高二数学下学期期末模拟卷02（苏教版，范围：选择性必修第二册，举一反三）

**基本信息** 苏教版高二数学期末模拟卷聚焦选择性必修第二册，以120分钟150分全面考查核心知识，融入哪吒票房、六氟化硫分子结构等时代与科技情境，通过分层设问发展数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|正态分布、向量、散点图相关系数|结合散点图判断相关系数大小（3题）| |多项选择|3/18|二项式定理、超几何分布|辨析有放回与不放回抽样的期望（10题）| |填空|3/15|排列组合、有放回抽样概率|含男生甲位置限制的不相邻排列（13题）| |解答|5/77|独立性检验、立体几何折叠、抽奖期望|分层设计立体几何折叠问题（19题），融合AI问卷数据分析（17题）|

2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷02 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版选择性必修第二册； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）若随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 2．（5分）已知向量，，且，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．3 3．（5分）对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（   ）    A． B． C． D． 4．（5分）将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（    ） A．540 B．504 C．408 D．390 5．（5分）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 6．（5分）《哪吒之魔童闹海》在内地市场的票房突破了154亿大关，成为全球单一电影市场票房的最高记录.一款哪吒变脸玩具深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ） 时间 1 2 3 4 5 销售量/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量与负相关 B．线性回归方程中 C．当时，残差为0.2 D．可以预测当时销量约为2.1万只 7．（5分）最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（6分）已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（   ） A． B．当或3时，最大 C． D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为 11．（6分）如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（   ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．二面角的大小为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）若，则__________. 13．（5分）有3名男生和2名女生站成一排照相，要求两名女生不能相邻，同时男生甲不能站在最左边，女生乙不能站在最中间，满足条件的站法种数为__________． 14．（5分）一个盒子中有4个球，分别标记为号，若每次取1个，有放回地取4次，记至少取出2次的球的个数为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 16．（15分）已知二项展开式． (1)求的值； (2)求的值． 17．（15分）人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ (2)从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18．（17分）某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金，且抽到0元，10元，20元的概率均为． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． (1)游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为X元，求； (2)游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为Y元，求Y的分布列； (3)试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 19．（17分）如图1所示，在等腰梯形，，垂足为E，，将沿折起到的位置，如图2所示.点为棱上一个动点，平面平面．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷02 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）若随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用正态分布曲线的对称性质，求得，进而求得的值. 【解答过程】因为随机变量服从正态分布，且， 所以，所以． 故选：B． 2．（5分）已知向量，，且，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【解题思路】利用向量的数量积公式计算可得答案. 【解答过程】由于 ，则 ， 所以， 解得. 故选：A. 3．（5分）对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定的散点图，结合相关系数的意义判断即得. 【解答过程】由图知，对应的与负相关，且对应的相关性更强，即； 对应的与正相关，且对应的相关性更强，即， 所以. 故选：A. 4．（5分）将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（    ） A．540 B．504 C．408 D．390 【答案】D 【解题思路】先分组后分配，再间接减去甲、乙在一起的情况即可. 【解答过程】总的分配方法有种. 若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种； 若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种； 若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种，故不同的分配方法数为. 故选D. 5．（5分）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据分布列的性质，结合期望和方差的运算性质进行求解即可. 【解答过程】由分布列可得， 由， 由， ， 所以， 故选：A. 6．（5分）《哪吒之魔童闹海》在内地市场的票房突破了154亿大关，成为全球单一电影市场票房的最高记录.一款哪吒变脸玩具深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ） 时间 1 2 3 4 5 销售量/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量与负相关 B．线性回归方程中 C．当时，残差为0.2 D．可以预测当时销量约为2.1万只 【答案】C 【解题思路】对于A，利用表中数据变化情况或看回归方程的正负均可求解；对于B，利用样本中心点求出线性回归方程，即可判断；对于C，利用回归方程即可求出预测值，进而可求出残差，即可判断；对于D，利用回归方程即可求出预测值即可判断. 【解答过程】对于A，从数据看，随的增大而减小，所以变量与负相关，故A正确； 对于B，由表中数据知，， 所以样本中心点为，将样本中心点代入中， 得，所以线性回归方程为，故B正确； 对于C，当时，，残差为，故C错误； 对于D，当时销量约为（万只），故D正确. 故选：C. 7．（5分）最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用全概率公式即可求解. 【解答过程】设随机从这几盒药物里选择一盒，取到金花清感颗粒为事件，取到莲花清瘟胶囊为事件，取到感冒灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件， 则，，， ，，， 所以感冒被治愈的概率为 ． 故选：D. 8．（5分）六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求平面与平面的夹角即可. 【解答过程】 设正八面体的棱长为，连接、相较于点，连接， 根据正八面体的性质可知为正方形，，平面， 建立如图所示，以为坐标原点，分别以、、为、、轴的空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， ，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， 设平面与平面夹角为，则， 平面与平面夹角的余弦值为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】由赋值法求系数和及奇偶项系数可判断ACD，对于B，根据，接着求的系数即可. 【解答过程】当时，，故A错误； ，则的系数为 ，故B正确； 当时，，故C正确； 当时，， 又，所以， 则，故D正确； 故选：BCD. 10．（6分）已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（   ） A． B．当或3时，最大 C． D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为 【答案】BCD 【解题思路】先得到，Y服从超几何分布，A选项，计算出，，A错误；B选项，，得到B正确；C选项，根据二项分布和超几何分布求期望公式得到C正确；D选项，方案一中，每次抽到次品的概率均为，方案二中，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”，求出每种情况下的概率，相加得到概率，得到D正确. 【解答过程】方案一中，有放回地抽样，则取得次品个数， ，， 方案二中，不放回地抽样，则取得次品个数Y服从超几何分布， 则，. 选项A，，，，A错误； 选项B， ，由于，故或3时，最大，B正确； 选项C，由二项分布及超几何分布期望公式，，C正确； 选项D，方案一中，每次抽到次品的概率均为， 方案二，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”， 其中“正正次”的概率为，“正次次”的概率为， “次正次”的概率为，“次次次”的概率为， 故第三次抽到次品的概率为，D正确. 故选：BCD. 11．（6分）如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（   ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．二面角的大小为 【答案】ABC 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可判断ABD，根据向量法求距离公式即可判断C. 【解答过程】以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 对于A：，， ， 直线与所成角的范围为，故直线与所成角为，A正确； 对于B：，显然是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 所以， 直线与平面所成角范围为，则，B正确； 对于C：，设平面的一个法向量，则， 即，，解得， 故点到平面的距离，C正确； 对于D：显然是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则， 即，，解得， 设二面角的大小为， ， 因此二面角的大小为，D错误. 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）若，则__________. 【答案】 【解题思路】利用向量平行的性质求出，再利用向量模的公式求解即可. 【解答过程】因为， 所以，即，有， 可知. 故答案为：. 13．（5分）有3名男生和2名女生站成一排照相，要求两名女生不能相邻，同时男生甲不能站在最左边，女生乙不能站在最中间，满足条件的站法种数为__________． 【答案】50 【解题思路】先利用插空法求得两名女生不能相邻的站法；然后分别求出两名女生不能相邻且男生甲站在最左边、两名女生不能相邻且女生乙站在最中间、两名女生不能相邻，同时男生甲站在最左边，女生乙站在最中间三种情况的站法，根据排除法求解即可. 【解答过程】先求出两名女生不能相邻的站法有种； 若两名女生不能相邻且男生甲站在最左边，则满足题意的站法有种， 若两名女生不能相邻且女生乙站在最中间，则满足题意的站法有种， 若两名女生不能相邻，同时男生甲站在最左边，女生乙站在最中间， 则满足题意的站法有种， 所以满足条件的站法种数为种. 故答案为：50. 14．（5分）一个盒子中有4个球，分别标记为号，若每次取1个，有放回地取4次，记至少取出2次的球的个数为，则__________. 【答案】 【解题思路】由题可知的可能取值为，分别计算其概率，进而可得的分布列，进而求 【解答过程】由题可知 的可能取值为，总的选取可能数为种， 表示四次都取到不同的球，有种，； 表示有1个球至少取出了2次，包含三种情况： ①该球取出了2次.先从4次中选出2次取出该球，再从剩下的3个球中选出2个球，使其在剩下的2次中排列,故有种； ②该球取出了3次.先从4次中选出3次取出该球，再从剩下的3个球中选出1个球，使其放在剩下的1次，故有种； ③该球取出了4次，有1种； 又因为从4个球中选出1个球有种，故； 表示有2个球各自出现了2次， 先从4个球中选出2个球，有种，再从4次中选出2次取出同一个球，有种，剩下一个球的位置会随之确定，因此共有种，故， 所以的分布列为 0 1 2 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】(1) (2)且 【解题思路】（1）先求出，，根据向量共线得到方程，求出； （2）由题意得到，且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且，即的取值范围为且. 16．（15分）已知二项展开式． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用赋值法可得系数和的值，即可求解； （2）先构造二项式展开，再得相应系数的正负，然后去绝对值,即可用赋值法求对应系数和. 【解答过程】（1）已知， 令，可得， 令，可得， 所以． （2）展开式的通项为． 当r为偶数时，； 当r为奇数时，． 所以． 令，则， 即． 17．（15分）人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ (2)从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）先作出零假设，根据列联表计算出，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2）先写出的可能取值为，再根据题目算出对应的概率，列出概率分布列，求出数学期望即可. 【解答过程】（1）零假设 : 这次成绩是否优秀与性别无关. 根据表中数据，计算得到 根据小概率值的独立性检验，推断成立，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2）的可能取值为. ; ; ; 的分布列为： 0 1 2 数学期望. 18．（17分）某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金，且抽到0元，10元，20元的概率均为． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． (1)游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为X元，求； (2)游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为Y元，求Y的分布列； (3)试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)游客选择网上购票更划算 【解题思路】（1）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算即可； （2）利用排列组合和古典概型的概率公式求分布列； （3）先求出的分布列，再计算两个随机变量的期望，比大小即可. 【解答过程】（1），即两次都抽到20元的红包，或1次抽到10元的红包，1次抽到20元的红包，每次抽到任意红包的概率均为， 所以． （2）由题意得的可能取值为0，10，20，30，40，50，60， ， ， ，， 所以的分布列为： 0 10 20 30 40 50 60 （3）通过景点购票，由（2）得， 的可能取值为0，10，20，30，40， ， ， ， 所以， 故， 所以游客选择网上购票更划算. 19．（17分）如图1所示，在等腰梯形，，垂足为E，，将沿折起到的位置，如图2所示.点为棱上一个动点，平面平面．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，此时. 【解题思路】（1）证明，再通过线面平行的判定定理即可证得； （2）推导出平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线 与平面所成角的正弦值； （3）设，其中，利用空间向量法可知，平面的法向量与平面的法向量的夹角余弦值的绝对值为，可得出关于的方程，解方程即可. 【解答过程】（1）， ，又平面，平面， 平面. （2）由， 平面平面，平面平面，，平面， 平面，又平面， .因此，两两互相垂直， 以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系.    在等腰梯形中，， 因此易证得，故， 则. 设平面的法向量为，则， 即，取，则，则. 设直线与平面所成角为， 则. （3），设， 则. 设平面的法向量为，则有， 即，取，则，即. 由题（2）可知，平面的法向量为. 设平面与平面的夹角为，则， 整理得，解得或（舍去）. 因此，棱上存在点G，使平面与平面的夹角的余弦值为，此时. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $