3. 简谐运动的回复力和能量（同步讲义）物理人教版选择性必修第一册

本讲义聚焦简谐运动的回复力和能量核心知识点，先系统梳理回复力的定义、方向、表达式F=-kx及简谐运动的判定方法，再阐述能量转化、守恒特点及与振幅的关系，构建从基础概念到规律应用的学习支架。 该资料以生活情境（弹簧玩具、跳床）导入重难探究，通过问题链引导科学推理，典例赏析与分层练习（基础练、提升练）强化物理观念，课中辅助教师引导学生深度探究，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，有效提升科学思维与问题解决能力。

3. 【知识梳理】 1 一、 简谐运动的回复力 1 二、 简谐运动的能量 2 【重难探究】 3 探究1 　探究简谐运动的回复力 3 探究2 探究简谐运动的能量 4 【课堂自测·基础练】 9 【素养进阶·提升练】 18 【知识梳理】 知识点1 简谐运动的回复力 1．回复力 (1)定义：使振动物体回到平衡位置的力。 (2)方向：总是指向平衡位置。 (3)表达式：F＝－kx。式中“－”号表示F与x方向相反。 2．简谐运动 理论上可以证明，如果物体所受的力具有F＝－kx的形式，物体就做简谐运动。也就是说：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。 3．回复力的性质 回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。 知识点2 简谐运动的能量 1．能量转化 弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。 (1)在最大位移处，势能最大，动能为零。 (2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。 2．能量特点 在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 3．对于弹簧的劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。 4．简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 5．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。 【重难探究】 探究1 简谐运动的回复力 【探究导入】 情境探究 生活中常见的弹簧玩具，当用手拉伸或压缩后松开，弹簧会来回振动。类似地，悬挂的钟摆被推开后也会在平衡位置附近往复运动。这些现象中，物体总有一个“回到原位”的趋势。这种使物体返回平衡位置的力在振动过程中起着关键作用。 问题 1.弹簧振子在运动过程中，哪个力促使它回到平衡位置？ 提示： 弹簧振子在运动时，弹簧发生形变，产生弹力。无论振子在平衡位置右侧还是左侧，弹力始终指向平衡位置，是这个力使振子返回，因此这个力就是回复力。 2. 当振子偏离平衡位置的距离增大时，这个力的大小如何变化？ 提示：当振子离平衡位置越远，弹簧的伸长或压缩量越大，弹力越大。实验表明，弹力大小与位移大小成正比，即位移越大，回复力越大。 3. 该力的方向与振子偏离平衡位置的位移方向有何关系？ 提示： 位移是从平衡位置指向振子当前位置的矢量，而回复力始终指向平衡位置，因此回复力方向与位移方向相反。 4. 能否用一个数学表达式描述这个力与位移的关系？ 提示：结合上述分析，回复力大小为，方向与位移相反，可用负号表示反向关系，因此回复力可表示为。 【探究归纳】 1、回复力定义：使振子回到平衡位置的力。 （1）回复力是根据力的效果命名的，回复力可以是弹力,也可以是其它力(包括摩擦力);可以是某一个力，或几个力的合力,或者某个力的分力，它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。 （2）回复力方向总是指向平衡位置。 2、回复力公式：F＝－kx。 （1）k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关。 （2）“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。 3、简谐运动的定义的另一种表述：如果质点所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置,质点的运动就是简谐运动。即回复力满足 F= -kx的运动就是简谐运动。 4、判断物体是否做简谐运动的两种方法 （1）x-t图像为正弦曲线 （2）F-x满足 F=-kx的形式 （3）常用步骤：①找平衡位置；②找回复力；③找F=kx；④找方向关系。 【典例赏析】 [例1]　在光滑水平面上自由振动的弹簧振子，振子受力情况叙述正确的是（　　） A．振子受到的回复力是恒力 B．振子受重力、支持力、弹簧弹力和回复力 C．振子受到的回复力的大小与物体离开平衡位置的位移大小成正比 D．振子受到的回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同 【针对训练】 1.关于简谐运动的回复力的含义，下列说法正确的是（　　） A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度 B．k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移 C．根据，可以认为k与F成正比 D．表达式中的“”号表示F始终阻碍物体的运动 2.如图所示，质量为m的物体放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的最大压力是物重的1.5倍，则下列说法正确的是（　　） A．物体完成一个周期的简谐运动，重力的冲量为0 B．物体向下运动过程中，回复力一直增大 C．物体对弹簧的最小压力为mg D．要使物体在振动中不离开弹簧，振幅不能超过2A 3.如图所示， 两物体组成弹簧振子，在振动过程中， 始终保持相对静止。图中能正确反映振动过程中 所受摩擦力 与振子的位移 关系的图像应为( ) A. B.C.D. 探究2 探究简谐运动的能量 【探究导入】 情境探究 在游乐场中，同学们喜欢玩弹簧跳床。当人站在跳床上下压时，弹簧被压缩，随后人被弹起，在最高点又下落，如此往复运动。这一过程中，人的速度时快时慢，弹簧的形变程度也在不断变化。这种来回往复的运动与弹簧振子的振动非常相似。 问题 1. 当小球从平衡位置向最大位移处运动时，它的速度和弹簧的形变量如何变化？ 提示：小球远离平衡位置时，弹簧形变量增大，弹力做负功，导致小球速度减小，因此动能减小，势能增大。 2.在小球运动过程中，动能和势能分别在什么位置达到最大或最小？ 提示： 当小球通过平衡位置时，速度最大，动能最大，此时弹簧无形变，势能为0；当小球到达最大位移处（P或Q点）时，速度为0，动能为0，弹簧形变量最大，势能最大。 3.小球在运动过程中，动能和势能之间是否存在转化关系？ 提示：小球运动过程中，动能和势能不断相互转化。远离平衡位置时，动能转化为势能；靠近平衡位置时，势能转化为动能。 4.在整个振动过程中，系统的总机械能是否保持不变？ 提示： 忽略摩擦和空气阻力时，系统只有弹力做功，弹力为保守力，因此机械能守恒，即任意时刻动能与势能之和保持不变。 【探究归纳】 简谐运动中，系统机械能守恒，动能与势能相互转化：平衡位置动能最大、势能为零，最大位移处势能最大、动能为零。能量由振幅决定（振幅越大能量越大），与周期无关，体现了振动过程中机械能守恒与转化的规律，是简谐运动稳定性的能量特征。 【典例赏析】 【例2】如图所示，质量为m的小球从与轻弹簧上端相距x处静止释放，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计一切阻力，则小球在向下运动的过程中（　　） A．最大加速度为g B．最大加速度小于g C．最大速度为 D．最大速度为 【例3】（多选）如图所示，把一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向A、B之间做简谐运动，平衡位置为O，下列结论正确的是（　　） A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小 B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大 C．小球从A经O到B的过程中，弹簧的弹力先做正功，后做负功 D．小球从A经O到B的过程中，小球的动能先减小后增加 【针对训练】 4.右图为某个弹簧振子做简谐运动的图像，由图像可知(　　) A．由于在0.1 s末位移为零，所以振子的振动能量为零 B．在0.2 s末振子具有最大势能 C．在0.4 s末振子具有的势能尚未达到最大值 D．在0.4 s末振子的动能最大 5.弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中（　　） A．振子的位移逐渐增大 B．振子所受的弹力逐渐减小 C．振子的动能转化为弹性势能 D．振子的加速度逐渐增大 6.如图甲所示，劲度系数为k的轻弹簧下端挂一质量为的物体， 物体在竖直方向上做简谐运动，弹簧对物体的拉力F随时间变化如图乙所示，重力加速度为g。由此可以判定运动过程中（ ） A．弹簧的弹性势能和物体动能总和不变 B．物体的最大动能等于 C．物体的最大加速度为2倍的重力加速度 D．振幅为 【课堂自测·基础练】 1．（多选）弹簧振子做简谐运动，其位移 与时间 的关系如图所示，则( ) A.在 时，速度最大，方向为负，加速度为零 B.在 时，速度最大，方向为负，加速度为零 C.在 时，速度最大，方向为正，加速度最大 D.在 时，速度最大，方向为正，加速度为零 2．如图甲所示,一弹簧振子在A、B间做简谐运动,O为平衡位置,图乙是弹簧振子做简谐运动时的位移—时间图像,则关于弹簧振子的加速度随时间的变化规律,下列四个图像正确的是(　　) 3．如图所示,两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上,已知甲的质量大于乙的质量。当细线突然断开后,两物块都开始做简谐运动,在运动过程中(　　) A.甲的振幅大于乙的振幅 B.甲的振幅小于乙的振幅 C.甲的最大速度小于乙的最大速度 D.甲的最大速度大于乙的最大速度 4．(多选)右图为某一质点的振动图像,由图可知,在t1和t2两时刻|x1|>|x2|,质点速度v1、v2与加速度a1、a2的关系为(　　) A.v1<v2,方向相同 B.v1<v2,方向相反 C.a1>a2,方向相同 D.a1>a2,方向相反 5．如图所示，弹簧振子在光滑的水平杆上做简谐运动，、是最大位移处，是平衡位置。下列说法中正确的是（　　） A．振子在、两点处加速度相同 B．振子由向运动时，加速度方向与速度方向相同 C．振子由向运动时，速度和加速度越来越大 D．振子由向运动时，回复力与加速度方向相反 6．如图所示，一质量为M的木质框架放在水平桌面上，框架上悬挂一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下端拴接两个质量均为m的铁球（铁球离框架下端足够远，两球间用轻杆相连）系统处于静止状态。用手向下拉一小段距离后释放铁球，两铁球便上下做简谐运动，框架保持静止，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．铁球在振动的过程中，速度相同时，弹簧的弹性势能也相同 B．若两铁球在最低点时，AB之间断开，则A球继续做简谐振动，振幅不变 C．铁球从最低点向平衡位置运动的过程中，回复力的功率一直增大 D．在框架不会离开桌面的前提下，则两铁球的振幅最大是 7．一个水平弹簧振子的振动图像如图所示，已知小球质量为，弹簧的劲度系数为，下列说法正确的是（　　） A．小球位移随时间变化的关系式为 B．在第末到第末这段时间内，小球的动能在减少、弹性势能在增加 C．小球的最大加速度为 D．该小球在内的位移为，路程为 8．如图甲所示，一弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端连接一小球静止于光滑水平地面上O点处。若把小球拉至A点后由静止释放，则小球在A、B之间做简谐运动，以水平向右方向为正方向，小球的振动图像如图乙所示，则下列说法中正确的是（　　） A．A、B之间的距离为 B．时刻小球位于B点，且此时小球的加速度最大 C．在时间内，小球运动的速度逐渐减小，所受的弹簧弹力逐渐增大 D．在时间内，小球运动的路程为，位移为零 9．如左图所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，右图为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（　　） A．在时，弹簧振子的加速度为正向最大 B．在与两个时刻，弹簧振子的速度相同 C．从到时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动 D．在时，弹簧振子有最小的位移 10．如图所示，图甲为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为该弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是 （　　） A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 B．时，弹簧振子的位移为 C．从到的时间内，弹簧振子的动能持续地增加 D．在与两个时刻，弹簧振子的回复力不相同 11．劲度系数为20N/cm的水平方向弹簧振子的振动图象如图所示，在图中A点对应的时刻（　　） A．振子的速度方向为x轴正方向 B．在0～4s内振子通过的路程为0.35cm，位移为0 C．在0～4s内振子做了1.75次全振动 D．振子所受的弹力大小为0.5N，方向指向x轴负方向 12．如图所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动。以平衡位置O为坐标原点，建立Ox轴，规定向右为正方向，其简谐运动的周期T=0.8s，OM=ON=10cm。当t=0时刻，将小球由N点静止释放。关于小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．简谐运动的表达式为x=0.1sin（2.5πt）m B．每次通过同一位置时，速度一定相同 C．从M经O到N的过程中，弹簧振子系统的机械能先增加再减小 D．从N到O的过程中，弹簧的弹性势能转化为小球的动能 13．如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图像。已知甲、乙两个振子质量相等。则（　　） A．甲、乙两振子的振幅之比为1:2 B．甲、乙两振子的频率之比为1:2 C．前2s内甲、乙两振子的加速度均为正值 D．0~8s时间内甲、乙两振子通过的路程之比为4:1 14．理论表明：弹簧振子的振动周期，总机械能与振幅A的平方成正比，即，k为弹簧的劲度系数，m为振子的质量。如图，一劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端连接着质量为m的物块，物块在光滑水平面上往复运动。当物块运动到最大位移为A的时刻，把另一质量也为m的物块轻放在其上，两个物块始终一起振动。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。放上质量也为m的物块后，下列说法正确的是（　　） A．物块振动周期变为原来的2倍 B．两物块之间的动摩擦因数至少为 C．物块经过平衡位置时速度为 D．系统的振幅减小 【素养进阶·提升练】 1．（2025·江苏·高考真题）如图所示，弹簧一端固定，另一端与光滑水平面上的木箱相连，箱内放置一小物块，物块与木箱之间有摩擦。压缩弹簧并由静止释放，释放后物块在木箱上有滑动，滑动过程中不与木箱前后壁发生碰撞，不计空气阻力，则（    ） A．释放瞬间，物块加速度为零 B．物块和木箱最终仍有相对运动 C．木箱第一次到达最右端时，物块速度为零 D．物块和木箱的速度第一次相同前，物块受到的摩擦力不变 2．（2024·辽宁·高考真题）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为和，地球半径是该天体半径的n倍。的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·贵州·高考真题）（多选）如图，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性良好。对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在时由静止释放，小球的运动可视为简谐运动，周期为T。规定竖直向上为正方向，则小球在时刻（　　）    A．位移最大，方向为正 B．速度最大，方向为正 C．加速度最大，方向为负 D．受到的回复力大小为零 4．（2025·湖北·高考真题）（多选）质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后（　　） A．小球a可能会运动 B．若小球b做简谐运动，则其振幅为 C．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动     D．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动 5．（2024·湖北·高考真题）某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。 具体步骤如下： ①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图（a）所示。 ②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。 ③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。 ④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。 ⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。 该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。 (1)由步骤④，可知振动周期 。 (2)设弹簧的原长为，则l与g、、T的关系式为 。 (3)由实验数据作出的图线如图（b）所示，可得 （保留三位有效数字，取9.87）。 (4)本实验的误差来源包括_____（双选，填标号）。 A．空气阻力 B．弹簧质量不为零 C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3. 【知识梳理】 1 一、 简谐运动的回复力 1 二、 简谐运动的能量 2 【重难探究】 3 探究1 　探究简谐运动的回复力 3 探究2 探究简谐运动的能量 4 【课堂自测·基础练】 9 【素养进阶·提升练】 18 【知识梳理】 知识点1 简谐运动的回复力 1．回复力 (1)定义：使振动物体回到平衡位置的力。 (2)方向：总是指向平衡位置。 (3)表达式：F＝－kx。式中“－”号表示F与x方向相反。 2．简谐运动 理论上可以证明，如果物体所受的力具有F＝－kx的形式，物体就做简谐运动。也就是说：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。 3．回复力的性质 回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。 知识点2 简谐运动的能量 1．能量转化 弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。 (1)在最大位移处，势能最大，动能为零。 (2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。 2．能量特点 在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 3．对于弹簧的劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。 4．简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 5．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。 【重难探究】 探究1 简谐运动的回复力 【探究导入】 情境探究 生活中常见的弹簧玩具，当用手拉伸或压缩后松开，弹簧会来回振动。类似地，悬挂的钟摆被推开后也会在平衡位置附近往复运动。这些现象中，物体总有一个“回到原位”的趋势。这种使物体返回平衡位置的力在振动过程中起着关键作用。 问题 1.弹簧振子在运动过程中，哪个力促使它回到平衡位置？ 提示： 弹簧振子在运动时，弹簧发生形变，产生弹力。无论振子在平衡位置右侧还是左侧，弹力始终指向平衡位置，是这个力使振子返回，因此这个力就是回复力。 2. 当振子偏离平衡位置的距离增大时，这个力的大小如何变化？ 提示：当振子离平衡位置越远，弹簧的伸长或压缩量越大，弹力越大。实验表明，弹力大小与位移大小成正比，即位移越大，回复力越大。 3. 该力的方向与振子偏离平衡位置的位移方向有何关系？ 提示： 位移是从平衡位置指向振子当前位置的矢量，而回复力始终指向平衡位置，因此回复力方向与位移方向相反。 4. 能否用一个数学表达式描述这个力与位移的关系？ 提示：结合上述分析，回复力大小为，方向与位移相反，可用负号表示反向关系，因此回复力可表示为。 【探究归纳】 1、回复力定义：使振子回到平衡位置的力。 （1）回复力是根据力的效果命名的，回复力可以是弹力,也可以是其它力(包括摩擦力);可以是某一个力，或几个力的合力,或者某个力的分力，它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。 （2）回复力方向总是指向平衡位置。 2、回复力公式：F＝－kx。 （1）k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关。 （2）“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。 3、简谐运动的定义的另一种表述：如果质点所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置,质点的运动就是简谐运动。即回复力满足 F= -kx的运动就是简谐运动。 4、判断物体是否做简谐运动的两种方法 （1）x-t图像为正弦曲线 （2）F-x满足 F=-kx的形式 （3）常用步骤：①找平衡位置；②找回复力；③找F=kx；④找方向关系。 【典例赏析】 [例1]　在光滑水平面上自由振动的弹簧振子，振子受力情况叙述正确的是（　　） A．振子受到的回复力是恒力 B．振子受重力、支持力、弹簧弹力和回复力 C．振子受到的回复力的大小与物体离开平衡位置的位移大小成正比 D．振子受到的回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同 【答案】C 【详解】AB．回复力是效果力，振子不受回复力，振子只受重力、支持力、弹簧弹力，故AB错误； CD．根据 可知，振子受到的回复力的大小与物体离开平衡位置的位移大小成正比，方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相反，故C正确，D错误。 故选C。 【针对训练】 1.关于简谐运动的回复力的含义，下列说法正确的是（　　） A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度 B．k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移 C．根据，可以认为k与F成正比 D．表达式中的“”号表示F始终阻碍物体的运动 【答案】B 【详解】A B．回复力是所有简谐运动都必须满足的关系式，其中F是回复力，k是回复力跟位移的比值（即公式中的比例关系），x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移，A错误，B正确； C．k是回复力跟位移的比值（即公式中的比例关系），与F无关，C错误； D．“”号表示F始终与物体位移方向相反，有时使物体加速，有时阻碍物体的运动，D错误。 故选B。 2.如图所示，质量为m的物体放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的最大压力是物重的1.5倍，则下列说法正确的是（　　） A．物体完成一个周期的简谐运动，重力的冲量为0 B．物体向下运动过程中，回复力一直增大 C．物体对弹簧的最小压力为mg D．要使物体在振动中不离开弹簧，振幅不能超过2A 【答案】D 【详解】A．根据I=mgT可知，物体完成一个周期的简谐运动，重力的冲量不为0，选项A错误； B．物体从最高点向最低点运动时，回复力先减小后增大，选项B错误； C．在最低点物体对弹簧的弹力最大，由牛顿第二定律得FN1-mg=ma；在最高点物体对弹簧的弹力最小，由简谐运动的对称性可知mg-FN2=ma；联立解得FN2=0.5mg；物体对弹簧的最小压力为0.5mg，选项C错误； D．物体在平衡位置下方处于超重状态，不可能离开弹簧，只有在平衡位置上方可能离开弹簧；要使物体在振动过程中恰好不离开弹簧，物体在最高点的加速度a=g；此时弹簧的弹力为零，若振幅再大，物体便会脱离弹簧；物体在最高点刚好不离开弹簧时，FN=0，此时木块运动到最高点mg=kA'；而FN1-mg=ma=kA 解得A'=2A；要使物体在振动中不离开弹簧，振幅不能超过2A，选项D正确。 故选D。 3.如图所示， 两物体组成弹簧振子，在振动过程中， 始终保持相对静止。图中能正确反映振动过程中 所受摩擦力 与振子的位移 关系的图像应为( ) A. B.C.D. 【答案】 【详解】 整体在水平方向只受到弹簧的弹力作用，因此，应做简谐运动，故 也应做简谐运动，即 的回复力也应满足 ，即选 。当然本题也可从整体法与隔离法的思想求出 受到的静摩擦力的表达式。在振动过程中 始终保持相对静止，可以把 看成整体。设 的质量为 ，弹簧的劲度系数为 ，则有 ，得 ， 受到的摩擦力 。 探究2 探究简谐运动的能量 【探究导入】 情境探究 在游乐场中，同学们喜欢玩弹簧跳床。当人站在跳床上下压时，弹簧被压缩，随后人被弹起，在最高点又下落，如此往复运动。这一过程中，人的速度时快时慢，弹簧的形变程度也在不断变化。这种来回往复的运动与弹簧振子的振动非常相似。 问题 1. 当小球从平衡位置向最大位移处运动时，它的速度和弹簧的形变量如何变化？ 提示：小球远离平衡位置时，弹簧形变量增大，弹力做负功，导致小球速度减小，因此动能减小，势能增大。 2.在小球运动过程中，动能和势能分别在什么位置达到最大或最小？ 提示： 当小球通过平衡位置时，速度最大，动能最大，此时弹簧无形变，势能为0；当小球到达最大位移处（P或Q点）时，速度为0，动能为0，弹簧形变量最大，势能最大。 3.小球在运动过程中，动能和势能之间是否存在转化关系？ 提示：小球运动过程中，动能和势能不断相互转化。远离平衡位置时，动能转化为势能；靠近平衡位置时，势能转化为动能。 4.在整个振动过程中，系统的总机械能是否保持不变？ 提示： 忽略摩擦和空气阻力时，系统只有弹力做功，弹力为保守力，因此机械能守恒，即任意时刻动能与势能之和保持不变。 【探究归纳】 简谐运动中，系统机械能守恒，动能与势能相互转化：平衡位置动能最大、势能为零，最大位移处势能最大、动能为零。能量由振幅决定（振幅越大能量越大），与周期无关，体现了振动过程中机械能守恒与转化的规律，是简谐运动稳定性的能量特征。 【典例赏析】 【例2】如图所示，质量为m的小球从与轻弹簧上端相距x处静止释放，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计一切阻力，则小球在向下运动的过程中（　　） A．最大加速度为g B．最大加速度小于g C．最大速度为 D．最大速度为 【答案】D 【详解】AB．小球接触弹簧后，借助简谐运动模型，若小球从弹簧原长处由静止释放，根据简谐运动的对称性可知，小球到达最低点时加速度最大，等于刚释放时的加速度大小g。现小球从轻弹簧上端相距x处静止释放，到达最低点时弹簧的压缩量增大，弹力增大，合力增大，最大加速度增大，则最大加速度大于g，故AB错误； CD．小球的加速度为零时，速度最大，则有kx0＝mg 小球从释放到速度最大处，根据小球和弹簧组成的系统机械能守恒得 mg（x+x0）x0 解得最大速度为v 故C错误，D正确。 故选D。 【例3】（多选）如图所示，把一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向A、B之间做简谐运动，平衡位置为O，下列结论正确的是（　　） A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小 B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大 C．小球从A经O到B的过程中，弹簧的弹力先做正功，后做负功 D．小球从A经O到B的过程中，小球的动能先减小后增加 【答案】AC 【详解】A．小球在平衡位置O时，速度最大，动能最大，位移为零，加速度为零，故A正确； B．小球在A、B位置时，速度为零，动能为零，位移最大，加速度最大，故B错误； C．小球从A经O到B的过程中，弹簧的弹力先做正功，后做负功，故C正确； D．小球从A经O到B的过程中，小球的动能一直增加，故D错误。 故选AC。 。 【针对训练】 4.右图为某个弹簧振子做简谐运动的图像，由图像可知(　　) A．由于在0.1 s末位移为零，所以振子的振动能量为零 B．在0.2 s末振子具有最大势能 C．在0.4 s末振子具有的势能尚未达到最大值 D．在0.4 s末振子的动能最大 【答案】B 【详解】简谐振动的能量是守恒的，故A、C错；0.2秒末、0.4秒末位移最大，动能为零，势能最大，故B对，D错。 5.弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中（　　） A．振子的位移逐渐增大 B．振子所受的弹力逐渐减小 C．振子的动能转化为弹性势能 D．振子的加速度逐渐增大 【答案】B 【详解】A．振子的位移是由平衡位置指向振子所在位置的有向线段，因而振子向平衡位置运动时位移逐渐减小，A项错误； B．而弹力与位移成正比，故弹簧的弹力减小，B项正确； C．振子向着平衡位置运动时，弹力与速度方向一致，故振子的速度逐渐增大，弹性势能转化为动能，C项错误； D．由胡克定律和牛顿第二定律知，振子的加速度也减小，D项错误； 故选B。 6.如图甲所示，劲度系数为k的轻弹簧下端挂一质量为的物体， 物体在竖直方向上做简谐运动，弹簧对物体的拉力F随时间变化如图乙所示，重力加速度为g。由此可以判定运动过程中（ ） A．弹簧的弹性势能和物体动能总和不变 B．物体的最大动能等于 C．物体的最大加速度为2倍的重力加速度 D．振幅为 【答案】B 【详解】A．由于弹簧与物体组成的系统机械能守恒，所以弹簧的弹性势能和物体的机械能（动能和重力势能之和）总和不变，故A错误； B．由题图乙可知，当弹簧处于原长时，物体位于最高点；当物体位于平衡位置时，动能达到最大值Ekm，此时弹簧的伸长量为 ① 由于弹力F与伸长量x的图像与x轴所围的面积表示弹力的功，所以物体从最高点运动到平衡位置的过程中，弹力对物体做的功为 ② 根据动能定理可得 ③；联立①②③解得 ；故B正确； C．当物体位于最低点时，所受合外力大小均达到最大，此时物体的加速度大小最大，为 故C错误； D．振幅为；故D错误。；故选B。 【课堂自测·基础练】 1．（多选）弹簧振子做简谐运动，其位移 与时间 的关系如图所示，则( ) A.在 时，速度最大，方向为负，加速度为零 B.在 时，速度最大，方向为负，加速度为零 C.在 时，速度最大，方向为正，加速度最大 D.在 时，速度最大，方向为正，加速度为零 【答案】 【详解】当 和 时，位移最大，加速度最大，速度为零，选项 错误；当 时，位移为零，加速度为零，而速度最大，速度方向要看该点切线斜率的正负， 时，速度为负值，选项 正确；当 时，位移最大，加速度最大，速度为零，选项 错误；当 时，位移为零，加速度为零，速度最大，方向为正，选项 正确。 2．如图甲所示,一弹簧振子在A、B间做简谐运动,O为平衡位置,图乙是弹簧振子做简谐运动时的位移—时间图像,则关于弹簧振子的加速度随时间的变化规律,下列四个图像正确的是(　　) 【答案】C 【详解】加速度与位移的关系为a=-,而x=Asinωt,所以a=-sinωt,则可知C选项正确。 3．如图所示,两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上,已知甲的质量大于乙的质量。当细线突然断开后,两物块都开始做简谐运动,在运动过程中(　　) A.甲的振幅大于乙的振幅 B.甲的振幅小于乙的振幅 C.甲的最大速度小于乙的最大速度 D.甲的最大速度大于乙的最大速度 【答案】C 【详解】当细线突然断开时,甲、乙两物块的速度为零,均位于简谐运动的最大位移处,此时两弹簧的弹力相等,由F=-kx可知,两物体离平衡位置的位移相等,即振幅相等,两弹簧振子的弹性势能相等,由此可知它们到平衡位置的动能相等。由Ek=mv2,m甲>m乙可知,v甲<v乙,故A、B、D错误,C正确。 4．(多选)右图为某一质点的振动图像,由图可知,在t1和t2两时刻|x1|>|x2|,质点速度v1、v2与加速度a1、a2的关系为(　　) A.v1<v2,方向相同 B.v1<v2,方向相反 C.a1>a2,方向相同 D.a1>a2,方向相反 【答案】AD 【解析】v1、v2均沿-x方向,t1时刻,质点离平衡位置较远,速度较小,v1<v2,A对,B错;由于质点的加速度a=-x,|x1|>|x2|,x1与x2方向相反,故a1>a2,且a1、a2方向相反,C错,D对 5．如图所示，弹簧振子在光滑的水平杆上做简谐运动，、是最大位移处，是平衡位置。下列说法中正确的是（　　） A．振子在、两点处加速度相同 B．振子由向运动时，加速度方向与速度方向相同 C．振子由向运动时，速度和加速度越来越大 D．振子由向运动时，回复力与加速度方向相反 【答案】B 【详解】A．振子在、两点处回复力大小相同，加速度大小相同，方向相反，故A错误； B．振子由向运动时，加速度方向与速度方向相同，方向均向右，故B正确； C．振子由向运动时，速度越来越小，加速度越来越大，故C错误； D．振子由向运动时，回复力与加速度方向相同，方向均向右，故D错误。 故选B。 6．如图所示，一质量为M的木质框架放在水平桌面上，框架上悬挂一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下端拴接两个质量均为m的铁球（铁球离框架下端足够远，两球间用轻杆相连）系统处于静止状态。用手向下拉一小段距离后释放铁球，两铁球便上下做简谐运动，框架保持静止，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．铁球在振动的过程中，速度相同时，弹簧的弹性势能也相同 B．若两铁球在最低点时，AB之间断开，则A球继续做简谐振动，振幅不变 C．铁球从最低点向平衡位置运动的过程中，回复力的功率一直增大 D．在框架不会离开桌面的前提下，则两铁球的振幅最大是 【答案】D 【详解】A．在关于平衡位置对称的两侧，振子的速度相同时，弹簧的弹性势能不同，故A错误； B．若两铁球在最低点时，AB之间断开，则A球继续做简谐振动，由于在最低点时弹簧的弹性势能一定，则总能量不变，则小球的振幅要改变，选项B错误； C．铁球从最低点向平衡位置运动的过程中，回复力减小直到为零，速度从零开始增加，由；可得回复力的功率先增加后减小，故C错误； D．若要保证木质框架不会离开桌面，则框架对桌面的最小压力恰好等于0，以框架为研究对象，弹簧对框架向上的作用力等于框架重力Mg，则轻弹簧处于压缩状态，弹簧的弹力；压缩量为 小铁球处于平衡位置时，弹簧处于伸长状态，伸长量为；所以铁球的振幅为；故D正确。 故选D。 7．一个水平弹簧振子的振动图像如图所示，已知小球质量为，弹簧的劲度系数为，下列说法正确的是（　　） A．小球位移随时间变化的关系式为 B．在第末到第末这段时间内，小球的动能在减少、弹性势能在增加 C．小球的最大加速度为 D．该小球在内的位移为，路程为 【答案】D 【详解】A．由图可知弹簧振子的振动周期为4s，可得小球位移随时间变化的关系式为；A错误； B．在第末到第末这段时间内，小球从最大位移处回到平衡位置，故小球的动能在增加、弹性势能在减少，B错误； C．当小球运动到最大位移处时，弹力最大，加速度最大，据牛顿第二定律可得；解得小球的最大加速度为；C错误； D．50s时间相当于，每个周期的路程为4A，故该小球在内的路程为 小球从平衡位置出发，后又恰好回到平衡位置，故位移为0，D正确。 故选D。 8．如图甲所示，一弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端连接一小球静止于光滑水平地面上O点处。若把小球拉至A点后由静止释放，则小球在A、B之间做简谐运动，以水平向右方向为正方向，小球的振动图像如图乙所示，则下列说法中正确的是（　　） A．A、B之间的距离为 B．时刻小球位于B点，且此时小球的加速度最大 C．在时间内，小球运动的速度逐渐减小，所受的弹簧弹力逐渐增大 D．在时间内，小球运动的路程为，位移为零 【答案】B 【详解】A．由乙图可知，A、B之间的距离为12cm。故A错误； B．由乙图可知，时刻小球位于负的最大位移处，故位于B点，弹簧压缩量最大加速度最大。故B正确； C．在时间内，小球由A点向平衡位置运动，速度逐渐增大，所受的弹簧弹力逐渐减小，故C错误； D．小球由O点向B点运动为加速，由B点向O点运动为减速，所以在时间内，小球路程小于一个振幅6cm，由简谐运动的对称性可知，位移为零。故D错误。 故选B。 9．如左图所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，右图为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（　　） A．在时，弹簧振子的加速度为正向最大 B．在与两个时刻，弹簧振子的速度相同 C．从到时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动 D．在时，弹簧振子有最小的位移 【答案】C 【详解】A．在时，弹簧振子的位移为正向最大，根据可知，加速度为负向最大。故A错误； B．因为图像中，某点的切线斜率表示该时刻振子的速度，所以在与两个时刻，弹簧振子的速度大小相等，方向相反。故B错误； C．根据前面选项的分析，同理可知，从到时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动。故C正确； D．在时，弹簧振子有负方向的最大位移。故D错误。 故选C。 10．如图所示，图甲为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为该弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是 （　　） A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 B．时，弹簧振子的位移为 C．从到的时间内，弹簧振子的动能持续地增加 D．在与两个时刻，弹簧振子的回复力不相同 【答案】D 【详解】A．回复力是效果力，由弹簧弹力充当，A错误； B．弹簧振子位移随时间不是均匀变化，B错误； C．到的时间内，弹簧振子远离平衡位置，速度减小，动能减小，C错误； D．与两个时刻，位移大小相等，方向相反，所以回复力的大小相等，方向相反，即回复力不相同，D正确。 故选D。 11．劲度系数为20N/cm的水平方向弹簧振子的振动图象如图所示，在图中A点对应的时刻（　　） A．振子的速度方向为x轴正方向 B．在0～4s内振子通过的路程为0.35cm，位移为0 C．在0～4s内振子做了1.75次全振动 D．振子所受的弹力大小为0.5N，方向指向x轴负方向 【答案】A 【详解】A．在A点的后一个时刻，位置坐标变大，故振子的速度方向为x轴正方向，故A正确； B．由图可知，周期为2s，振幅为0.5cm，所以在0～4s内振子通过的路程为4cm，位移为0，故B错误； C．因为周期为2s，所以完成了2次全振动，故C错误； D．根据胡克定律；所以；方向指向x轴负方向，故D错误； 故选A。 12．如图所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动。以平衡位置O为坐标原点，建立Ox轴，规定向右为正方向，其简谐运动的周期T=0.8s，OM=ON=10cm。当t=0时刻，将小球由N点静止释放。关于小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．简谐运动的表达式为x=0.1sin（2.5πt）m B．每次通过同一位置时，速度一定相同 C．从M经O到N的过程中，弹簧振子系统的机械能先增加再减小 D．从N到O的过程中，弹簧的弹性势能转化为小球的动能 【答案】D 【详解】A．由题目可知A=0.1m，T=0.8s，则；因为当t=0时刻，将小球由N点静止释放，所以简谐运动的表达式为；故A错误； B．每次通过同一位置时，速度大小相同，但是方向不一定相同，故B错误； C．从M经O到N的过程中，弹簧振子系统的机械能不变，故C错误； D．从N到O的过程中，弹簧的弹性势能减小，转化为小球的动能，故D正确。 故选D。 13．如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图像。已知甲、乙两个振子质量相等。则（　　） A．甲、乙两振子的振幅之比为1:2 B．甲、乙两振子的频率之比为1:2 C．前2s内甲、乙两振子的加速度均为正值 D．0~8s时间内甲、乙两振子通过的路程之比为4:1 【答案】D 【详解】A．根据甲、乙两个振子做简谐运动的图像可知，两振子的振幅，，甲、乙两振子的振幅之比为，A错误； B．甲振子的周期为4s，频率为，乙振子的周期为8s，频率为，甲、乙两振子的频率之比为，B错误； C．前2s内，根据简谐运动的特征；甲的位移为正，加速度为负值，乙的位移为负，加速度为正值，C错误； D．这段时间内，甲振子运动了两个周期，通过的路程为；乙振子运动了一个周期，通过的路程为；所以路程之比为，故D正确。 故选D。 14．理论表明：弹簧振子的振动周期，总机械能与振幅A的平方成正比，即，k为弹簧的劲度系数，m为振子的质量。如图，一劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端连接着质量为m的物块，物块在光滑水平面上往复运动。当物块运动到最大位移为A的时刻，把另一质量也为m的物块轻放在其上，两个物块始终一起振动。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。放上质量也为m的物块后，下列说法正确的是（　　） A．物块振动周期变为原来的2倍 B．两物块之间的动摩擦因数至少为 C．物块经过平衡位置时速度为 D．系统的振幅减小 【答案】B 【详解】A．根据周期公式；可知，当把另一质量也为m的物块轻放在其上后，质量为原来2倍，周期为原来倍，A错误； B．两物块一起振动，加速度相同，系统的最大加速度为；而放在上面的物块的最大加速度由两者间的最大静摩擦力提供，可得；立可得；B正确； C．经过平衡位置时，机械能全部为动能，即解得物块经过平衡位置时速度为；C错误； D．弹簧振子的总机械能在放上另一物块后并未发生变化，振动过程中系统机械能守恒，而弹簧振子的总机械能与振幅的平方成正比，故振幅不变，D错误。 故选B。 【素养进阶·提升练】 1．（2025·江苏·高考真题）如图所示，弹簧一端固定，另一端与光滑水平面上的木箱相连，箱内放置一小物块，物块与木箱之间有摩擦。压缩弹簧并由静止释放，释放后物块在木箱上有滑动，滑动过程中不与木箱前后壁发生碰撞，不计空气阻力，则（    ） A．释放瞬间，物块加速度为零 B．物块和木箱最终仍有相对运动 C．木箱第一次到达最右端时，物块速度为零 D．物块和木箱的速度第一次相同前，物块受到的摩擦力不变 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，释放时，物块与木箱发生相对滑动，且有摩擦力，根据牛顿第二定律可知释放时物块加速度不为0，故A错误； B．由于物块与木箱间有摩擦力且发生相对滑动，所以弹簧的弹性势能会减少，直到弹簧的最大弹力满足以下分析的：设物块与木箱之间的最大静摩擦力为，物块质量为，对物块根据牛顿第二定律 设木箱质量为，对物块与木箱整体，根据牛顿第二定律 可得 即弹簧的最大弹力减小到后，二者一起做简谐运动，故B错误； C．根据AB选项分析可知只有当二者一起做简谐运动前，有相对滑动，木箱第一次到达最右端时，物块速度不为零，故C错误； D．开始滑块的加速度向右，物块与滑块第一次共速前，物块相对滑块向左运动，受到向右的摩擦力，共速前二者有相对滑动，摩擦力恒为二者之间的滑动摩擦力，保持不变，故D正确。 故选D。 2．（2024·辽宁·高考真题）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为和，地球半径是该天体半径的n倍。的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设地球表面的重力加速度为，某球体天体表面的重力加速度为，弹簧的劲度系数为，根据简谐运动的对称性有 可得 可得 设某球体天体的半径为，在星球表面，有 联立可得 故选C。 3．（2024·贵州·高考真题）（多选）如图，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性良好。对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在时由静止释放，小球的运动可视为简谐运动，周期为T。规定竖直向上为正方向，则小球在时刻（　　）    A．位移最大，方向为正 B．速度最大，方向为正 C．加速度最大，方向为负 D．受到的回复力大小为零 【答案】AC 【详解】对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在时由静止释放，可知此时小球位于最低点，且小球的运动可视为简谐运动，周期为T。则小球在时刻处于最高点位置，此时位移最大，方向向上（正方向）；小球受到的回复力最大，方向向下，则小球的加速度最大，方向向下（负方向）；此时小球的速度为0。 故选AC。 4．（2025·湖北·高考真题）（多选）质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后（　　） A．小球a可能会运动 B．若小球b做简谐运动，则其振幅为 C．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动     D．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动 【答案】AD 【详解】B．如果A球不动而B球单独振动则B球做简谐振动，简谐振动的平衡位置合力为零，即B球初始时刻位置，则可知B的振幅为，B错误； ACD．A球发生运动的临界条件为弹簧对A球向上的弹力大于A球的重力，则此时对A球有 对B球有此时加速度 由简谐振动的对称性可得向下拉到最低点松手释放的加速度也为，则有 解得 即，否则A球会发生运动，AD正确，C错误。 故选AD。 5．（2024·湖北·高考真题）某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。 具体步骤如下： ①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图（a）所示。 ②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。 ③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。 ④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。 ⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。 该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。 (1)由步骤④，可知振动周期 。 (2)设弹簧的原长为，则l与g、、T的关系式为 。 (3)由实验数据作出的图线如图（b）所示，可得 （保留三位有效数字，取9.87）。 (4)本实验的误差来源包括_____（双选，填标号）。 A．空气阻力 B．弹簧质量不为零 C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置 【答案】(1) (2) (3) (4)AB 【详解】（1）30次全振动所用时间t，则振动周期 （2）弹簧振子的振动周期 可得振子的质量 振子平衡时，根据平衡条件 可得 则l与g、、T的关系式为 （3）根据整理可得 则图像斜率 解得 （4）A．空气阻力的存在会影响弹簧振子的振动周期，是实验的误差来源之一，故A正确； B．根据弹簧振子周期公式可知，振子的质量影响振子的周期，通过光电门测量出的周期为振子考虑弹簧质量的真实周期，而根据（3）问求出的的关系是不考虑弹簧质量的关系式子，二者的中的是不相等的，所以弹簧质量不为零是误差来源之一，故B正确； C．利用光电门与数字计时器的组合测量周期的原理：根据简谐运动的规律可知，只要从开始计时起，振子的速度第二次与开始计时的速度相等即为一个周期，与是否在平衡位置无关，故C错误。 故选AB。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $