精品解析：重庆市綦江中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

重庆市綦江中学高2025级高一（下）半期考试 数学学科试题 命题人：刘佳威 审题人：陈昱霏 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知集合，， 故. 2. 在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则，求得复数的代数形式，再利用虚部的定义可以求解. 【详解】因为， 所以， 所以复数的虚部为, 故选：C. 3. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【详解】易知， 故要得到函数的图象，只需将的图象向左平移个单位长度. 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转化，再利用两角和的余弦公式即得解 【详解】由题意， 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题 5. 在中，，那么此三角形（ ） A. 解的个数不确定 B. 无解 C. 有一解 D. 有两解 【答案】B 【解析】 【分析】借助正弦定理计算即可判断. 【详解】由正弦定理可得，即， 由，显然无解，故此三角形无解. 6. 复数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】复数满足，其对应的点是以原点为圆心，为半径的圆上的点， 复数几何意义是复数对应的点到点的距离， 所以的最大值为， 故选：D. 7. 已知中，若，且点在上，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】中，由，得， ，又，且点在上，则， 所以. 8. 在中，角的对边分别为，，，则的内切圆的半径为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合正弦定理、余弦定理，由三角形的面积公式列方程，化简求得的值. 【详解】依题意，由正弦定理得， ， , ，由于，所以， 所以，由于，所以. ， 由余弦定理得， ，则， ，其中是三角形内切圆半径， 即，解得. 故选：D 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为钝角，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算计算即可. 【详解】对于A选项，当时，，故A选项正确； 对于B选项，当时，,解得，故B选项不正确； 对于C选项，若，则，所以，所以C选项正确； 对于D选项，依题意，，且，， 故，故D选项错误. 10. 某个简谐运动可以用函数，来表示，其中部分图象如图所示，则（ ） A. B. 该简谐运动的频率为2，初相位为 C. 直线是的一个对称轴 D. 点是曲线的一个对称中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象可得，选项A，利用的图象与性质可得，即可判断选项A的正误；选项B，由频率和初相位的定义，结合，即可求解；选项C，直接求解对称轴即可判断C；选项D，，利用性质，求出的对称轴和对称中心，即可判断出选项D的正误. 【详解】由图知，由图像知，又，所以， 又由五点作图法知，第三个点为，所以，得到， 所以， 对于选项A：设，由， 得到，即， 因为对应的是方程在轴右侧的第一个与第二个解，故, 所以，故选项A正确； 对于选项B：因为，所以频率为，由知初相位为，所以选项B错误； 对于选项C：令，解得， 当时，，故直线是的一个对称轴，选项C正确； 对于选项D：因为， 由，即， 故点是曲线的一个对称中心，故选项D正确； 11. 著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，且，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到，由向量数量积公式得到；B选项，作出辅助线，利用向量数量积的几何意义得到；C选项，，故，由欧拉线定理可知，，故C项正确；D选项，由余弦定理和同角三角函数关系得到，由正弦定理得到，故，从而. 【详解】A选项，延长交于点，由于点是的重心， 可得， 所以，故A正确； B选项，过的外心分别作的垂线，垂足为，如图， 易知点分别是的中点， 则 ，故B项错误； C选项，因为点是的重心，所以， 故 ， 由欧拉线定理可知，重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半， 即，所以，则，故C项正确； 对D选项，作于，则为中点， ， 由余弦定理可得，则， 设外接圆半径为，则，即， 则， 则 ，故D项错. 故选：AC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且与的夹角为30°，为与方向相同的单位向量，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的公式计算即可. 【详解】由已知 则向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 13. 已知为锐角，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】借助同角三角函数基本关系及两角差的正弦公式计算即可得. 【详解】由，为锐角，则， 由为锐角，则，又 ，故， 则， 故 ， 又为锐角，故. 14. 已知函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知，将问题化为内恰有2个整数，再分类讨论求参数范围. 【详解】由题设，且， 由在区间上恰有2个零点， 只需内恰有2个整数，即 ，， 当，则， 当，则， 当，则 ，无解， 同理时，均无解， 综上，的取值范围为. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若的夹角为，求； （2）若，求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助数量积与模长的关系及数量积公式计算即可得； （2）借助平面向量垂直定义与平面向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由，故， 即，则. 16. 在中，内角的对边分别为，且 （1）求角； （2）若，且边上的中线，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算即可得； （2）借助平面向量线性运算及模长与数量积关系计算可得，利用余弦定理计算可得，即可得、，从而可计算出，即可得其周长. 【小问1详解】 由正弦定理将角化为边可得， 即，即， 由余弦定理可得，即， 故，即，又，故； 【小问2详解】 ，则 ，即， 由余弦定理可得， 故，， 则， 故的周长为. 17. 已知函数，的最小正周期为． （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； （3）求不等式的解集． 【答案】（1），. （2），，，． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，再利用整体代入法可得函数的单调性； （2）利用整体代入法可得值域，即可得解； （3）根据三角函数的性质解不等式即可. 【小问1详解】 由题意， 又函数的最小正周期为，则，，所以， 即， 当，即，时，单调递减， 的单调递减区间是，； 【小问2详解】 ，则，故， ，此时，即， ，此时，即； 【小问3详解】 由已知，即， 所以或，， 即或，， 所以不等式的解集为． 18. 如图，A，B是单位圆上的相异两定点（为圆心），（），点C为单位圆上的动点，线段AC交线段于点M（点M异于点、B），记的面积为． （1）记，求的表达式； （2）若 ①求的取值范围； ②设，记，求的最小值． 【答案】（1）（） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式和数量积的定义，写出的表达式； （2）由，将数量积转化为三角函数，求函数值域即可； 利用向量共线将用t表示，求函数的最值. 【小问1详解】 因为，， 所以（）． 【小问2详解】 ①设，，则， ， 所以，， 又，所以，则． ②设，则，因为， 所以， 所以， 因为，所以，即， 化简得，，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． 【点睛】因为，M，C三点共线，所以表示向量和的数乘关系，设，借助，可得. 19. 布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： （1）若，求的大小及的值； （2）已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 【答案】（1） （2）①12；② 【解析】 【分析】（1）根据角的关系求得，在、中，分别由正弦定理可得，，由商数关系求的值； （2）由，可得，对于①在、、中由余弦定理结合代数运算可得，再根据面积可求的值；②由面积公式结合余弦定理可得，结合①可得，平方展开运算得解. 【小问1详解】 在中，， 所以，而为锐角，故，所以， 所以，而，故. 又，故， 在中，由正弦定理有，所以， 在中，由正弦定理有，所以， 所以，故. 【小问2详解】 因为，所以，即， ①，所以 在中，， 在中，， 在中，， 三式相加得 ， 整理得：. ②又 又由①知， 所以， 故， 整理得：， 即， 所以，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市綦江中学高2025级高一（下）半期考试 数学学科试题 命题人：刘佳威 审题人：陈昱霏 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 4. （ ） A. B. C. D. 5. 在中，，那么此三角形（ ） A. 解的个数不确定 B. 无解 C. 有一解 D. 有两解 6. 复数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，若，且点在上，则（ ） A. B. C. D. 1 8. 在中，角的对边分别为，，，则的内切圆的半径为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为钝角，则 10. 某个简谐运动可以用函数，来表示，其中部分图象如图所示，则（ ） A. B. 该简谐运动的频率为2，初相位为 C. 直线是的一个对称轴 D. 点是曲线的一个对称中心 11. 著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，且，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且与的夹角为30°，为与方向相同的单位向量，则向量在向量上的投影向量为______． 13. 已知为锐角，，则__________． 14. 已知函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若的夹角为，求； （2）若，求与夹角的余弦值． 16. 在中，内角的对边分别为，且 （1）求角； （2）若，且边上的中线，求的周长． 17. 已知函数，的最小正周期为． （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； （3）求不等式的解集． 18. 如图，A，B是单位圆上的相异两定点（为圆心），（），点C为单位圆上的动点，线段AC交线段于点M（点M异于点、B），记的面积为． （1）记，求的表达式； （2）若 ①求的取值范围； ②设，记，求的最小值． 19. 布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： （1）若，求的大小及的值； （2）已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $