河南省填空题（3-2）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学名校模拟优选好题

**基本信息** 聚焦中考高频填空考点，以题组形式系统覆盖数与式、函数、几何变换等21个核心模块，突出知识应用与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |估算无理数|1题|概念辨析|从数系扩充到无理数估值| |实数运算|1题|新定义运算|运算规则迁移与方程应用| |规律型问题|3题|数字/图形/坐标规律|从特殊到一般的归纳推理| |几何性质|8题|矩形/正方形/圆性质|性质推导与综合应用| |图形变换|7题|翻折/旋转/相似|变换性质与动态几何逻辑| |统计|1题|用样本估计总体|数据处理与统计推断|

河南省填空题（3-2）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学名校模拟优选好题 一．估算无理数的大小（共1小题） 1．（2026•鹿邑县模拟）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．大于的最小正整数为　 　 ． 二．实数的运算（共1小题） 2．（2026•通许县一模）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是 　 　 ． 三．代数式求值（共1小题） 3．（2026•永城市一模）若a2+a+1＝0，则代数式2a2+2a+2026的值为　 　 ． 四．规律型：数字的变化类（共1小题） 4．（2026•召陵区模拟）观察下列一组代数式，…，根据该组代数式的排列规律，可推断出第n（n为正整数）个代数式是　 　 ． 五．规律型：图形的变化类（共1小题） 5．（2025•陕西）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，…则第10个图案需要用矩形的个数为 　 　 ． 六．二次根式的性质与化简（共1小题） 6．（2026•息县二模）用一个x的值说明“”是错误的，则x的值可以是 　 　 ． 七．规律型：点的坐标（共1小题） 7．（2026•宝丰县一模）如图，△AOB是等腰直角三角形，斜边长是1，把△AOB绕点B顺时针旋转180°，得到△A1O1B1，把△A1O1B1绕点O1顺时针旋转180°，得到△A2O2B2，把△A2O2B2绕点B2顺时针旋转180°，得到△A3O3B3，…，依次类推，这样连续旋转2025次，则点A2025的坐标是　 　 ． 八．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 8．（2026•息县二模）如图，直线y＝x﹣1与坐标轴交于A，P两点，过点A作AB⊥AP交y轴于点B，以AB为边在AB右侧作正方形ABCD，复制正方形ABCD并沿着直线y＝x﹣1向上平移，使得一边重合，得到正方形CDD1C1，继续复制正方形CDD1C1，并沿着直线y＝x﹣1向上平移，使得一边重合，得到正方形C1D1D2C2，…，依此类推，复制平移2025次后，顶点C2025的坐标为　 　 ． 九．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） 9．（2026•南召县一模）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数的图象分别交于A（﹣1，4）、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，绕点C逆时针旋转线段CA，使点A落在x轴上的点E处，连接OB．则图中阴影部分的面积为　 　 ． 十．三角形中位线定理（共1小题） 10．（2026•南阳模拟）如图，点E是△ABC内一点，∠AEC＝90°，AE平分∠BAC，D是边BC的中点．若AC＝3，DE＝2，则边AB的长　 　 ． 十一．矩形的性质（共1小题） 11．（2025•贵州）如图，在矩形ABCD中，点E，F，M分别在AB，DC，AD边上，BE＝2CF，FM分别交对角线BD、线段DE于点G，H，且H是DE的中点．若CF＝2，∠ABD＝30°，则HG的长为 　 　 ． 十二．正方形的性质（共1小题） 12．（2026•永城市一模）如图，在正方形ABCD中，E为边AD上一点（不与端点重合），连接EC，以点E为直角顶点在EC左侧作等腰直角三角形EFC，其中EF交AB于点M，CF交AB于点N．若CD＝3，E为线段AD的三等分点，则MN的长为 　 　 ． 十三．垂径定理（共1小题） 13．（2026•金水区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆分别与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，线段CF⊥AE于点F，线段FG长度的最小值为　 　 ，最大值为　 　 ． 十四．圆周角定理（共1小题） 14．（2026•召陵区模拟）如图，⊙O的半径为1，点A为⊙O上一点，点P为⊙O外一点，线段OP与⊙O交于点B，过点B作CB⊥OB，点C在线段PA上，且CB＝CA．若，则劣弧所对的圆周角的正切值为　 　 ． 十五．切线的性质（共1小题） 15．（2026•平桥区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙O与AB，BC都相切，且经过矩形ABCD的顶点D，与CD相交于点E．点A的坐标是（﹣5，3），则点E的坐标是　 　 ． 十六．正多边形和圆（共2小题） 16．（2025•资阳）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，连接AC，AE，以点D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是　 　 ． 17．（2026•金水区校级二模）如图，这是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图．若镜头（⊙O）的直径为8cm，通光直径（正六边形最长的对角线长）为4cm，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为　 　 cm2． 十七．扇形面积的计算（共4小题） 18．（2026•通许县一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得△CDE，则图中线段AB扫过的阴影部分的面积为　 　 ． 19．（2022•辉县市二模）如图，在▱ABCD中，AB＝4cm，，∠ABC＝135°，将▱ABCD绕点A逆时针旋转一定的角度，使点B的对应点B'恰好落在CD边上，则边BC扫过的面积（图中阴影部分）是 　 　 cm2． 20．（2026•安阳模拟）如图，半径为2的圆周上有六个等分点A，B，C，D，E，F，分别以点B，D，F为圆心，2为半径画弧，则阴影部分的面积为　 　 ． 21．（2026•泌阳县二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 十八．翻折变换（折叠问题）（共4小题） 22．（2026•通许县一模）如图，在△ABC中，将△ABC折叠，使点A与点C重合，点D为折痕所在直线上一点，若，BC＝4，∠ACD＝45°，线段BD的长为　 　 ． 23．（2026•河南模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形OABC，折叠后，点B落在平面内的点B′处，则点B′的坐标为 　 　 ． 24．（2026•平桥区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点M是边CD的中点，点N是BC边上一个动点，连接AM、MN．将△AMN沿MN折叠，点A的对应点为点A′，当△A′MN为直角三角形时，BN的长为　 　 ． 25．（2026•安阳模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点D是边AB上一动点，将△ACD沿CD折叠，点A落在A′处，当△A′BC是等腰三角形时，点A′到BC的距离为　 　 ． 十九．旋转的性质（共3小题） 26．（2026•河南模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，BC＝6，E为边BC的中点，M为平面内一点，且M，E之间的距离为1，连接AM，将线段AM以点A为中心逆时针旋转90°，得到线段AN，连接EN．若AB⊥AC，则EN的最小值为　 　 ，最大值为　 　 ． 27．（2026•许昌一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点D在射线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转45°得到线段AE，过点E作EF∥BC，交AB于点F．若EF＝2，则BD的长为　 　 ． 28．（2026•泌阳县二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将线段CA绕点C顺时针旋转a°（0＜a＜180）得到CD，过点B作射线AD的垂线，垂足为点E，连接CE，AD＝3DE，则的值为 　 　 ． 二十．相似三角形的判定（共1小题） 29．（2026•召陵区模拟）定义：有两个相似的直角三角形，若其中一个直角三角形的两个锐角的顶点分别在另一个直角三角形的直角顶点和斜边上，则称这样的两个直角三角形为“嵌套相似直角三角形”．如图，Rt△ABC和Rt△DEF是“嵌套相似直角三角形”，点D在边AB上，点E与点C重合，点F在DE的右侧，∠DFE＝∠ACB＝90°，且DE＝BC＝3，AB＝5，连接BF，将Rt△DEF绕点D旋转，当EF在AB的下方且EF∥AB时，BF的长为　 　 ． 二十一．用样本估计总体（共1小题） 30．（2025•北京）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（BMI）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的BMI数据（单位：kg/m2），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 BMI ≤15.4 15.5～22.1 22.2～24.9 ≥25.0 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是　 　 ． 河南省填空题（3-2）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学名校模拟优选好题 参考答案与试题解析 一．估算无理数的大小（共1小题） 1．（2026•鹿邑县模拟）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．大于的最小正整数为　2　 ． 【解答】解：由题知， 因为1＜2＜4， 所以， 所以大于的最小正整数为2． 故答案为：2． 二．实数的运算（共1小题） 2．（2026•通许县一模）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是 k且k≠0　 ． 【解答】解：由题中的新定义化简得：k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0， 整理得：kx2+（5﹣2k）x+k＝0， ∵方程有两个实数根， ∴k≠0，b2﹣4ac＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0， 解得：k且k≠0． 故答案为：k且k≠0． 三．代数式求值（共1小题） 3．（2026•永城市一模）若a2+a+1＝0，则代数式2a2+2a+2026的值为　2024　 ． 【解答】解：∵a2+a+1＝0， ∴a2+a＝﹣1， ∴2a2+2a+2026 ＝2（a2+a）+2026 ＝2×（﹣1）+2026， ＝﹣2+2026 ＝2024， 故答案为：2024． 四．规律型：数字的变化类（共1小题） 4．（2026•召陵区模拟）观察下列一组代数式，…，根据该组代数式的排列规律，可推断出第n（n为正整数）个代数式是　　 ． 【解答】解：观察这组代数式的分母部分，依次为3，5，7，9，11，…，是连续奇数， 因此第n个代数式的分母为2n+1， 观察这组代数式的分子部分，依次为x，x2，x3，x4，x5，…， 因此第n个代数式的分子为xn， 因此第n个代数式是． 故答案为：． 五．规律型：图形的变化类（共1小题） 5．（2025•陕西）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，…则第10个图案需要用矩形的个数为 　21　 ． 【解答】解：观察图形可知，第1个图案用了3个矩形，即3＝2×1+1， 第2个图案用了5个矩形，即5＝2×2+1， 第3个图案用了7个矩形，即7＝2×3+1， … 第n个图案用了（2n+1）个矩形， ∴第10个图案需要用矩形的个数为2×10+1＝21（个）， 故答案为：21． 六．二次根式的性质与化简（共1小题） 6．（2026•息县二模）用一个x的值说明“”是错误的，则x的值可以是 　﹣2（答案不唯一）　 ． 【解答】解：∵“”是错误的， ∴x的值可以是﹣2（答案不唯一）． 故答案为：﹣2（答案不唯一）． 七．规律型：点的坐标（共1小题） 7．（2026•宝丰县一模）如图，△AOB是等腰直角三角形，斜边长是1，把△AOB绕点B顺时针旋转180°，得到△A1O1B1，把△A1O1B1绕点O1顺时针旋转180°，得到△A2O2B2，把△A2O2B2绕点B2顺时针旋转180°，得到△A3O3B3，…，依次类推，这样连续旋转2025次，则点A2025的坐标是　　 ． 【解答】解：∵∠AOB＝90°，△AOB是等腰直角三角形， ∴OA＝OB， ∴， ∴， ∴， ∵把△AOB绕点B顺时针旋转180°，得到△A1O1B1， ∴点O，O1关于点B对称，点A，A1关于点B对称， ∴； ∵把△A1O1B1绕点O1顺时针旋转180°，得到△A2O2B2， ∴点A1，A2关于点O1对称，点B1，B2关于点O1对称， ∴， 同理可得点A3的坐标是，点A4的坐标是，点A5的坐标是， ……， 以此类推，可知每2次旋转为一个循环，每个循环内横坐标增加，纵坐标不变， ∵2025÷2＝1012…1， ∴点A2025的纵坐标为，横坐标为， 即这样连续旋转2025次，点A2025的坐标为． 故答案为：． 八．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 8．（2026•息县二模）如图，直线y＝x﹣1与坐标轴交于A，P两点，过点A作AB⊥AP交y轴于点B，以AB为边在AB右侧作正方形ABCD，复制正方形ABCD并沿着直线y＝x﹣1向上平移，使得一边重合，得到正方形CDD1C1，继续复制正方形CDD1C1，并沿着直线y＝x﹣1向上平移，使得一边重合，得到正方形C1D1D2C2，…，依此类推，复制平移2025次后，顶点C2025的坐标为　（2026，2027）　 ． 【解答】解：由条件可得A（1，0），P（0，﹣1）， ∴OA＝OP＝1， ∴∠OAP＝45°， ∵AB⊥AP，即∠BAP＝90°， ∴∠OAB＝45°， ∴△OAB是等腰直角三角形， ∴OB＝OA＝1，∠OBA＝45°， 由条件可， ∴∠DBC＝45°， 如图所示，过点C作CD⊥y轴于D，则△BCD是等腰直角三角形， ∴， ∴OD＝OB+BD＝2， ∴C（1，2）， 同理可得C1（2，3），C2（3，4）， ……， 以此类推可得，C2025（2026，2027）， 故答案为：（2026，2027）． 九．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） 9．（2026•南召县一模）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数的图象分别交于A（﹣1，4）、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，绕点C逆时针旋转线段CA，使点A落在x轴上的点E处，连接OB．则图中阴影部分的面积为　4π﹣3　 ． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（﹣1，4）， ∴m＝﹣1×4＝﹣4， ∴反比例函数的表达式为y， 令﹣x+3， 解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴点B的坐标为（4，﹣1）， 对于y1＝﹣x+3， 当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝3， ∴OC＝OD＝3， ∴∠DCO＝45°， 如图，过点A作AP⊥x轴于点P． ∵点A（﹣1，4）， ∴OP＝1，AP＝4， ∴CP＝OP+OC＝4， 在Rt△ACP中，AC4， ∴S△CODOC•OD3×3，S△BOCOC•|yB|3×1， S扇形ACE4π， ∴S阴影＝S扇形ACE﹣S△COD+S△BOC＝4π4π﹣3． 故答案为：4π﹣3． 十．三角形中位线定理（共1小题） 10．（2026•南阳模拟）如图，点E是△ABC内一点，∠AEC＝90°，AE平分∠BAC，D是边BC的中点．若AC＝3，DE＝2，则边AB的长　7　 ． 【解答】解：延长CE交AB于点F， ∵∠AEC＝90°， ∴∠AEF＝∠AEC＝90°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠EAF． ∴90°﹣∠EAF＝90°﹣∠CAE， 即∠ACE＝∠AFE， ∴AC＝AF＝3， ∴点E是CF的中点． ∵点D是BC的中点， ∴DE是△BCF的中位线， ∴， ∴BF＝2DE＝4， ∴AB＝AF+BF＝3+4＝7， 故答案为：7． 十一．矩形的性质（共1小题） 11．（2025•贵州）如图，在矩形ABCD中，点E，F，M分别在AB，DC，AD边上，BE＝2CF，FM分别交对角线BD、线段DE于点G，H，且H是DE的中点．若CF＝2，∠ABD＝30°，则HG的长为 　　 ． 【解答】解：如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q， ∵BE＝2CF，CF＝2， ∴BE＝4， ∵矩形ABCD， ∴AN＝CN＝BN＝DN，AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BAC＝30°，∠BAC＝∠NCF＝30°， ∵H是DE的中点， ∴HN是△BDE的中位线， ∴HN∥BE，， ∴∠ABD＝∠HNQ＝30°， ∴， ∵HN∥AB，AB∥CD， ∴HN∥CF， ∵HN＝CF＝2， ∴四边形HFCN是平行四边形， ∴∠NCF＝∠NHG＝30°，而HQ⊥BD，∠HNQ＝30°， ∴∠HGQ＝60°， ∴∠GHQ＝30°， ∴， ∴， 故答案为：． 十二．正方形的性质（共1小题） 12．（2026•永城市一模）如图，在正方形ABCD中，E为边AD上一点（不与端点重合），连接EC，以点E为直角顶点在EC左侧作等腰直角三角形EFC，其中EF交AB于点M，CF交AB于点N．若CD＝3，E为线段AD的三等分点，则MN的长为 　或　 ． 【解答】解：过点F作PQ∥AB交DA的延长线于点P，交CB的延长线于点Q，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，且CD＝3， ∴AB＝AD＝BC＝DC＝3，∠BAD＝∠BAP＝∠ABC＝∠D＝90°， ∵PQ∥AB， ∴∠P＝∠BAD＝90°，∠Q＝∠ABC＝90°， ∴∠P＝∠Q＝∠BAP＝90°， ∴四边形ABQP是矩形， ∴PQ＝AB＝3， ∵△EFC是以点E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴∠FEC＝90°，FE＝CE， 在△EFP中，∠P＝90°， ∴∠PEF+∠PFE＝90°， 又∵∠PEF+∠DEC＝180°﹣∠FEC＝90°， ∴∠PFE＝∠DEC， 在△PFE和△DEC中， ， ∴△PFE≌△DEC（AAS）， ∴PF＝DE，PE＝DC＝3， ∵点E为线段AD的三等分点， ∴有以下两种情况： ①当AEAD＝1时， ∴DE＝AD﹣AE＝3﹣1＝2， ∴PF＝DE＝2， ∴QF＝PQ﹣PF＝3﹣2＝1，AP＝PE﹣AE＝3﹣1＝2， ∴QB＝PA＝2， ∴QC＝BC+QB＝3+2＝5， ∵PQ∥AB， ∴△EAM∽△EPF，△CBN∽△CQF， ∴，， ∴，， ∴AM，BN， ∴MN＝AB﹣AM﹣BN； ②当DEAD＝1时， ∴AE＝AD﹣DE＝3﹣1＝2， ∴PF＝DE＝1， ∴FQ＝PQ﹣PF＝3﹣1＝2，AP＝BQ＝PE﹣AE＝3﹣2＝1， ∴QC＝BC+QB＝3+1＝4， 同①证明：△EAM∽△EPF，△CBN∽△CQF， ∴，， ∴，， ∴AM，BN， ∴MN＝AB﹣AM﹣BN， 综上所述：MN的长为或． 十三．垂径定理（共1小题） 13．（2026•金水区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆分别与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，线段CF⊥AE于点F，线段FG长度的最小值为　22　 ，最大值为　22　 ． 【解答】解：过G作GM⊥AC于M，连接AG，如图所示： ∵GO⊥AB， ∴OA＝OB， ∵G（0，2）， ∴OG＝2， 在Rt△AGO中，AG＝4，OG＝2， ∴AG＝2OG，OA2， ∴∠GAO＝30°，AB＝2OA＝4， ∴∠AGO＝60°， ∵GC＝GA＝4， ∴∠GCA＝∠GAC， ∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC， ∴∠GCA＝∠GAC＝30°， ∴AC＝2OA＝4，MGCG＝2， ∵∠AFC＝90°， ∴点F在以AC为直径的⊙M上， 当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣MG＝22， 当点F′在GM的延长线上时，F′G的长最大，最大值＝F′M+MG＝22， 故答案为：；． 十四．圆周角定理（共1小题） 14．（2026•召陵区模拟）如图，⊙O的半径为1，点A为⊙O上一点，点P为⊙O外一点，线段OP与⊙O交于点B，过点B作CB⊥OB，点C在线段PA上，且CB＝CA．若，则劣弧所对的圆周角的正切值为　　 ． 【解答】解：连接OA，OC，反向延长OA交圆于D，连接DB，如图， ∵CB⊥OB， ∴∠CBO＝90°， ∵CB＝CA，OB＝OA，CO＝CO， ∴△CBO≌△CAO（SSS）， ∴∠CBO＝∠CAO＝90°，， ∵， ∴∠D＝∠COB， ∵OA＝1，， ∴OP＝3，， ∴BP＝2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧所对的圆周角的正切值为． 故答案为：． 十五．切线的性质（共1小题） 15．（2026•平桥区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙O与AB，BC都相切，且经过矩形ABCD的顶点D，与CD相交于点E．点A的坐标是（﹣5，3），则点E的坐标是　（4，﹣3）　 ． 【解答】解：如图，半径为5的⊙O与AB，BC都相切，且经过矩形ABCD的顶点D，与CD相交于点E．连接OD、OE， ∴AB⊥x轴． 设AB交x轴于点M，DC交x轴于点N， ∵点A的坐标是（﹣5，3）， ∴AM＝3＝DN，OD＝OM＝5， 在Rt△ODN中，由勾股定理得：． 在Rt△OEN中，OE＝5，ON＝4， 由勾股定理得：． ∴E（4，﹣3）， 故答案为：（4，﹣3）． 十六．正多边形和圆（共2小题） 16．（2025•资阳）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，连接AC，AE，以点D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是　4　 ． 【解答】解：如图，连接AD， ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴∠B＝∠BCD＝∠CDE＝120°，BC＝CD＝DE＝AB＝2， ∴∠BCA＝30°，∠CDA＝∠EDA＝60°， ∴∠ACD＝90°， ∴AC＝CD•tan∠CDA＝2， 则S阴影部分＝2S△ACD﹣S扇形CDE＝22×24， 故答案为：4． 17．（2026•金水区校级二模）如图，这是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图．若镜头（⊙O）的直径为8cm，通光直径（正六边形最长的对角线长）为4cm，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为　　 cm2． 【解答】解：镜头（⊙O）的直径为8cm，通光直径（正六边形最长的对角线长）为4cm，如图，连接MQ，PN，过点O作OH⊥MN于点H， ∵六边形MNTQPG是正六边形， ∴OM＝ON＝2cm，，MQ＝PN＝4cm， △MON是等边三角形， ∴MN＝2cm， ∵OH⊥MN， ∴MH＝NH＝1cm， ∴， ∴， ∴， ∵⊙O的直径为8cm， ∴， ∴， 故答案为：． 十七．扇形面积的计算（共4小题） 18．（2026•通许县一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得△CDE，则图中线段AB扫过的阴影部分的面积为　　 ． 【解答】解：作AF⊥BC于F， ∵∠ABC＝45°， ∴AF＝BFAB， 在Rt△AFC中，∠ACB＝30°， ∴AC＝2AF＝2，FC， 由旋转的性质可知，S△ABC＝S△EDC， ∴图中线段AB扫过的阴影部分的面积＝扇形DCB的面积+△EDC的面积﹣△ABC的面积﹣扇形ACE的面积 ＝扇形DCB的面积﹣扇形ACE的面积 ， 故答案为：． 19．（2022•辉县市二模）如图，在▱ABCD中，AB＝4cm，，∠ABC＝135°，将▱ABCD绕点A逆时针旋转一定的角度，使点B的对应点B'恰好落在CD边上，则边BC扫过的面积（图中阴影部分）是 　2π　 cm2． 【解答】解：如图，连接AC，AC′，过C点作CE⊥AB交AB的延长线于E，过B′点作B′F⊥AB交AB于F， ∵∠ABC＝135°， ∴∠CBE＝45°， ∵， ∴CE＝BE＝2cm， ∴B′F＝2cm，AC2（cm）， ∵▱A′BC′D′是由▱ABCD绕点B旋转得到的，AB＝4cm， ∴∠BAB′＝∠CAC′＝30°， ∴阴影部分的面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ABB′ ＝2π（cm2）． 故答案为：2π． 20．（2026•安阳模拟）如图，半径为2的圆周上有六个等分点A，B，C，D，E，F，分别以点B，D，F为圆心，2为半径画弧，则阴影部分的面积为　　 ． 【解答】解：如图，连接OA、OB、AB，作OH⊥AB于H， 由条件可知， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OB＝2，∠ABO＝60°， ∴∠HOB＝30°， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：4． 21．（2026•泌阳县二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为　　 ． 【解答】解：如图，连接OD，OF，OE交AD，DC于点M，N，过点O作OH∥DC交AD于点H， 由条件可知∠DAB＝∠DCB＝60°，∠ADC＝120°，AD＝DC＝2， ∴∠DAC＝∠DCA＝30°， 由条件可知DO⊥AC，， ∴， ∴， ∵OH∥DC， ∴∠MHO＝∠NDO＝∠DOH＝60°， ∴△DOH为等边三角形， ∴DO＝HO＝1， 由条件可知∠MOH＝∠NOH＝60°＝∠DOM， ∴△MOH≌△NOD（ASA）， ∴S四边形ONDM＝S△NDO+S△DOM＝S△MHO+S△DOM＝S△DOH， 过点D作DG⊥HO交于点G， ∴∠GDO＝30°， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 十八．翻折变换（折叠问题）（共4小题） 22．（2026•通许县一模）如图，在△ABC中，将△ABC折叠，使点A与点C重合，点D为折痕所在直线上一点，若，BC＝4，∠ACD＝45°，线段BD的长为　或　 ． 【解答】解：∵点D为折痕所在直线上一点，∠ACD＝45°， ∴分为点D在△ABC内部和外部两种情况讨论． ①当点D在△ABC内部时，如图①， 过点A作AE⊥BC于点E，点D为折痕上一点，过点D作DM⊥AE于点M，作DN⊥BC于点N，连接AD，CD，BD， ∵A、C两点关于折痕对称且∠ACD＝45°， ∴△ACD是等腰直角三角形且DA＝DC． ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴点E为BC的中点． ∵BC＝4， ∴BE＝2． ∵， ∴． ∵DM⊥AE，DN⊥BC，AE⊥BC， ∴四边形DMEN为矩形． ∵∠ADM＝∠CDN，AD＝CD，∠AMD＝∠CND， ∴△ADM≌△CDN（AAS）， ∴DM＝DN， ∴四边形DMEN为正方形， ∴DN＝DM＝NE． 设DN＝x，则NC＝x+2＝AM， ∴AE＝AM+ME＝x+2+x＝2x+2， ∵AE＝4， ∴2x+2＝4， ∴x＝1， ∴BN＝BE﹣NE＝2﹣x＝1， ∴； ②当点D在△ABC外部时，如图②，设DN＝x， 设DN＝x，则NC＝x﹣2＝AM， ∴AE＝AM+ME＝x﹣2+x＝2x﹣2， ∵AE＝4， ∴2x﹣2＝4， ∴x＝3， ∴BN＝BE+NE＝2+x＝5， 同理可得， ∴BD的长为． ∴线段BD的长为或． 故答案为：或． 23．（2026•河南模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形OABC，折叠后，点B落在平面内的点B′处，则点B′的坐标为 　（2，4﹣2）　 ． 【解答】解：过点B′作B′D⊥OC，如图所示： ∵四边形OABC是正方形，点A的坐标是（4，0）， ∴∠B＝∠B'DC＝90°，CB′＝CB＝OC＝OA＝4， ∵∠CPB＝60°， ∴∠BCP＝90°﹣∠CPB＝30°， 由折叠的性质可得：∠PCB'＝∠BCP＝30°， ∴∠B′CD＝30°， ∴B′DCB'＝2， 在Rt△B'CD中，根据勾股定理得DC2， ∴OD＝4﹣2， 即B′点的坐标为（2，4﹣2）， 故答案为：（2，4﹣2）． 24．（2026•平桥区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点M是边CD的中点，点N是BC边上一个动点，连接AM、MN．将△AMN沿MN折叠，点A的对应点为点A′，当△A′MN为直角三角形时，BN的长为　或或　 ． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝2＝CD，AD＝4＝BC，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°． ∵点M是边CD的中点， ∴DM＝1． 由折叠得△AMN≌△A′MN． 如图1，当∠AMN＝90°时， ∠NMC+∠AMD＝90°，∠DAM+∠AMD＝90°， ∴∠D＝∠MCN，∠DAM＝∠NMC， ∴△ADM∽△MCN， ∴， 即， ∴，． 如图2，当∠ANM＝90°时， ∠ANB+∠NAB＝90°，∠ANB+∠MNC＝90°， ∴∠B＝∠C，∠NAB＝∠MNC， ∴△NAB∽△MNC， ∴， 即， ∴BN2﹣4BN+2＝0， 解得或． 则BN的长为或或． 故答案为：或或． 25．（2026•安阳模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点D是边AB上一动点，将△ACD沿CD折叠，点A落在A′处，当△A′BC是等腰三角形时，点A′到BC的距离为　或　 ． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5． 由勾股定理得：． 由折叠性质可知：A′C＝AC＝4． 当△A′BC为等腰三角形时，分三种情况讨论： 情况1：A′C＝BC 此时A′C＝4，BC＝3，显然4≠3，此情况不成立，舍去． 情况2：A′C＝A′B 设点A′到BC的距离为h，过A′作A′H⊥BC于H． ∵A′C＝A′B，A′H⊥BC， ∴H为BC中点，． ∴， 情况3：BC＝A′B， 此时A'B＝BC＝3，过A′作A′H⊥BC交BC所在直线于H． 设CH＝x，则BH＝|x﹣3|． 在Rt△A'HC中：A'H2＝A'C2﹣CH2＝16﹣x2． 在Rt△A′HB中：A'H2＝A'B2﹣BH2＝9﹣（x﹣3）2． ∴16﹣x2＝9﹣（x﹣3）2， 解得：． 代入A'H2＝16﹣x2： ． 综上，点A′到BC的距离为或， 故答案为：或． 十九．旋转的性质（共3小题） 26．（2026•河南模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，BC＝6，E为边BC的中点，M为平面内一点，且M，E之间的距离为1，连接AM，将线段AM以点A为中心逆时针旋转90°，得到线段AN，连接EN．若AB⊥AC，则EN的最小值为　　 ，最大值为　　 ． 【解答】解：连接AE，将AE绕点A旋转90°，得到AF，连接FN，ME，EF， 则AE＝AF，∠EAF＝90°， ∵BA⊥AC，点E为BC的中点， ∴， ∴AF＝AE＝3，， 将线段AM以点A为中心逆时针旋转90°，得到线段AN， ∴AM＝AN，∠MAN＝90°＝∠EAF， ∴∠MAE＝∠FAN＝90°﹣∠EAN， 又∵AE＝AF，AM＝AN， ∴△AFN≌△AEM（SAS）， ∴FN＝EM＝1， ∴N在以点F为圆心，1为半径的圆上运动， ∴EF﹣FN≤EN≤EF+FN， 即， ∴EN的最小值为； 最大值为； 故答案为：． 27．（2026•许昌一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点D在射线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转45°得到线段AE，过点E作EF∥BC，交AB于点F．若EF＝2，则BD的长为　或　 ． 【解答】解：过点E作EG⊥AB交AB于点G，如图： ∵将线段AD绕点A顺时针旋转45°得到线段AE， ∴AE＝AD，∠DAE＝45°， ∴∠GAE+∠DAB＝45°， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠BAC＝∠CBA＝45°，即∠CAD+∠DAB＝45°， ∴∠GAE＝∠CAD， 又∵AE＝AD，∠ACD＝∠AGE， ∴△ACD≌△AGE（AAS）， ∴EG＝DC， ∵EF∥BC， ∴∠EFG＝∠ABC＝45°， ∴EG＝GF， ∵EF＝2， 又EG2+GF2＝EF2， ∴， ∴， ∴； 当点D在点C右侧时，同理可得， ∴； 综上，BD的长为或． 28．（2026•泌阳县二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将线段CA绕点C顺时针旋转a°（0＜a＜180）得到CD，过点B作射线AD的垂线，垂足为点E，连接CE，AD＝3DE，则的值为 　或　 ． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ABC＝∠BAC＝45°， ∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝90°， ∴∠AEB+∠ACB＝180°， ∴A、C、B、E四点共圆， ∴∠AEC＝∠ABC＝45°，∠BEC＝∠BAC＝45°， ∴∠AEC＝∠BEC， ∵AC＝CD， ∴∠CAD＝∠ADC， ∵∠CAD+∠CBE＝180°，∠ADC+∠CDE＝180°， ∴∠CDE＝∠CBE， 在△CDE和△CBE中， ， ∴△CDE≌△CBE（AAS）， ∴DE＝BE， 如图1，过点C作CF⊥AD于点F， ∴△CEF是等腰直角三角形， 设BE＝x，则DE＝x，则AD＝3DE＝3x， ∴DFADx， CF＝EF＝DF+DE， ∴CEEFx， ∴； 如图2，过点C作CF⊥AD于点F， ∵∠AEB＝∠ACB＝90°， ∴A、C、E、B四点共圆， ∴∠CAD＝∠CBE，∠AEC＝∠ABC＝45°， ∴∠BEC＝∠DEC＝135°， ∵AC＝CD， ∴∠CAD＝∠ADC， ∴∠CDE＝∠CBE， 在△CDE和△CBE中， ， ∴△CDE≌△CBE（AAS）， ∴DE＝BE， 设BE＝x，则DE＝x，则AD＝3DE＝3x， ∵AC＝CD，CF⊥AD， ∴DFADx， ∴EF＝DF﹣DEx， ∴CEEFx， ∴． 故答案为：或． 二十．相似三角形的判定（共1小题） 29．（2026•召陵区模拟）定义：有两个相似的直角三角形，若其中一个直角三角形的两个锐角的顶点分别在另一个直角三角形的直角顶点和斜边上，则称这样的两个直角三角形为“嵌套相似直角三角形”．如图，Rt△ABC和Rt△DEF是“嵌套相似直角三角形”，点D在边AB上，点E与点C重合，点F在DE的右侧，∠DFE＝∠ACB＝90°，且DE＝BC＝3，AB＝5，连接BF，将Rt△DEF绕点D旋转，当EF在AB的下方且EF∥AB时，BF的长为　或　 ． 【解答】解：①如图所示，当∠CDF＝∠ABC时， ∵Rt△ABC∽Rt△CDF， ∴， 即， 解得， ∴， ∵DE＝BC，∠CFD＝90°， ∴， 由条件可知∠BDF′＝90°， ∴由勾股定理得； ②如图所示，当∠DCF＝∠ABC时， 由勾股定理得， ∵Rt△ABC∽Rt△DCF， ∴， 即， 解得， ∴， 同①得， 由条件可知∠BDF′＝90°， ∴由勾股定理得； 综上，BF的长为或． 故答案为：或． 二十一．用样本估计总体（共1小题） 30．（2025•北京）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（BMI）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的BMI数据（单位：kg/m2），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 BMI ≤15.4 15.5～22.1 22.2～24.9 ≥25.0 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是　1500　 ． 【解答】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是， 故答案为：1500． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $