北京市海淀区2025-2026学年九年级第二学期期末练习数学试卷（二模）

**基本信息** 海淀区九年级期末数学卷以真实情境为载体，融合几何直观、数据意识与模型思想，如投影仪投屏比例、古代长度单位科学记数、沙漠治理固沙量分析等题，体现数学与现实世界的深度联结。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|三视图识别、概率计算、科学记数法|基础概念与空间观念结合，如第1题几何体三视图| |填空题|8/16|分式意义、因式分解、函数图像交点|梯度设计，第16题农产品装箱优化渗透模型意识| |解答题|12/68|几何证明（矩形判定）、数据分析（固沙量统计）、函数综合（抛物线图形）|综合应用突出，第28题“关联点”定义新运算考查创新思维|

九年级第二学期期末数学练习 2026.05 参考答案 一、选择题 题目 1 2 3 4 6 7 8 答案 C C B D A D 二、填空题 9.x≠2 10.x(y+1)2 山. 12.0.96 13.假 14.1(答案不唯一，0<k≤2均可) 15.35 16.(1)240:(2)223. 4 三、解答题 17.原式=2-1+1-2x2+25 2 =2W5 18.解：解不等式3x+1>2(x-1), 得3x+1>2x-2 得x>-3. 解不等式x<x, 4 得7x-1<4x. 1 得x<兮 不等式组的解架为-3<x<兮 19.解：原式=30-6b+9b a2-b2 =3a+36 a2-b2 3(a+b) (a+b)(a-b) 初三数学参考答案第1页（共7页) 3 a-b a-b-2=0, .a-b=2, 原式 20.解：(1)连接DE. .OD=OA,OB=OE, ∴四边形ABDE是平行四边形， AE∥BD,且AE=BD, 又AB=AC,AD平分∠BAC, .BD=DC,AD⊥BC ∴AE∥DC,且AE=DC. .四边形ADCE是平行四边形. 又，'AD⊥BC, .∠ADC=90°， ∴.平行四边形ADCE是矩形. (2)由(1)得BD=CD= RC-AD 设BD=CD=x, 则AD=BC=2x. 在Rt△ADB中，∠ADB=90°， AD2+BD2=AB2. .x2+(2x)2=102 解得x=±25. x>0, x=25. .BD=2N5,AD=45. 四边形ADCE是矩形， .EC=AD=45 21.解：设1张五日票的票价为x元，1张七日票的票价为y元. 根据题意，得+y+2×44=248 2x+y+18=248. 初三数学参考答案第2页（共7页） 解得r70 y=90 答：1张五日票的票价为70元，1张七日票的票价为90元. 22.解：（1)把A(2,m)代入y=x+2,得m=2+2=4. 把A(2,4)代入y=c,得2k=4,得k=2. 即k=2,m=4: (2)①：n=-2, .点M,N分别是直线x=-2与函数y=2x和y=x+2的图象的交点. 即M(-2,-4),N-2,0). .∴.MN=0-(-4)=4: ②n≤0或n≥4. 23.解：（1)①如图所示： ②76.5： (2）156: (3)乙： (4)107. 0V4050607080901001101kgm的 甲片区 24.解：(1)点A,B,C,D在圆0上， .∠ADB=∠ACB, ∠BAC+∠ADB=90°， ,'.∠BAC+∠ACB=90° .∠ABC=180°-（∠BAC+∠ACB)=90°， DA=DC, .∠ABD=∠CBD=1∠ABC=45°， 2 (2)过点A作AH⊥BD,则∠AHD=∠AHB=90°. ,∠ABC=90°， .AC是圆的直径 H AF为圆的切线， .∠CAF=90°. D .∠BAC+∠BAF=90°. 初三数学参考答案第3页（共7页） ∠BAC+∠ACB=90°， .∴.∠BAF=∠ACB=∠ADB ·tan∠BAF=tan∠ADB=2 在Rt△ABF中，∠ABF=90°，tan∠BAF= 2 BF=22 则AB=3√2 在Rt△AHB中，∠AHB=90°，∠ABD=45°，AB=3V2, ·BH=AH=ABsin45°=3N2x5 =3 2 2 在Rt△AHD中，∠AHD=90°，tan∠ADB= 3 ,AH=3, ∴.HD= AH39 tan∠ADB =22 3 915 .'BD=BH+HD=3+= 2-2 25.解：(1)①7：②6： (2)①图象如图所示：②6： (3)8. 累计额（万元）A 260 240 220 200 180 160 140 120 100 o 5 6789101112经营时长（月） 初三数学参考答案第4页（共7页） 26.解：(1)当a=1时，抛物线为y=x2-2x, (-1,m),B(-3n)是抛物线y=x2-2x上的点， ∴.m=3,n=15. 。m<n、 （2)抛物线对称轴为x=a. ,过抛物线上的点P(a+2,t)作直线1Ly轴，a+2>a, ,直线1与抛物线的另一个交点为点P关于x=a的对称点P(a-2,t). ①若a>0,则当x≥a时，y随x的增大而增大，当x≤a时，y随x的增大而减小. D若3a-6<-a,则0<a< ,3a-6<-a<a, .当3a-6≤x≤-a时，y随x的增大而减小. 直线1与图形G有且只有一个公共点， ∴.3a-6≤a-2≤-a. '.a≤1. .0<a≤1符合题意. (i)若-a<3a-6≤a,则<as3。 .当-a≤x≤3a-6时，y随x的增大而减小 ‘直线1与图形G有且只有一个公共点， .-a≤a-2≤3a-6. .a≥2. .2≤a≤3符合题意. (ii)若3a-6>a,则a>3. -a<a<3a-6, ∴.当-a≤x≤a时，y随x的增大而减小 当a≤x≤3a-6时，y随x的增大而增大。 设点B(3a-6,n)关于x=a的对称点为B'(-a+6,m). 则-a<-a+6<a. .m>n: 初三数学参考答案第5页（共7页） 直线1与图形G有且只有一个公共点， .-a≤a-2<-a+6. .1≤a<4. .3<a<4符合题意. ②若a<0,则当x≥a时，y随x的增大而减小，当x≤a时，y随x的增大而增大. :3a-6<a<-a, .当3a-6≤x≤a时，y随x的增大而增大， 当a≤x≤-a时，y随x的增大而减小 设点A-a,m)关于x=a的对称点为A(3a,m). .3a-6<3a<a, ..n<m. :直线1与图形G有且只有一个公共点， .3a-6≤a-2<3a. .-1<a≤2 .-1<a<0符合题意， 综上，a的取值范围是-1<a<0或0<a≤1或2≤a<4. 27.(1)证明：取BC的中点G,连接AG, ,线段EA绕点E逆时针旋转180°-2a得到线段EF, .∠AEF=180°-2a=90°，且AE=EF ,∠BAC=90°，∠ABC=a=45°， ,AB=AC,AG⊥BC且AG=BC. 又，E是CD中点，且CD=BC, ∴CE=CD=}BC=AG ∠AEG+∠GAE=∠AEG+∠CEF=90°， ∴.∠GAE=LCEF. .∴.△AGE≌△ECF .∠ECF=∠AGE=90°，即CF⊥BC. (2)∠BFD=90° 证明：分别取BD和BC的中点M,N,连接FM,AN, 初三数学参考答案第6页（共7页） :在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=a, AN=BC=BN,2∠NMB=∠ABc=a. E N M C D ∴.∠AEN+∠NAE=180-∠NAB-∠ABC=180°-2a. 又，∠AEF=180°-2a,AE=EF, .∠AEN+∠MEF=180°-2a=∠AEN+∠NAE, .∠MEF=∠NAE. 又，M,E分别是BD,CD的中点， ME-AD-DEBD-CDRCN-AN. ∴.△ANE≌△EMF. .NE=MF. N是BC的中点， e=c+cg-8c+号cD-0. 2 2 MF-BD-MB-MD. .∠MFB=∠MBF,∠MFD=∠MDF. ∴.∠BFD=∠MFB+∠MFD=x180°-90， .∠BFD=90°. 28.解：(1)①P,￡： ②-V6≤，<-2或V2<x,≤V6: 25-s2-455+3而 5 7 初三数学参考答案第7页（共7页)海淀区九年级第二学期期末练习 数学 2026.05 学校 姓名 准考证号 1. 本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题，满分100分。考试时间120分钟。 考 2、 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 生 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 须 4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 知 5、考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1.右图是某几何体的三视图，该几何体是 (A)圆柱 (B)圆锥 (C)三棱柱 (D)长方体 2.如图，√10在数轴上对应的点可能是 (A)M (B)N M (C)P (D)2 -2-101234 3.小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变，已知该平板电脑屏幕的 画面是相邻两边长之比为3：2的矩形.若墙上投影画面的短边长为1.2m,则投影画面的长边 长为 (A)0.8m (B)1.8m (C)2m (D)2.4m 4.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都是正面向上的概率为 (A)是 (B)分 (c)号 (D)4 5.中国古代用“毫厘丝忽”表示极微细的事物，其中“毫”“厘”“丝”“忽”均为我国古代一种微 小的长度计量单位.秦朝统一度量衡时，1丝约为0.00000231m,则5丝用科学记数法可表示为 (A)0.231×10-5m(B)2.31×10-6m (C)1.155×10-5m (D)11.55×10-6m 九年级（数学)第1页（共8页) 6.如图，AB∥CD,且AD L BD,点E在BD的延长线上.若∠1=43°， ∠2=70°，则∠E的大小为 (A)13 (B)23° (C)25 (D)27° 7.如图，P为⊙O外一点，连接OP,分别以O,P为圆心，OP长为半径画弧，两弧交于点C,D. 连接CD交OP于点N,以N为圆心，NO为半径作圆，交⊙O于点E,F,连接OE,OF, EP.若∠EPO=a,则∠EOF的大小为 (A)180°-2a (B)90°-a (C)2a (D)3a 8.如图，直线y=a+b(k<0,b>0)与x轴、y轴分别交于点A,B,以OA为对角线作菱形 OMAN,且点N在第一象限，给出下面三个结论： ①当k=-号，6=2时，菱形OMMw有无数个： ②当b=2时，对于k的每一个确定的值，都存在菱形OMAN, 使得该菱形的周长与△AOB的周长相等； ③当点N在AB上时，若A(10-2b,0),则菱形OMAN的面积有最大值 上述结论中，所有正确结论的序号是 (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分) 9.若分式亡2有意义，则实数x的取值范围是 10.分解因式：y+2y+x= 11.若关于x的一元二次方程x2-x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 九年级（数学)第2页（共8页） 12.质检部门对一台发球机在某一参数下的发球合格性进行测试，这台发球机连续发射10000个 球，如图显示了发球合格的结果 个发球合格的频率 0.962 0.924 0 12345678910发球个数（千个） 根据图象信息，估计这台发球机发球合格的概率为 （结果精确到0.01). 13.命题“若a2>1,则a>1”是 命题（填“真”或“假”). 14.如图，在平面直角坐标系x0y中，A(2,0),B(0,1).若函数 少 y=(k>0)的图象与矩形04C8有公共点，则k的值可以 是 0 (写出一个即可) 15.如图，在正方形ABCD中，E是DC上一点，F是点D关于AE的对 称点.若AB=3,∠DAE=30°，则△DEF的面积为 16.某地推出4种特色农产品，每种农产品货源充足，均为独立包装且不可拆分，各农产品每包 的重量与价值如下表： 农产品 A B C D 重量(kg) 7 12 8 5 价值（元） 60 100 58 45 在某批农产品的销售中，根据客户需求，助农志愿者使用纸箱装运农产品，且每箱所装农产 品的总重量不超过28kg. (1)若每箱只装同一种农产品，则一箱农产品的总价值最大是 元； (2)若每箱中每种农产品最多装2包，则一箱农产品的总价值最大是 元. 九年级（数学）第3页（共8页） 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分， 第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.计算：1V2-1+2026°-2cos45°+√8. 3x+1>2(x-1), 18.解不等式组 2<x 19.已知a-b-2=0,求代数式3(a-26）+9b的值. a2-b2 20.如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,O是AD的中点， 连接BO并延长到点E,使得OE=BO.连接AE,CE. (（1)证明：四边形ADCE是矩形； (2)若AB=10,AD=BC,求EC的长. 21.为方便出行，某城市推出四种地铁定期票，在有效期内可不限次数乘坐地铁，深受通勤人 员欢迎.已知地铁部分定期票的票价和使用有效期如下：一日票每张18元，有效期为1天； 三日票每张44元，有效期为连续3天；每张五日票和七日票的有效期分别为连续5天和连 续7天.已知组合购买2张三日票、1张五日票和1张七日票，或者组合购买1张一日票、 2张五日票和1张七日票，总费用都是248元，求1张五日票的票价和1张七日票的票价. 22.在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（k≠0)与y=x+2的图象交于点A(2,m). (1)求k,m的值； (2)过点P(n,0)作x轴的垂线，分别交函数y=kx与y=x+2的图象于点M,N. ①当n=-2时，求MW的长； ②当MN≥2时，直接写出n的取值范围. 九年级（数学）第4页（共8页） 23.沙漠洽理工程通过围沙、固沙和治沙等环节，可改善生态环境，促进可持续发展.为监测某区 域沙漠治理工程的效果，某科研小组分别从甲、乙两个片区各随机抽取20个监测点作为采样 点，记录了每个采样点的单位面积固沙量（以下简称“固沙量”，用t表示，单位：kg/m), 并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息： a.甲、乙两个片区采样点的固沙量的频数分布直方图如下（数据分成7组：第1组40≤1<50， 第2组50≤t<60,第3组60≤t<70,第4组70≤1<80，第5组80≤1<90， 第6组90≤t<100,第7组100≤t<110): 频数小 频数 12 12 11 10 10 9 9 8 76 7 6 5 5 3 0V405060708090100110t(kg/m2)0V4050607080901001101(kg/m2) 甲片区 乙片区 b.甲片区采样点的固沙量在70≤t<80这一组的数据是： 7275767777787879 c.甲、乙两个片区采样点的固沙量的平均数、中位数如下表： 片区 平均数 中位数 甲 74 m 乙 76.3 74 根据以上信息，回答下列问题： (1)①补全甲片区采样点的固沙量的频数分布直方图； ②表中m的值为 ； (2)若固沙量满足60≤t<80的监测点为“达标监测点”，估计乙片区的240个监测点中约 有 个“达标监测点”； (3)将每个片区采样点的固沙量按从大到小排序，固沙量越大，排名越靠前.已知采样点A, B不在同一个片区且固沙量都是75kg/.若A在其所在片区采样点中的排名比B在其 所在片区采样点中的排名更靠前，则A是 片区的采样点（填“甲”或“乙”) (4)为降低异常值对统计结果造成的偏差，科研团队采用剔除极值法：先剔除一组数据中的 一个最大值和一个最小值，再对剩余数据计算平均值，以保障监测结果的稳定性.记乙 片区采样点的固沙量的最大值为t,kg/m,最小值为2kg/m,剔除极值后，乙片区采样 点的固沙量的平均值为76.5kg/m.若12=42，则1的值为 九年级（数学)第5页（共8页) 24.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,∠BAC+∠ADB=90°，DA=DC, (1)求∠ABD的大小； (2)过点A作圆的切线交CB的延长线于点F.若tanLADB=2 BF=2V2,求BD的长. 25.某旅游城市的居民王先生利用自有房屋开设一家具有当地民俗文化特色的民宿，改造完成后 于2025年3月初开始营业.截至2026年2月底，共计经营时长为12个月，民宿营业收人累 计额如下图. 累计额（万元）↑ 260 240 220 200 180 160 140 120 100 1 80 60 40 20 0123456789101112经营时长（月） 民宿的利润等于营业收入减去支出费用.支出费用包含两部分，一部分是民宿的改造费，共 计30万元，开业前已支付完毕；另一部分是除改造费之外的其它支出费用，这部分费用按月 累计数据如下： 经营时长（月） 0 2 6 8 9 10 11 12 其它支出费用 0 18 25 30 42 55 68 80 92102113 125 137 累计额（万元） 九年级（数学)第6页（共8页) 结合上述信息和图象，回答下列问题： (1)王先生的民宿在2025年3月初到2026年2月底这12个月的经营中， ①第2个月的其它支出费用为 万元； ②单月营业收入最高的是第 个月（填整数)： (2)①在上面的坐标系中画出其它支出费用累计额关于经营时长的图象； ②根据图象估计王先生的民宿自开始营业后第 个月开始盈利（填整数）； (3)“累计成本利润率（记为M)”是指经营项目在一定时期内，累计实现的盈利总额与同期 累计发生的支出总额的比值， M=累计盈利总额×100% 累计支出总额 根据该城市的行业评价标准，当30%≤M<50%时，可评定为经营效果良好并能被当 地文旅部门优先推介，若累计盈利总额和累计支出总额（含改造费）从开始营业时计算， 则王先生的民宿首次被评定为经营效果良好是第 个月（填整数）. 26.在平面直角坐标系xOy中，A(-a,m),B(3a-6,n)是抛物线y=ax2-2a2x(a≠0)上不 重合的两点. (1)当a=1时，比较m和n的大小，并说明理由； (2)记抛物线在点A,B之间的部分（含点A,B)为图形G,过抛物线上一点P(a+2,t) 作直线1垂直于y轴.若直线1与图形G有且只有一个公共点，求α的取值范围. 27.在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=a,点D在BC的延长线上，E是CD的中点，连接 EA,将线段EA绕点E逆时针旋转180°-2a得到线段EF (1)如图1，a=45°，CD=BC,连接CF,求证：CF⊥BC; (2)如图2，连接BF,DF,直接写出∠BFD的大小，并证明. E 图1 图2 九年级（数学）第7页（共8页） 28.在平面直角坐标系xOy中，对于⊙C和⊙C外一点P,给出如下定义：若⊙C上存在两个不 同的点A,B,使得∠APB=0(0°<0<180)且PA=PB(k>0),则称点P是⊙C的“0-k 关联点”， (1)如图，⊙0的半径为2. ①在点P(-4,0),P2(0,5),P(2,2)中，⊙0的“60°-1关联点”是 ②点P在直线y=x上，记点P的横坐标为xp.若点P是⊙O的“60°-2关联点”， 则xp的取值范围是； (2)已知点M(0,2),N(3,2),T(t,1)(1≠0)，⊙T的半径为√7It.若线段MN上至 少存在两个⊙T的“120°-2关联点”，直接写出1的取值范围 九年级（数学）第8页（共8页） 海淀区九年级第二学期期末练习 数学 学校_____ 姓名_____ 准考证号_____ 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下图是某几何体的三视图，该几何体是 A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体 2．如图，在数轴上对应的点可能是 A． B． C． D． 3．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为 A． B． C． D． 4．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都是正面向上的概率为 A． B． C． D． 5．中国古代用“毫厘丝忽”表示极微细的事物，其中“毫”“厘”“丝”“忽”均为我国古代一种微小的长度计量单位．秦朝统一度量衡时，丝约为，则丝用科学记数法可表示为 A． B． C． D． 6．如图，，且，点在的延长线上．若，，则的大小为 A． B． C． D． 7．如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为 A． B． C． D． 8．如图，直线与轴、轴分别交于点，，以为对角线作菱形，且点在第一象限，给出下面三个结论： ①当，时，菱形有无数个； ②当时，对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③当点在上时，若，则菱形的面积有最大值． 上述结论中，所有正确结论的序号是 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9．若分式有意义，则实数的取值范围是________． 10．分解因式：________． 11．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________． 12．质检部门对一台发球机在某一参数下的发球合格性进行测试，这台发球机连续发射个球，如图显示了发球合格的结果． 根据图象信息，估计这台发球机发球合格的概率为________（结果精确到）． 13．命题“若，则”是________命题（填“真”或“假”）． 14．如图，在平面直角坐标系中，，．若函数的图象与矩形有公共点，则的值可以是________（写出一个即可）． 15．如图，在正方形中，是上一点，是点关于的对称点．若，，则的面积为________． 16．某地推出4种特色农产品，每种农产品货源充足，均为独立包装且不可拆分．各农产品每包的重量与价值如下表： 农产品 A B C D 重量（kg） 7 12 8 5 价值（元） 60 100 58 45 在某批农产品的销售中，根据客户需求，助农志愿者使用纸箱装运农产品，且每箱所装农产品的总重量不超过28kg． （1）若每箱只装同一种农产品，则一箱农产品的总价值最大是________元； （2）若每箱中每种农产品最多装包，则一箱农产品的总价值最大是________元． 三、解答题（共68分，第题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第题每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：． 18．解不等式组： 19．已知，求代数式的值． 20．如图，在中，，平分，是的中点，连接并延长到点，使得．连接，． （1）证明：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21．为方便出行，某城市推出四种地铁定期票，在有效期内可不限次数乘坐地铁，深受通勤人员欢迎．已知地铁部分定期票的票价和使用有效期如下：一日票每张元，有效期为天；三日票每张元，有效期为连续天；每张五日票和七日票的有效期分别为连续天和连续天．已知组合购买张三日票、张五日票和张七日票，或者组合购买张一日票、张五日票和张七日票，总费用都是元，求张五日票的票价和张七日票的票价． 22．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求，的值； （2）过点作轴的垂线，分别交函数与的图象于点，． ①当时，求的长； ②当时，直接写出的取值范围． 23．沙漠治理工程通过围沙、固沙和治沙等环节，可改善生态环境，促进可持续发展．为监测某区域沙漠治理工程的效果，某科研小组分别从甲、乙两个片区各随机抽取个监测点作为采样点，记录了每个采样点的单位面积固沙量（以下简称“固沙量”，用表示，单位：），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的频数分布直方图如下（数据分成组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，第组）； ．甲片区采样点的固沙量在这一组的数据是： 72 75 76 77 77 78 78 79 ．甲、乙两个片区采样点的固沙量的平均数、中位数如下表： 片区 平均数 中位数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1）①补全甲片区采样点的固沙量的频数分布直方图； ②表中的值为________； （2）若固沙量满足的监测点为“达标监测点”，估计乙片区的个监测点中约有________个“达标监测点”； （3）将每个片区采样点的固沙量按从大到小排序，固沙量越大，排名越靠前．已知采样点，不在同一个片区且固沙量都是．若在其所在片区采样点中的排名比在其所在片区采样点中的排名更靠前，则是________片区的采样点（填“甲”或“乙”）； （4）为降低异常值对统计结果造成的偏差，科研团队采用剔除极值法：先剔除一组数据中的一个最大值和一个最小值，再对剩余数据计算平均值，以保障监测结果的稳定性．记乙片区采样点的固沙量的最大值为，最小值为，剔除极值后，乙片区采样点的固沙量的平均值为．若，则的值为________． 24．如图，圆内接四边形的对角线，交于点，，． （1）求的大小； （2）过点作圆的切线交的延长线于点．若，，求的长． 25．某旅游城市的居民王先生利用自有房屋开设一家具有当地民俗文化特色的民宿，改造完成后于年月初开始营业．截至年月底，共计经营时长为个月，民宿营业收入累计额如下图． 民宿的利润等于营业收入减去支出费用．支出费用包含两部分，一部分是民宿的改造费，共计万元，开业前已支付完毕；另一部分是除改造费之外的其它支出费用，这部分费用按月累计数据如下： 经营时长（月） 其它支出费用累计额（万元） 结合上述信息和图象，回答下列问题： （1）王先生的民宿在年月初到年月底这个月的经营中， ①第个月的其它支出费用为________万元； ②单月营业收入最高的是第________个月（填整数）； （2）①在上面的坐标系中画出其它支出费用累计额关于经营时长的图象； ②根据图象估计王先生的民宿自开始营业后第________个月开始盈利（填整数）； （3）“累计成本利润率（记为）”是指经营项目在一定时期内，累计实现的盈利总额与同期累计发生的支出总额的比值． 根据该城市的行业评价标准，当时，可评定为经营效果良好并能被当地文旅部门优先推介．若累计盈利总额和累计支出总额（含改造费）从开始营业时计算，则王先生的民宿首次被评定为经营效果良好是第________个月（填整数）． 26．在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． （1）当时，比较和的大小，并说明理由； （2）记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 27．在中，，，点在的延长线上，是的中点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）如图，，，连接，求证：； （2）如图，连接，，直接写出的大小，并证明． 28．在平面直角坐标系中，对于和外一点，给出如下定义：若上存在两个不同的点，，使得且，则称点是的“关联点”． （1）如图，的半径为． ①在点，，中，的“关联点”是________； ②点在直线上，记点的横坐标为．若点是的“关联点”，则的取值范围是________； （2）已知点，，，的半径为．若线段上至少存在两个的“关联点”，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $