湖北荆州市沙市第七中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

▣i▣ 沙市第七中学高一年级期中考试 可秀 数学答题卡 姓名： 班级： 考号 1.答题前，考生务必将个人信息填写清 0①刀3I④6I89 楚。 准 0中2刀3I④78⑨ 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题 考 注 必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 DT23I4☑89 证 意 写。 0▣23④Z8⑨ 号 事 3.必须按照题号顺序在各题目的答题区域 0①2刀3]46☑8⑨ 项 内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4.保持答题卡清洁、完整，严禁折叠、不 要弄破，严禁在答题卡上作任何标记，严 禁使用涂改液和修正带。 “、选择题 1 A)B☒D 6 A四B☒D 2 A]B]C]D 7 A]B]C]D] 3 ABC]D 8 A B CD 4 AB☒D 5 A][B]C][D] 一、多选题 9ABCD 10ABC网D 11 A]B]C]D 三、填空题 12. 13. 14.-- 四、解答题 请勿在此区域作答 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 第1页共6页 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 15. 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 第2页共6页 ■ 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 16. 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 第3页共6页 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 17. 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 第4页共6页 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 18. 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 第5页共6页 ■■ 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 19. 请在各题目的答题区域作答，超出答题区域的答案无效 第6页共6页参考答案 题号 1 2 3 4 6 8 9 10 答案 0 B O D D C AC BD 题号 11 答案 ABD 1.D 【详解】对于A和B,由ab,得ā，6的模相等，而它们的方向不确定，则向量a,6不一 定共线，所以A和B均错误； 对于C,取b=0,满足a/1b,b/1e,而a,c可为任意方向，则a,c不一定共线，C错误； 对于D,a=b,b=c,由相等向量的意义，得a=c,D正确. 2.B 【分析】根据向量垂直的条件结合充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】由a1i得1x4+m×(-m)=0, 解得m=2或m=-2, 所以当ā⊥b时，m=2不一定成立， 而当m=2时，ā⊥b一定成立， 所以a1b是m=2的必要不充分条件. 3.C 【分析】利用定比分点公式求解即可. 【详解】依题意，由定比分点公式得入=4， 所c22)cg 故选：C 4.D 【详解】依题意可得 ak5a-列-5-a5-5f-o05r-9]- 2 5.A 【分析】根据对数的性质可列不等式，即可根据三角函数的性质求解范围. 答案第1页，共11页 sinx>0 【详解】由题意可知： tanx>0,解得2km<x<元+2kπ，或2+元<x<+2,k∈Z, 4 2 tanx≠l 散4hm<2x≤7+4k元或422x<+4hk∈Z 因此角2x所在象限是第一象限或者第二象限， 故选：A 6.D 【分析】根据题意可得tan(a+B)=-1,tan a tan阝=6，再利用正切两角和公式求得 tana+tanB=5,再结合tana-tanB=-√tana+tanB)}-4 tan a tan=-l,从而结合正切 两角差公式即可求解。 【详解】由题意得sin(a+β)=-cos(a+B),则tan(a+B)=-1, 又因为sina sin B=6 cosa cos B,所以tan a tan B=6,tana,tanB同号， 又西为(e+列合。A, 则tana+tan阝=5，tana,tanB同正， 所以0<a<B<元， ,则tana<tmp, tana-tan B=-/(tana+tan B)'-4tanatanB=-V52-4x6=-1, 所以tan(a-B)= tama-tanB_anma-tanB_tana-tan B=-,故D正a确。 1+tan atan B 1+6 7 故选：D. 7.A 【分析】利用三角恒等变换先化简，进而求解， 【详解】由f(x)=sinx+cos(x+p)=sinx+cosxcosp-sin xsin =(1-sin )sinx+cosocosx=(1-sin)+cos sin(x+B) =-2m9n+,夫中mA:p 又因为f(x)的值域为[-1川，所以V2-2sinp=l,解得sinp=2 所以p=元+2km,k∈Z或0=5弧+2km,k∈Z, 6 6 答案第2页，共11页 当k=0时，0=不或红，得到A符合题意. 6 6 8.C 【分析】将4sn52代入6-元4sin44,结合三角函数的基本关系式、三角恒等变换 V3-2√3sin222° 的公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】由题意，将4sin52°代入W16-元-4sim44 V3-2v3sin222° 可得4sin52°V16-(4sin522-4sin44_4sin52V4cos52y-4sim40 √3-2W3sin222° V3-2W3sin222° 16sin52°cos52°-4sin44°8sin104°-4sin44°8sin(60°+44°)-4sin44° √3-2W3sin222° √3-2√3sin222° V3-2W3sin222° (4W5cos44°+4sin44）-4sin44° 4V3cos44° 4N50-2sim229）-4. √3-2W3sin222 √5-2√3sin222°V5(1-2sin222) 9.AC 3 【详解】由题意得， 2,2 则cos0= 2sin0=-1 ,tan0=_ 25 3 3 2 故AC正确，B错误： 10.BD 【分析】对A,计算āb可判断：对B,根据平面向量基底的定义判断；对C,利用向量数 量积运算判断：对D,根据投影向量的定义运算判断. 【详解】对于A,a-6=(6-286+G)=g2-g6-28-1-1x1x2=- 2 ≠0，故A 2 错误； 对于B,因为a=g-2,b=G+6,所以a与6不共线，所以a与6可以作为平面的一组基 底，故B正确： 对于C,因为=(6-2e)=e2-4e·6+4e,=1-4×1x1×+4=3,所以园=5，故C 2 错误； 答案第3页，共11页 对于D,=(G+g=1+2x1x1x,+1=3,所以a在石上的投影向量为 2 a-66=26=-)五，故D正确， 3 故选：BD 11.ABD 【分析】先对函数f(x)进行化简得f)=2si(2x+),根据三角函数图象平移规律可得平移 后的函数解析式，进而可判断A;由2sina-√3cosa=0求得tana,进而可求sin2a,cos2a, 然后利用两角和的正弦公式求/@)，即可判断B:由了()-写得2+名和2年+后关于x-号 6 6 对称，求得2x+2x= ,,代入sim2x-2x)求解可判断C:根据条件及三角函数的性质 出ω的不等式，求解可判断D 【详解】f)=-26sn-}cos(红2)r 1-c0s(2x- =-2V5× 2+cos2x+ 2 5sin2x+co22 sin 2+cos2.) 2 =2sin(2x+ 6 将函数f)=2sin(2x+马)的图象向左平移刀个单位， 6 6 可得平移后的函数为：y=2sin2x+乃+]=2sin(2x+)=2cos2x, 6 6 因为y=2cos2x是偶函数，其图象关于y轴对称，故A正确： 2sina-cosa0,2sina=cosa,tana=sina= cosa 2 2sin acosa 2tan a 2x6 sin 2a=2sin acosa 2 46 sin2a+cos2a 1+tan2a 3 7 1+ 2 答案第4页，共11页 cos2a-cosa-sincoa-sina1-tan'a sin2a+cos2a 1+tan2a 1+ 2 所以f(a)=2sin(2a+乃=2sin2acos元cos2asin 6 6 由/-得2sm2x*-日sn2r+-6 (引，2+君（吾》又m2x原君0，则2+动， 方程(-=在（内恰有两个根斯和飞氏<）》。 则2x+和2+区关于x=号对称，故2x++2,+=元，即2x+25 2π 6 6 6 6 3, 由题意，26+（列sm2+名- 661 则co2+=-sm2%+=】 6 所以sn2s-2)=m色46小sn2g24】 =2sf居-2%小g2%-2m子2+周n(2+高] 故C错误； 因为f）=2sx+=2sx名 6 由2-元≤Or-元≤2a+开keZ,解得2k-元≤rs2+2红.k∈乙， 6 2 030 030 故函数的单调递减区间为 [2k红π2km,2π 30 ,k∈Z, 因为蓝数（受0） 「2π3π 54] 上单调递减， 2π3π 2kππ2kπ.2π 所以54L 03o’w30 ke Z, 则2m-T≤-20且3s2+2n,keZ, 0305 4030 因为>0，则k=0时符合，日品5-行且好行解得0<0 4-30 6 答案第5页，共11页 令/受）2ox名-0，得ar-名=ae2,解得x=倍e2, 61 6 060 若函数f 2)(@>0)在[0，可上有且只有一个零点， W 所以0≤机+兀≤元有且只有一个整数解k. 060 有且贝有一个整数解，则050名<1，解得。≤0< 6 综上可得≤0≤， 「15 即ω的取值范围是 故D正确， 6 6 166 故选：ABD. 12.3 【详解】向量ā的模为2，向量6与ā方向相同，且=6，所以6=3a 13.2 【分析】构造新函数g(x)=f()-1=asinx+btanx,x≠C+km,k∈Z,根据函数奇偶性求解 、 即可. 【详解】令g(x)=f(x)-l=asinx+btanx,,r≠+km,k∈Z, 因为g(-x)=asin(-x)+btan（←x)）=-a sinx-b tanx=-asinx+btanx扌-gf), 所以函数g(x)是定义域内的奇函数， 因为a=fe写)f(s), 所以m+n=f(lg5)+f(lg5)=gg5+g(lg5+2=2. 14.9 【分析】根据斜角坐标定义写出向量（用两个已知单位向量表示），然后由向量数量积计算 可得。 1 【详解】由己知m=3祀+2e,,n=2e+ke,ee2=1×1×cos60°= m=B+2g-(2g+6g)=6e+(6k+4e6+28=6+20k+40+2k=1, 解得：k- 故答案为：9 答案第6页，共11页 15.0①N=-2a+6,M=a+6 3 3 6 3 (2)证明见解析 【分析】(1)借助向量加法法则与减法法则计算即可得： (2)借助向量线性运算法则可用ā，b表示出MP,再利用向量共线定理推导即可得证. 【详解】1)而=丽+丽=+c=丽+c-丽8+C-+专， 而=N-M-号8+c}亚6孤+0名 6 3 63 又不=a+五，故=3MP, 6 故M,P,N三点共线， 6.少tana三-4，证明见解机 (2)2a+B=3m 4 【分析】(1)先由题意求出sina-cosa,再联立题设条件求出sina,cosa即可计算分析求 解； (2)利用2a+B=a+(au+B)和两角和正切公式计算tan(2a+B)即可分析计算求解. 1 【详解】(1)因为sina+cosa=5,ae(0,π， 1 24 所以1+2 sina cosa= →2 sin a cosa= 25， 所以a∈ π 25 π， sina-cosa=(sina-cosa)=v1-2sina cosa= 497 255' 3 所以sina=-,cosa=- 5 5 sina 4 所以tana= <-1, cosa 3 元3π 所以a24 1 (2)因为tan(a+B)=/ 41 所以tan(2a+B)=tan(a+a&+B)= tana+tan(a+B) 37 1-tana tan(a+B) 4 3 答案第7页，共11页 所以2a+Be(0 所以2a+B=4· 3π 17.(1)-2 (2)①V5: ②1=-6或t= 3 【分析】(1)首先求出b,再根据平面向量线性运算的坐标表示得到m,最后求出m的模： (2)根据数量积的运算律求出a-1,1a+b1,(a-b)a+b),再根据 (a-b)(a+b） cos- 得到方程，解得即可； 4 a-B a+ib 【详解】1)当a-时，4 所以a=i+6-(55-5小6列-(++分 所以m=、 +x2-2+小所以当1=-2时mL-=0 (2)①因为aLb,则a.6=0, 又a=(5,,万=(eosa,sina),所以国-+(5-2，-s+sima-l, 所以a--位--+=+-415： (a-b):(a+) ②依题意cos 4 a-b a+1b 因为a+=2+2a.6+22=l+2a-6+26=4+2,所以a+6作4+P, 又(a-b)(a+b)=+a.6-i-b-62=l-t=4-1, 4-1-2 则有54+7 2 且1<4，整理得32+161-12=0，解得t=-6或1=2 2 所以存在t=-6或t= 满足条件。 18.00,,5m17 3]L612 7π 24 答案第8页，共11页 【分析】(1)利用函数f(x)的最值求得A=2,再通过特殊点得口=-工，最后利用周期求 6 得w=2,则有f(x)=2sin 2x- 代入结论法求得所有的增区间，结合已知区间即可求 解； (2)先根据三角函数变换法则求得g(x)的解析式，再根据函数有最大值没有最小值列不等 式求解即可。 【详解11因为f)=4sin(ac+o)4>0o>0-子<0且7()-f=2A=4, 所以A=2, f(0)=2sinp=-1 依题意可得 得0=-π 6 又当7)s-4,k-受以时-日-5 又0>0，即o=2,所以f(x)=2sin2x- -6 令+2kms2x-开≤2，keZ得开+≤x≤+伍，kEZ 6 6 则f(x)在R的单调递增区间为 6 (2)将y=f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的)倍，纵坐标变为原来的；倍得到 西=君司向在平移个单位得到=创=m千-引君引红+引】 当xe@.所以4+加 3 因为8()在区间(0，m）上有最大值没有最小值，所以<4m+≤3江 3-2 解得<m 1, 24 24 所以实数m的取值范围为文<m≤7π 24 24 19.(1)0M (2)45-3 10 答案第9页，共11页 (3)存在，P(0,2) 【分折11)根据三角的数诱导公式化筒耐数得：)-x+,根铝题可得特 2 征向量； (2)根据题意可得相伴函数f(x)=√3sinx+cosx,再根据条件可得sin x+ π） 由 4 6 sinx=sin π x+ 最终得到结果 6 6 (3)根据三角函数图象变换规则求出p()=2cos”的解析式，设Px,2cos,x 根据条件 列出方程式求出满足条件的点P坐标即可. 【详解】(1)因为g(x)=- 2 sinx+ -cosx+sinx=1 inx+3 coSx, 2 所以g(x)的相伴特征向量OM ’2 (2)由题可得向量ON=(V3,1)的相伴函数为f(x)=V3sinx+cosx, 因为/)-等即/)=5snx+cmsx=2n+引- 因为(引 所以+》则m+引 所以 sinx=sin X 629 62525-10 得到m=-2, 所8on-作引-m修}83m佳a号 设rx2o刘则-(+2c-j--2-d 又因为AP⊥BP, 所以x+2x-2+2cor2-32cor-6-0 答案第10页，共11页 即x2-4+4cos2x-18cos2x+18=0 2 4 因为2s2cos2,所以2m7号 2 2 2 所以尊2os 1.92169 4 4， 所以当且仅当x=0时， s)和空r同时等于草，这时O式成立。 2cos2x-2 4 所以在y=p(x)的图象上是否存在一点P(0,2),使得AP⊥BP成立. 答案第11页，共11页沙市第七中学2026春季学期高一期中考试 数学试卷 满分150分.考试用时120分钟. 命题人：王飞 审题人：高一数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.下列关于向量的命题正确的是() A.若=，则a∥6 B.若d=,则a=b或a=-b C.若a∥b,b∥c,则a∥c D.若a=b,b=c,则a=c 2.己知向量a=1,m),b=(4,-m),则“a1”是“m-2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知点A,0),B(2,2),向量AC=4CB,则AC=() A.(1,2) RG别 c传 D.（-3,-1) 4.已知两个单位向量a,6的夹角为150°，则a(3a-)=() A.0 B.3 C.1+2V3 2 D. 3V5 2 2 5.已知函数f(x)=logn sinx,则角2x所在象限是() A.第一象限或第二象限 B.第一象限或第三象限 C.第三象限或第四象限 D.第二象限或第四象限 6.已知0<a<B<π，且sin(a+B)+cos(au+B)=0,sinasinB=6 cosacosB,则tan(a-B)= () A.-1 R c 7.若函数f(x)=sinx+cos(x+p)的值域为[-1,1，则p可以为() A. 6 B. 2 C.π D. 4π 3 8.三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了割圆术”求圆周率的方法；魏 晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率π约为 355 这一数值与兀的误差小于八亿分 113 之一现已知元的近似值还可表示为4sin52,则16-元-4sin4 的值为() √3-2√3sin222 A.-4V5 B.-4 C.4 D.45 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0 分 9.已知角0的终边过点Psinπ，co 3x 下列选项正确的是() A.sin=-1 5 2 B.cos=- 2 C.tano=-3 3π）5 3 D.sm0+2)2 10.已知平面向量e,6的夹角为5，且回=同=1，若ā=g-2g,万=g+6,则下列结 论正确的是() A.alb B.ā与6可以作为平面内向量的一组基底 C.园=2 D.a在6上的投影向量为五 1.已知函数f()=-25sin（-买 cos(π-2xHV3,则下列结论正确的是() A.若函数图象向左平移刀个单位， 则函数图象关于'轴对称 6 B.若2sina-V3cosa=0,则f(a)= C.若方程f()号在（内恰有两个根x和%(：<x),则si如(25-2%）=-因 36 D.若函数f 上单调递减，在[0，上有且只有一个零点，则 ®的取值范围是 15 66 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若向量ā的模为2，向量6与ā方向相同，且=6，则6= a. 13.已知函数f()=asinx+-btanx+-1,且m=f(g5),n=/g5 1 ,则m+n 14.笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系xOy中，两 坐标轴的正半轴的夹角为60°，，2，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量 a=xe,+ye,,则称有序实数对(x,y)为a在该斜角坐标系下的坐标.若向量m,n在该斜角坐 标系下的坐标分别为(3,2)，（2，k),当k=时，mn=11. e 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.如图，在△ABC中，AM=AB,C=2CB.设4B=a,AC=6. M B (I)用a,b表示AN,MN: 2若P为△ABC内部一点，且P=-4ā+五.求证：M,P,N三点共线 9 0 16.已知ae(0,),sinu+cosa=5 1 0①求ana的值，并证明xC24月 元3π 1 2)若B∈(-x0),an(a+)=7求2a+B的值. 17.己知向量a=(N5,,i=(cosa,sina),设m=a+b(teR): ()a=名，求当园取最小值时实数1的值： (2)若a16 ①求a-b: ②当向量ā-万与向量元的夹角为子求出实数1的值， 18.已知点4，f(6》.B8(,(:》是函数f(=ml@x+oj4>0a>0三<p<0图 象上的任意两点，(0)=-1，且当f(s)-f(儿=4时，-xl=2 (1)求当x∈ 时，f(x)的单调递增区间： (2)将y=(x)图象上所有点的横坐标变为原来的，倍，纵坐标也变为原来的，倍，再将所 得函数图象上的所有点向左平移个单位得到y=g()的图象，若g()在区间(0，m)上有最 大值没有最小值，求实数m的取值范围. 19.已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcosx,称向量OM=(a,b)为函数f(x)的 相伴特征向量，同时称函数f(x)为向量OM的相伴函数. 0设商数gu0-smr+）m经+小试求的相件特征向量Om: ππ】 2)记向量ON=(3,)的相伴函数为f,当/)=且x石3 求sinx的值； 3)已知A(-2,3),B(2,6),0T=(-V5,1)为h)=msinx- 的相伴特征向量， 6 请问在y=(x)的图象上是否存在一点P,使得A亚LBP.若存在，求出 P点坐标；若不存在，说明理由.