专题01 平面向量及其应用（12类核心考点）（高效培优期末专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 以12个递进考点构建平面向量知识体系，覆盖概念、运算到应用，通过各地期中期末真题强化基础与综合能力，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与线性运算|考点01-06（每题3-6题）|概念辨析、几何图形运算、共线定理应用|从向量概念生成，到线性运算、基底表示，再到坐标化，形成“概念-运算-工具”逻辑链| |数量积及应用|考点07-12（每题3-7题）|模与夹角计算、投影向量、垂直问题、最值探究|以数量积为核心，延伸至几何量计算与动态问题，发展推理能力与模型意识|

专题01 平面向量及其应用 考点 01 平面向量的概念 考点 07 平面向量的数量积 考点 02 平面向量的线性运算 考点 08 求向量的模 考点 03 平面向量共线定理及其应用 考点 09 求向量的夹角 考点 04 用基底表示向量 考点 10 求投影向量 考点 05 平面向量基本定理求参 考点 11 向量垂直问题 考点 06 平面向量的坐标表示 考点 12 数量积的最值问题 考点 01 平面向量的概念 1．（25-26高一下·四川南充·期中）下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量叫相等向量 B．零向量的长度是0 C．若，则 D．共线向量是在同一条直线上的向量 2．（25-26高一下·新疆和田·期中）下列说法正确的是（    ） A．方向相同的向量叫相等向量 B．零向量是没有方向的向量 C．共线向量不一定相等 D．平行向量方向相同 3．（25-26高一下·福建龙岩·期中）下列说法正确的是（   ） A．单位向量有且仅有一个 B．零向量的模长为零，方向任意 C．模长为的两倍的向量是 D．相反向量是与原向量方向相反的向量 4．（25-26高一下·北京平谷·期中）下列关于向量的命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 5．（25-26高一下·山西晋中·期中）下列命题正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．零向量没有方向 D．若，则 6．（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 考点 02 平面向量的线性运算 1．（25-26高一下·江苏淮安·期中） （    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏·期中）在中，，设，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·北京丰台·期中）如图，在矩形中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）设表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走 B．向西南走 C．向东南走 D．向西南走 5．（24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 考点 03 平面向量共线定理及其应用 1．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）若是不共线的向量，且，，，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 2．（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）已知向量，不共线，且，则实数（    ） A．1 B． C． D．4 3．（25-26高一下·天津河北·阶段检测）设，是两个不共线的向量.若向量与的方向相反，则（   ） A． B． C．4 D．8 4．（2026高一·全国·专题练习）已知，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 考点 04 用基底表示向量 1．（23-24高一下·河北张家口·期末）如图，在中，D是线段BC上的一点，且满足：，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知在平行四边形ABCD中，E为AC上靠近点A的三等分点，设，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 考点 05 平面向量基本定理求参 1．（24-25高一下·湖北十堰·期中）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高一下·湖北·期中）如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（   ） A．当点在线段上移动时， B．满足的点有且只有一个 C．满足的点有两个 D．最大值为3 5．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，菱形中，，，，点在线段上，且，则______． 考点 06 平面向量的坐标表示 1．（25-26高一上·浙江台州·期末）已知，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·期末）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 3．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知平面向量，，且与共线，则（   ） A．1 B．-1 C． D． 4．（多选）（24-25高一下·湖南·期末）如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（   ）    A． B．3 C．7 D．9 5．（25-26高一上·北京房山·期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则__________. 6．（24-25高一上·北京·期末）在直角梯形ABCD中，，，，分别为的中点，以为圆心、为半径的圆交于，点在劣弧上，且．若，则______． 考点 07 平面向量的数量积 1．（25-26高一下·重庆·阶段检测）在中，，且，．点在线段上，满足，点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·黑龙江辽宁·期中）已知四边形ABCD为平行四边形，，，，则等于（ ） A．5 B． C． D． 3．（25-26高一下·浙江衢州·期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则___________． 5．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）如图，在四边形中，为等边三角形，，则______． 6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，E为中点，与交于点. (1)设，求实数的值； (2)若，，，设是上一点，且，求的值. 考点 08 求向量的模 1．（25-26高一下·全国·期中）在四边形中，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知和是单位向量，且，若满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·四川资阳·阶段检测）若向量，满足，则（ ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一下·安徽阜阳·月考）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则__________． 6．（25-26高一下·陕西西安·月考）平面向量与的夹角为，，，则__________. 考点 09 求向量的夹角 1．（25-26高一下·江苏·期中）已知非零向量的夹角为，且满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·福建南平·阶段检测）已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 3．（25-26高一下·陕西延安·月考）已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（    ） A．与夹角为 B． C． D．与夹角为 5．（25-26高一下·四川内江·月考）已知，且，求与的夹角__________. 考点 10 求投影向量 1．（25-26高一下·江苏镇江·期中）已知平面向量是两个单位向量，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知向量，满足，则在（为非零向量）上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江苏·期中）设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏盐城·期中）已知平面向量，，若在上的投影向量为，则的值为（    ） A． B．-2 C．或-2 D．或-2 5．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知向量在向量上的投影向量为，且，则（    ） A．-18 B．-12 C．6 D．12 6．（25-26高一下·江苏南通·期中）若非零向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________． 考点 11 向量垂直问题 1．（25-26高一下·江苏南通·期中）已知向量，，若与垂直，则（    ） A．13 B． C．11 D． 2．（24-25高一下·江苏淮安·月考）平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，，，且，则______ 4．（25-26高一下·上海·月考）已知，，且，则与的夹角为___________． 5．（25-26高一下·江苏镇江·期中）已知向量满足. (1)若的夹角为，求； (2)若，求当为何值时，. 6．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量与向量的夹角为，且，. (1)求； (2)若，求实数的值. 考点 12 数量积的最值问题 1．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知正三角形ABC的边长为6，，P是线段DE上的动点（含端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在平行四边形中，，动点在边上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在平行四边形中，分别是线段的中点，延长交于点，且，则平行四边形面积的最大值为__________. 5．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知正六边形的边长为在梯形的边上及其内部运动，则的取值范围为__________. 6．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知平面向量是单位向量，且，则的取值范围是__________. 7．（25-26高一下·江苏南京·月考）已知两个平面向量，满足，，且（其中表示不超过实数x的最大整数），则的取值范围是______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量及其应用 考点 01 平面向量的概念 考点 07 平面向量的数量积 考点 02 平面向量的线性运算 考点 08 求向量的模 考点 03 平面向量共线定理及其应用 考点 09 求向量的夹角 考点 04 用基底表示向量 考点 10 求投影向量 考点 05 平面向量基本定理求参 考点 11 向量垂直问题 考点 06 平面向量的坐标表示 考点 12 数量积的最值问题 考点 01 平面向量的概念 1．（25-26高一下·四川南充·期中）下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量叫相等向量 B．零向量的长度是0 C．若，则 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】B 【详解】长度相等，且方向相同的向量叫做相等向量，所以A不正确； 零向量的长度为0，所以B正确； ，只能说明与的长度相等，并不能确定其方向，所以C不正确； 共线向量也叫做平行向量，只需保证方向相同或相反即可， 所以并不一定在同一条直线上，所以D不正确. 2．（25-26高一下·新疆和田·期中）下列说法正确的是（    ） A．方向相同的向量叫相等向量 B．零向量是没有方向的向量 C．共线向量不一定相等 D．平行向量方向相同 【答案】C 【分析】由相等向量、零向量、共线向量的概念逐项判断即可. 【详解】长度相等，方向相同的向量叫相等向量，A错； 零向量的方向是任意的，B错； 共线向量即方向相同或相反的向量，故不一定相等，C正确； 平行向量方向相同或相反，D错. 3．（25-26高一下·福建龙岩·期中）下列说法正确的是（   ） A．单位向量有且仅有一个 B．零向量的模长为零，方向任意 C．模长为的两倍的向量是 D．相反向量是与原向量方向相反的向量 【答案】B 【分析】根据单位向量，零向量，平面向量及相反向量的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，单位向量方向不确定故有无数个，故A错误； 对于B，零向量的模长为0，方向任意，故B正确； 对于C，模长为的两倍的向量可以是，故C错误； 对于D，相反向量是与原向量方向相反且长度相等的向量，故D错误. 4．（25-26高一下·北京平谷·期中）下列关于向量的命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A和B，由，得的模相等，而它们的方向不确定，则向量不一定共线，所以A和B均错误； 对于C，取，满足，而可为任意方向，则不一定共线，C错误； 对于D，，由相等向量的意义，得，D正确. 5．（25-26高一下·山西晋中·期中）下列命题正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．零向量没有方向 D．若，则 【答案】D 【详解】A选项：单位向量的模长都为，但方向不一定相同，因此不一定相等，A错误； B选项：若，则且时，与不一定平行，B错误； C选项：零向量的方向是任意的，并非“没有方向”，C错误； D选项：若，则两向量模长相等且方向相同，因此，D正确． 6．（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】C 【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确； 对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误. 考点 02 平面向量的线性运算 1．（25-26高一下·江苏淮安·期中） （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量线性运算加法法则与减法法则计算即可得. 【详解】. 2．（25-26高一下·江苏·期中）在中，，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形法则，以及平面向量基本定理，结合已知条件分析求解即可. 【详解】如图所示： 因为， 所以， 又，所以. 3．（24-25高一下·北京丰台·期中）如图，在矩形中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为矩形，为的中点， 所以. 4．（2026高一·全国·专题练习）设表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走 B．向西南走 C．向东南走 D．向西南走 【答案】A 【分析】根据题意利用向量加法的可交换性与意义即可得解. 【详解】因为表示“向东走10km”，表示“向南走5km”， 所以所表示的意义为“向东走10km”，再“向南走10km”， 等价于向东南走. 5．（24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出符合题意的图形，结合平面向量的加法和减法法则求解即可. 【详解】因为，所以是的中点，， 因为，所以是上靠近的三等分点，， 如图，连接，，作出平行四边形，    由题意得 ，故C正确. 故选：C 考点 03 平面向量共线定理及其应用 1．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）若是不共线的向量，且，，，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【详解】因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故A错误； 因为，， 由，所以，所以三点共线，故B正确； 因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故C错误； 因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故D错误. 2．（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）已知向量，不共线，且，则实数（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】由向量共线的充要条件，结合平面向量基本定理，列出等式求解即可. 【详解】因为，则存在实数，使得， 整理得：，因为向量，不共线，根据平面向量基本定理，得方程组： ，解得 3．（25-26高一下·天津河北·阶段检测）设，是两个不共线的向量.若向量与的方向相反，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【详解】因为向量与的方向相反， 所以，其中， 因，是两个不共线的向量， 则，， 联立可得：，则. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据是否共线进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】若，则存在，使得， 则， 而，所以与共线. 若不共线，若与共线， 则存在，使得， 则. 综上所述，与共线的条件为或. 考点 04 用基底表示向量 1．（23-24高一下·河北张家口·期末）如图，在中，D是线段BC上的一点，且满足：，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的线性运算即可得解. 【详解】在中，，则， 所以. 故选：B. 2．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知在平行四边形ABCD中，E为AC上靠近点A的三等分点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的加减法，和数乘运算法则直接求解即可. 【详解】 . 故选：A 3．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用共线向量表示及平面向量线性运算即得. 【详解】如图，由可得， 则. 故选：C 考点 05 平面向量基本定理求参 1．（24-25高一下·湖北十堰·期中）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量基本定理得到，由共线定理的推论得到方程，求出. 【详解】， 因为，，所以， 又三点共线，所以，即. 故选：C 2．（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算与共线定理用基底表示向量，结合平面向量基本定理即可得的值. 【详解】因为， 所以， 则， 故，. 故选：B. 3．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题意结合平面向量基本定理可得，， 设，且，由，整理得，结合进而可得结果. 【详解】设，即， 可得， 因为， 即， 整理可得，且不共线， 则，解得， 即，， 又因为点在内（不含边界），设，且， 可得， 则 可得，可得， 且，可得， 所以的取值范围是. 故选：C. 4．（多选）（24-25高一下·湖北·期中）如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（   ） A．当点在线段上移动时， B．满足的点有且只有一个 C．满足的点有两个 D．最大值为3 【答案】ACD 【分析】建立平面直角坐标系，分类讨论，点在、(不含点)、(不含点)、(不含点)上时的取值，进而逐项进行判断即可. 【详解】建立如图所示的平面坐标系，设菱形的边长为1，，则 ， 所以， 由，得， 所以，所以， ①当点在上时，，且， 所以，故A正确； ②当点在(不含点)上时，则， 所以，化简， 所以， 因为，所以，即； ③当点在(不含点)上时，则，且， 所以，即，所以； ④当点在(不含点)上时，则， 所以，化简， 所以， 因为，所以，所以； 对于B，由①知，当时，，此时点与点重合； 由④可知当时，，，此时点在的中点处； 其它均不可能，所以这样的点有两个，故B错误； 对于C，由②知，当时，，，此时点在的中点； 由③知，当时，，，此时点在点处； 其它均不可能，所以这样的点有两个，故C正确； 对于D，由①②③④可得，当，，即点为点时，取到最大值3，故D正确. 故选：ACD. 5．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，菱形中，，，，点在线段上，且，则______． 【答案】 【分析】由题意得出，分别是，的一个三等分点，设，然后把用，表示可得，和已知等式相比，即可求得答案. 【详解】由题意得，， 所以，分别是，的一个三等分点，，， 设， 则 ， 又， 所以，解得， 所以. 故答案为：． 考点 06 平面向量的坐标表示 1．（25-26高一上·浙江台州·期末）已知，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的坐标运算即可求解． 【详解】依题意，则． 故选：D． 2．（25-26高一上·全国·期末）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】求出的坐标，再根据平行关系求出即可. 【详解】由，，得， 因为，，所以，解得． 故选：C． 3．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知平面向量，，且与共线，则（   ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】由题意可得，， 由与共线可得， 解得， 故选：C 4．（多选）（24-25高一下·湖南·期末）如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（   ）    A． B．3 C．7 D．9 【答案】ACD 【分析】建立适当的平面直角坐标系，依次设和并结合和得关于的方程组即可求解. 【详解】由题可建立如图以A为坐标原点的平面直角坐标系，    则，不妨设，则， 则， 设，则， 因为，所以， 所以，整理得 因为，所以. 故选：ACD 5．（25-26高一上·北京房山·期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则__________. 【答案】2 【分析】根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】 建立如图所示的平面直角坐标系，，，， 由，可得， ， 故答案为：2 6．（24-25高一上·北京·期末）在直角梯形ABCD中，，，，分别为的中点，以为圆心、为半径的圆交于，点在劣弧上，且．若，则______． 【答案】/ 【分析】建立直角坐标系，则，根据，求出，即可得解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系： ，分别为的中点，， 以为圆心，为半径的圆交于，点在劣弧上，且， 所以即， 由，得， 所以，所以，所以. 故答案为： 考点 07 平面向量的数量积 1．（25-26高一下·重庆·阶段检测）在中，，且，．点在线段上，满足，点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，根据共线定理及中点坐标公式求出的坐标，然后根据数量积的坐标公式求解. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 由，，得，，． 因为，且点满足， 所以，从而． 又点为的中点，所以． 因此，， 故． 2．（25-26高一下·黑龙江辽宁·期中）已知四边形ABCD为平行四边形，，，，则等于（ ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用向量的线性运算及数量积的运算律，得，即可求解. 【详解】因为，则， 又，则，， 所以， 又，，所以. 3．（25-26高一下·浙江衢州·期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算及数量积的运算律即可求解． 【详解】连接，取中点，连接，则且， 所以， 所以． 4．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，取为基底，利用向量数量积公式求解作答. 【详解】在中，令，，则， 所以， 因为、边上的两条中线，相交于点，则，， 于是. 5．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）如图，在四边形中，为等边三角形，，则______． 【答案】18 【分析】先通过勾股定理判断是直角三角形，再通过向量分解将拆分为，最后结合等边三角形的性质即可求得结果. 【详解】因为，即， 所以是直角三角形，且， 因为，所以， 因为是等边三角形，所以， 即. 6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，E为中点，与交于点. (1)设，求实数的值； (2)若，，，设是上一点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取向量为基底，利用向量线性运算，结合共线向量定理的推论列式求解. （2）结合（1）的结论，利用数量积的定义及运算律求解. 【详解】（1）在中，由，得，则， 而E为中点，则，又，因此， 又点共线，于是，所以. （2）由，得， 由（1）得，， 由，，，得， 所以 . 考点 08 求向量的模 1．（25-26高一下·全国·期中）在四边形中，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】用表示其它向量后，由数量积的运算律列式计算即可． 【详解】由，，则， 因为， 所以， 所以，所以． 2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知和是单位向量，且，若满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，为单位向量且垂直， 不妨设，，则， 所以表示的终点在以为圆心，半径为1的圆内（含边界）， 则表示圆区域内（含边界）一点到原点的距离，而原点到圆心距离为， 故的范围为. 3．（25-26高一下·四川资阳·阶段检测）若向量，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件求出，，，再利用向量的模的公式求解即可 . 【详解】由得，， 由得，，即，所以. 又，所以，即，所以. 所以. 4．（多选）（25-26高一下·安徽阜阳·月考）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】借助模长与数量积的关系计算可得A、D；借助夹角公式计算可得B，即可得C. 【详解】对A、D：由，得，整理得， 由，得，整理得， 则，所以，，故A，D正确； 对B、C：，所以，所以，反向共线， 又，所以，，故B正确，C错误． 5．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则__________． 【答案】 【详解】. 6．（25-26高一下·陕西西安·月考）平面向量与的夹角为，，，则__________. 【答案】 【详解】平面向量与的夹角为，，， ，，， . 考点 09 求向量的夹角 1．（25-26高一下·江苏·期中）已知非零向量的夹角为，且满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，化简得：，即 ，有， 设与的夹角为，，所以. 2．（25-26高一下·福建南平·阶段检测）已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】C 【分析】根据向量垂直列方程，由此求得，进而确定正确答案. 【详解】因为，所以 ， 由于， 所以. 3．（25-26高一下·陕西延安·月考）已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为与的夹角为钝角，所以，即，解得. 当与共线时，，此时和反向，不满足题意. 故的取值范围为. 4．（多选）（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（    ） A．与夹角为 B． C． D．与夹角为 【答案】ACD 【详解】因为， 所以，所以，所以B错误； 所以， 因为，所以，所以A正确； 因为，所以C正确； 因为， 且，所以，所以D正确. 5．（25-26高一下·四川内江·月考）已知，且，求与的夹角__________. 【答案】 【分析】先展开向量的数量积运算式，代入已知模长求出两向量的数量积，再利用向量夹角公式计算余弦值，最后结合夹角的取值范围确定最终角度. 【详解】由，展开得， 代入，得， ，即， 解得. 由， 又，故. 考点 10 求投影向量 1．（25-26高一下·江苏镇江·期中）已知平面向量是两个单位向量，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是单位向量，所以， 由，得，所以， 所以在上的投影向量为. 2．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知向量，满足，则在（为非零向量）上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，化简得， 在上的投影向量为：． 3．（25-26高一下·江苏·期中）设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在上的投影向量的定义建立方程，求解夹角的余弦值，结合夹角的取值范围确定夹角. 【详解】设向量与的夹角为， 根据投影向量的定义，在上的投影向量为， 可得 ，因此，解得 . 又因为，所以. 4．（25-26高一下·江苏盐城·期中）已知平面向量，，若在上的投影向量为，则的值为（    ） A． B．-2 C．或-2 D．或-2 【答案】D 【分析】使用投影向量的概念求出在上的投影向量，再求出的值. 【详解】由于在上的投影向量为, 又，所以，，解得或-2. 5．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知向量在向量上的投影向量为，且，则（    ） A．-18 B．-12 C．6 D．12 【答案】A 【分析】结合向量投影可得； 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，且， 所以，且， 所以. 6．（25-26高一下·江苏南通·期中）若非零向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________． 【答案】 【详解】因为，所以， 解得：，所以， 所以在上的投影向量为. 考点 11 向量垂直问题 1．（25-26高一下·江苏南通·期中）已知向量，，若与垂直，则（    ） A．13 B． C．11 D． 【答案】A 【详解】，若与垂直，则， 即：，解得：. 2．（24-25高一下·江苏淮安·月考）平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】应用向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数. 【详解】由题设，则，可得. 故选：C 3．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，，，且，则______ 【答案】 【详解】依题意有， ， 因为，所以， 整理得，由即可得， 又，所以， 所以. 4．（25-26高一下·上海·月考）已知，，且，则与的夹角为___________． 【答案】 【分析】借助平面向量垂直定义及夹角公式计算即可得. 【详解】， 则，则，故. 5．（25-26高一下·江苏镇江·期中）已知向量满足. (1)若的夹角为，求； (2)若，求当为何值时，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量模的计算公式及数量积运算律计算即可； （2）根据向量垂直得到，再根据向量数量积的运算律计算可得. 【详解】（1）因为，，的夹角为， 所以. （2）若，则，即，所以， 因为， 令，即时，， 所以当时，. 6．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量与向量的夹角为，且，. (1)求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)5； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的定义及运算律建立方程求解即可. （2）由（1）中信息，利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律求解. 【详解】（1）由，得，而， 则，即， 所以. （2）由（1）得，由，得， 所以. 考点 12 数量积的最值问题 1．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知正三角形ABC的边长为6，，P是线段DE上的动点（含端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取线段的中点，建立平面直角坐标系，设，根据数量积的坐标公式结合二次函数即可求值域． 【详解】取线段的中点，连接，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 因为正三角形ABC的边长为6，所以， 故， 又，所以 设，则， 所以，， 故. 2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在平行四边形中，，动点在边上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，以为基底表示出，根据向量数量积的运算律可将化为关于的二次函数的形式，由二次函数值域求法可求得结果. 【详解】设，则， 所以，， 所以 又，当时，取最小值为， 当时，取最大值为， 所以. 3．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的数量积公式与模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】由已知得， 所以 ， 当时，取得最小值48， 所以的取值范围是. 4．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在平行四边形中，分别是线段的中点，延长交于点，且，则平行四边形面积的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】设，，先利用中点与共线条件，将点的位置用参数表示，并通过向量共线建立方程解出与，从而确定与，设，，再结合平面向量的数量积的运算律可得，根据基本不等式得到，进而得到平行四边形面积的最大值. 【详解】如图，设，，因为 是 中点， 是 AE 中点， 所以， 则. 设，则. 由共线，则存在唯一非零实数，使得， 即，则，解得，，故， 又， 设，，则， 由，得， 则，即， 由基本不等式，当且仅当时等号成立， 则， 即，当且仅当时等号成立， 则平行四边形面积， 即平行四边形面积的最大值为. 5．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知正六边形的边长为在梯形的边上及其内部运动，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】取中点，借助向量运算法则可得，再计算的范围即可得解. 【详解】取中点，中点， ， 由在梯形的边上及其内部运动， 易得， ， 即，故. 6．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知平面向量是单位向量，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据数量积的运算性质，可得，令，则所求变为，根据向量模长的三角不等式，分析计算，即可得答案. 【详解】因为是单位向量，且， 所以，则， 令，即，则， 由向量模长的三角不等式得，则， 当反向共线时，，当同向共线时，， 则的取值范围是. 7．（25-26高一下·江苏南京·月考）已知两个平面向量，满足，，且（其中表示不超过实数x的最大整数），则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据向量模长和数量积的取整条件，得到数量积的范围，再结合向量模长公式，将模长转化为关于的函数，即可得解. 【详解】由可知，又，， 所以， 而，所以的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $