专题09 四边形与特殊平行四边形（期末真题汇编，辽宁专用）八年级数学下学期

**基本信息** 专题汇编聚焦特殊平行四边形，涵盖矩形、菱形、正方形性质判定及折叠、动点最值等核心考点，精选辽宁多地期末真题，注重基础应用与综合能力梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|15题|矩形对角线计算、菱形判定条件|基础概念辨析，如矩形对角线性质正误判断| |填空|10题|正方形折叠边长、菱形动点存在性|结合几何直观，如正方形折叠后线段长度计算| |解答|20题|矩形判定证明、菱形面积综合|综合应用推理，如矩形折叠与动点最值结合题|

专题09 特殊平行四边形 高频考点概览 考点01矩形的性质与判定综合 考点02菱形的性质与判定综合 考点03正方形的性质与判定综合 考点04特殊平行四边形的性质与判定正误判断 考点05特殊平行四边形中折叠问题 考点06特殊平行四边形最值与动点存在性问题 考点01 矩形的性质与判定综合 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长为（    ） A． B． C．8 D．4 2．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）若添加一个条件，使得平行四边形是矩形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D．，互相平分 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，的度数为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 5．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形中，点B的坐标是，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 7．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形中，，以点为圆心，以长为半径作弧，交于点，连接．若，，则的长为(    ) A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点O．若，，则的长为______． 10．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长度． 11．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，矩形中，点为边上一点，连接，过点作，垂足为，．求证：． 12．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，点A在的边上，于点B，，于点E，，于点C． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 13．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，中，于点，点为中点，过点A作交延长线于点，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若是的平分线，，求的长． 考点02 菱形的性质与判定综合 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，菱形中，，，则菱形的面积为（   ） A．24 B．30 C．40 D．48 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）一个菱形的两条对角线的长分别是10和，则这个菱形的面积为（） A． B． C．35 D． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（   ） A．6cm B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点，若，，则长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 5．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，菱形中，对角线、交于点，点为中点，连接，过点作于点，若，，则菱形的面积为（    ） A．24 B．48 C．80 D．96 6．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）如图，在菱形中，是对角线上的点，且，为的中点，连接，．若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点O，，．则菱形的面积是_______． 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，将矩形纸片沿剪开，再把沿着方向平移，得到，，． 若重叠部分为菱形，则菱形的边长是_______． 9．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在菱形中，．连接对角线，点E，点F分别为射线，射线上一动点，连接．当时，的长为________． 10．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，菱形中，对角线与相交于点O，若，，则的长为__________． 11．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，点，分别是，的中点．连接并延长至点；使得．连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 12．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，，垂足分别为E，F，且．求证：是菱形． 13．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，且平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作于点E，若，试求的长． 14．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形是菱形，，，连接，点E在线段上，过点E作于点F，且，求的长． 15．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在四边形中，，，对角线平分．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 考点03 正方形的性质与判定综合 1．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）如图是“赵爽弦图”，其中，，，是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果，，那么小正方形的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在正方形中，点E是边的中点，连接，点F是的中点，连接并延长，交边于点G，点H在边上，已知，则的长为（    ） A．4 B． C． D．6 3．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，点E是正方形边上任意一点，，且，连接．若的最小值为，则正方形的边长为（　　） A．1 B． C．2 D． 4．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图，在正方形中，为上一点，，过点作于，交于，连接为的中点，若，则的长为（　　） A． B．3 C．3 D． 5．（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则形变后四边形的面积是原正方形面积的（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，正方形的边长为4，以为边在正方形内部作等边，过点B作交的延长线于点F，则的长为__________ 7．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点A的坐标为，则顶点B的坐标是 __________ ． 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形ABCO的两边分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点P的坐标为___________． 9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，正方形中，点P在对角线上，点E在的延长线上，且，过点P作于F，直线分别交、于G、H． (1)求证：点F为的中点； (2)若，，求的长； (3)求证：． 10．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，为等边三角形，在外部作，且，连接．分别以点C，点F为圆心，线段长为半径画弧，两弧交于点M，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求阴影部分的面积．（面积记为S）． 11．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）【问题情境】 在菱形中，为对角线，点M为射线上的一动点（不与点C重合）．连接交对角线于点E，过点C作，交或的延长线于点N． （1）问题1：如图①，当点M在边上时，猜想线段与线段的数量关系．（直接写出结论） 问题2：如图②，当点M在的延长线上时问题1中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【学以致用】 （2）如图③当（1）中的菱形内角，且点M为边中点，，其他条件不变时，求菱形的边长． 12．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）（1）如图①，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，且，延长到点G，使，连接．求证：． （2）如图②，当点E，F分别在线段和的延长线上，连接，，，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 13．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图1，点E在正方形的边上，连接，过B作，垂足为G，交边于F． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点H，将线段沿边向上平移，得到线段（点B的对应点为M，点F的对应点为N），当线段过点H时．求证： (3)如图3，在（2）的条件下，调整点E的位置，使得 ①猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； ②连接，若直接写出正方形的面积． 考点04 特殊平行四边形的性质与判定正误判断 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．菱形的对角线相等 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 3．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）下列说法正确的是（    ） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．平行四边形是轴对称图形 D．正方形的每一条对角线平分一组对角 4．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）下列命题的逆命题成立的是（   ） A．矩形的两条对角线相等 B．菱形的两条对角线互相垂直 C．平行四边形的对角线互相平分 D．正方形的四条边相等 5．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）下列判断错误的是（   ） A．有两组邻边相等的四边形是菱形 B．有一角为直角的平行四边形是矩形 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 6．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（   ） A．若，则四边形是正方形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是矩形 7．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，中，为边上一点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．则以下结论中错误的是（   ）    A．四边形是菱形 B．与互相垂直且平分 C．当时，四边形是菱形 D．若时，则四边形是正方形 8．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有________个． 考点05 特殊平行四边形中折叠问题 1．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图，在矩形中，为上一点，连接，，将沿着翻折．点的对应点点恰好落在上，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）将一个矩形纸片沿所在的直线折叠成如图所示的图形，点均在原矩形的边上，且点在同一边上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形中，点在上，点在上，把这个矩形沿折叠后，使点恰好落在点处，若，，则折痕的长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在矩形中，，，点E为边上一个动点，把沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，则的长为___________． 6．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在矩形纸片中，，，E是边上一点，先将沿AE折叠，点B落在点处，与交于点F，再折叠矩形纸片，使得点C与点重合，点D落在点处，折痕为，则_________． 7．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）【发现问题】 在学习菱形的时候，小明发现菱形符合八年级上学期学过的筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，菱形是一种特殊的筝形． 【初步应用】 （1）如图1，在菱形中，点是边的中点，点是射线上一点，连接，，将沿所在直线翻折到，点恰好落在上．求证：四边形和四边形都是筝形． 【类比迁移】 （2）如图2，将（1）中的“菱形”改为“正方形”，其他条件不变，猜想与的数量关系，并证明． 【解决问题】 （3）将（1）中的“菱形”改为“矩形”，增加“，，且”，其他条件不变，请直接写出______（用含的代数式表示）． 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片，要求同学们在对角线上取一点，连接，将沿折叠，得到． (1)同学甲发现（图），通过探索发现点落在线段上，从而可证明．请你完整证明：； (2)同学乙取，折叠后发现（图），通过探索可得出为常数，请求出的值； (3)同学丙通过折叠发现，测得，，连接，发现的长度可求，求出此时的长度． 9．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图1，点E、F分别在正方形边、上，沿直线将正方形折叠．使点B的对应点G落在边上（点G不与点A、D重合），点C落在点H处，与交于点M，分别连接， (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若，点M为的中点，求的长． 10．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）综合与实践-操作探究 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们探索以矩形为背景的折叠变化中的数学结论． 【操作探究】在矩形中，，，E是射线上一个动点，连接并延长交直线于点F，将沿直线折叠得到，延长交直线于点H． (1)如图1，当点E在线段上时，求证：； (2)如图2，当点E运动到点C位置时（此时点C，E，F重合），与交于点P，求的长； (3)在点E的运动过程中，是否存在的情况？若存在，直接写出的长度；若不存在，请说明理由． 11．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． (1)如图1，当点在矩形的边上，点落在射线上时，求证：； (2)如图2，当点在矩形的边上，点落在射线上时，求证：四边形为菱形； (3)如图3，当点在矩形的边上，射线与射线交于点．在折叠过程中，当时，请求出线段的长度． 12．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形中，，，点E在边或边上，将矩形沿着过点E的直线折叠，当点B落在边（含端点）上时，落点记为F，然后展开铺平，以B，E，F为顶点构造．（提示：矩形的对边平行且相等，四个角都是） (1)如图1，当的顶点F位于的中点时，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，当的边时，请补全图形，并求的长； (3)当点E在某一位置时，是否存在面积最大的，若存在，请求出此时的长；若不存在，说明理由． 13．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点E是边上一点，将E沿翻折，点的对应点为，延长交边于点，连接．求证：． 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，求的度数． 【拓展应用】 （3）在菱形中，，边长为，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的一条边上，且． ①如图3，当点落在边上时，求的长； ②当点落在边上时，请直接写出的长． 考点06 特殊平行四边形最值与动点存在性问题 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，正方形的边长为，点与点分别为射线，上一点，且，连接，并交于点，点为边上一点，，连接，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是和上的两个动点，M为的中点，则的最小值是______． 4．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为______． 5．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在菱形中，．连接对角线，点E，点F分别为射线，射线上一动点，连接．当时，的长为________． 6．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有________个． 7．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）在菱形中，，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边三角形，连接．          (1)如图1，当点E落在对角线上时，请求出的长； (2)点E的位置随点P的位置变化而变化，如图2，求证：，； (3)如图3，当点P在线段的延长线上时，连接，若，求的面积． 8．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）已知：如图1，正方形中，，点是对角线所在直线上一动点，连接，将沿折叠，得到，点的对应点为点，射线交直线于点，交边所在直线于点． (1)①求证：； ②求证：； (2)将沿折叠，得到，点的对应点为点． ①如图2，当点在对角线上，且时，求的度数： ②如图3，当点在延长线上，且时，连接，判断的形状，并说明理由； ③当点在同一直线上时，请直接写出以点为顶点的四边形面积． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 特殊平行四边形 高频考点概览 考点01矩形的性质与判定综合 考点02菱形的性质与判定综合 考点03正方形的性质与判定综合 考点04特殊平行四边形的性质与判定正误判断 考点05特殊平行四边形中折叠问题 考点06特殊平行四边形最值与动点存在性问题 考点01 矩形的性质与判定综合 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长为（    ） A． B． C．8 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的对角线相等且互相平分可得，由，从而是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解得． 【详解】解∶∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）若添加一个条件，使得平行四边形是矩形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D．，互相平分 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，需掌握矩形与平行四边形的性质及判定定理． 【详解】解：选项A：是平行四边形的固有性质（对边相等），无法判定为矩形． 选项B：（对角线相等）是矩形的判定定理，满足此条件时平行四边形为矩形． 选项C：会使平行四边形成为菱形，而非矩形． 选项D：对角线互相平分是平行四边形的固有性质，无法判定为矩形． 故选 B． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质以及等边三角形的判定和性质，结合矩形的性质可得是等边三角形，求出，进而求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：A． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，的度数为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由矩形得到，继而得到，而是等边三角形，因此得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键，根据矩形的判定方法逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、根据平行四边形中邻边相等，可证得四边形为菱形，故此项错误； B、根据平行四边形中对角线垂直，可证得四边形为菱形，故此项错误； C、根据平行四边形中一个角等于，可证得四边形为距形，故此项正确； D、平行四边形对角线平分一组对角，得，不能证明四边形为距形，故此项错误； 故选：C． 6．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形中，点B的坐标是，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】连接，根据点B的坐标得 ，再根据矩形性质即可得出的长． 此题主要考查了点的坐标，矩形的性质，熟练掌握勾股定理，矩形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 点B的坐标是， ， 四边形是矩形， 故选： 7．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形中，，以点为圆心，以长为半径作弧，交于点，连接．若，，则的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，先由勾股定理求出，证明和全等得，，进而得，由作图可知，根据得，继而得，设，，则，，，在和中，由勾股定理得出，进而求得，然后由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，过点作于点，过点作于点，如图所示： ， 四边形是矩形，且，， ，，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在和中， ， ， ，， 由，得：， ， 由作图可知：， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 设，， 则， ，， ， 在和中，由勾股定理得：， ， ， ， 即， ， 解得： ， 在中，由勾股定理得： 故选：A． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，尺规作图，理解矩形的性质，熟练掌握尺规作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理构造方程组是解决问题的关键． 8．（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等． 连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接，交于点， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即． 故选：A． 9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点O．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，利用矩形的性质得出，进而利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度． 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． （1）由平行四边形性质得到且，即可得到，可得是平行四边形，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到，，进而求得，，由勾股定理可求得和，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵在平行四边形中， ∴且， ∵， ∴， 即． ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴是矩形； （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 11．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，矩形中，点为边上一点，连接，过点作，垂足为，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先证明，然后根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴． ∵在矩形中，，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，点A在的边上，于点B，，于点E，，于点C． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查矩形的判定与性质以及勾股定理．注意利用勾股定理求线段的长是解题关键． （1）证明，得出，证出，结合，得出四边形是平行四边形，结合，证出平行四边形是矩形； （2）由（1）知，，得出，设，则，，在中，由勾股定理列方程求出，即可解答． 【详解】（1）证明：于B，于E， ， 在与中，， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； （2）解：由（1）知，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即，解得：， ， 矩形的面积． 13．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，中，于点，点为中点，过点A作交延长线于点，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若是的平分线，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明得，再根据等腰三角形的性质可得，再证四边形是平行四边形，然后结合即可证明结论； （2）根据矩形的性质可得、，则，易得，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E为边的中点， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵中，于点， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是的平分线， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 考点02 菱形的性质与判定综合 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，菱形中，，，则菱形的面积为（   ） A．24 B．30 C．40 D．48 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质及菱形面积的求法，勾股定理．根据菱形的性质利用勾股定理求得的长，从而得到的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积． 【详解】解：连接，交于点，    在菱形中，，， ，，， ， ， 菱形的面积 ． 故选：A． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）一个菱形的两条对角线的长分别是10和，则这个菱形的面积为（） A． B． C．35 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：． 故选：D． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（   ） A．6cm B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理，直角三角形的性质， 作，作，根据题意说明四边形是平行四边形，再根据面积相等说明四边形是菱形，然后根据勾股定理求出边长，即可得出答案． 【详解】如图所示，过点C作，过点B作，分别交于点E，F，根据题意，得， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 在中，， ∴，， 即， 解得， ∴， 所以四边形的周长为． 故选：C． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点，若，，则长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查作图-基本作图、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 连接，设交于点O，由作图过程可知，，，可得证明≌可得，进而可得四边形为菱形，则，可得． 【详解】解：连接，设交于点O， 由作图过程可知，，， ， 四边形为平行四边形， ∴， ，， ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形， ， ． 故选：B 5．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，菱形中，对角线、交于点，点为中点，连接，过点作于点，若，，则菱形的面积为（    ） A．24 B．48 C．80 D．96 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形的性质求得． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，最后由菱形的面积公式求得面积． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点为中点，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴菱形的面积． 故选：D． 6．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）如图，在菱形中，是对角线上的点，且，为的中点，连接，．若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等腰三角形的性质等知识知识点，掌握菱形的对角线平分对角成为解题的关键． 由菱形的性质可得、，即，在根据三角形的性质可得、，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵菱形， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴． 故选B． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点O，，．则菱形的面积是_______． 【答案】24 【分析】此题考查菱形的性质，勾股定理求线段，根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出，再根据菱形的对角线互相平分求出，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，将矩形纸片沿剪开，再把沿着方向平移，得到，，． 若重叠部分为菱形，则菱形的边长是_______． 【答案】2 【分析】此题主要考查了矩形的性质，图形的平移变换及其性质，菱形的性质，直角三角形的性质，理解矩形的性质，熟练掌握图形的平移变换及其性质，菱形的性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 设与相交于点，由平移的性质得，，，，设重叠部分的菱形的边长为，则，，在中，根据得，则，由此解出即可得出答案． 【详解】解：设与相交于点，如图所示： 由矩形及平移的性质得：，，，， 设重叠部分的菱形的边长为，则， ， ∵， ∴， 在中，， ， ， 解得：， 重叠部分的菱形的边长为2． 故答案为：2． 9．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在菱形中，．连接对角线，点E，点F分别为射线，射线上一动点，连接．当时，的长为________． 【答案】或 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点F作于点M，连接，分类讨论：当点E在线段之间时，当点E在线段的延长线上时，逐一分析，即可解答． 【详解】解：①当点E在线段之间时，过点F作于点M，连接，如图 有， 在菱形中，，有 ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． ②当点E在线段的延长线上时，过点F作于点M，连接，如图 同理可得，，， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 10．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，菱形中，对角线与相交于点O，若，，则的长为__________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质可得，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在菱形中，对角线与相交于点O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 11．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，点，分别是，的中点．连接并延长至点；使得．连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形与平行四边形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟记相关内容是解题关键． （1）根据，，先求证四边形是平行四边形；结合直角三角形斜边中线性质得到即可求证； （2）先根据菱形的性质得到，，，进而证明得到，在中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得即可求解． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 在中，∵，点D是的中点， ∴． ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 12．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，，垂足分别为E，F，且．求证：是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定等知识，根据平行四边形的性质和平行线的性质可得出，根据角平分线的性质得出，等量代换得出，根据等角对等边得出，最后根据菱形的判定即可得证． 【详解】证：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形． 13．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，且平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作于点E，若，试求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是见本题的关键． （1）由平行四边形的对边平行得，由角平分线的性质得，即可知，从而得，即可得证； （2）由菱形的对角线互相垂直且平分得，利用勾股定理得，根据可得答案． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形，且， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴的长为． 14．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形是菱形，，，连接，点E在线段上，过点E作于点F，且，求的长． 【答案】2 【分析】本题考查的是菱形的性质、等边三角形判定与性质及含30度角的直角三角形性质，根据菱形性质得出是等边三角形，进而求出，，再根据直角三角形性质得出，即可求出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， . 15．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在四边形中，，，对角线平分．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、等角对等边、勾股定理． 根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，所以可得，根据等角对等边可得，等量代换可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可证结论成立； 连接交于点，根据菱形的性质可得、，根据的正切可求，利用勾股定理可求，根据菱形的四条边都相等可求菱形的周长． 【详解】（1）证明：对角线平分， ， ， ， ， ， 又， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：如下图所示，连接交于点， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 菱形的周长为．      考点03 正方形的性质与判定综合 1．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）如图是“赵爽弦图”，其中，，，是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果，，那么小正方形的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查勾股定理的证明，关键是直角三角形中勾股定理的运用． 根据勾股定理求得，进而求得的值即可． 【详解】解：∵，，，，，是四个全等的直角三角形， ∴， ， ∵、、和是四个全等的直角三角形， ∴， ， ∴小正方形的面积是4 故选：C． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在正方形中，点E是边的中点，连接，点F是的中点，连接并延长，交边于点G，点H在边上，已知，则的长为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确得出的长是解决此题的关键． 根据正方形的性质以及中点的性质可证明，再利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点E为的中点，， ∴， ∵F是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，点E是正方形边上任意一点，，且，连接．若的最小值为，则正方形的边长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的最短路径，在线段上截取，连接，作射线，证明，即可得到点F在与夹角为的射线上，然后作点C关于射线的对称点H，连接，则长是的最小值，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：在线段上截取，连接，作射线， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即点F在与夹角为的射线上， 作点C关于射线的对称点H，连接，则长是的最小值，即， 这时，， ∴A，B，H三点共线， ∵，即， 解得，（负值舍去） 故选：C． 4．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图，在正方形中，为上一点，，过点作于，交于，连接为的中点，若，则的长为（　　） A． B．3 C．3 D． 【答案】A 【分析】先证明三角形全等得出相关线段长度，再利用直角三角形斜边中线性质求解 的长． 【详解】解：∵四边形 是正方形，， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， ∵ ， 又∵ ， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． 在 中，，，根据勾股定理 ． ∵ 为 中点，且在 中（ ， ）， ∴ ． ∴ ． 综上， 的长为 ， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理及直角三角形斜边中线性质，熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键． 5．（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则形变后四边形的面积是原正方形面积的（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，含角直角三角形的性质．正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形为菱形，，设，则，即可计算菱形的面积，继而求解． 【详解】解：过点作于点，    ∵四边形是正方形， ∴， 由题意可得， ∴四边形为菱形， ∴， 设 ∵ ∴ ∴， 而， ∴， 故选：A． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，正方形的边长为4，以为边在正方形内部作等边，过点B作交的延长线于点F，则的长为__________ 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出为等腰直角三角形，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴， ∵等边， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故答案为：． 7．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点A的坐标为，则顶点B的坐标是 __________ ． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，点的坐标，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键； 过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，过点B作于点H，根据点得，，证明和全等得，，同理证明和全等，得，，进而得，，由此即可得出点B的坐标． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，过点B作于点H，如图所示： ， 点A的坐标为， ，， 四边形是正方形， ，， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ，， 同理：， ，， ，， 点B的坐标为， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形ABCO的两边分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点P的坐标为___________． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 利用正方形的性质得到，进而得到中点D的坐标为，再分当点P在上时、当点P在上时、当点P在上时三种情况，分别利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，点B的坐标是， ∴， ∴中点D的坐标为， 如图所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“完美三角形”， ∴， ∴，解得． ∴点P的坐标为． 如图2所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“中线三角形”， ∴， ∴，解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为， 如图3所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“中线三角形”， ∴， ∴，解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，正方形中，点P在对角线上，点E在的延长线上，且，过点P作于F，直线分别交、于G、H． (1)求证：点F为的中点； (2)若，，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）证明是等腰直角三角形可得结论； （2）利用勾股定理求出，再利用等腰直角三角形的性质求解； （3）在上截取，连接，证明四边形是平行四边形即可解决问题． 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【详解】（1）证明：连接． ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， 又∵， ∴点F为的中点； （2）解：在 中，， ∵，， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴； （3）证明：在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 又∵于F， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 10．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，为等边三角形，在外部作，且，连接．分别以点C，点F为圆心，线段长为半径画弧，两弧交于点M，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求阴影部分的面积．（面积记为S）． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的性质，正方形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）由是等边三角形，推导出，，则可证明四边形为菱形，，即可证明四边形为正方形．                （2）过点B分别作于点D，于点E，由是等边三角形，求出 ．在，中，可求出，，根据，即可解答． 【详解】（1）证明：由题意可知，， 是等边三角形， ，且． ， ， ∴， 四边形为菱形， ， 四边形为正方形． （2）过点B分别作于点D，于点E，如图 ∴， 是等边三角形，，且， ． 中，， ∴， 中，， ．                    ， ． 即阴影部分的面积为． 11．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）【问题情境】 在菱形中，为对角线，点M为射线上的一动点（不与点C重合）．连接交对角线于点E，过点C作，交或的延长线于点N． （1）问题1：如图①，当点M在边上时，猜想线段与线段的数量关系．（直接写出结论） 问题2：如图②，当点M在的延长线上时问题1中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【学以致用】 （2）如图③当（1）中的菱形内角，且点M为边中点，，其他条件不变时，求菱形的边长． 【答案】（1）问题1：；问题2：仍成立，证明见详解；（2）3 【分析】（1）问题1：连接，，与交于点O．由菱形的性质得出，，即可得出垂直平分．由线段垂直平分线的性质得出，，由平行线的性质得出，，等量代换可得出，由等边对等角可得出，再等量代换可得出．问题2：解法同问题1． （2）连接，，与交于点O，先证明四边形是正方形，由正方形的性质得出，，，，同（1）证明得出，进而可得出是的中位线，由三角形中位线的定理得出，再证明，由全等三角形的性质进一步得出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）问题1，连接，，与交于点O． ∵四边形为菱形， ∴，， ∴垂直平分． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 问题2：成立，证明如下∶ 连接，，与交于点O． ∵四边形为菱形， ∴，， ∴垂直平分． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）连接，，与交于点O， ∵四边形为菱形，， ∴四边形是正方形， ∴，，，， ∴垂直平分． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵． ∴． ∵M在边中点， ∴， 又， ∴．． ∴， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得∶， 又， ∴， ∴， ∴正方形的边长为3． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 12．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）（1）如图①，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，且，延长到点G，使，连接．求证：． （2）如图②，当点E，F分别在线段和的延长线上，连接，，，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）由已知四边形为正方形得出，，证明，得到，，再利用，，通过角度等量代换得到，进一步证明，此时进一步通过线段等量代换证明； （2）在上截取，连接，构造全等三角形，证明，得到，，再通过（1）的方法进行角度等量代换得到，进一步证明，此时进一步通过线段等量代换证明． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 理由如下：如图2，在上截取，连接． ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角度和线段关系的转化推导及几何变换思想． 14．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图1，点E在正方形的边上，连接，过B作，垂足为G，交边于F． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点H，将线段沿边向上平移，得到线段（点B的对应点为M，点F的对应点为N），当线段过点H时．求证： (3)如图3，在（2）的条件下，调整点E的位置，使得 ①猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； ②连接，若直接写出正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①，见解析；②144 【分析】（1）由正方形的性质及垂直条件，证明即可； （2）过作交于点，交于点，则四边形为矩形；再由证明即可； （3）①过作于，同理（1）可得有．设 则；设，则．易得四边形为矩形，则有，从而有，得，有；②由（3）①得，，则，由（2）得，即得，从而可证明，得在中，由勾股定理建立方程可求得a的值，即可求得正方形的面积． 【详解】（1）证明：四边形是正方形． ． ，垂足为 ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图2，过作交于点，交于点，则四边形为矩形， ， 由平移得，， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ； （3）①猜想：． 证明：如图3，过作于， ，四边形是正方形， ，， 四边形为矩形， ，， 同理（1）可得， ； 设，则， ∵， ， 设，则， ， ， ， ， ； ②解：连接，如图， 由（3）①得，， ， 由（2）得，， ， 又， ， ， 同（3）①，设，则，，， 设，即．则， ， ， ， 在中，， 即， 解得（舍）， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用辅助线构造全等三角形是解题的关键． 考点04 特殊平行四边形的性质与判定正误判断 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质． 根据矩形的性质，逐一分析每个选项是否正确． 【详解】A．矩形的对角线相等，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故A错误； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非矩形，故B错误； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线相等，则此平行四边形为矩形，故C正确； D．矩形的对角线平分一组对角仅当其为正方形时成立，普通矩形不满足，故D错误． 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．菱形的对角线相等 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质与判定，熟练掌握这些性质定理是解答本题的关键． 根据平行四边形、矩形、菱形的性质及判定定理逐一分析选项即可． 【详解】解：A． 平行四边形的对角线互相平分，符合平行四边形性质，正确； B． 对角线相等的平行四边形是矩形，符合矩形判定定理，正确； C． 菱形的对角线互相垂直且平分，但长度不一定相等，只有正方形（特殊菱形）的对角线才相等，因此该说法错误； D． 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合菱形判定定理，正确． 综上，错误的说法是C． 故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）下列说法正确的是（    ） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．平行四边形是轴对称图形 D．正方形的每一条对角线平分一组对角 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形和轴对称图形的性质，根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的性质和轴对称图形的性质即可求解． 【详解】A. 菱形的四个内角不一定为直角，菱形对角相等且邻角互补，但只有正方形（特殊菱形）的角为直角，故A说法错误，不符合题意； B. 矩形的对角线相等且互相平分，但互相垂直是菱形的性质，矩形对角线不垂直，故B说法错误，不符合题意； C. 平行四边形一般不是轴对称图形（除矩形、菱形、正方形外），故C说法错误，不符合题意； D. 正方形的对角线平分一组对角，且每条对角线将两个角分为，符合正方形性质，故D说法正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）下列命题的逆命题成立的是（   ） A．矩形的两条对角线相等 B．菱形的两条对角线互相垂直 C．平行四边形的对角线互相平分 D．正方形的四条边相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题的逆命题，涉及平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先分别写出4个命题的逆命题，然后根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法计算判断新命题是否成立． 【详解】A：原命题矩形的对角线相等，逆命题为对角线相等的四边形是矩形． 对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），故逆命题不成立． B：原命题菱形的对角线互相垂直，逆命题为对角线互相垂直的四边形是菱形． 对角线垂直的四边形可能是筝形而非菱形，故逆命题不成立． C：原命题平行四边形的对角线互相平分，逆命题为对角线互相平分的四边形是平行四边形． 根据平行四边形判定定理，对角线互相平分的四边形必为平行四边形，故逆命题成立． D：原命题正方形的四条边相等，逆命题为四条边相等的四边形是正方形． 四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形（需有直角），故逆命题不成立． 故选：C． 5．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）下列判断错误的是（   ） A．有两组邻边相等的四边形是菱形 B．有一角为直角的平行四边形是矩形 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查的是特殊平行四边形的判定和性质，分别根据菱形、矩形、正方形及平行四边形的判定定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、有两组邻边相等，一组对边相等的四边形是菱形，原说法错误，符合题意； B、有一角为直角的平行四边形是矩形，原说法正确，不符合题意； C、矩形的对角线互相平分且相等，原说法正确，不符合题意； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原说法正确，不符合题意； 故选：A． 6．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（   ） A．若，则四边形是正方形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查了特殊平行四边形的判定，熟练掌握矩形、菱形和正方形的判定是解题的关键．根据矩形、菱形和正方形的判定，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：若，则四边形是矩形，不一定是正方形，故A选项错误，不符合题意； 若，则四边形是菱形，故B选项正确，符合题意； 若，则四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意； 若，则四边形是菱形，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 7．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，中，为边上一点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．则以下结论中错误的是（   ）    A．四边形是菱形 B．与互相垂直且平分 C．当时，四边形是菱形 D．若时，则四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、正方形的判定、三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定等知识点，掌握菱形的判定与性质成为解题的关键． 先判定四边形是菱形可判定A选项；再根据菱形的性质可判定B选项；再根据三角形等腰三角形的性质、三角形的中位线可证明是平行四边形；最后根据有一个内角是直角的菱形是正方形可判定D选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，即A选项正确，不符合题意； ∴与互相垂直且平分，即B选项正确，不符合题意； 当时，由等腰三角形的性质得； ∵四边形是菱形， ∴，； ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴F点是的中点； 同理：得E点是的中点， ∴是的中位线， ∴，； ∵， ∴四边形是平行四边形；故选项C错误，符合题意； ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形，即选项D正确，不符合题意． 故选C． 8．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有________个． 【答案】3 【分析】连接，交于点O，由题意得，即可得四边形为矩形，得，用即可得，即可判断①；根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质得，即可判断③，延长，交于M，交于点H，由①得，，根据题意和角之间的关系得，即可判断②，根据垂线段最短得当时，最小，根据勾股定理得，即可得的最小值，即可判断④． 【详解】解：如图所示，连接，交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即①正确； 延长，交于M，交于点H， 由①得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 即②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即③正确， ∵E为对角线上的一个动点， ∴当时，最小， ∵， ∴， ∴， 由①知，， ∴的最小值为， 即④错误， 综上，①②③正确， ∴结论正确的个数是3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是掌握这些知识点． 考点05 特殊平行四边形中折叠问题 1．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图，在矩形中，为上一点，连接，，将沿着翻折．点的对应点点恰好落在上，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握矩形和折叠的性质，准确运用三角形内角和计算角的度数是解题关键． 利用矩形性质和折叠性质，先求出相关角的度数，再结合直角三角形性质计算的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，， ∴， ． ∴ ． ∴ ． ∵， ∴ ． 在中， ． 又∵， ∴ ． 综上，的度数为， 故选：B ． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）将一个矩形纸片沿所在的直线折叠成如图所示的图形，点均在原矩形的边上，且点在同一边上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质；根据矩形的性质和折叠的性质可得，，进而可得，即可得解． 【详解】解：如图所示： 将一个矩形纸片沿所在的直线折叠成如图所示的图形， ，， ， ， ， ， 故选：． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形中，点在上，点在上，把这个矩形沿折叠后，使点恰好落在点处，若，，则折痕的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理，解题的关键是利用折叠性质找到相等的线段和角，结合矩形性质与勾股定理求解． 过作于．，利用折叠性质得出，再结合矩形性质、勾股定理求出等线段长度，进而求出的长． 【详解】解：过作于． 由翻折变换可知， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 4．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，根据菱形的性质得，其中，然后设，可表示，根据勾股定理得，进而得出接下来根据勾股定理列出方程，求出解即可得出答案． 【详解】如图所示，过点M作，交的延长线于点F， ∵四边形是菱形，且， ∴，其中． 在中，，设， ∴， 根据勾股定理，得． ∴， 根据折叠得， 在中，， 即， 解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 5．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在矩形中，，，点E为边上一个动点，把沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，则的长为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判断与性质，勾股定理，分 时，根据翻折变换的性质求出，然后判断出是等腰直角三角形，从而求出；90°时，判断出在同一直线上，利用勾股定理列式求出，再根据翻折变换的性质可得，，然后求出，设，表示出，然后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， 时，如图， ， 由翻折的性质得， 是等腰直角三角形， ， 时，如图， 由翻折的性质， 在同一直线上，，， 由勾股定理得，， ， 设，则， 在中，，即 ， 解得， 即， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 6．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在矩形纸片中，，，E是边上一点，先将沿AE折叠，点B落在点处，与交于点F，再折叠矩形纸片，使得点C与点重合，点D落在点处，折痕为，则_________． 【答案】10 【分析】本题考查矩形的性质、平行线的性质、轴对称的性质，勾股定理等知识．由矩形的性质得，，，由折叠得，，，则，由勾股定理得，求得即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， 由折叠得，，， ∴， ∵，且， ∴， 解得， 故答案为：10． 7．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）【发现问题】 在学习菱形的时候，小明发现菱形符合八年级上学期学过的筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，菱形是一种特殊的筝形． 【初步应用】 （1）如图1，在菱形中，点是边的中点，点是射线上一点，连接，，将沿所在直线翻折到，点恰好落在上．求证：四边形和四边形都是筝形． 【类比迁移】 （2）如图2，将（1）中的“菱形”改为“正方形”，其他条件不变，猜想与的数量关系，并证明． 【解决问题】 （3）将（1）中的“菱形”改为“矩形”，增加“，，且”，其他条件不变，请直接写出______（用含的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）或 【分析】（1）由折叠得到，即可证明四边形是正方形；如图所示，连接，首先得到，由菱形得到，等量代换得到，得到，即可证明四边形是筝形； （2）由（1）得，设，，表示出，，然后根据勾股定理得到，代入整理得到，进而表示出，即可得到； （3）由矩形得到，，由筝形得到，，设，然后根据题意分两种情况讨论：当G在线段上时，当G在射线上时，根据勾股定理得到，进而分别求解即可． 【详解】解：（1）∵将沿所在直线翻折到 ∴， ∴四边形是筝形； 如图所示，连接 ∵点是边的中点 ∴ ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ 由折叠得， ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴四边形是筝形； （2），证明如下： 由（1）得，四边形和四边形都是筝形 设， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴解得 ∴ ∴； （3）∵四边形是矩形，， ∴， 由（1）得，四边形和四边形都是筝形 ∴， 设 如图所示，当G在线段上时， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴； 如图所示，当G在射线上时， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 综上所述，或． 【点睛】此题考查了菱形的性质，矩形的性质和正方形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片，要求同学们在对角线上取一点，连接，将沿折叠，得到． (1)同学甲发现（图），通过探索发现点落在线段上，从而可证明．请你完整证明：； (2)同学乙取，折叠后发现（图），通过探索可得出为常数，请求出的值； (3)同学丙通过折叠发现，测得，，连接，发现的长度可求，求出此时的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）先推出是的平分线，进而得出，推出，再根据即可证明结论； （）根据折叠的性质，结合推出四边形是菱形，结合得出，然后根据勾股定理求出与的数量关系即可； （）根据菱形的性质，结合求出及的数量关系，然后由折叠的性质求出和的数量关系，再通过勾股定理求出和的长度，最后由勾股定理求出的长度． 【详解】（1）证明: 由折叠性质可知， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 根据折叠的性质，， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据折叠的性质，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 连接交于点，如图， 根据菱形的性质，线段和互相垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， 根据勾股定理，，， ∴； （3）解：如图，连接交于点， 根据菱形的性质可得，， ∵， ∴， ∴，， 根据折叠的性质得：， ∴为等腰直角三角形，， 设，则，， 根据勾股定理得：， ∴， ∴，，，， 在中，． 9．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图1，点E、F分别在正方形边、上，沿直线将正方形折叠．使点B的对应点G落在边上（点G不与点A、D重合），点C落在点H处，与交于点M，分别连接， (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若，点M为的中点，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质及角的等量代换，得到，根据正方形的性质即可得证； （2）过点B作于K，根据题意及正方形的性质，证明，，求出，即可解答； （3）根据题意及正方形的性质，求得，过点B作于K，设，则，根据勾股定理，列方程求出x，进而求出HF，设，，列方程求出y，即可解答． 【详解】（1）证明：沿直线将正方形折叠， ，， ， ， 即， 正方形， ， ， ． （2）解：如图，过点B作于K， 则， 正方形ABCD， ，， ，， 由（1）得， 又， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， ； （3）解：正方形， ， 点M为的中点， ， 如图，过点B作于K， 由(2)可知， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， 设，， 在中，， 即， 解得， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 10．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）综合与实践-操作探究 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们探索以矩形为背景的折叠变化中的数学结论． 【操作探究】在矩形中，，，E是射线上一个动点，连接并延长交直线于点F，将沿直线折叠得到，延长交直线于点H． (1)如图1，当点E在线段上时，求证：； (2)如图2，当点E运动到点C位置时（此时点C，E，F重合），与交于点P，求的长； (3)在点E的运动过程中，是否存在的情况？若存在，直接写出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)存在，或． 【分析】(1)由矩形的性质可得,由折叠的性质可得,进而可得,由等角对等边得. （2）结合矩形的性质和折叠的性质可得，根据证明，则可得．设，则，，在中，根据勾股定理列方程求出x的值即可得解． （3）分两种情况：①当E点在线段上时，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，进而可得，．设，则可得，，．在中，根据勾股定理列方程求得x的值为．②当E点在线段的延长线上时，同①可得，，．在中，根据勾股定理列方程求得x的值为． 【详解】（1）证明：∵矩形中，，F点在的延长线上． ∴， ∵将沿直线折叠得到， ∴， ∴， 即， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿直线折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）解：①如图，当E点在线段上时， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠得到， ∴， ∴， ∴． 设， ∵，， ∴，， ∴， 在中， ， ∴， 解得， ∴． ②如图，当E点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠得到， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∴， 在中， ，     ∴， 解得， ∴． 综上，点E的运动过程中，存在的情况， 的长度为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，注意分类讨论是解题的关键． 11．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． (1)如图1，当点在矩形的边上，点落在射线上时，求证：； (2)如图2，当点在矩形的边上，点落在射线上时，求证：四边形为菱形； (3)如图3，当点在矩形的边上，射线与射线交于点．在折叠过程中，当时，请求出线段的长度． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或． 【分析】（1）由折叠可得，，再由矩形得到，然后由折叠以及平行导角得到，即可证明全等； （2）根据折叠得到，再由平行以及折叠得到，那么，即可证明四边相等，即可证明为菱形； （3）连接，可证明（），则可设当射线与射线的交点在边上时．则，，，在中运勾股定理建立方程求解；当射线与射线的交点在边的延长线上时，则，，，在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：折痕为，点的对应点为点 ， 四边形是矩形 ， ， ； （2）解：折痕为，点的对应点为点 ，， 四边形是矩形 四边形为菱形； （3）解：折痕为，点的对应点为点 ，， 四边形是矩形 ，， ， 连接 （） 设 ，， ，， 如图，当射线与射线的交点在边上时． ，， 在中， 如图，当射线与射线的交点在边的延长线上时． ，， 在中， 答：线段的长度为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 12．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形中，，，点E在边或边上，将矩形沿着过点E的直线折叠，当点B落在边（含端点）上时，落点记为F，然后展开铺平，以B，E，F为顶点构造．（提示：矩形的对边平行且相等，四个角都是） (1)如图1，当的顶点F位于的中点时，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，当的边时，请补全图形，并求的长； (3)当点E在某一位置时，是否存在面积最大的，若存在，请求出此时的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，4或1 (3)存在，4或 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，由点F是的中点，得到，求得，推出，根据折叠的性质得到，，求得，根据等腰直角三角形的判定定理得到结论； （2）根据题意补全图形如图所示，过点E作于点G，，由折叠的性质得到，根据矩形的性质得到，，利用勾股定理求得的长，此时分情况讨论：①当点F在点G左侧时，②当点F在点G右侧时，根据不同的情况分别得出此时的值即可； （3）①当E在边上时，，即当E与C重合时，面积最大为4，求得；②当E在边上时，过E作交于点H，交于K，根据三角形的面积和矩形的面积公式推出即当E为中点时，面积最大为4，根据勾股定理得到． 【详解】（1）证明：在矩形中，，， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将矩形沿着过点E的直线折叠，当点B落在边（含端点）上时，落点记为F， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：补全图形如图所示， 过点E作于点G， 由折叠得， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理可得， 在中，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ①当点F在点G左侧时，如图1， ， ②当点F在点G右侧时，如图2， ， 综上所述，的长为1或4． （3）解：①当E在边上时，如图所示，， 即当E与C重合时，面积最大为4， ∴； ②当E在边上时，如图所示，过E作交于点H，交于K， ∵，， ∴． 即当E为中点时，面积最大为4， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定，勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 13．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点E是边上一点，将E沿翻折，点的对应点为，延长交边于点，连接．求证：． 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，求的度数． 【拓展应用】 （3）在菱形中，，边长为，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的一条边上，且． ①如图3，当点落在边上时，求的长； ②当点落在边上时，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析，（2），（3）①4；②． 【分析】（1）运用翻折变换的性质、正方形的性质及全等三角形的判定即可证得结论； （2）过点作于点，利用矩形的性质和判定及翻折变换的性质即可求得答案； （3）①利用等边三角形的判定和性质即可求得答案； ②过点作于点M，过点作于点，运用勾股定理可得，根据菱形性质及翻折可得：，，，再运用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵将沿翻折到处，四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）解：过点作于点，如图， 则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由翻折得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当点落在边上时，如图，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴； ②当点落在边上时，如图，过点作于点，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 由翻折得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得： ， 即． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查勾股定理、折叠的性质，等边三角形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 考点06 特殊平行四边形最值与动点存在性问题 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，正方形的边长为，点与点分别为射线，上一点，且，连接，并交于点，点为边上一点，，连接，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，取中点，根据正方形的性质推得，并证，根据全等三角形的性质得到，求得，推出直角中有，连接，当点在上时，线段长度的值最小，过作于，根据勾股定理得到，再由即可得解． 【详解】解：如图，取中点， 四边形是正方形， ，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是中点， ， 连接，当点在上时，线段长度的值最小，过作于， 即， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 即线段长度的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、矩形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是正确作出辅助线． 2．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，勾股定理，是解题的关键． 作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，则，可得，根据，得，得,得,根据菱形性质和，可得，得，得，得取得最小值为17 ． 【详解】作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接， 则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值17． 故选：C． 3．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是和上的两个动点，M为的中点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题、矩形的性质，作点D关于的对称点，作点M关于的对称点，连接，，，则所求的最小值即为，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作点D关于的对称点，作点M关于的对称点，连接，，， 则， ∴当，E，F，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长， ∵矩形中，，， ∴，， 过点作的垂线，交的延长线于点H，则四边形为矩形， ∴， ∵M为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据“将军饮马”模型，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为的长，再过点作于点，证出四边形为矩形，进一步得出和的长，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，，过点作于点， ，，， ． 在正方形中，，， 四边形为矩形， ，， ． 在中， , 即的最小值为． 5．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在菱形中，．连接对角线，点E，点F分别为射线，射线上一动点，连接．当时，的长为________． 【答案】或 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点F作于点M，连接，分类讨论：当点E在线段之间时，当点E在线段的延长线上时，逐一分析，即可解答． 【详解】解：①当点E在线段之间时，过点F作于点M，连接，如图 有， 在菱形中，，有 ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． ②当点E在线段的延长线上时，过点F作于点M，连接，如图 同理可得，，， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 6．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有________个． 【答案】3 【分析】连接，交于点O，由题意得，即可得四边形为矩形，得，用即可得，即可判断①；根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质得，即可判断③，延长，交于M，交于点H，由①得，，根据题意和角之间的关系得，即可判断②，根据垂线段最短得当时，最小，根据勾股定理得，即可得的最小值，即可判断④． 【详解】解：如图所示，连接，交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即①正确； 延长，交于M，交于点H， 由①得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 即②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即③正确， ∵E为对角线上的一个动点， ∴当时，最小， ∵， ∴， ∴， 由①知，， ∴的最小值为， 即④错误， 综上，①②③正确， ∴结论正确的个数是3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是掌握这些知识点． 7．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）在菱形中，，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边三角形，连接．          (1)如图1，当点E落在对角线上时，请求出的长； (2)点E的位置随点P的位置变化而变化，如图2，求证：，； (3)如图3，当点P在线段的延长线上时，连接，若，求的面积． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据菱形和等边三角形的性质得到，，再由角直角三角形的性质得到，则，最后对运用勾股定理建立方程求解； （2）连接，根据菱形和等边三角形的判定与性质证明，则，，故，则； （3）如图，连接交于点O，作于点H，先根据勾股定理求出，则，可得是的垂直平分线，则，由三线合一可得，在中由勾股定理求得，则，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵ ∴在中，由勾股定理得， 解得（舍负）， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形 ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接交于点O，作于点H， ∵四边形是菱形， ∴，平分，，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， 由（2）知， ∵， ∴， 同理可得：是等边三角形， ∴是的垂直平分线， ∴， 又∵等边中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴由勾股定理得： 由（2）知， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角直角三角形的性质等知识点，正确构造全等三角形是解题的关键． 8．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）已知：如图1，正方形中，，点是对角线所在直线上一动点，连接，将沿折叠，得到，点的对应点为点，射线交直线于点，交边所在直线于点． (1)①求证：； ②求证：； (2)将沿折叠，得到，点的对应点为点． ①如图2，当点在对角线上，且时，求的度数： ②如图3，当点在延长线上，且时，连接，判断的形状，并说明理由； ③当点在同一直线上时，请直接写出以点为顶点的四边形面积． 【答案】(1)①证明过程见详解；②证明过程见详解； (2)①；②是等腰直角三角形；③ 【分析】（1）①根据正方形的性质可得，根据折叠的性质，可得，由此即可求证； ②根据正方形的性质可得，则有，由全等三角形的性质可得，由，即可求证； （2）①根据全等三角形的性质，折叠的性质，正方形的性质可得，，由平行线的性质可得，再由，即可求解； ②根据题意可证是等边三角形，是等腰三角形，得到，根据折叠的性质，三角形内角和定理可得，由此可得，由此即可求解； ③如图所示，点三点共线，连接与交于点，沿折叠得到，沿折叠得到，可得，，，由此可得，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：①∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴； （2）解：①由（1）可知， ∴， ∵将沿折叠，得到，点的对应点为点， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②沿折叠得到，沿折叠得到， ∴， ∴，， ∵， ∴，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； ③如图所示，点三点共线，连接与交于点，沿折叠得到，沿折叠得到， ∴，，， 由（1）可知，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴，即， ∵四边形是正方形，， ∴，则， 在中，， ∵折叠， ∴， 由上述证明可得， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴，， ∴点为顶点的四边形面积为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $