专题07 概率（9类核心考点）（高效培优期末专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 以概率基础概念为起点，通过分层考点构建从概念辨析到综合应用的完整逻辑链，强化数学思维与数据意识 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |随机事件与样本空间|6题|结合集合与生活情境辨析事件类型|从事件定义出发，建立样本空间认知基础| |概率与频率|5题|通过试验数据与实际问题考查关系|衔接频率与概率的统计意义，培养数据意识| |古典概型|6题|涵盖抽卡、赛马等多样情境计算|基于等可能模型，强化分步计数思维| |互斥与对立事件|6题|结合掷骰子、抽卡片判断事件关系|构建事件关系逻辑，为概率公式应用铺垫| |独立事件|5题|通过射击、密码破译等计算概率|深化事件独立性判定，拓展复杂情境应用| |概率综合|4题|系统可靠性、分层抽样等综合问题|整合前述知识，提升数学应用与推理能力|

专题07 概率 考点01随机事件与样本空间 考点07独立事件的判断 考点02概率与频率的关系 考点08独立事件概率的计算 考点03古典概型的计算 考点09概率综合问题 考点04互斥与对立事件的判断 考点05互斥事件概率公式的应用 考点06对立事件概率公式的应用 考点01随机事件与样本空间 1．（25-26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 2．（25-26高二上·四川巴中·期末）在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 3．（25-26高二上·四川南充·月考）下列说法正确的是（    ） ①已知，，那么事件“”有可能不发生；         ②随机试验的频率与概率相等； ③如果一个事件发生的概率为，那么说明此事件必然发生； ④只有不确定事件有概率； ⑤若事件发生的概率为，则． A．⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤ 4．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 5．（25-26高一上·江西南昌·开学考试）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同.从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ） A．至多有1个球是红球 B．至少有1个球是红球 C．至多有1个球是黑球 D．至少有1个球是黑球 6．（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 考点02概率与频率的关系 1．（25-26高一上·河南焦作·期末）现某人随机进行二进制码0，1的输入，输入结果如下：0，0，1，0，1，0，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，1，用频率估计概率，记其输入1的概率为，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（   ） A．1 B．0 C．0.5 D．0.25 3．（25-26高二上·四川资阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 4．（24-25高一下·贵州毕节·期中）某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表： 分数段 人数 2 5 6 8 分数段 人数 12 6 4 2 那么分数在的频率和分数不满110分的频率分别是（精确到0.01）（   ） A．0.18，0.47 B．0.47，0.18 C．0.18，0.50 D．0.38，0.75 5．（25-26高二上·贵州·月考）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ） A． B． C． D． 考点03古典概型的计算 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏淮安·期末）不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏徐州·期末）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏南京·期末）某校文艺部有5名学生，其中高一年级有3名、高二年级有2名.从这5名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）书架上有2本体育杂志和3本文学杂志，从中任意挑选2本，则挑选的杂志类型相同的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏无锡·期末）《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 考点04互斥与对立事件的判断 1．（25-26高二下·云南怒江·月考）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（   ） A．A包含B B．A与B互斥 C．A与B互为对立 D．A与B相互独立 2．（25-26高一下·贵州遵义·月考）掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（    ） A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立 3．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（    ） A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 4．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”， 事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（    ） A．A与B B．A与C C．B与C D．A与D 5．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）某生物实验小组种植了3粒新品种的种子，下列两个事件是互斥且不对立的是（   ） A．“至少有一粒种子发芽”与“至多有一粒种子发芽” B．“恰有两粒种子发芽”与“至少有一粒种子发芽” C．“三粒种子都发芽”与“至少有一粒种子发芽” D．“至少有两粒种子发芽”与“三粒种子都不发芽” 6．（25-26高二上·山东淄博·期中）不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为 （    ） ①2张卡片都不是蓝色； ②2张卡片恰有1 张是蓝色； ③2张卡片至少有1张是蓝色； ④2 张卡片至多一张为蓝色. A．1 B．2 C．3 D．4 考点05互斥事件概率公式的应用 1．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 2．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江西赣州·期末）设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知甲、乙两名运动员进行射击比赛，各射击一次，是否中靶相互独立.若恰好一人中靶的概率为0.26，至少一人中靶的概率为0.98，则甲、乙两人都中靶的概率是（   ） A． B． C． D． 考点06对立事件概率公式的应用 1．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（    ） A．A，B相互独立 B．A，B互斥 C． D． 2．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知事件相互独立，若，则的值为（    ） A．0.36 B．0.4 C．0.6 D．0.76 3．（24-25高一下·江苏南通·期末）如图，用三种不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响．当元件都正常工作或正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率分别为，则系统正常工作的概率为（   ） A．0.504 B．0.846 C．0.902 D．0.956 4．（24-25高一下·江西抚州·月考）如图，用四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件正常工作，且三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作．已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率均为，且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东·阶段检测）某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 考点07独立事件的判断 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论错误的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则 C．若，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则 2．（24-25高一上·江苏·暑假作业）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件 “次中至多有一次反面朝上”，事件 “次中全部正面朝上或全部反面朝上”，下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．当时，与不独立 C．当时， D．当时，与不独立 3．（24-25高一上·江苏·暑假作业）若，，，则事件与的关系是（    ） A．事件与互斥但不对立 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立 4．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 5．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，设事件“向上的点数是奇数”，事件“向上的点数是2或4”，事件“向上的点数是2或5”，则下列说法正确的是 （    ） A．与对立 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 考点08独立事件概率的计算 1．（25-26高二下·江苏无锡·期中）甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·期末）甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（   ） A．0.95 B．0.6 C．0.05 D．0.4 3．（25-26高一上·安徽·期末）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为，乙能破译密码的概率为，则这份密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知甲、乙两名运动员击中目标的概率分别为，，且2人是否击中目标相互独立，若他们2人向目标各发1枪，则目标被击中的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东临沂·期末）甲乙两人独立地参加一项闯关游戏，甲成功的概率为，乙成功的概率为，则甲乙至少有一人成功的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知甲、乙、丙三人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，则甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率是_____. 考点09概率综合问题 1．（25-26高三下·河北·开学考试）在名男生，名女生中随机选取一名男生和一名女生，记“男生甲和女生乙入选”为事件，“男生甲入选”为事件，“女生乙入选”为事件，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（    ）    A． B． C． D． 3．（2026·陕西咸阳·二模）已知黑箱中共有（，）张完全相同的卡片，分别标有数字，每张卡片只标有一个数字，且数字都不相同，从中随机取出张，记录卡片上的数字为，，设，若，则的最大值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 4．（25-26高一下·江西宜春·月考）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． (1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 概率 考点01随机事件与样本空间 考点07独立事件的判断 考点02概率与频率的关系 考点08独立事件概率的计算 考点03古典概型的计算 考点09概率综合问题 考点04互斥与对立事件的判断 考点05互斥事件概率公式的应用 考点06对立事件概率公式的应用 考点01随机事件与样本空间 1．（25-26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】B 【分析】根据非空集合满足的子集关系，依次分析各选项即可判断. 【详解】因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； 对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确. 故选：B 2．（25-26高二上·四川巴中·期末）在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】根据随机事件的概念判断. 【详解】在掷骰子试验中， 朝上面的点数为3点，可能发生也可能不发生， 所以事件：朝上面的点数为3点，为随机事件. 故选：C 3．（25-26高二上·四川南充·月考）下列说法正确的是（    ） ①已知，，那么事件“”有可能不发生；         ②随机试验的频率与概率相等； ③如果一个事件发生的概率为，那么说明此事件必然发生； ④只有不确定事件有概率； ⑤若事件发生的概率为，则． A．⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤ 【答案】A 【分析】根据必然事件、可能事件、概率的概念进行判断即可. 【详解】对于①： 因为，所以事件“”必然发生，所以①错误； 对于②： 频率是随机试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，概率是事件发生的可能性的稳定值，频率会随着试验次数的变化而变化，只有当试验次数很大时，频率才会接近概率，二者不相等，所以②错误； 对于③： 概率为的事件不是必然事件，必然事件的概率是，所以③错误； 对于④： 确定事件（必然事件和不可能事件）也有概率，必然事件概率为1，不可能事件概率为0，所以④错误； 对于⑤： 任何事件发生的概率都满足，所以⑤正确. 故选：A. 4．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【答案】C 【分析】根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答. 【详解】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意； B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意； C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意； D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意. 故选：C. 5．（25-26高一上·江西南昌·开学考试）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同.从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ） A．至多有1个球是红球 B．至少有1个球是红球 C．至多有1个球是黑球 D．至少有1个球是黑球 【答案】B 【分析】根据摸球的可能结果判断. 【详解】从袋中任意摸出个球，可能的情况有：①三个都是红球；②恰有2个红球和1个黑球；③恰有1个红球和2个黑球. 所以摸出的个球中“至少有1个是红球”是必然事件. 故选：B. 6．（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确. 故选：C 考点02概率与频率的关系 1．（25-26高一上·河南焦作·期末）现某人随机进行二进制码0，1的输入，输入结果如下：0，0，1，0，1，0，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，1，用频率估计概率，记其输入1的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，用频率估计概率进行求解. 【详解】经统计得共有18个结果，其中共有7个1，可得频率为， 由频率估计概率，得. 故选：B. 2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（   ） A．1 B．0 C．0.5 D．0.25 【答案】D 【分析】求出取出一张恰好为梅花的概率，根据频率的稳定性即可求解. 【详解】一副去掉大小王的扑克牌有52张，其中梅花有13张， 所以取出一张恰好为梅花的概率为， 根据频率的稳定性，可估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率. 故选：D. 3．（25-26高二上·四川资阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 【答案】D 【分析】利用频率与概率的概念分析选项即可. 【详解】对于A，此概率只表示事件发生的可能性大小，具有随机性，不能代表比赛5场必胜3场，所以A错误； 对于B，此中奖率只表示中奖的可能性，也具有随机性，不能代表10人必中奖1人，所以B错误； 对于C，随机试验的频率可以估计概率，并不等于概率，所以C错误； 对于D，预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90%，正确. 故选：D 4．（24-25高一下·贵州毕节·期中）某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表： 分数段 人数 2 5 6 8 分数段 人数 12 6 4 2 那么分数在的频率和分数不满110分的频率分别是（精确到0.01）（   ） A．0.18，0.47 B．0.47，0.18 C．0.18，0.50 D．0.38，0.75 【答案】A 【分析】根据频数与总数的比为频率，由此能求出结果． 【详解】分数在的频率为：． 分数不满110分的频率为：． 故选：A． 5．（25-26高二上·贵州·月考）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用独立重复实验可求出试验出现正面朝上的频率，再根据每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上机会相等求出正面朝上的概率． 【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次， 出现正面朝上的频率为：， 又每次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是， 出现正面朝上的概率为：， 出现正面朝上的频率为，概率为． 故选：B． 考点03古典概型的计算 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出样本点的总数，并列举出事件“点数和为”所包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点， 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种， 故所求概率为. 2．（24-25高一下·江苏淮安·期末）不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设相应事件，利用列举法可得，结合古典概型运算求解即可. 【详解】因为样本空间， ， 可得， 设“记录号码为4”为事件A， 由题意可知：，可得， 所以. 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏徐州·期末）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出从4张卡片中不放回地随机抽取2张所有可能的组合的可能数，求出和为奇数的条件的组合数即可求解. 【详解】从4张卡片中不放回地随机抽取2张， 所有可能的组合有：，共种等可能的结果， 和为奇数的条件是一奇一偶， 符合条件的组合为：， 所以抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为. 故选：D. 4．（24-25高一下·江苏南京·期末）某校文艺部有5名学生，其中高一年级有3名、高二年级有2名.从这5名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列举出样本空间，根据古典概率的计算公式求解. 【详解】设高一年级的3名学生为，高二年级的2名学生为， 则从这5名学生中随机选2名组织校文艺汇演包含的基本事件有： ，共计10个， 其中这2名学生来自不同年级有，计6个， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）书架上有2本体育杂志和3本文学杂志，从中任意挑选2本，则挑选的杂志类型相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】从5本杂志中任意挑选2本有种不同的选法， 其中挑选的杂志类型相同的选法有， 所以挑选的杂志类型相同的概率为. 故选：C. 6．（24-25高一下·江苏无锡·期末）《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用古典概型可计算田忌选中什么马的获胜概率，再利用全概率公式可计算结果. 【详解】若田忌的选中上等马且获胜的概率为，若田忌的选中中等马且获胜的概率为， 若田忌的选中下等马且获胜的概率为， 根据全概率公式可知田忌的马获胜的概率为， 故选：B. 考点04互斥与对立事件的判断 1．（25-26高二下·云南怒江·月考）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（   ） A．A包含B B．A与B互斥 C．A与B互为对立 D．A与B相互独立 【答案】D 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及事件的概率求法逐一判断即可. 【详解】A不包含B，A与B不互斥，也不互为对立. 又因为，，，， 所以A与B相互独立. 2．（25-26高一下·贵州遵义·月考）掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（    ） A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立 【答案】D 【详解】对于A，因为，，因此不包含，故A错误； 对于BC，因为，， 因此与不是对立事件，也不是互斥事件，故BC错误； 对于D，由于，，而， 故，所以， 所以A与B相互独立，故D正确． 3．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（    ） A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 【答案】B 【详解】从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，样本空间为， 事件“抽到小于4的数”， ， 事件“抽到大于3的数”， ， 事件“抽到大于2的偶数”， ， ，和互斥，故选项A错误； ，和互斥且对立，故选项B正确； ，和C互斥，故选项C错误； ，和C不对立，故选项D错误. 4．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”， 事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（    ） A．A与B B．A与C C．B与C D．A与D 【答案】D 【分析】根据已知写出各事件的基本事件，结合互斥事件、对立事件的定义判断各项的正误. 【详解】由题设，样本空间，事件，事件，事件，事件， 所以是互斥事件，也是对立事件，、均不是互斥事件，是互斥事件，但不是对立事件. 故选：D 5．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）某生物实验小组种植了3粒新品种的种子，下列两个事件是互斥且不对立的是（   ） A．“至少有一粒种子发芽”与“至多有一粒种子发芽” B．“恰有两粒种子发芽”与“至少有一粒种子发芽” C．“三粒种子都发芽”与“至少有一粒种子发芽” D．“至少有两粒种子发芽”与“三粒种子都不发芽” 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可求解. 【详解】样本空间为：3 粒种子发芽数为 0,1,2,3. “至少有一粒发芽”（1,2,3）与 “至多有一粒发芽”（0,1）交集为 “1 粒发芽”，能同时发生 不是互斥事件,故A不对； “恰有两粒发芽”（2）与 “至少有一粒发芽”（1,2,3） 交集为 “2粒发芽”，能同时发生不是互斥事件，故B不对； “三粒都发芽”（3）与 “至少有一粒发芽”（1,2,3）交集为 “3粒发芽”，能同时发生不是互斥事件，故C不对； “至少有两粒发芽”（2,3）与 “三粒都不发芽”（0）交集为空（不能同时发生）是互斥事件；并集为 {0,2,3}，未包含 “1粒发芽” 的情况所以两件事不是对立事件，故D正确. 故选D. 6．（25-26高二上·山东淄博·期中）不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为 （    ） ①2张卡片都不是蓝色； ②2张卡片恰有1 张是蓝色； ③2张卡片至少有1张是蓝色； ④2 张卡片至多一张为蓝色. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用互斥和对立的定义逐个选项分析求解即可. 【详解】一次性任意取出2张卡片,则这两张卡片的颜色为（红色，绿色），（绿色，蓝色）， （红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），（蓝色，蓝色）这六种情况， 设（红色，绿色），（绿色，蓝色）， （红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），（蓝色，蓝色）. 设事件“2张卡片都为蓝色”为，①设2张卡片都不是蓝色为事件， 则（红色，绿色），（红色，红色），（绿色，绿色）， 则，，和是互斥不对立事件，故①正确； ②设2张卡片恰有1 张是蓝色为事件，则（绿色，蓝色），（红色，蓝色）， 则，，和是互斥不对立事件，故②正确； ③设2张卡片至少有1张是蓝色为事件，则（绿色，蓝色），（红色，蓝色）， （蓝色，蓝色），则，， 得到和是不互斥不对立事件，故③不正确； ④设2 张卡片至多一张为蓝色为事件，则（红色，绿色），（绿色，蓝色）， （红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），则，， 得到和是对立事件，故④不正确. 故选：B. 考点05互斥事件概率公式的应用 1．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 【答案】C 【分析】根据独立事件的乘法公式可判断A；根据对立事件的概率计算结合独立事件的概率公式可判断B，C，D. 【详解】设事件A表示“甲做对”，事件B表示“乙做对”，则，. 对于A，两人都做对的概率为，故A正确； 对于B，恰好有一人做对的概率为，故B正确； 对于C，两人都做错的概率为，故C错误； 对于D，至少有一人做对的概率为，故D正确． 2．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ． 3．（25-26高一上·江西赣州·期末）设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率的性质以及互斥事件的概率公式可得出关于实数的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】因为、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，， 由题意可得，解得， 由互斥事件的概率公式可得， 由题意可得，解得， 故的取值范围是. 故选：A. 4．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知甲、乙两名运动员进行射击比赛，各射击一次，是否中靶相互独立.若恰好一人中靶的概率为0.26，至少一人中靶的概率为0.98，则甲、乙两人都中靶的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设甲射击一次中靶的概率为，乙射击一次中靶的概率为，根据题意建立方程组，整体法可求得，即甲、乙两人都中靶的概率. 【详解】设甲射击一次中靶的概率为，乙射击一次中靶的概率为， 因为甲、乙是否中靶相互独立，且恰好一人中靶的概率为， 所以， 展开得.① 又至少有一人中靶的概率为，即，所以， 展开得.② 由①+②得，解得，即甲、乙两人都中靶的概率是. 故选：C 考点06对立事件概率公式的应用 1．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（    ） A．A，B相互独立 B．A，B互斥 C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率计算，由互斥事件、独立事件以及对立事件的概率公式，可得答案. 【详解】由题意可得，，， 由，则，故C正确，B错误； 由，则事件不是相互独立的，故A错误； 由，则D错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知事件相互独立，若，则的值为（    ） A．0.36 B．0.4 C．0.6 D．0.76 【答案】B 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意，， 则，即. 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏南通·期末）如图，用三种不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响．当元件都正常工作或正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率分别为，则系统正常工作的概率为（   ） A．0.504 B．0.846 C．0.902 D．0.956 【答案】D 【分析】利用对立事件的概率公式将目标事件合理转化，再结合独立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意得，，， 且系统正常工作的对立事件为系统不都正常工作且也不正常工作， 而每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，则相互独立， 可得不都正常工作的概率为， 故系统不正常工作的概率为， 由对立事件的概率公式得系统正常工作的概率为，故D正确. 故选：D 4．（24-25高一下·江西抚州·月考）如图，用四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件正常工作，且三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作．已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率均为，且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得均不正常工作的概率，再结合对立事件、独立事件概率计算公式即可求解； 【详解】由题可知，元件均不正常工作的概率为， 则元件中至少有一个正常工作的概率为， 从而该系统正常工作的概率为． 故选：B 5．（25-26高二上·山东·阶段检测）某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对立事件和概率加法公式即可求解. 【详解】设事件“读者选择类图书”， 事件“读者选择类图书”， 则， 可得， 又， 所以. 故选：. 考点07独立事件的判断 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论错误的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则 C．若，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则 【答案】B 【分析】由互斥的独立事件的性质和概率逐项判断可得. 【详解】对于A，由互斥事件的加法公式可得，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，，即， 所以A与B相互独立，故C正确； 对于D，若A与B相互独立，则，故D正确. 故选：B. 2．（24-25高一上·江苏·暑假作业）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件 “次中至多有一次反面朝上”，事件 “次中全部正面朝上或全部反面朝上”，下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．当时，与不独立 C．当时， D．当时，与不独立 【答案】D 【分析】根据题意，利用列举法求得事件，，和，求得相应的概率，结合根据与的关系，判断两个事件是否独立，即可求解． 【详解】当时，所有基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种， 事件中基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），共3种， 事件中基本事件有：（正，正），（反，反），共2种， 事件中基本事件有：（正，正），共1种， 所以，，，所以A正确； 因为，所以事件与事件不独立，所以B正确； 当时，所有基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共8种， 事件中基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），共4种， 事件中基本事件有：（正，正，正），（反，反，反），共2种， 事件中基本事件有：（正，正，正），共1种， 事件中基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，反），共5种， 所以，，，，所以C正确； 因为，所以事件与事件独立，所以D错误． 故选：D． 3．（24-25高一上·江苏·暑假作业）若，，，则事件与的关系是（    ） A．事件与互斥但不对立 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立 【答案】C 【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识，求出，得到，从而得到事件与是相互独立事件． 【详解】，， ， 事件与是相互独立事件． 故选：C． 4．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 【答案】B 【分析】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，，，，，，，共种情况； 第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况； 第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况； 则两次取出球的数字之和为的所有可能为，，，共种情况； 两次取出球的数字之和为的所有可能为，共种情况； 记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为， “两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为， 则，，，. A：当甲丙同时发生时，取出的恰是，此时， 故甲丙相互独立，故A正确； B：当甲乙同时发生时，取出的恰是，此时，， 故甲乙不相互独立，故B错误； C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确； D：当第二次取出的球的数字是2时，第一次不可能取2，即两次取出的数字之和不能为4，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确； 故选：B. 5．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，设事件“向上的点数是奇数”，事件“向上的点数是2或4”，事件“向上的点数是2或5”，则下列说法正确的是 （    ） A．与对立 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】D 【分析】对A，由对立事件的概率关系判断；对B，由互斥事件的概念判断；对C、D，由相互独立事件的概念判断. 【详解】， 对于A：因为，所以不对立，A错误； 对于B：因为当向上的点数为时，事件同时发生，所以不互斥，B错误； 对于C：因为事件“向上的点数是2”，，， ，所以与不相互独立； 对于D：因为事件“向上的点数为”，，又， 所以，所以与相互独立. 故选：D. 考点08独立事件概率的计算 1．（25-26高二下·江苏无锡·期中）甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设甲、乙投篮投中的事件分别为. 则两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是. 2．（25-26高一下·全国·期末）甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（   ） A．0.95 B．0.6 C．0.05 D．0.4 【答案】A 【分析】方法一：逐个分析至少有一颗卫星预报准确的所有可能的事件，依次求其概率后相加，方法二：正难则反，“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确” 用1减去对立事件的概率即可. 【详解】设在同一时刻至少有一颗卫星预报准确为事件， 方法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为： ①甲预报准确，乙预报不准确，此事件的概率为， ②甲预报不准确，乙预报准确，此事件的概率为， ③甲预报准确，乙预报准确，此事件的概率为， 这三个事件彼此互斥，故事件的概率为， 方法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是 “在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”， 故事件的概率为． 3．（25-26高一上·安徽·期末）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为，乙能破译密码的概率为，则这份密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，以及对立事件的概率计算公式，即可求解. 【详解】设密码被成功破译的事件为， 则这份密码没有被破译的概率为， 所以密码被成功破译的概率为， 故选：C. 4．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知甲、乙两名运动员击中目标的概率分别为，，且2人是否击中目标相互独立，若他们2人向目标各发1枪，则目标被击中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件概率乘法公式结合对立事件概率公式运算求解. 【详解】设甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件， 则，，且，可得，， 所以. 故选：B. 5．（25-26高二上·山东临沂·期末）甲乙两人独立地参加一项闯关游戏，甲成功的概率为，乙成功的概率为，则甲乙至少有一人成功的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用独立事件的概率公式和对立事件的概率公式可求得结果. 【详解】记事件甲成功闯关，事件乙成功闯关，事件至少有一人成功闯关， 则事件、相互独立，且，，， 所以 . 故选：C. 6．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知甲、乙、丙三人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，则甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率是_____. 【答案】0.79/ 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解. 【详解】依题意，甲、乙、丙没有人解决问题的概率为， 所以甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率是. 考点09概率综合问题 1．（25-26高三下·河北·开学考试）在名男生，名女生中随机选取一名男生和一名女生，记“男生甲和女生乙入选”为事件，“男生甲入选”为事件，“女生乙入选”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】显然男生甲是否入选不会影响女生乙是否入选，故事件相互独立，且， 于是，A错误，B正确； 事件包含“男生甲未入选，女生乙入选”、“男生甲入选，女生乙未入选”、“男生甲､女生乙都未入选”三种情况， 因此，则，所以C错误； 依题意，，， 而且，因此，即，D错误. 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件，计算出、，利用对立事件的概率公式可求得系统的可靠度为. 【详解】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件， 因为每个部件的可靠度均为 所以，， 当且仅当事件或事件发生时，系统正常工作， 当且仅当事件和事件都不发生时，系统不工作. 因此，系统的可靠度为 3．（2026·陕西咸阳·二模）已知黑箱中共有（，）张完全相同的卡片，分别标有数字，每张卡片只标有一个数字，且数字都不相同，从中随机取出张，记录卡片上的数字为，，设，若，则的最大值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】先求出的表达式，再根据即可求解. 【详解】由题意可知，在张卡片中抽取张，所有可能情况有种， 当时，即，由于是在不同卡片上取出的数字，所以的情况不存在，即的情况不存在， 当时，则是相邻的两个数字，那么的可能情况有，共种情况， 当时，则相差，那么的可能情况有，共种情况， 所以的可能情况数有种， 根据古典概型概率公式得， 已知，即，由于，直接化简得，即，解得， 又因为为整数且，所以，因此的最大值是，故B正确. 4．（25-26高一下·江西宜春·月考）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． (1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图计算得出，再利用分层抽样求出各层人数，利用古典概型计算公式可求得概率； （2）利用独立事件乘法公式计算可得结果. 【详解】（1）由题意得，， 解得． 因为按、分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人， 所以从成绩在中抽出的人数为，分别记为M、N、Q， 从成绩在中抽出的人数为：，分别记为m、n， 从5人中抽取2人进行考核，样本空间为， 则，记“至少有1人分数低于80分”为事件R， 则． 即，因此． 故5人中至少有1人分数低于80分的概率为． （2）记甲获得参赛资格的概率为，乙获得参赛资格的概率为， 由题意可得，， ． 由于甲、乙的考核结果互相不受影响，所以甲获得参赛资格与乙获得参赛资格相互独立． 则甲、乙能同时获得参赛资格的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $