精品解析：河南郑州市郑州中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

河南郑州市郑州中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题 注意事项： 本试卷分为选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷 选择题（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由求导得：，则. 2. 若的展开式中各二项式系数和为64，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质求解即可. 【详解】由题意得，解得． 3. 设为实数，若随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由随机变量分布列所有概率之和等于1，计算即可. 【详解】根据题意，，且所有概率之和等于1， ， ，解得：， . 故选：A 4. 2026年5月8日，郑州中学红梅街校区第二届科技节盛大举行，活动内容丰富多样，包括机器人对抗赛、科技盲盒实验室、编程闯关挑战、无人机飞行表演、VR虚拟体验等多个项目，受到了全校师生的热烈欢迎和一致好评.现从报名的同学中选出5位在科技方面各有特长的同学（分别擅长机器人、编程、3D建模、无人机操作、VR内容制作），要将他们分配到3个不同的活动展台（分别是：“智能硬件体验区”“创意编程工坊”“未来科技演讲台”），每个展台至少安排一名同学负责讲解与展示.那么，符合要求的分配方案共有多少种？ （ ） A. 90 B. 100 C. 150 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】分1，1，3和2，2，1两种情况，分别求出分组数，结合排列，组合知识进行求解 【详解】把这5个同学分配到3个不同的活动展台，每个展台至少安排一名同学，分组方式有两种： ①按1，1，3分组：先从5个中选3个为一组，剩下的2个各成一组， 可得不同的分组数为； ②按2，2，1分组：先从5个中选2个为一组，再将剩下的3个中选2个为一组，最后1个为一组， 可得不同的分组数为， 最后分配到3个不同的活动展台，共有种不同的方法． 5. 函数的部分图象如图所示，是的导函数，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④ 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由函数图像可知函数在上单调递增，恒成立，据此可判断②④，结合函数在增长越来越缓慢即可判断①，再根据函数在点处切线的斜率小于割线的斜率即可判断③． 【详解】由图可知，函数在上单调递增，恒成立， ，故②正确；，故④错误； 且函数在上增长越来越缓慢，即可知在单调递减， ，故①正确； 如图，函数在点处切线的斜率小于割线的斜率， ，即，故③正确； 综上，正确的有①②③． 6. 已知为等比数列的前n项和，，，则（ ） A. 152 B. 162 C. 165 D. 172 【答案】B 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，则， 解得，所以. 7. 已知函数有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法一：参变分离，构造函数，求导，得到函数单调性，数形结合得到的取值范围； 法二：求导，分和两种情况，结合函数单调性和最值得到不等式，求出，并验证其满足要求，得到答案 【详解】法一：由得到：； 令，由题意得与有两个交点： 则，其中， 是单调递减的，并且时，； 因此函数存在唯一零点，； 当时，；时，；； 得如下函数图像： 显然当时，与有两个交点： 法二：由题意得，显然恒成立， ①当时，，故恒成立， 故在R上单调递减，至多有一个零点，不符合题意： ②当时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 在处取到最小值．要使有两个零点，需， 解得． 当时，令，则， 故， 又在上单调递减，所以在区间上存在唯一的零点． 接下来证明，记， 当单调递增，所以，故， 令，则， 故 ．而在上单调递增， 所以在区间上存在唯一的零点． 综上，a的取值范围是． 8. 记为数列的前项和，.则 （ ） A. 2024 B. 2025 C. 1012 D. 1013 【答案】D 【解析】 【分析】结合所给数列递推式，列出数列前项后计算即可得. 【详解】，，， ，，……， ， ， 将以上2026个等式左右分别相加， 得， 则． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前项和，且，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递增数列 B. 的最大值为 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质，结合前项和公式逐项分析判断. 【详解】在等差数列中，，而，则， 对于A，等差数列的公差，数列为递减数列，A错误； 对于B，由选项A，知数列前7项均为正，从第8项起为负，因此的最大值为，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，则，D正确. 10. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）、先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是（ ） A. 事件与相互独立 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据相互独立事件的定义判断A，根据条件概率公式判断B，根据全概率公式判断C，根据贝叶斯公式判断D． 【详解】对于A：因为，，而， 所以事件与不相互独立，故A错误； 对于B：因为，，所以，故B正确； 对于C：因为，，， 所以 ，故C正确； 对于D：，故D错误． 11. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在处取得最小值 C. 时，恒成立 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，利用导数求出的单调性，即可判断A；结合A，可得，为常数，进而可得，利用导数确定其单调性及最值，即可判断B；利用对数函数的性质可判断C；根据函数的解析式，利用放缩或图象法判断D. 【详解】因为， 所以， 令， 则， 令，得，解得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减. 对于A，因为， 所以，即， 所以，故A正确； 对于B，由A可知， 所以，为常数， 所以， 又因为，所以， 所以，所以， 令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以在处取得最大值，故B错误； 对于C，因为， 所以当时，恒成立，故C正确； 对于D，由B可知，且在处取得最大值， 又因为， ， 所以，故D正确. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，第项的系数是_____ 【答案】 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】，， 则，故展开式中第项的系数是. 13. 如图所示，正方形的边长为，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于___？ 【答案】50 【解析】 【分析】 根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方可得，代入求出的通项公式，然后根据等比数列的前n项和的公式得到的和即可求解. 【详解】记第1个正方形的面积为，第2个正方形的面积为，，第n个正方形的面积为， 设第n个正方形的边长为,则第n个正方形的对角线长为， 所以第n+1个正方形的边长为， ， 即数列{}是首项为，公比为的等比数列， ， 数列{}是首项为，公比为的等比数列， ， 所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于50, 故答案为：50 14. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式可求得，由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解. 【详解】由题意，； 当时， ， 整理得，， 故可知是以为首项，以为公比的等比数列，所以. 故答案为：； 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）当时，在区间单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 【解析】 【分析】（1）当时，求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合已知点坐标求出切线方程； （2）求导，结合函数定义域，按进行分情况讨论，并结合导数判定函数的单调性． 【小问1详解】 当时，，求导得， ，， 在点处的切线方程为，化简得． 【小问2详解】 由，得 ， 的定义域为， 当时：，在区间单调递增； 当时： 当时，；当时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上，当时，在区间单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 16. DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． （1）此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 【答案】（1）分布列见解析，期望为 （2）万元 【解析】 【分析】（1）首先确定，根据超几何分布求概率，写出分布列和数学期望； （2）首先设为经过培训合格的人数，且，根据题意求所有员工每年创造的利润，再代入公式年利润公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，， ，，， 所以随机变量的分布列如下， 0 1 2 ； 【小问2详解】 设为经过培训合格的人数，，，不合格人数为， 员工为公司创造的利润为万元， 则万元， 公司的年利润为万元. 所以估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元. 17. 已知正项数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，利用作差法得到，结合等差数列的定义求解即可. （2）求出，采用裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 由，可得，， 两式相减得，. 因为是正项数列，所以， 所以，即，. 由，解得或（舍去）， 所以是以3为首项，2为公差的等差数列，则. 满足上式，因此. 【小问2详解】 由（1）得， 所以 . 18. 泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，则称服从泊松分布，记作. （1）当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； （2）已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.已知某快递公司共有20000个包裹待配送，每个包裹有0.00015的概率出现配送延迟.试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） （3）若，且，求的取值范围. 参考数据：若，，，则有，，. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由时，泊松分布近似于正态分布求解； （2）设为配送延迟包裹数，由，根据，，得到，由求解. （3）由，得到，再根据泊松分布的概率公式求解. 【小问1详解】 当时，泊松分布近似于正态分布， 即，，要计算， 根据正态分布的性质，因， 故. 【小问2详解】 设为配送延迟包裹数，则，， 因为，， ， 所以， 那么，某天至少3起配送延迟的概率约为 . 【小问3详解】 由，可得， 根据泊松分布的概率公式：，，可得. 设， 由，可知在上为减函数. 因为，所以， 所以，即，故的取值范围为. 19. 已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数. （1）若函数是上的凸函数，求实数的取值范围. （2）已知函数. ①若是上的凹函数，求实数的取值范围； ②若在内有两个不同的零点，证明：. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的二阶导数，依题意可得当时，恒成立，分、两种情况讨论，结合二次函数的性质计算可得； （2）①依题意可得在上恒成立，即在上恒成立，构造函数，利用导数求出，即可求出参数的取值范围；②依题意可得方程在内有两个根，，即，结合①可得，欲证，即证，再结合函数的单调性证明即可. 【小问1详解】 因为，定义域为， 所以，. 因为是上的凸函数，所以在上恒成立， 即当时，恒成立. 函数图象的对称轴为直线， 当，即时，只需时，即可，所以， 当，即时，只需时，即可，所以， 综上可得. 【小问2详解】 ①因为，，所以，. 因为是上的凹函数，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则. 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减. 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. ②证明：由①知，因为在内有两个不同的零点，， 所以方程在内有两个根，，即. 因为在上单调递增，在上单调递减，所以. 欲证，即证. 因为且在上单调递减， 所以只需证明，即证. 欲证，即证，即， 只需证，即证，而该式显然成立. 欲证，即证. 因为，所以只需证， 即证，即需证. 令，，则， 所以在上单调递增，所以，则原不等式得证. 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南郑州市郑州中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题 注意事项： 本试卷分为选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷 选择题（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 若的展开式中各二项式系数和为64，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 设为实数，若随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 4. 2026年5月8日，郑州中学红梅街校区第二届科技节盛大举行，活动内容丰富多样，包括机器人对抗赛、科技盲盒实验室、编程闯关挑战、无人机飞行表演、VR虚拟体验等多个项目，受到了全校师生的热烈欢迎和一致好评.现从报名的同学中选出5位在科技方面各有特长的同学（分别擅长机器人、编程、3D建模、无人机操作、VR内容制作），要将他们分配到3个不同的活动展台（分别是：“智能硬件体验区”“创意编程工坊”“未来科技演讲台”），每个展台至少安排一名同学负责讲解与展示.那么，符合要求的分配方案共有多少种？ （ ） A. 90 B. 100 C. 150 D. 180 5. 函数的部分图象如图所示，是的导函数，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④ 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知为等比数列的前n项和，，，则（ ） A. 152 B. 162 C. 165 D. 172 7. 已知函数有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 记为数列的前项和，.则 （ ） A. 2024 B. 2025 C. 1012 D. 1013 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前项和，且，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递增数列 B. 的最大值为 C. D. 10. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）、先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是（ ） A. 事件与相互独立 B. C. D. 11. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在处取得最小值 C. 时，恒成立 D. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，第项的系数是_____ 13. 如图所示，正方形的边长为，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于___？ 14. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则______；______． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 16. DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． （1）此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 17. 已知正项数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 18. 泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，则称服从泊松分布，记作. （1）当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； （2）已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.已知某快递公司共有20000个包裹待配送，每个包裹有0.00015的概率出现配送延迟.试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） （3）若，且，求的取值范围. 参考数据：若，，，则有，，. 19. 已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数. （1）若函数是上的凸函数，求实数的取值范围. （2）已知函数. ①若是上的凹函数，求实数的取值范围； ②若在内有两个不同的零点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $