专题05 立体几何初步（12类核心考点）（高效培优期末专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 以空间几何体结构为起点，通过12个递进考点构建从概念认知到综合应用的立体几何训练体系，强化几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间几何体结构与画法|11题|多以辨析选择呈现，聚焦定义理解|从几何体分类到斜二测画法，构建空间表象基础| |空间关系证明|16题|解答题为主，涉及平行垂直判定与性质|平面基本性质→共线共面→平行垂直证明，形成逻辑推理链| |空间量计算与探究|28题|选择填空解答结合，含体积、截面、球等综合题|距离最短→体积表面积→夹角距离→外接内切球，实现从定性到定量的深化|

专题05 立体几何初步 考点01 空间几何体的结构特征和分类 考点07 空间中平行的证明 考点02 斜二测画法及其应用 考点08 空间中垂直的证明 考点03 几何体中的距离最短问题 考点09 空间中动点探究问题 考点04 几何体的体积和表面积 考点10 几何体截面的问题 考点05 平面的基本性质 考点11 空间中夹角与距离问题 考点06 空间中共线、共面的问题 考点12 外接球、内切球的问题 考点01 空间几何体的结构特征和分类 1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体 B．圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的 C．用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台 D．棱台的所有侧棱所在直线交于同一点 2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）下列关于空间几何体的说法，错误的是（    ） A．棱柱的侧棱都互相平行且相等 B．正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心 C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台 D．圆柱的侧面展开图是矩形 3．（24-25高一下·江苏盐城·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（   ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 4．（多选）（25-26高一下·江苏·期中）下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧棱都互相平行且相等 B．以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台 C．棱台的所有侧棱所在直线交于同一点 D．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称为棱台 5．（多选）（25-26高一下·江苏扬州·期中）下列命题正确的是（    ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 C．圆锥有无数条母线 D．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 考点02 斜二测画法及其应用 1．（24-25高一下·江苏苏州·期末）如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）利用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，该直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江苏盐城·期中）如图，是水平放置的在斜二测画法下的直观图.若，，则的面积为（   ） A．2 B． C．4 D． 4．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的周长为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为_____．    6．（25-26高一下·江苏盐城·期中）有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），，，，则原多边形面积为________. 考点03 几何体中的距离最短问题 1．我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块，，，一只蚂蚁从点出发，经过棱、棱上某点，再爬到棱的中点，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（    ） A． B．4 C． D．10 2．（24-25高一下·天津河西·月考）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 3．（2025高三上·广东深圳·专题练习）圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为16．已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ）    A．16 B． C． D． 4．（25-26高二上·上海闵行·期末）如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点，则的最小值为______． 考点04 几何体的体积和表面积 1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏·期中）已知某圆台轴截面的周长为，母线长为2，圆台的高为，该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏南通·月考）若用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为__________． 考点05 平面的基本性质 1．（24-25高二上·上海浦东新·月考）下列条件中，能够确定一个平面的是（    ）． A．两个点； B．三个点； C．两条相交直线 D．一条直线和一个点 2．（25-26高二上·上海·期中）“直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（24-25高一下·江苏扬州·阶段检测）下列选项正确的是（     ） A．空间三点确定一个平面 B．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 C．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 D．如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 4．（24-25高一下·江苏·期中）下列命题正确的是（   ） A．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内 B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 5．（24-25高二上·上海·期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（多选）（24-25高一下·江苏南通·月考）下列结论错误的有（    ） A．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． B．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线． C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． D．没有公共点的两条直线是异面直线． 考点06 空间中共线、共面的问题 1．（25-26高一下·江苏·期中）在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，以下四个结论中正确的为（    ） A．与平行 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 2．（24-25高一下·云南玉溪·期中）在图示正方体中，O为BD的中点，直线平面，下列说法错误的是（   ） A．A，C，，四点共面 B．，M，O三点共线 C．平面 D．与BD异面 3．（24-25高一下·福建莆田·期中）如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的有（ ）个 ①，，，四点共面； ②与异面； ③与的交点可能在直线上，也可能不在直线上； ④与的交点一定在直线上． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在四棱锥中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是（   ） A．点G在AC上 B． C． D．直线EB，GD交于点B 考点07 空间中平行的证明 1．（25-26高一下·江苏盐城·期中）下列命题正确的个数为（    ） （1）如果直线，那么平行于经过的任何平面 （2）如果直线与平面满足，那么直线与平面内的任何直线平行 （3）如果直线，和平面满足，，那么 （4）如果直线，和平面满足，，，那么 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一下·广东惠州·期中）设是两条不同的直线，是三个不同的平面 则下列选项正确的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高一下·河南焦作·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： (1) (2)平面EFG∥平面PBC． 4．（25-26高一下·北京朝阳·阶段检测）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 5．（25-26高一下·吉林·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 6．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：； 7．（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 8．（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 9．（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且. (1)求证：平面； (2)棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 考点08 空间中垂直的证明 1．（25-26高一下·江苏盐城·期中）设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若,,则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 3．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，在正三棱柱中，点分别是的中点，下列结论正确的个数是（   ） ①平面；②；③平面；④与相交 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高一下·广西柳州·期中）如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 5．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 6．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 7．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 8．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正三棱柱中，为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 9．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 考点09 空间中动点探究问题 1．（多选）（25-26高一下·江苏南京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱和棱AB上的动点，记过点，E，F的平面截正方体表面所得的图形为，则下列结论正确的有（    ） A． B．若E，F分别是所在棱的中点，则平面 C．若E，F分别是所在棱的中点，则为五边形 D．存在点E，使得平面 2．（多选）（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 3．（多选）（24-25高一下·浙江杭州·期中）棱长为1的正方体，E是的中点，P是平面上的动点，平面与平面的交线为l，则（    ） A．EP的最小值为1 B．的最小值为 C．存在一点P，使得 D．在点P运动过程中，l不可能与AD平行 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点E为棱的中点. (1)求证：平面； (2)若M为上的动点，N为线段的中点，试判断直线与平面的位置关系，并给出证明. 5．（25-26高一·全国·假期作业）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 6．（2025高一·全国·专题练习）如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 考点10 几何体截面的问题 1．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在边长为1的正方体中，，，，分别为棱，，，的点，满足，过，，，四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（   ） A．时，该截面是正六边形 B．时，四边形为正方形 C．平面 D．当四边形为正方形时，它的面积为 2．（24-25高一下·江苏连云港·期中）如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在等腰梯形中，已知，，将沿直线翻折成，则当三棱锥的体积最大时，以为直径的球被平面所截的截面面积为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·上海·期末）已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 5．（24-25高一下·重庆南岸·期中）在三棱锥中，三条棱、、两两垂直，且，分别经过三条棱、、，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为、、，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏南通·月考）在四棱锥中，，且，则（    ） A．不存在平行四边形截面 B．存在唯一的平行四边形截面 C．存在两个平行四边形截面 D．存在无穷多个平行四边形截面 考点11 空间中夹角与距离问题 1．（25-26高一下·江苏镇江·期中）在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南通·月考）在正方体中，分别为，的中点，则（    ） A． B． C．平面平面 D．与所成的角大小为 3．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知正四棱锥的底面边长和侧棱长相等，记异面直线与所成角为，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成的二面角为，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏·月考）如图，在正四棱锥中，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 (1)求证：平面BCD； (2)求的值； (3)若二面角的大小为，求四面体的体积. 7．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，.    (1)证明：平面； (2)若，求二面角的正切值； (3)若点P在上，，直线与平面交于点F，求证：. 8．（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，平面平面.为中点，为线段上一点，满足平面. (1)求的值； (2)若，求点到平面的距离； (3)记二面角为，直线与平面所成角为，求证：为定值. 9．（24-25高一下·江苏南通·月考）在三棱锥中，，其余各棱的长均为6，点E在棱AC上，，过点E的平面与直线CD垂直，且与BC，CD分别交于点F， (1)求二面角的大小； (2)求线段FG的长度； (3)求点C到平面DEF的距离． 考点12 外接球、内切球的问题 1．（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（        ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期中）如图，直线AB垂直于圆O所在的平面，内接于圆O，且BD为圆O的直径，，E为垂足，则下列结论正确的是（    ） A．若AD的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值 B．若AC的长为定值，则该三棱锥内切球的半径也为定值 C．若BD的长为定值，则EO的长也为定值 D．若CD的长为定值，则的长也为定值 4．（25-26高一下·江苏·期中）在直三棱柱中，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为__________. 5．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 6．（24-25高一下·江苏扬州·期末）如图为三棱锥的展开图，其中，，，，则三棱锥的顶点到平面的距离为___________；三棱锥的外接球的表面积为__________.    学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 立体几何初步 考点01 空间几何体的结构特征和分类 考点07 空间中平行的证明 考点02 斜二测画法及其应用 考点08 空间中垂直的证明 考点03 几何体中的距离最短问题 考点09 空间中动点探究问题 考点04 几何体的体积和表面积 考点10 几何体截面的问题 考点05 平面的基本性质 考点11 空间中夹角与距离问题 考点06 空间中共线、共面的问题 考点12 外接球、内切球的问题 考点01 空间几何体的结构特征和分类 1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体 B．圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的 C．用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台 D．棱台的所有侧棱所在直线交于同一点 【答案】D 【详解】棱柱可能有多组平面平行，如正方体有三组平面平行，并非“有且仅有两个平面平行”，故A错误； 圆柱由矩形绕其一边旋转得到，任意四边形旋转不一定得到圆柱，故B错误； 只有当截面与圆锥底面平行时，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台，否则不是，故C错误； 棱台是由棱锥截得的，其侧棱延长线交于同一点，故D正确． 2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）下列关于空间几何体的说法，错误的是（    ） A．棱柱的侧棱都互相平行且相等 B．正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心 C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台 D．圆柱的侧面展开图是矩形 【答案】C 【详解】A：根据棱柱的定义，其侧棱互相平行且相等，对； B：根据正棱锥的定义，其底面是正多边形且顶点在底面的射影是底面中心，对； C：由棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面截去上面的小棱锥得到，即各侧棱的延长线交于一点， 如上图，上下底面是两个全等的矩形，且相互平行，上底的长与下底的宽对应平行，四个侧面都是等腰梯形， 此时四条侧棱所在直线不交于同一点，故仅通过两个面互相平行，其余各面都是梯形不能保证侧棱延长交于一点，错， D：圆柱侧面展开图，即沿一条母线展开侧面为矩形，对. 3．（24-25高一下·江苏盐城·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（   ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 【答案】D 【分析】作出满足选项条件的几何体即可判断A和B考虑连线是否平行于旋转轴可判断C；根据圆台的定义，即可判断D． 【详解】         图1               图2 对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，如图2，该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形，但该几何体不是棱台，故B错误； 对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误； 对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形， 这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得，轴截面包含上下底面的直径和母线，形成对称的等腰梯形， 故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确． 故选：D． 4．（多选）（25-26高一下·江苏·期中）下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧棱都互相平行且相等 B．以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台 C．棱台的所有侧棱所在直线交于同一点 D．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称为棱台 【答案】ACD 【分析】结合棱柱、棱台、圆台的定义逐一判断各选项的正误 【详解】对于A，棱柱的侧面均为平行四边形，故侧棱互相平行且相等，故A对； 对于B，只有当以直角梯形垂直于两底的腰为旋转轴旋转时，所得旋转体才是圆台，若以上底、下底或斜腰为旋转轴，得到的几何体都不是圆台，故B错； 对于C，棱台是由平行于棱锥底面的平面截取棱锥得到的，所有侧棱延长后必然交于原棱锥的顶点，即侧棱所在直线交于同一点，故C对； 对于D，该表述是棱台的标准定义，截面与底面平行，满足棱台的结构特征，故D对； 故选：ACD 5．（多选）（25-26高一下·江苏扬州·期中）下列命题正确的是（    ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 C．圆锥有无数条母线 D．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 【答案】AC 【详解】A：根据棱柱的性质可知棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形，因此本选项说法正确； B：因为用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台，所以本选项说法不正确； C：根据圆锥的性质可知圆锥有无数条母线，所以本选项说法正确； D：两个底面重合的三棱锥组合在一起就不是三棱锥，所以本选项说法不正确； 考点02 斜二测画法及其应用 1．（24-25高一下·江苏苏州·期末）如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由斜二测画法和余弦定理计算可得. 【详解】由写二次画法可知，， 在中，由余弦定理， 所以. 故选：A. 2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）利用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，该直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，原三角形的面积， 所以其直观图的面积. 3．（25-26高一下·江苏盐城·期中）如图，是水平放置的在斜二测画法下的直观图.若，，则的面积为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】由题意，在斜二测画法下的直观图中，，， 则在平面直角坐标系下，，，如图， 则的面积为. 4．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜二测画法还原图形，根据梯形的周长计算即可. 【详解】已知直观图中，，，、平行于轴， 因此原图形中，； 平行于轴，因此原图形中，且，即是直角梯形. 过作于，则，， 由勾股定理得. 故周长. 5．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为_____．    【答案】9 【分析】根据斜二测画法还原规则，将直观图中相关线段长度按“平行于轴长度不变，平行于轴长度加倍”还原，再通过勾股定理计算出原四边形各边长度，即可求得最长边. 【详解】将直观图还原为原图，如图：    在直观图中，，则， 故在原图中，，， 所以， 而，所以原四边形中最长边的长度为9. 6．（25-26高一下·江苏盐城·期中）有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），，，，则原多边形面积为________. 【答案】 【分析】根据所给的直观图中直角梯形的数据求出梯形面积，根据原来的平面图形面积是直观图面积的倍，求出平面图形的面积. 【详解】因为，，，则，， 可得直观图的面积为， 所以原多边形面积为. 考点03 几何体中的距离最短问题 1．我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块，，，一只蚂蚁从点出发，经过棱、棱上某点，再爬到棱的中点，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（    ） A． B．4 C． D．10 【答案】C 【分析】通过几何体的侧面展开，将空间折线转化为平面线段，结合勾股定理求最短路径. 【详解】由堑堵的定义可知，所以，如图， 将面与面展开在一个平面内，延长至点，使得， 连接，分别交，于点，，由对称性可知，， 所以所求最短距离为． 故选：C． 2．（24-25高一下·天津河西·月考）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】在圆柱侧面展开图中，矩形对角线的长度即为所求. 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求， 在中，，，. 故选；C 3．（2025高三上·广东深圳·专题练习）圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为16．已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ）    A．16 B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆台沿着母线剪开后展开得到平面图形，根据题意即可求出两个扇形的半径以及圆心角，最后根据最短路径的意义求出即可. 【详解】将圆台沿着母线剪开后展开得到平面图形如图， 分别设小扇形和大扇形的半径为，圆心角为， 则由题意可知，弧长为，弧长为，， 则，得，则， 因为该圆台某条母线的中点，则， 因为等腰直角三角形，且腰长为，则， 故该质点运动的最短路径长为. 故选：B    4．（25-26高二上·上海闵行·期末）如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内，根据平面上两点间线段最短可求得答案. 【详解】 将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内， 如图，连接交于，则的最小值为此时的， ， 的最小值为. 故答案为：. 考点04 几何体的体积和表面积 1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设球的半径为，则球的直径为，由题意，圆锥的高， 所以球的体积为， 设圆锥底面半径为，则， 由，即，所以， 又因为圆锥的母线长， 所以， 又，所以. 2．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知圆锥底面半径，内切球表面积为，设内切球半径为，则 ，解得， 设圆锥的母线长为，高为， 则， ，即，解得或（舍去）， ， 设圆锥表面积为， 则． 3．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线面平行的性质定理可确定Q点位置，再利用等体积转换法，可知只需表示出即可得出比值. 【详解】如图所示，连接对角线交于点，连接. 因为正四棱锥的底面是正方形，所以是的中点. 因为平面，⊂平面，且平面平面，由线面平行的性质得. 因此是的中位线，故是的中点，即. 设正四棱锥的底面积为，高为h，则总体积， 因为 的面积是正方形面积的一半，即 ， 因为是中点，所以到底面的距离为. 所以，所以 . 4．（25-26高一下·江苏·期中）已知某圆台轴截面的周长为，母线长为2，圆台的高为，该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 圆台的轴截面是等腰梯形，设圆台上底半径为，下底半径为，母线长，高， 根据轴截面周长列方程： ， 圆台的高满足，代入得 ， 化简得：， 联立，解得， 则圆台体积公式. 5．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合圆锥的侧面积公式求得侧面积．根据题意求得圆锥的底面圆的半径，最后利用圆锥的表面积公式即可求解． 【详解】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形， 所以圆锥的侧面积为 设圆锥的底面半径为，底面圆的周长等于扇形的弧长可得：，解得 所以圆锥底面的面积为 因此圆锥表面积为． 故选：B. 6．（24-25高一下·江苏南通·月考）若用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知求出圆锥筒的高和底面半径，应用圆锥的体积公式求体积即可. 【详解】由题设，所得圆锥的底面周长为，易知圆锥的底面半径为，母线长为， 所以圆锥的高为，故圆锥筒的体积为. 故选：B 7．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为__________． 【答案】 【分析】根据给定的组合体，结合球的表面积公式、圆柱的侧面积公式计算即得. 【详解】依题意，该几何体的表面积是半球的表面积与圆柱侧面积的和， 所以所求表面积为. 故答案为： 考点05 平面的基本性质 1．（24-25高二上·上海浦东新·月考）下列条件中，能够确定一个平面的是（    ）． A．两个点； B．三个点； C．两条相交直线 D．一条直线和一个点 【答案】C 【分析】两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，可判断A；若三个点共线，则不能确定一个平面，可判断B；两条相交直线能确定一个平面，可判断C；若点在直线上，则不能确定一个平面，可判断D. 【详解】对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面，A错误； 对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，B错误； 对于C，两条相交直线能确定一个平面，故C正确； 对于D，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，故D错误. 故选：C. 2．（25-26高二上·上海·期中）“直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据基本事实，结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由基本事实，直线上有两点在平面内，则这条直线在这个平面内，反之亦然. 所以“直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的充要条件. 故选：C 3．（24-25高一下·江苏扬州·阶段检测）下列选项正确的是（     ） A．空间三点确定一个平面 B．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 C．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 D．如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 【答案】C 【分析】根据基本事实1判断A，根据面面平行的判定判断B，根据线面垂直的性质判断C，根据空间角的定理判断D. 【详解】空间中不共线的三点确定一个平面，故A错； 如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行， 那么这两个平面平行，无数并不代表所有，故B错； 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故C对； 如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故D错. 故选：C 4．（24-25高一下·江苏·期中）下列命题正确的是（   ） A．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内 B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 【答案】C 【详解】对于A，一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线一定在这个平面内，故A错； 对于B，若三条直线两两相交交于一点时，例如三棱锥的侧棱，则三条直线可以不共面，B错； 对于C，过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，且过一条直线可作无数个平面与已知直线平行，故C正确； 对于D，一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行或在平面内，故D错. 故选：C 5．（24-25高二上·上海·期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据空间中点和线的位置关系，即可求解. 【详解】对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误， 对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确， 对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误， 对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外 ，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确 故选：B 6．（多选）（24-25高一下·江苏南通·月考）下列结论错误的有（    ） A．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． B．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线． C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． D．没有公共点的两条直线是异面直线． 【答案】BCD 【分析】通过分情况并画图分析可判断A正确；由基本事实3可判断B错误；由两个相交的平面有无数个公共点可判断C错误；根据空间两直线的位置关系可判断D错误. 【详解】对于A，当两两相交的三条直线不经过同一点，如图1，根据推论，这三条直线可以确定一个平面; 当两两相交的三条直线经过同一点且不共面，如图2，则确定一个平面， 确定一个平面，确定一个平面.共确定3个平面. 所以两两相交的三条直线最多可确定3个平面.故A正确； 对于B，由基本事实3，两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过A点的公共直线，而不是任意一条过点的直线都是两平面的交线，故B错误； 对于C，若这三个公共点共线，两平面可能相交，但不一定重合，故C错误； 对于D，没有公共点的两条直线可能平行也可能异面.故D错误 故选：BCD. 考点06 空间中共线、共面的问题 1．（25-26高一下·江苏·期中）在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，以下四个结论中正确的为（    ） A．与平行 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 【答案】D 【分析】先利用三角形中位线性质与平行线分线段成比例定理证明且长度不等，得与共面且相交，再结合平面交线的公理判断交点位置. 【详解】连接、： 因为、分别为、的中点，由三角形中位线定理得：，且. 在中，，由平行线分线段成比例定理的逆定理得：，且. 判断与的位置关系： 由且，可知四边形为梯形，、为梯形两腰，必相交且共面，故A（平行）、B（异面）错误. 判断交点的位置： 设，因为平面，故平面；又平面，故平面. 平面与平面的交线为，根据公理3：两个不重合的平面若有公共点，则所有公共点都在它们的交线上，可得，即交点一定在直线上，故C错误，D正确. 2．（24-25高一下·云南玉溪·期中）在图示正方体中，O为BD的中点，直线平面，下列说法错误的是（   ） A．A，C，，四点共面 B．，M，O三点共线 C．平面 D．与BD异面 【答案】C 【分析】根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可. 【详解】对于A选项，且，所以共面，故A正确； 对于B选项，直线平面，所以平面， 因为直线，又平面，所以平面， 因为为中点，平面，所以平面， 底面为正方形，所以为中点，平面，所以底面， 又平面，平面， 所以平面与平面相交，且在交线上，即三点共线，故B正确； 对于选项C，平面平面，平面，但直线， 所以平面，故C错误； 对于选项D，直线平面，直线平面，， 所以直线与为异面直线，故D正确. 故选：C 3．（24-25高一下·福建莆田·期中）如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的有（ ）个 ①，，，四点共面； ②与异面； ③与的交点可能在直线上，也可能不在直线上； ④与的交点一定在直线上． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用平面几何的性质及平行公理可得，且四边形EFGH是梯形，结合公理可得答案. 【详解】依题意，可得，，故，所以，，，四点共面，①正确，②错误； 因为，所以四边形EFGH是梯形，且EF与GH必相交，设交点为M， 因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，所以点M在平面ACB与平面ACD的交线上. 又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上，所以④正确，③错误. 故选：C. 4．（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在四棱锥中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是（   ） A．点G在AC上 B． C． D．直线EB，GD交于点B 【答案】D 【分析】由平面的基本性质可得出平面平面，即可得解. 【详解】因为DF与EG相交， 所以平面平面, 所以直线EB，GD交于点B，故D正确. 而由题意，可为上任意一点，故ABC错误. 故选：D 考点07 空间中平行的证明 1．（25-26高一下·江苏盐城·期中）下列命题正确的个数为（    ） （1）如果直线，那么平行于经过的任何平面 （2）如果直线与平面满足，那么直线与平面内的任何直线平行 （3）如果直线，和平面满足，，那么 （4）如果直线，和平面满足，，，那么 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】对于（1）考虑到a可能与b在同一平面内即可判断；对于（2）根据直线与平面平行性质即可判断；对于（3）直线平行不能通过平面传递；（4）综合直线与平面平行性质与判定. 【详解】（1）如果直线，那么平行于经过的任何平面，错误， 理由如下：还有可能在经过的平面内； （2）如果直线与平面满足，那么直线与平面内的任何直线平行，错误， 理由如下：直线与平面内的直线平行或异面； （3）如果直线，和平面满足，，那么，错误， 理由如下：直线，还可能相交或异面； （4）如果直线，和平面满足，，，那么，正确，理由如下： 若，则存在使得，又，所以. 2．（25-26高一下·广东惠州·期中）设是两条不同的直线，是三个不同的平面 则下列选项正确的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】结合空间中直线、平面平行的判定定理与性质定理，逐项分析即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，根据平面平行的传递性可知，若，则，故B正确； 对于C，由，当相交时，可得，当时，可能相交，故C错误； 对于D，若，则或与异面，故D错误. 3．（24-25高一下·河南焦作·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： (1) (2)平面EFG∥平面PBC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定得到平面，再利用线面平行的性质推理得证. （2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形， 可得是的中点， 而是的中点，则， 又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以 （2）由G，F分别是PA，AC的中点，得， 又平面，平面，则平面． 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又因为，，平面， 所以平面平面. 4．（25-26高一下·北京朝阳·阶段检测）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 5．（25-26高一下·吉林·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，当点是的中点时满足题意，证明见解析． 【分析】(1)根据线面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，进行证明； (2)根据中位线和平行四边形中的平行性质，利用线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，通过线线平行，证明线面平行； (3)根据面面平行的判定定理，找动直线与面内直线平行时的位置，进行证明判断即可． 【详解】（1）证明：平面，且平面； 又因为平面平面，根据线面平行的性质可得，； （2） 证明：取PA的中点G，连接EG，BG； 因为E，G，为PD，PA中点，所以，且； 又因为，，所以，且； 所以为平行四边形；所以； 又因为平面，平面， 所以平面； （3） 在上存在的中点使得平面平面，证明如下： 取的中点，连接CF，EF； 因为E，F，为PD，AD中点，所以； 又因为平面，平面， 所以平面； 又因为平面，且，平面； 所以平面平面； 在上存在点使得平面平面． 6．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，连、，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可证明； （2）先通过线面平行的判定证得面，再利用线面平行的性质证得. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连、 ，又， ， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面；    （2）在梯形中，， 又平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ，，. 7．（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线证得平面. （2）通过证明平面平面，证得平面. 【详解】（1）如图： 连接，交于，连接， 由于分别是的中点，所以， 由于平面，平面， 所以平面. （2）连接，由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面. 由于平面,平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 8．（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）易得，进而可得，再由平面公理即可证明； （2）先利用线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行即可； （3）取中点，连接，，，利用中位线定理，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，即证，再根据线面平行的判定定理即证结果. 【详解】（1）证明：，分别为，的中点，， 底面是平行四边形，. ，所以点，，，四点共面. （2）由（1）知，因为平面，平面，平面. ，分别为，的中点，， 因为平面，平面，平面. 又，，平面，所以平面平面. （3）线段上存在一点，使得平面，且. 证明如下：取的中点，连接，，， 因为，，分别是，，的中点，，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，此时． 9．（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且. (1)求证：平面； (2)棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）法一：连接，首先证明四边形是平行四边形，再根据已知及线面平行的判定即可证；法二：连接分别交于点，连接，利用等比例的性质得，再根据线面平行的判定即可证； （2）根据给定条件证明平面，法一：取中点P，连接，根据已知证明，再由线面平行、面面平行的判定证明结论，即可得；法二：延长交于，延长交于，连接，利用相似关系、平行四边形的性质及线面平行的判定证明平面，最后由面面平行的判定证明结论，即可得； 【详解】（1）法一：连接，在正方体中，分别是中点， 且，则四边形是平行四边形， ∴，平面平面，所以平面， 法二：连接分别交于点，连接， 如图在正方体中，且， 所以，则，同理得， 所以，则，而平面平面， 所以平面； （2）存在，且，理由如下： 因为，所以， ，而 ， 由平面平面， 所以平面， 法一：取中点P，连接，如图 ，是中点， 是的中位线，则， ∵F为中点，则且， ∴四边形是平行四边形， ， 综上，，平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 法二：延长交于，延长交于，连接，如图： 为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，又，即， ∴四边形为平行四边形， 平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 所以时，平面平面. 考点08 空间中垂直的证明 1．（25-26高一下·江苏盐城·期中）设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线与平面垂直的判定与性质可直接解决本题. 【详解】由于题干未指定与n为平面内两条相交直线，故且不能必然推出， 故“且”是“”的不充分条件； ，故“且”是“”的必要条件. 所以，“且”是“”的必要不充分条件. 2．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若,,则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系判断选项. 【详解】A. 若,,则与相交，平行，或在面内，故A错误； B. 若，，只有与两平面的交线垂直，才有，故B错误； C. 若，，则与相交或平行，故C错误； D. 若，，，则，故D正确. 3．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，在正三棱柱中，点分别是的中点，下列结论正确的个数是（   ） ①平面；②；③平面；④与相交 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明平面，即可判断①；若，则，连接，为的中点，证明，设，，求，推出矛盾②；根据线面垂直判定定理证明结论即可判断③；证明，，由此即可判断④. 【详解】对于①，取的中点D，连接，在中，由P为的中点， 得，且，在直三棱柱中，， 由Q为棱的中点，得，且，则， 四边形为平行四边形，因此，又平面，平面，则平面，①正确， 对于②，为的中点，若，则，连接，为的中点， 则，又平面，则平面，平面， 于是，设，则，， ，与矛盾，因此不成立，②错误； 对于③，在直三棱柱中，平面，又平面，则， 由，D为中点，得，由①知，则，， 又，平面，因此平面，③正确； 对于④，由为的中点，四边形为矩形，得点为的中点，又为的中点， 则，又分别为的中点，则， 即，因此四边形为平行四边形，与相交，④正确. 4．（25-26高一下·广西柳州·期中）如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)8 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证出平面，结合等体积法求解即可. 【详解】（1）连接，交于，连接. 直三棱柱中，侧面为矩形，所以点为中点. 因为点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）直三棱柱中，平面，因为平面，所以. 在中，，，，则，所以. 因为，平面，， 所以平面. （3）过点作. 在中，，即. 直三棱柱中，平面，因为，平面，所以，， 因为，平面，，所以平面， 则即为点到平面，也即平面的距离. 又， . 故三棱锥的体积为8. 5．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设易得，进而根据线面平行的判定定理求证即可； （2）由题设可得，，结合可得，进而得到平面POD，再根据面面垂直的判定定理求证即可. 【详解】（1）因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； （2）因为点C在底面圆周上，所以， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为AB为底面直径，所以， 又因为，所以， 而，PD，平面POD，所以平面POD， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． 6．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1) 证明见解析 (2) 证明见解析 【分析】（1）根据中位线可得，进而可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1）因为分别是的中点，则，又因为，则， 且平面，平面，所以平面. （2）因为底面，则，又因为底面为矩形，则， 因为且平面，平面，所以平面， 由（1）得，所以平面. 7．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)点M为线段上靠近C的四等分点， 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直. （3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长. 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. （2）因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. （3）如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 8．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正三棱柱中，为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得平面，进而可得，又，进而可得平面，可证结论； （2）由（1）可证，利用已知计算可得，可得，利用线面垂直的判定定理可证结论； （3）由（2）得为直线与平面所成的角，计算求解即可. 【详解】（1）在等边中，因为为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面， 又平面，所以. 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）由（1）得平面，因平面，则. 又，则， ，所以，可得， 因平面，故平面. （3）由（2）得平面，所以为直线与平面所成的角. 又，所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 9．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为是的直径，是圆周上不同于的一动点， 所以，又因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以平面平面. （3）过作于，连接，如图所示， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，由等面积法得 而 所以， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 考点09 空间中动点探究问题 1．（多选）（25-26高一下·江苏南京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱和棱AB上的动点，记过点，E，F的平面截正方体表面所得的图形为，则下列结论正确的有（    ） A． B．若E，F分别是所在棱的中点，则平面 C．若E，F分别是所在棱的中点，则为五边形 D．存在点E，使得平面 【答案】ABC 【分析】A.通过线面垂直证明线线垂直；B.通过线线平行证明线面平行；C.画图可得；D.由与不垂直，知不存在点E，使得平面. 【详解】在正方体中有，，又平面, 所以平面， 因为平面，所以，故A对； 在B中，由中点得，即有， 在C中，如图，延长，分别交直线、于，连接交于， 连接，交于，则可得如图所示的截面， 此时截面为五边形，故C对； 因为四边形是矩形，非正方形，所以与不垂直， 若存在点E，使得平面，平面，则，矛盾， 所以不存在点E，使得平面，故D错. 2．（多选）（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 【答案】BC 【分析】对于A，易得即可判断；对于B，可找到点P，M使得平面与平面PBD平行；对于C，由题意，证得，得到二面角的平面角即可判断；对于D，求得点M的轨迹长度判断． 【详解】解：对于A，易知点到侧面的距离为2，故，故A错误； 对于B，当M为中点，P为中点时， 连接、，结合正方体的结构特征有， ，又平面，平面，则平面PBD， ，又平面，平面，则平面， 又且都在面内，则平面平面 故B正确； 对于C，在正方体中，可得平面， 因为平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为，其中，所以C正确； 对于D，取中点E，连接PE，ME，PM，则平面， 根据线面垂直的性质有，则， 则点M在侧面内运动轨迹为以E为圆心半径为2的劣弧， 分别交AD、于、，则， 则，劣弧的长为，故D错误． 3．（多选）（24-25高一下·浙江杭州·期中）棱长为1的正方体，E是的中点，P是平面上的动点，平面与平面的交线为l，则（    ） A．EP的最小值为1 B．的最小值为 C．存在一点P，使得 D．在点P运动过程中，l不可能与AD平行 【答案】ABD 【分析】对于A，取的中点为，则得，证明平面，即得EP的最小值为1；对于B，作出点关于平面的对称点，连接，利用三点共线时，距离之和最短即可求得；对于C，运用反证法思想，假设，通过证明平面，推得引出矛盾，排除C项；对于D，利用平面，而平面平面，得到平面与平面的交线必与直线交于一点即可. 【详解】对于A，当点为的中点时，因E是的中点，易得， 因平面平面，平面平面， 而 平面，则平面，此时取得最小值1，故A正确； 对于B，如图，作出点关于平面的对称点，连接，交平面于点， 此时，，则取得最小值， 因平面，平面，故， 在中，， 则，即的最小值为，故B正确； 对于C，如图，连接，因平面，平面，故， 假设，因平面，故平面， 又平面，则，产生矛盾，故假设不成立， 即不存在一点P，使得，故C错误； 对于D，在点P运动过程中，因平面，而平面平面， 则平面与平面的交线必与直线交于一点，故l不可能与AD平行，故D正确. 故选：ABD. 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点E为棱的中点. (1)求证：平面； (2)若M为上的动点，N为线段的中点，试判断直线与平面的位置关系，并给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，证明见解析 【分析】（1）取N为线段的中点，连接，根据已知可得出.进而根据线面平行以及面面平行的判定定理得出平面平面.即可根据面面平行的性质定理，得出证明； （2）根据已知可得出平面，根据（1）结合面面平行的性质定理即可得出证明. 【详解】（1）如图，取N为线段的中点，连接 因为N为线段的中点， 所以. 又， 所以，四边形为平行四边形，. 因为平面，平面， 所以有平面. 又点E为棱的中点， 所以有. 因为平面，平面， 所以有平面. 又，平面，平面， 所以平面平面. 又平面， 所以有平面. （2）平面 由（1）知，当N为线段的中点时，有平面平面. 因为M为上的动点，平面， 所以，平面， 所以，平面. 5．（25-26高一·全国·假期作业）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)垂直，证明见解析 【分析】（1）方法一：连接，利用线面平行的判定定理即可得证； 方法二：取的中点为，连接，利用面面平行的性质定理即可得证； （2）利用面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）方法一：连接，如图， 因为分别是的中点，所以 . 又平面平面， 所以 平面. 方法二：如图，取的中点为，连接，则 . 又平面平面， 所以 平面. 同理可证 平面， 因为平面， 所以平面 平面. 又平面，所以 平面. （2）平面与平面垂直. 证明如下：因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 6．（2025高一·全国·专题练习）如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合，可得，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点，可证明平面平面，即此时平面平面，再计算的值即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． 考点10 几何体截面的问题 1．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在边长为1的正方体中，，，，分别为棱，，，的点，满足，过，，，四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（   ） A．时，该截面是正六边形 B．时，四边形为正方形 C．平面 D．当四边形为正方形时，它的面积为 【答案】B 【分析】先根据线段比例关系利用相似三角形性质判断线线平行，再依据线面平行判定定理判断线面平行；然后针对四边形为正方形的情况，通过构建直角三角形，利用勾股定理建立等式求解相关参数，并进一步判断选项. 【详解】 在正方体中，因为，根据相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），可知与相似，所以，进而可得. 又因为线面平行的判定定理，已知平面，平面，所以平面，故C选项正确.   判断当时截面的形状：当时，如前面第一个图，可以得到该截面为正六边形，所以A选项正确.   判断四边形为正方形时的情况：如前面第二个图，作，垂足为. 在正方体中，棱长设为，所以. 因为，根据正方体棱长以及线段比例关系可得. 又因为的长度，根据正方体棱长以及的关系可得. 在中，根据勾股定理. 由于四边形为正方形，所以，即. 等式两边同时平方可得. 展开括号：. 移项化简可得：，解得. 此时，正方形的面积为，所以B选项错误，D选项正确.    综上，A、C、D选项正确，B选项错误. 故选： B. 2．（24-25高一下·江苏连云港·期中）如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长. 【详解】如图，取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，所以， 则四边形即为过A，C，K三点的截面， 因为正方体的棱长为， 所以，， ， 则其周长为. 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在等腰梯形中，已知，，将沿直线翻折成，则当三棱锥的体积最大时，以为直径的球被平面所截的截面面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先证明，当平面平面时，三棱锥的体积最大，由面面垂直的性质得到平面，求出截面圆的半径，即可得解. 【详解】依题意，所以梯形的高， 所以，则，又， 所以，即， 当平面平面时，三棱锥的体积最大， 又平面平面，平面，所以平面. 的中点为球心，取的中点，则为的中位线， 所以，平面. 以为直径的球被平面所截的截面为圆面， 由以上分析可知点为该圆的圆心，其半径， 该圆面面积为. 故选：B 4．（25-26高二上·上海·期末）已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】采用截面扩展法找出截面与各条棱的交点，即可得到截面形状. 【详解】 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点， 连接，交于，连接，交于， 连接，. 则五边形即为过与该正方体的截面. 故选：C. 5．（24-25高一下·重庆南岸·期中）在三棱锥中，三条棱、、两两垂直，且，分别经过三条棱、、，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为、、，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点的对称性分析相应的截面，结合垂直关系求出截面面积，利用不等式的基本性质求解. 【详解】取的中点，连接、， 可知点、到平面的距离相等，所以平面平分三棱锥的体积， 因为，，，、平面，所以平面， 且平面，则， 设，，，，则， 因为为直角三角形，则， 所以， 同理可得：，， 因为，所以，， 则，所以． 故选：A. 6．（24-25高二下·江苏南通·月考）在四棱锥中，，且，则（    ） A．不存在平行四边形截面 B．存在唯一的平行四边形截面 C．存在两个平行四边形截面 D．存在无穷多个平行四边形截面 【答案】D 【分析】根据四棱锥截面图形结合几何特征判断即可. 【详解】如图，过的截面交平面于，则因为，平面，平面， 所以平面， 因为，且，则存在，所以为平行四边形， 同时在四棱锥中，作底面的平行平面截四棱锥截面都是平行四边形， 所以存在存在无穷多个平行四边形截面， 即四棱锥中存在无穷多个平行四边形截面； 故选：D. 考点11 空间中夹角与距离问题 1．（25-26高一下·江苏镇江·期中）在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点为，连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 所以即为异面直线与所成角或其补角， 设三棱锥棱长为， 则，， 因为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 2．（24-25高一下·江苏南通·月考）在正方体中，分别为，的中点，则（    ） A． B． C．平面平面 D．与所成的角大小为 【答案】A 【分析】对A，取中点，连接，利用正方体的性质可得四边形是平行四边形，即可求解；对B，利用，即可求解；对C，因为两平面过同一点，即可求解；对D，连接，从而可得为与所成的角，在中，通过计算可得，即可求解. 【详解】对于A，取中点，连接，因为分别为，的中点， 则，且，所以是平行四边形，所以，且， 又，且，所以平行四边形，则，且， 所以，且，则四边形是平行四边形，所以，故A正确， 对于B，因为，显然与不垂直，所以与不垂直，故B错误， 对于C，因为平面与平面均过点，所以平面与平面不平行，故C错误， 对于D，连接，因为，且，所以四边形是平行四边形， 则，所以为与所成的角， 在中，设，则， 所以，故D错误， 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知正四棱锥的底面边长和侧棱长相等，记异面直线与所成角为，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成的二面角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线所成角的概念，线面角，二面角的平面角的概念，构造出，，，求出它们的三角函数，利用三角函数的单调性，比较它们的大小. 【详解】如图： 不妨设.取和的交点为，中点，连接，，. 则，，. 因为，所以为异面直线与所成的角，为，所以，所以. 因为平面，所以为直线与底面所成的角，所以，所以. 因为，，所以为侧面与底面所成的二面角，所以. 因为，且在上单调递减. 所以. 故选：A 4．（24-25高一下·江苏·月考）如图，在正四棱锥中，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，连接，过点作于点，连接，证明平面，推得为直线与平面所成角，解三角形即得答案. 【详解】 如图，在正四棱锥中，连接交于点，连接，则平面， 过点作于点，连接，因平面，则， 因平面，故平面， 故为直线与平面所成角. 因，为棱的中点， 则， 故. 故选：C. 5．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将正三棱台补成正三棱锥，得到即为棱与底面所成的角，再由棱台的体积公式求解即可. 【详解】如图，将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面所成角即为与平面所成角， 设点在平面上的射影为，在平面上的射影为， 则为的中心，为的中心， 则即为棱与底面所成的角，而， 设的高为，由等面积公式得， 解得，由等边三角形的性质得， 同理可得，故， 故， 所以棱台的高，因为正三棱台的上底面边长， 下底面边长，所以， 同理可得， 则上，下底面的面积分别为和， 则棱台的体积，故B正确. 故选：B 6．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 (1)求证：平面BCD； (2)求的值； (3)若二面角的大小为，求四面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先根据勾股定理得出，进而应用平面平面BCD的性质定理证明线面垂直； （2）先根据线面平行性质定理得出，结合边长关系得出比例关系； （3）根据二面角定义得出即为二面角的平面角，再结合边长关系得出，最后应用三棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）在三角形ABO中，，，， 因此，可得 由于平面平面BCD，AO在平面ABD内，平面平面， 因此平面BCD； （2） 连接PE，平面，平面ABD，平面平面， 因此因为，， 因此，，因此； （3）设四面体的体积为V， 由（2）得，则， 由于平面平面BCD，平面平面，，平面BCD， 因此平面ABD， 又平面BCD，平面BCD，则， 过O作于点F， ，FO，平面AFO，则平面AFO， 又平面AFO，因此， 因此即为二面角的平面角， 因为，，，则， 又，在中由勾股定理得，又， 由，得， 因此 7．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，.    (1)证明：平面； (2)若，求二面角的正切值； (3)若点P在上，，直线与平面交于点F，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明结论； （2）根据面面角定义作出二面角的平面角，求出相关线段长，结合正切函数定义即可求得答案； （3）证明平面平面，再根据面面平行的性质定理即可证明结论. 【详解】（1）因为直四棱柱中，底面，底面， 所以. 因为菱形，所以，平面， 所以平面. （2）设，连接， 因为平面， 所以，且，， 所以是二面角的平面角. 因为，， 所以是正三角形， 所以，. 因为，在直角三角形中， 所以二面角的正切值为. （3）如图，连接，.    在直四棱柱中，，， 所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面. 同理，平面 因为，，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以. 8．（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，平面平面.为中点，为线段上一点，满足平面. (1)求的值； (2)若，求点到平面的距离； (3)记二面角为，直线与平面所成角为，求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）取中点，连接，根据条件及面面平行的判定定理得平面平面，再由面面平行的性质得，即可求解； （2）利用面面垂直的性质得平面，分别求出，，再利用，即可求解； （3）过作于，连接，根据条件可得，再结合条件，即可求解. 【详解】（1）如图1，取中点，连接，则， 又平面，平面，所以平面， 又平面，，平面，所以平面平面， 又平面平面，平面平面，所以， 又四边形是菱形，为的中点，所以为的中点，则. （2）如图2，连接，因为，， 四边形是菱形，所以为等边三角形， 由（1）知是的中点，所以，又平面平面，平面平面， 又平面，所以平面，且， 又，所以是等边三角形，则， 所以， 在中，，，则， 所以，则， 又，设点到平面的距离为， 由，得到，解得. （3）如图2，过作于，连接， 由（2）知为等边三角形，是的中点，所以， 又平面平面，平面平面， 又平面，所以平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，则是二面角二面角的平面角， 则， 又，且，所以四边形是平行四边形，则，且， 又平面，所以平面，则是直线与平面所成的角， 则，所以， 又，是的中点，所以，又，所以， 又是的中点，则为定值. 9．（24-25高一下·江苏南通·月考）在三棱锥中，，其余各棱的长均为6，点E在棱AC上，，过点E的平面与直线CD垂直，且与BC，CD分别交于点F， (1)求二面角的大小； (2)求线段FG的长度； (3)求点C到平面DEF的距离． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）取的中点，确定二面角的平面角，再利用余弦定理求解即得. （2）利用线面垂直的性质，结合正三角形、直角三角形求解即得. （3）利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为， 所以， 因此是二面角的平面角，又， 故， 由余弦定理得， 又，所以， 所以二面角的大小为， （2）依题意，直线平面，而平面，则， 由，得，由为正三角形，得，则， 又为正三角形，即，因此. （3）由（1）知，平面，而平面， 则平面平面， 在平面内过点作于，又平面平面， 于是平面，， 则点到平面距离， 由（2）知的面积，， ，显然， 则，，在中，， ，的面积， 设点到平面的距离为，由，得， 因此， 所以点到平面的距离为. 考点12 外接球、内切球的问题 1．（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出圆台及球的轴截面，从而可得等腰梯形及其内切圆，再结合勾股定理及条件解方程可得. 【详解】作圆台及球的轴截面，圆台的轴截面是等腰梯形且与球的截面的圆相切，如图： 所以圆台的母线长. 由勾股定理得：，化简得①. 又，代入①得：，，解得或. 若时，则，，所以圆台的侧面积； 若时，则，此时几何体是圆柱不是圆台，不符合题意，舍去. 因此，圆台的侧面积为. 2．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出外接圆半径，再利用几何体的结构特征求出球心到平面的距离，并求出球半径，进而求出球的体积. 【详解】在三棱锥中，，由正弦定理得外接圆半径， 由平面，三棱锥外接球球心在线段的中垂面上， 得该中垂面平行于平面，因此球心到平面的距离为， 则该外接球半径，所以三棱锥外接球的体积为. 故选：D 3．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期中）如图，直线AB垂直于圆O所在的平面，内接于圆O，且BD为圆O的直径，，E为垂足，则下列结论正确的是（    ） A．若AD的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值 B．若AC的长为定值，则该三棱锥内切球的半径也为定值 C．若BD的长为定值，则EO的长也为定值 D．若CD的长为定值，则的长也为定值 【答案】ACD 【分析】对于A，取AD的中点H，通过证明、推导出为外接球的球心，则AD为外接球直径，即可判断选项对错；对于B，通过体积法，举例证伪选项即可；对于C，通过证明即可判断BD和EO的长度关系，进一步可判断选项对错；对于D，通过变换，结合、，可得与CD长度的关系，即可判断选项对错． 【详解】对于A，取AD的中点H，如图所示， 平面BCD，平面BCD，，， 平面BCD，平面BCD，， ，，BC、平面ABC， 平面ABC，平面ABC，， ，为外接球的球心，AD是直径，该三棱锥外接球的半径为，故A正确； 对于B，假设内切球的球心为， 第一种情况不妨假设，，，，，此时内切球的半径为， 根据， 即， 即， 解得； 第二种情况不妨假设，，，，，此时内切球的半径为， 根据， 即， ， 解得； 综上所述，当AC的长为定值，三棱锥内切球的半径不为定值，故B错误； 对于C，由选项A可知，又，，AC、平面ACD， 平面ACD，平面ACD，， ，若BD的长为定值，则EO的长也为定值，故C正确； 对于D，由以上分析可知，，故，， 由于O为BD中点， 故 ， 故CD的长为定值，则的值也为定值，故D正确． 故选：ACD． 4．（25-26高一下·江苏·期中）在直三棱柱中，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为__________. 【答案】 【分析】由题意可得该直三棱柱可补形为以、、为棱的长方体，即可计算出该长方体外接球半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】由，结合直三棱柱性质可得、、两两垂直， 故该直三棱柱可补形为以、、为棱的长方体， 该长方体的外接球即为直三棱柱的外接球， 且该长方体的外接球半径， 故该直三棱柱的外接球的表面积为. 5．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 【答案】 【分析】设外接球球心为，、的外心分别为点、，取线段的中点，连接、、、，则，，由二面角的定义结合余弦定理求出的长，进而可求得的长，利用勾股定理可求出球的半径，再利用球体表面积公式可得结果. 【详解】设外接球球心为，、的外心分别为点、， 取线段的中点，连接、、、，则，， 因为是边长为的等边三角形，所以， 所以，， 因为，则为的中点， 又因为，故，故， 因为，，所以二面角的平面角为， 易知，， 所以、、、四点共圆， 由余弦定理可得， 所以，由正弦定理可得， 所以， 故球的半径为， 故四面体的外接球的表面积为. 6．（24-25高一下·江苏扬州·期末）如图为三棱锥的展开图，其中，，，，则三棱锥的顶点到平面的距离为___________；三棱锥的外接球的表面积为__________.    【答案】 【分析】根据展开图还原出几何体，画出图形，利用等体积法即可求得顶点到平面的距离，设外接圆半径为，圆心为，由正弦定理得，设三棱锥的外接球的半径为，球心为，得，利用勾股定理求出球半径，得出表面积. 【详解】根据题意还原三棱锥，    由，，，所以， 所以，所以，，平面，所以平面， 所以，又，所以， 设顶点到平面的距离的距离为，所以，所以， 由平面， 设外接圆半径为，圆心为，由正弦定理有， 设三棱锥的外接球的半径为，球心为，所以， 所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为， 故答案为：.    学科网（北京）股份有限公司 $