， ∴； （3）解：∵轴，即， ∴当时，以A，P，D，E为顶点的四边形是平行四边形； 当点在射线上时，此时且不为6； 与（2）同理得：， ∵ ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 当点在射线上时，且不为0； 由（2）知，，； ，， 则， 解得：， ∴； 综上，或． 9．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）定义：在平面直角坐标系中，对两点和，若，则称为、两点的“绝对距离”． (1)已知点，则______； (2)函数的图象上存在点，若，则点的坐标为______； (3)菱形顶点的坐标是，，，． ①若点在菱形的边上且，求点的坐标； ②已知点，且菱形上只有两个点到点的“绝对距离”等于，则的取值范围是______． 【答案】(1)4 (2)或 (3)①；②或 【分析】（1）根据定义直接求即可； （2）设，则，分类讨论求解绝对值方程即可得答案； （3）①根据E点可能在菱形的四条边上分四类具体讨论 ②由本题题意可知到点P的“绝对距离”等于m的点的轨迹为以为对角线的交点的正方形W上，且该正方形的对角线与坐标轴平行或垂直，且对角线长的一半即为m的值．且菱形上只有两个点到点P的“绝对距离”等于m，即上述正方形W与菱形有且只有两个交点，再寻找临界值，最终综合起来确定m的取值范围． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：； （2）解：设， 则， 当时，， 解得：舍去； 当时，， 解得：， ； 当时，， 解得：， ； 综上，点的坐标为或， 故答案为：或； （3）解：由题意得：菱形的顶点为：，，，， 设直线的解析式为，则有， 解得：， ， 当点在边上时，设， ，即， 解得：，此时点与点重合，不符合题意，舍去； 当点在边上时，同理可得直线的解析式为， 设， ，即， 解得：，此时点与点重合，不符合题意，舍去； 当点在边上时，同理可得直线的解析式为， 设， ， ， 解得：舍去； 当点在边上时，同理可得直线的解析式为， 设， ， ， 解得：， 综上可得； 由本题题意可知到点的“绝对距离”等于的点的轨迹为以为对角线的交点的正方形上，且该正方形的对角线与坐标轴平行或垂直，且对角线长的一半即为的值． 且菱形上只有两个点到点的“绝对距离”等于， 即上述正方形与菱形有且只有两个交点， 接下来开始寻找临界值，如图所示： 当正方形与线段有一个交点时，令直线的解析式中， 可得，此时； 当正方形的一个顶点在线段上时，令直线的解析式中， 可得，此时； 当点在正方形的边上时，令点所在的边的解析式为，代入点， 可得，故点所在的正方形边的解析式为， 令，则，此时； 当点在正方形的边上时，令点所在的边的解析式为，代入点， 可得，故点所在的正方形边的解析式为， 令，则，此时， 综上所述，的取值范围为或． 故答案为：或． 【点睛】本题一道以新定义为背景的代几综合题，主要考查了一次函数的性质，菱形的性质，正方形的性质，计算题较大．最后一问难度也较大，要利用数形结合来把点转化为“公共点”的问题来解决，熟练掌握以上内容并灵活运用是解题关键． 10．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象，与一次函数的图象交于点，且与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴上有一点，连接MP． (1)求点A，B的坐标及直线的函数解析式； (2)点E为直线上一点，且横坐标为a，过点E作x轴的垂线交于点F， ①求的面积S与a的关系式； ②当时，的面积等于的面积，求出点M的坐标． (3)若，以为边向下作正方形． ①用含m的式子分别表示点N，点G的坐标； ②连接，若落在四边形的内部（含边上），直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，， (2)①；②或 (3)①，；② 【分析】（1）将代入，可求函数的解析式；再由一次函数上点的坐标特点求、即可； （2）①过点作交于点，过点作轴的垂线交于点，分别求出、点坐标，可得，，当时，，当时，，分别求出△的面积即可； ②过点作轴交轴于点，当时，由①可得，则，根据面积求出，再求点或； （3）①过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，过点作轴交于点，可证明△△，从而求出，同理可证△△，求出； ②确定△在四边形内部的临界点：当点在直线上时，当点在直线上时，当点在轴上时，再求的范围即可． 【详解】（1）解：将代入， ， 解得， ； 当时，， ， 当时，， ； （2）解：①过点作交于点， 点为直线上一点，且横坐标为， ， 过点作轴的垂线交于点， ， ， ， 当时，， ； 当时，， ， ； ②过点作轴交轴于点， 当时，由①可得， ， ， ， 解得， 或， 点或； （3）解：过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，过点作轴交于点， 四边形为正方形， ，， 轴，轴， ， ，， ， ， ，， 由题意可知，， ，， ， 同理可证， ； ②当点在直线上时，， 解得， 当点在直线上时，， 解得； 当点在轴上时，， 解得； 时，落在四边形的内部（含边上）． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，正方形的性质，三角形全等的判定及性质，此题属一次函数与几何综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 11．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）定义：函数(且)和函数互为“逆反函数”．例如：和互为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式 ；点在的函数图象上，则的值是 ． (2)如图1，点是一次函数图象上一点，又是它的“逆反函数”图象上的点． ①求的面积； ②若点为平面直角坐标系第四象限内一点，是否存在以点、、、为顶点的平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)函数和它的“逆反函数”，组合成新的函数．当时，函数的最大值与最小值的差为． ①时，求的值； ②时，求的值； ③时，求的值． 【答案】(1)， (2)①；②存在， (3)①；②；③ 【分析】本题考查一次函数与几何综合，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，理解定义是解题的关键． （1）根据定义直接求出的解析式为，再将点代入该解析式即可求的值； （2）①求出，，再求的面积即可； ②设，且，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论即可； （3）①时，当时，根据题意得，求得； ②时，当时，根据题意得，求得； ③当时，当时，根据题意得，求得． 【详解】（1）解： 中，， ∴函数的“逆反函数”的解析式为， ∵点在的函数图象上， ， 解得， 故答案为：，； （2）①点是两个函数的交点， ， 则，， 点； ：，当时，， ， ， ， . ②存在，如图，过点向右作线段，使且. ∵且， 四边形是平行四边形， ， 点向右平移个单位得到点， ， . （3）①当时，根据题意， 当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，， ，解得. ②当时，根据题意， 当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，， ，解得. ③当时，根据题意， 当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，， ，解得. 12．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知一次函数叫做一次函数的“倍关联函数”，两函数图象的交点称作的“倍关联点”，与其“倍关联函数”的图象分别与轴交于点、两点． (1)已知是的“倍关联函数”，则________，________； (2)若一次函数的“倍关联点”为，求的解析式； (3)在（）的条件下， 以为边的正方形与的“关联函数”的图象交于点，求的面积？ 的“关联函数”的图象与轴交于点，在的“关联函数”的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3) 的面积为； 或． 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，弄懂新定义是解题的关键． （）根据定义直接求解即可； （）根据题意得到，，求出即可求解析式； （）求出，，设为正方形的一边，过点作轴交于，过点作轴交于，则 可求，求出直线的解析式为，再由，求出点，即可求的面积； 过点作交于，过点作轴交于点，过点作， 交于点，则，设，则，再由 ，求出，即可确定，，点关于点对称点为，且． 【详解】（1）解：∵是的“倍关联函数”， ∴， ∴， ∵的“倍关联函数”为， ∴， ∴； （2）解：由一次函数的“倍关联函数”为， ∵一次函数的“倍关联点”为， ∴，， 解得，， ∴； （3）解： 与轴的交点为， ∵一次函数的“倍关联函数”为， ∴， 设为正方形的一边，过点作轴交于，过点作轴交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，解得， ∴， ∴的面积； 存在点，使得，理由如下: 由与轴的交点为， 过点作交于，过点作轴交于点，过点作，交于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵点关于点对称点为，且， ∴点坐标为或． 13．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）已知关于的一次函数，当时，我们称一次函数为“新函数”，一次函数为“新函数”的“关联函数”．“新函数”的图象记为直线，它的“关联函数”的图象记为直线． 例如：“新函数”的“关联函数”为． (1)直接写出“新函数”的“关联函数”表达式； (2)请说明：直线，直线与y轴的交点是同一个点； (3)如图，若“新函数”的表达式为，点在直线上，点在直线上，轴，，求点的坐标； (4)“新函数”的表达式为．若直线，直线与轴围成的图形面积为9，点在直线上，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，连接．设点的横坐标为，四边形的周长为，直接写出关于的函数表达式． 【答案】(1) (2)见解析 (3)点A的坐标为或 (4) 【分析】本题属于一次函数的综合题，平行四边形的判定与性质，涉及一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． （1）直接根据“新函数”写出表达式即可； （2）求出“新函数”与它的“新函数”与y轴的交点即可； （3）先求出直线，直线的交点为，当点A在点B上面时，当点A在点B的下面时，分别求解即可； （4）先求出“新函数”表达式为，它的“关联函数”表达式为，再证明四边形为平行四边形即可． 【详解】（1）解：根据“新函数”的“关联函数”的定义可知： “新函数”的“关联函数”为； （2）在“新函数” 中，令，则， ∴直线与y轴交点为， 在它的“关联函数”中，令x=0，则， ∴直线与y轴交点为， ∴直线，直线与y轴的交点为同一个点； （3）“新函数”的表达式为， “关联函数”的表达式为， 令，则， ∴直线，直线的交点为， ∵点在直线上， ∴设 ∵点B在直线上， 当点A在点B上面时， 轴， ， ， ， 当点A在点B的下面时， ， 综上所述，点A的坐标为或； （4）①∵“新函数”的表达式为 ∴它的“关联函数”为， 令， ， ∴直线，直线交点为， 如图，则 ，，， ，即， ， ∴“新函数”的表达式为，它的“关联函数”表达式为， ，轴交于点F， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 轴， ， ， 又，轴， ， ∴四边形为平行四边形， ． 【点睛】本题属于一次函数的综合题，平行四边形的判定与性质，涉及一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 考点08 利用一次函数解决实际问题 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）用篱笆围成一个如图所示的长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度为米．设边的长为米，边的长为米，则与之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意． 根据题意，结合长方形对边相等即可得与之间的函数关系式． 【详解】解：由已知可得，， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）A，B两种上宽带网的收费方式如下表所示： 收费方式 月使用费／元 包时上网时间 超时费／（元） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 设收费方式A，B的收费金额分别为，（元），上网时间，当时，上网时间的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的应用，关键在于列出相应的不等式，解相应的不等式． 根据收费方式A和B的计费规则，分别建立费用与上网时间的函数关系式，通过比较确定满足的x范围． 【详解】收费方式： 月使用费30元，包时上网时间，超时费元，即元， 当时，； 当时， ． 对于收费方式： 月使用费50元，包时上网时间，超时费元，即元 当时，； 当时， ． 分情况讨论时x的取值范围 当时： ，，此时，即，不满足． 当时： ，，若，则， 解得 ． 结合前提，此时的取值范围是 ． 当时： ，， ， 即恒成立 ． 综上，的取值范围是， 故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）某无人机从海拔处出发，以每分钟的速度上升，若无人机所在的海拔高度（单位：），关于上升时间（单位：）的函数关系式是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了函数关系式，正确表示出上升的高度是解题关键． 直接利用原高度上升的时间海拔高度，进而得出答案． 【详解】解：无人机所在的海拔高度（单位：），关于上升时间（单位：）的函数关系式是：． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师，现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲种客车 乙种客车 载客量／（人／辆） 45 30 租金／（元／辆） 400 280 设租用辆甲种客车，则租车费用（单位：元）关于的表达式为______（不要求写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．根据题意可得保证240名师生都有车坐，汽车总数不能小于6，再由要使每辆汽车上至少要有1名教师，可得汽车总数不能大于6，即可得到共需租6辆汽车，设租甲型辆，费用共元，根据题意，列出函数的关系式即可． 【详解】解：（辆）……15（人），（辆）， ∴保证名师生都有车坐，汽车总数不能小于6， ∵只有6名教师， ∴要使每辆汽车上至少要有1名教师，汽车总数不能大于6， 综上可知：共需租6辆汽车． 设租用辆甲种客车，则租车费用（单位：元）关于的表达式为， 即， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）本市歇马杏的上市时间约为每年六月份，果农将摘下的成熟歇马杏销往省外某地．某快递公司的收费标准为：不超过物品需付13元，以后每增加，需增加托运费1.5元．直接写出托运歇马杏的费用y（元）的函数关系式为_____． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列一次函数关系．得到超过的歇马杏的托运费的表示方法是解决本题的关键．当时，托运费的费用超过的托运费用，把相关数值代入后整理即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列结论：甲步行的速度为米/分；乙走完全程用了分钟；乙用分钟追上甲；乙到达终点时，甲离终点还需要走分钟．其中正确的结论有_____．（填序号）    【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题所需要的条件，利用数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得：甲步行速度（米/分），故正确； 设乙速度为：米/分， 由题意得：， 解得：， 乙的速度为米/分， 乙走完全程的时间（分），故正确； 由图可知，乙追上甲的时间为：（分），故错误； 乙到达终点时，甲离终点的距离是：（米）,甲离终点还需要走：（分钟），故正确； 正确的结论有， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）货车和轿车分别沿同一路线从地出发去地，已知货车先出发分钟后，轿车才出发，当轿车追上货车分钟后，轿车发生故障，花了分钟修好车后，轿车按原来速度的继续前进，在整个行驶过程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，两车相距的路程（米）与货车出发的时间（分钟）之间的关系的部分图象如图所示，对于以下说法：货车的速度为米分； ；点的坐标为；图中的值是．其中正确的是____________． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查一次函数图像与行程问题的应用，先设出货车的速度和轿车故障前的速度，再根据货车先出发分钟后轿车出发，桥车发生故障的时间和两车相遇的时间，根据路程速度时间列出方程组求解可判断①；利用待定系数法求与解析式可判断②，先求出点货车的时间，用轿车修车分钟段货车追上轿车时间乘以货车速度，求出点的坐标可判断③；求出轿车速度 米分，到时轿车追上货车两车相遇，列方程，解得 可判断④． 【详解】解：由图象可知，当时，轿车开始出发；当时，轿车开始发生故障，则分钟，即货车出发分钟时，轿车追上了货车， 设货车速度为米分，轿车故障前的速度为米分，根据题意， 得：， 解得：， 货车的速度为米分，轿车故障前的速度是米分，故①正确； ， 设解析式：过点与点，代入坐标得 解得 解析式： 点表示货车追上轿车，从到表示货车追及的距离是，货车所用速度为， 追及时间为分钟 点 段表示货车用 分钟行走的路程， 点的横坐标为分，纵坐标米， ，故③正确； 设解析式为，代入坐标得 解得 解析式为 与解析式中的相同， ，故②正确； 点表示轿车修好开始继续行驶时，轿车的速度变为原来的，即此时轿车的速度为： 米分， 到时轿车追上货车两车相遇， ， 解得 ， 即图中的值是；故④正确， 正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因设备调试暂停一次，之后以原工作效率继续加工，因任务紧，乙组工人中途加入共同加工．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件数为（个），乙组加工零件数为（个），函数图象如下： (1)直接写出a的值，______； (2)求与t的函数关系式及t的取值范围； (3)甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为320个？ 【答案】(1)280 (2) (3)6小时 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，包括从函数图象中获取信息，一次函数解析式的求解，由图象上的点求解出甲和乙的工作效率并由待定系数法求解一次函数解析式是解决本题的关键． （1）先求解出调试前设备工作效率，再由调试后工作效率不变即可求解a的值； （2）根据乙的函数图象可知，是t的一次函数，设出一次函数解析式，将点和代入解析式即可求解； （3）先计算出乙的工作效率，设甲组加工时间为m小时，再根据甲乙合作零件的总数为320个列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：甲组调试前的工作效率为（个/时）， 因为调试后工作效率不变， ∴当时，个， ∴， 故答案为：280； （2）解：设， 将和代入解析式得： ，解得， ∴； （3）解：乙组的工作效率为（个/时）， 设甲组加工时间为m小时， ∵， 根据题意列方程，得：． 解得：． 答：甲组加工6小时，甲、乙两组加工零件总数为320个． 9．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．东港市某小区为抓好“园区绿化”，购买了甲，乙两种树苗，已知购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共需元，购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共需元． (1)求甲，乙两种树苗单价分别是多少元？ (2)为扩大园区绿化面积，该小区准备购进甲，乙两种树苗共100棵，且甲种树苗的棵数不少于乙种树苗棵数的一半，求购买这批树苗的最低费用． 【答案】(1)甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元； (2)购买这批树苗的最低费用为元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，解一元一次不等式，熟练掌握一次函数的应用是解题关键． （1）设甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元，根据题意，列出二元一次方程组，解方程，即可求解； （2）设该小区准备购进甲种树苗棵，则乙种树苗棵，设购买这批树苗的费用为元，利用总价单价数量，列出关于的一次函数，结合题意和函数图象，得时，最小，将代入即可求解． 【详解】（1）解：设甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元． （2）解：设该小区准备购进甲种树苗棵，则乙种树苗棵， 设购买这批树苗的费用为元， 根据题意得：， ， 随的减小而减小， 根据题意得：，解得：， 取整数， 最小值为， 当时，最小，最小值为， 答：购买这批树苗的最低费用为元． 10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划利用每日的“阳光大课间”开展跳绳活动，并准备购买甲、乙两款跳绳．已知甲款跳绳的单价比乙款跳绳的单价少5元，用250元购买甲款跳绳的数量与用300元购买乙款跳绳的数量相同． (1)求甲、乙两款跳绳的单价各是多少元； (2)该校计划购买甲、乙两款跳绳共50条，且甲款跳绳的数量不超过乙款跳绳数量的一半，求购买这批跳绳的最少费用． 【答案】(1)甲款跳绳25元，乙款跳绳30元 (2)购买这批跳绳的最少费用为1420元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用．熟练掌握分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设甲款跳绳单价是x元，则乙种跳绳单价为元，根据“用250元购买甲款跳绳的数量与用300元购买乙款跳绳的数量相同”列出分式方程，计算求出满足要求的解，然后作答即可； （2）设购买乙款跳绳m个，则购买甲款跳绳个，所需总费用为元，依题意得，，依题意得：，可求，据此求解即可． 【详解】（1）解：设甲款跳绳单价是x元，则乙种跳绳单价为元， 根据题意，得， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲款跳绳25元，乙款跳绳30元； （2）解：设购买乙款跳绳m个，则购买甲款跳绳个， 设购买这批跳绳的费用为w元， 根据题意，得， ， 随m的增大而增大， 根据题意，得．解得． 为整数， 的最小值是34． 当时，w有最小值，最小值为（元）． 答：购买这批跳绳的最少费用为1420元． 11．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）某市出租车车费收取标准如下：3千米以内含（3千米）收费8元；超过3千米的部分每千米收费元． (1)写出应收费（元）与出租车行驶路线（千米）之间的关系式（其中） (2)小明乘出租车行驶5千米，应付多少元？ (3)小颖付车费元，那么出租车行驶了多少千米？ 【答案】(1) (2)元 (3)8千米 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键， （1）根据题意列出时的关系式，化简即可得到答案； （2）将代入（1）中的表达式中即可得到答案； （3）将代入（1）中的表达式中即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， （2）解：∵， 当时，， 答：应付元； （3）解：∵， 当时，， 解得：， 答：出租车行驶了8千米． 12．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放．从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系数据记录如表1： 表1：电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 表2：汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据． ①直接写出关于的函数表达式； ②直接写出关于的函数表达式： 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】（1）①，②；（2）25分钟 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出行驶千米后电动汽车仪表盘显示电量，再计算充电分钟后增加的电量，从而计算出充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量；计算出在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量，从而求出行驶完剩余的路程消耗的电量，再根据“充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量消耗的电量”列方程，求出的值即可． 【详解】解：①设关于的函数表达式为（为常数，且）， 将，代入，得， 解得， 关于的函数表达式为． ②设关于的函数表达式为（、为常数，且）， 将，和，分别代入， 得，解得， 关于的函数表达式为． （2）当时，， 行驶300千米后，电动汽车仪表盘显示电量为，充电分钟后，增加的电量为， 充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为 行驶完剩余的路程消耗的电量为， ， ． 答：电动汽车在服务区充电25分钟． 13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）一辆货车和一辆轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条公路相向而行，匀速驶向各自的目的地乙地和甲地．行驶了一段时间，轿车出现故障停下维修，货车遇到轿车后立即停下帮助维修，故障排除后，两车立即以各自原速度继续行驶．两车之间的距离和货车行驶时间之间的函数图象如图①所示． (1)货车的速度为________ ，轿车的速度为________ ； (2)求线段表达式； (3)在图②中，画出货车离乙地的距离和行驶时间之间的函数图象． 【答案】(1)60；80 (2) (3)见解析 【分析】本题考查从函数图象获取信息，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据图中信息，找出对应的时间、路程，即可求出速度； （2）求出点D，E的坐标，利用待定系数法求解； （3）求出，时对应的s的值，以及货车到达乙地的时间，画出分段函数即可． 【详解】（1）解：由图象可知，货车的速度为， 轿车的速度为； （2）解：根据题意知，轿车出现故障时行驶了， 轿车修好后到达甲地所需时间为， ， ， 货车2小时行驶的路程为， ， ， 设线段的函数表达式为， 把，坐标代入解析式得：， 解得， 线段的函数表达式为； （3）解：由题意得，货车到达乙地的时间为， 时， ， 时， ， 货车离乙地的距离和行驶时间之间的函数． 图象如图②： 14．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）孝敬父母是中华民族的传统美德．母亲节来临之际，某花店购进百合和康乃馨共100束，其中百合价格为每束25元，购进康乃馨的费用y（元）与其购买的数量x（束）（）的函数关系图象如图所示． (1)求康乃馨的费用y（元）与康乃馨的数量x（束）的函数关系式； (2)若康乃馨的数量不少于百合的数量，请设计一个方案，使购进百合和康乃馨的总费用最少，并求出最少费用． 【答案】(1) (2)当购进40束百合花，60束康乃馨时，总费用最少，最少费用是2000元 【分析】本题主要考查一次函数，一元一次不等式的运用，理解图示，掌握待定系数法，不等式求解的方法是关键． （1）根据图示，运用待定系数法求解即可； （2）运用不等式得到购买康乃馨的数量的取值范围，运用一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：当时，设购进康乃馨的费用y（元）与康乃馨购买的数量x（束）的函数关系式为， 将代入得：， 解得：， ∴； 当时，设购进康乃馨的费用y（元）与康乃馨购买的数量x（束）的函数关系式为， 将代入得：， 解得：， ∴， ∴购进康乃馨的费用y（元）与康乃馨购买的数量x（束）的函数关系式为； （2）解：∵购买康乃馨的数量不少于百合的数量， ∴， 解得：， ∵， ∴， 设购买百合和康乃馨的总费用为w元，则， 即， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，最小值为， 此时， 答：当购进40束百合花，60束康乃馨时，总费用最少，最少费用是2000元． 15．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）某学校为鼓励师生加强体育锻炼，准备购买副某种羽毛球拍，每副球拍配个羽毛球，供师生免费借用，两家超市都有这种羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为元，每个羽毛球的标价均为元，目前两家超市同时在做促销活动： 超市：所有商品均打八折销售； 超市：买一副羽毛球拍送个羽毛球． 设在超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）请解答下列问题： (1)分别写出，与之间的关系式； (2)若只在一家超市购买，在哪家超市购买更划算？ (3)若每副球拍配个羽毛球，请你直接写出购买羽毛球拍和羽毛球费用最低的方案及最低费用． 【答案】(1)， (2)当时，在超市购买更划算；当时，两家超市的费用相同；当时，在超市购买更划算； (3)在超市购买副羽毛球拍并获赠个羽毛球，再在超市购买个羽毛球，元． 【分析】本题考查一次函数的应用，写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）分别根据两个超市的优惠情况计算即可； （2）比较，的大小即可； （3）在超市购买副羽毛球拍并获赠一定数量的羽毛球，再在超市购买剩余的羽毛球所需的费用最低，并计算最低费用即可． 【详解】（1）解：，， 与之间的关系式为，与之间的关系式为； （2）解：当时，得，解得； 当时，得，解得； 当时，得，解得； 当时，在超市购买更划算；当时，两家超市的费用相同；当时，在超市购买更划算； （3）解：在超市购买副羽毛球拍，花费元，送个羽毛球， 剩余的羽毛球在超市购买，花费元， 元， 最低费用为元． 16．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）为迎接建平县第三届初中生运动会，某中学对运动员进行集训，计划采购一批运动器材．已知用1200元购买跳绳的数量是用800元购买毽子数量的2倍，且每根跳绳单价比每个毽子单价便宜2元． (1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ (2)学校计划购买跳绳和毽子共200个，为了满足不同项目需求，要求毽子的数量不少于跳绳数量的3倍．设购买跳绳a个，总采购费用为元． ①求关于的函数关系式； ②如何购买才能使总采购费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)每根跳绳的费用为6元，每个毽子的费用为8元 (2)①②当采购50根跳绳，150个毽子时，费用最低为1500元． 【分析】本题考查分式方程的实际应用个，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和函数关系式，是解题的关键： （1）设跳绳的单价为元/个，根据用1200元购买跳绳的数量是用800元购买毽子数量的2倍，列出分式方程进行求解即可； （2）①根据总费用等于跳绳的费用加上毽子的费用，列出函数关系式即可；②根据一次函数的增减性，求最值即可． 【详解】（1）解：设跳绳的单价为元/个，则毽子的价格为每个元，由题意，得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴； 答：每根跳绳的费用为6元，每个毽子的费用为8元； （2）①设购买跳绳a个，总采购费用为元，则：购买毽子的数量为个，由题意，得： ，， ∴， ∴； ②∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，最小，为； 答：当采购50根跳绳，150个毽子时，费用最低为1500元． 17．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）人教版八年级下册数学教材第105页数学活动2问题如下： 水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，数学小组进行了以下的试验与研究： 如图1，在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 10 25 40 55 70 … (1)请根据表中信息在图2坐标系中描点、连线，画出w关于t的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的__________函数（选填“正比例”或“一次”或“反比例”）； (2)根据以上判断，求w关于t的函数关系式； (3)估算这个水龙头在这种漏水状态下24小时的漏水量． 【答案】(1)一次，图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的图象特征、根据变量的变化规律写出函数关系式是解题的关键． （1）描点并连线，再根据图象特征判断函数类型即可； （2）用待定系数法求解即可； （3）将24小时的分钟数作为x的值代入w关于t的函数关系式，求出对应w的值即可． 【详解】（1）描点并连线如图所示： 根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的一次函数． 故答案为：一次． （2）设， 由题意得， 解得． ． （3）分钟， ． ， 水龙头在这种漏水状态下24小时的漏水量为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 一次函数 高频考点概览 考点01一次函数的定义及其图像与性质 考点02函数的自变量及函数值的确定与大小比较 考点03一次函数图象的平移 考点04一次函数与不等式（组）结合 考点05一次函数与方程（组）结合 考点06求一次函数解析式 考点07一次函数与几何综合 考点08利用一次函数解决实际问题 考点01 一次函数的定义及其图像与性质 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列各函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）下列式子中，表示是的正比例函数关系的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）对于一次函数下列说法正确的是（　　） A．随的增大而减小 B．图象与轴交于点 C．图象经过第一、三、四象限 D．当时， 5．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）在平面直角坐标系中存在函数过第一，二，四象限，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）正比例函数的图象过二、四象限，则一次函数的图象所过象限为（    ） A．一、二、四 B．一、二、三 C．二、三、四 D．一、三、四 7．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．y随x增大而增大 B．图象经过第三象限 C．， D．当时， 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）一次函数的x与y的部分对应值如表所示，根据表中数值分析，下列结论正确的是（   ） x … 0 1 2 3 … y … 1 3 5 … A．y随x的增大而减小 B．是方程的解 C．一次函数的图象不经过第一象限 D．一次函数的图象与x轴交于点 9．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点 B，下列结论正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．当时， C．的面积是4 D． 10．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列有关一次函数的说法中，正确的是（    ） A．y的值随着x值的增大而增大 B．函数图象与x轴的交点坐标为 C．当时， D．函数图象经过第二、三、四象限 11．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）一次函数的图象经过点和点，下列说法正确的是(   ) A．当时、 B．一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积为8 C．该函数的解析式为 D．该一次函数图象可由平移得到 考点02 函数的自变量及函数值的确定与大小比较 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知一次函数图象上两点、，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）直线过点和点，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）已知直线过点和点，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）一次函数，当，的最大值为（   ） A． B． C．1 D．3 5．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在直线上的点为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）直线经过点，则a的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 7．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知一次函数，当时，y的最大值是_____． 8．（24-25八年级上·辽宁·期末）已知直线经过点和点，则_____（填“”或“”或“”）． 考点03 一次函数图象的平移 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）正比例函数的图象向上平移5个单位后得到的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向下平移3个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 3．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）直线向上平移个单位，则平移后的直线与轴的交点坐标是______． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，将直线向上平移5个单位长度后经过原点，b的值为 ______． 6．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）将一次函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为________． 7．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，把直线向下平移m个单位，与直线的交点在第一象限，则m的取值范围是_____． 8．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，把放在直角坐标系中，其中，，点，的坐标分别是和，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为______． 考点04 一次函数与不等式（组）结合 1．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，一次函数（k，b为常数，且）的图象过点，，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图是一次函数的图象，当图象上的点在第一象限内时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式：的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，函数和图象交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）已知一次函数与（m，n为常数，）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）已知一次函数的图象如图所示，点在该函数图象上，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图所示，一次函数与正比例函数相交于点，则不等式的解集是________． 10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，函数和的图象相交于，则关于的不等式组的解集是______． 11．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于不等式的解集是______． 12．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）如图，直线与直线相交于点，其纵坐标为1，则关于的不等式的解集是______． 考点05 一次函数与方程（组）结合 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，已知一次函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ）    A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，下列说法正确的是（    ） A． B．关于的方程的解是 C．关于的不等式的解集是 D．关于的不等式的解集是 7．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，一次函数与的图象交于点，下列说法：①；②，是直线上不重合的两点，则；③关于的方程的解是；④关于的不等式的解集是．其中正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是______． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，和，则关于x的方程的解为________．    10．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）若关于，的方程组的解是，则直线与直线的交点坐标是_____． 11．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）已知直线与的交点的坐标为，则关于、的二元一次方程组的解为______． 12．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）已知直线与的交点为，则方程组的解是________． 13．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）新定义：关于x的一次函数，我们称函数为一次函数的“m变函数”（其中m为常数）． 例如：关于x的一次函数的“3变函数”为． 关于x的一次函数的“1变函数”为，关于x的一次函数的“m变函数”为，若函数和函数有且仅有两个交点，则m的取值范围是_______． 考点06 求一次函数解析式 1．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）在平面直角坐标系中，线段的端点为，，点在线段上（包含端点）．直线经过点和点．点在线段上移动，直线中的值也随之发生变化．当是整数时，则的值为______． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知一次函数，当时，，则的值是__________． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，，若直线与线段有交点，则m的取值范围为___________． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线上一点，过点的直线轴，在上有一动点，连接、，的周长最小，则点坐标为________． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知一次函数与x轴和y轴分别交于点A和点B，与过点的直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)点E为直线上任意一点，过点E作轴，交于点F，过点E作轴，垂足为G，当时，求点E的横坐标． 6．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， (1)将的三个顶点的横坐标分别乘，纵坐标保持不变，画出所得三个顶点并依次连接起来，记作（点A，B，C的对应点分别为，，）； (2)与（1）所得的位置关系　　； (3)在y轴上找一点P，使得最小，请直接写出点P的坐标． 7．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）我们给出如下定义：对于给定的一次函数（k，b为常数且），把形如（k、b为常数且）的函数称为一次函数的演变函数． (1)已知函数． ①若点在这个一次函数的演变函数图象上，求的值： ②若点在这个一次函数的演变函数图象上，求的值． (2)如图，一次函数为常数且的演变函数图象与一次函数的图象相交于两点， ①求该一次函数的表达式； ②一次函数（为常数且）的演变函数图象与轴相交于点，求的面积； ③在一次函数（为常数且）的演变函数图象上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点07 一次函数与几何综合 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以为边向右作菱形，点D在x轴上，则点C的坐标是___________． 2．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，则直线对应的函数表达式是______． 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．等腰直角三角形按如图位置摆放，顶点在直线上，轴．现将沿直线平移，且点始终在直线上．在平移的过程中，当点落在坐标轴上时，点的坐标为___________． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，平面直角坐标系中，点坐标为，，． (1)求点的坐标； (2)过点作轴，交轴于点，连接并延长交于点．求点的坐标． 5．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴，y轴分别交于点A，点B，一次函数经过点B． (1)求线段的长； (2)动点P从点C出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t（秒）． ①当的面积为6时，请求出t的值； ②在线段上存在点D，点E是坐标平面内一点，以点B，E，P，D为顶点的四边形是正方形时，请求出t的值． 6．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D． (1)求直线的表达式 (2)在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标：若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，点Q在直线上，当点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 7．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为． (1)①当点在线段上时， ______（用含的式子表示），______； ②当点在线段上时，求出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)根据（1）的解答，在给定的平面直角坐标系中画出关于的函数图象； (3)结合函数图象，直接写出的图象与的图象有个公共点时的取值范围． 8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）直线经过点，与y轴交于点B，与直线交于点C，点C的横坐标为2，点P是直线上的一个动点（点P不与A，B，C重合），过点P作x轴的平行线，交直线于点D，过点P作y轴的平行线，交x轴于点E，设动点P的横坐标为t． (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，当点P在线段上时，求的长（用含t的代数式表示）； (3)在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得以A，P，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 9．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）定义：在平面直角坐标系中，对两点和，若，则称为、两点的“绝对距离”． (1)已知点，则______； (2)函数的图象上存在点，若，则点的坐标为______； (3)菱形顶点的坐标是，，，． ①若点在菱形的边上且，求点的坐标； ②已知点，且菱形上只有两个点到点的“绝对距离”等于，则的取值范围是______． 10．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象，与一次函数的图象交于点，且与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴上有一点，连接MP． (1)求点A，B的坐标及直线的函数解析式； (2)点E为直线上一点，且横坐标为a，过点E作x轴的垂线交于点F， ①求的面积S与a的关系式； ②当时，的面积等于的面积，求出点M的坐标． (3)若，以为边向下作正方形． ①用含m的式子分别表示点N，点G的坐标； ②连接，若落在四边形的内部（含边上），直接写出m的取值范围． 11．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）定义：函数(且)和函数互为“逆反函数”．例如：和互为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式 ；点在的函数图象上，则的值是 ． (2)如图1，点是一次函数图象上一点，又是它的“逆反函数”图象上的点． ①求的面积； ②若点为平面直角坐标系第四象限内一点，是否存在以点、、、为顶点的平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)函数和它的“逆反函数”，组合成新的函数．当时，函数的最大值与最小值的差为． ①时，求的值； ②时，求的值； ③时，求的值． 12．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知一次函数叫做一次函数的“倍关联函数”，两函数图象的交点称作的“倍关联点”，与其“倍关联函数”的图象分别与轴交于点、两点． (1)已知是的“倍关联函数”，则________，________； (2)若一次函数的“倍关联点”为，求的解析式； (3)在（）的条件下， 以为边的正方形与的“关联函数”的图象交于点，求的面积？ 的“关联函数”的图象与轴交于点，在的“关联函数”的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 13．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）已知关于的一次函数，当时，我们称一次函数为“新函数”，一次函数为“新函数”的“关联函数”．“新函数”的图象记为直线，它的“关联函数”的图象记为直线． 例如：“新函数”的“关联函数”为． (1)直接写出“新函数”的“关联函数”表达式； (2)请说明：直线，直线与y轴的交点是同一个点； (3)如图，若“新函数”的表达式为，点在直线上，点在直线上，轴，，求点的坐标； (4)“新函数”的表达式为．若直线，直线与轴围成的图形面积为9，点在直线上，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，连接．设点的横坐标为，四边形的周长为，直接写出关于的函数表达式． 考点08 利用一次函数解决实际问题 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）用篱笆围成一个如图所示的长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度为米．设边的长为米，边的长为米，则与之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）A，B两种上宽带网的收费方式如下表所示： 收费方式 月使用费／元 包时上网时间 超时费／（元） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 设收费方式A，B的收费金额分别为，（元），上网时间，当时，上网时间的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）某无人机从海拔处出发，以每分钟的速度上升，若无人机所在的海拔高度（单位：），关于上升时间（单位：）的函数关系式是_____． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师，现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲种客车 乙种客车 载客量／（人／辆） 45 30 租金／（元／辆） 400 280 设租用辆甲种客车，则租车费用（单位：元）关于的表达式为______（不要求写出自变量的取值范围）． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）本市歇马杏的上市时间约为每年六月份，果农将摘下的成熟歇马杏销往省外某地．某快递公司的收费标准为：不超过物品需付13元，以后每增加，需增加托运费1.5元．直接写出托运歇马杏的费用y（元）的函数关系式为_____． 6．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列结论：甲步行的速度为米/分；乙走完全程用了分钟；乙用分钟追上甲；乙到达终点时，甲离终点还需要走分钟．其中正确的结论有_____．（填序号）    7．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）货车和轿车分别沿同一路线从地出发去地，已知货车先出发分钟后，轿车才出发，当轿车追上货车分钟后，轿车发生故障，花了分钟修好车后，轿车按原来速度的继续前进，在整个行驶过程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，两车相距的路程（米）与货车出发的时间（分钟）之间的关系的部分图象如图所示，对于以下说法：货车的速度为米分； ；点的坐标为；图中的值是．其中正确的是____________． 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因设备调试暂停一次，之后以原工作效率继续加工，因任务紧，乙组工人中途加入共同加工．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件数为（个），乙组加工零件数为（个），函数图象如下： (1)直接写出a的值，______； (2)求与t的函数关系式及t的取值范围； (3)甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为320个？ 9．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．东港市某小区为抓好“园区绿化”，购买了甲，乙两种树苗，已知购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共需元，购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共需元． (1)求甲，乙两种树苗单价分别是多少元？ (2)为扩大园区绿化面积，该小区准备购进甲，乙两种树苗共100棵，且甲种树苗的棵数不少于乙种树苗棵数的一半，求购买这批树苗的最低费用． 10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划利用每日的“阳光大课间”开展跳绳活动，并准备购买甲、乙两款跳绳．已知甲款跳绳的单价比乙款跳绳的单价少5元，用250元购买甲款跳绳的数量与用300元购买乙款跳绳的数量相同． (1)求甲、乙两款跳绳的单价各是多少元； (2)该校计划购买甲、乙两款跳绳共50条，且甲款跳绳的数量不超过乙款跳绳数量的一半，求购买这批跳绳的最少费用． 11．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）某市出租车车费收取标准如下：3千米以内含（3千米）收费8元；超过3千米的部分每千米收费元． (1)写出应收费（元）与出租车行驶路线（千米）之间的关系式（其中） (2)小明乘出租车行驶5千米，应付多少元？ (3)小颖付车费元，那么出租车行驶了多少千米？ 12．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放．从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系数据记录如表1： 表1：电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 表2：汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据． ①直接写出关于的函数表达式； ②直接写出关于的函数表达式： 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）一辆货车和一辆轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条公路相向而行，匀速驶向各自的目的地乙地和甲地．行驶了一段时间，轿车出现故障停下维修，货车遇到轿车后立即停下帮助维修，故障排除后，两车立即以各自原速度继续行驶．两车之间的距离和货车行驶时间之间的函数图象如图①所示． (1)货车的速度为________ ，轿车的速度为________ ； (2)求线段表达式； (3)在图②中，画出货车离乙地的距离和行驶时间之间的函数图象． 14．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）孝敬父母是中华民族的传统美德．母亲节来临之际，某花店购进百合和康乃馨共100束，其中百合价格为每束25元，购进康乃馨的费用y（元）与其购买的数量x（束）（）的函数关系图象如图所示． (1)求康乃馨的费用y（元）与康乃馨的数量x（束）的函数关系式； (2)若康乃馨的数量不少于百合的数量，请设计一个方案，使购进百合和康乃馨的总费用最少，并求出最少费用． 15．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）某学校为鼓励师生加强体育锻炼，准备购买副某种羽毛球拍，每副球拍配个羽毛球，供师生免费借用，两家超市都有这种羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为元，每个羽毛球的标价均为元，目前两家超市同时在做促销活动： 超市：所有商品均打八折销售； 超市：买一副羽毛球拍送个羽毛球． 设在超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）请解答下列问题： (1)分别写出，与之间的关系式； (2)若只在一家超市购买，在哪家超市购买更划算？ (3)若每副球拍配个羽毛球，请你直接写出购买羽毛球拍和羽毛球费用最低的方案及最低费用． 16．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）为迎接建平县第三届初中生运动会，某中学对运动员进行集训，计划采购一批运动器材．已知用1200元购买跳绳的数量是用800元购买毽子数量的2倍，且每根跳绳单价比每个毽子单价便宜2元． (1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ (2)学校计划购买跳绳和毽子共200个，为了满足不同项目需求，要求毽子的数量不少于跳绳数量的3倍．设购买跳绳a个，总采购费用为元． ①求关于的函数关系式； ②如何购买才能使总采购费用最低？最低费用是多少元？ 17．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）人教版八年级下册数学教材第105页数学活动2问题如下： 水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，数学小组进行了以下的试验与研究： 如图1，在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 10 25 40 55 70 … (1)请根据表中信息在图2坐标系中描点、连线，画出w关于t的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的__________函数（选填“正比例”或“一次”或“反比例”）； (2)根据以上判断，求w关于t的函数关系式； (3)估算这个水龙头在这种漏水状态下24小时的漏水量． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $