专题04 函数与一次函数（5大考点期末真题汇编，广西专用）八年级数学下学期人教版

**基本信息** 聚焦函数与一次函数核心考点，汇编广西多地期末真题，通过南宁地铁建设、无人机航拍等真实情境与梯度设计，实现基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约30题|函数概念、一次函数图象性质等|结合轮船航行、运动距离等情境判断函数图象| |填空题|约5题|函数平移、自变量取值范围等|通过点坐标关系考查一次函数性质| |解答题|约15题|新定义“和谐点”、实际问题建模等|设计“哪吒模型购买优惠”等生活问题，融合函数与几何综合应用|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04函数与一次函数 目目 考点01 函数的概念与表示 2 3 4 5 6 7 8 9 D A D D D A C D C 10.(0(3-) 2(-5) 11. (1)全体实数 (2)-2,0 (3)见解析 (④k=最，b= 【详解】(1)解：由于函数解析式为整式，故自变量取值为全体实数； 故答案为：全体实数： (2)解：当x=-1时，m=-1+1-2=-2;当x=1时，n=1+1-2=0: 故答案为：-2,0： (3)解：描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象如下： 4 3 2345 (4)解：由表格可知，A(-3,0),B(1,0),AB=1-(-3)=4. 结合图象可知，点C在第一象限，设点C的纵坐标为， 则S△4Bc=专×4h=5,h=2.5 在函数y=|x+1|-2中，当x+1>0时，y=|x+1|-2=x+1-2=x-1, 当y=2.5时，得x=3.5, 1/8 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ÷C(3.5,2.5) -3k+b=0 ∫k=是 直线y=kx+b经过点A、C, 有3.5k+b=25,解得b=' 即k=务，b=。 目目 考点02 次函数的概念 12 13 14 15 16 17 B A ① D A A 目目 考点03 次函数的图象和性质 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 A A B A B B C C 28.> 29.y=x+2 30. 31. (1)y关于x的函数表达式为y=4x-2; (2)-3: (3)平移后图象的表达式为y=4x+9. 32. (1)a=2 (2(-2,0) 33. (10y=-2x+6 (2)点P的坐标为-2,10)或(8，-10) 34. (1)B(0,4) (20y=2x+4:②p(-寻，9)：③n=9 目目 考点04 次函数与方程（组）、不等式 35 36 37 38 39 40 B D D C A c 41.x<2 42 1y=3x-3-4 2/8 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)见解析 (3)1≤x≤4 【详解】(1)解：“在函数y=|kx-3|+b中，当x=2时，y=-4;当x=0时，y=-1, (|2k-3|+b=-4 1|-3+b=-1 ∫k= 解得b=-4' :这个函数的表达式是y=|2x-3-4: (2)解：：y=|3x-3-4, ∫x-7(x≥2) y={-x-1(x<2) 当x=2,函数y=3x-3-4有最小值-4， 函数y=x-7过点(2，-4)和点(4，-1)： 函数y=-x-1过点(0，-1)和点(-2,2)： 画出该函数的图象如下： 6 -4-3-2 23 678 (3)解：由函数图象可得， 不等式kx-3|+b≤专x-3的解集是1≤x≤4. 43 (1)y2=-x+3,P(1,2): (2)x>1; (3)2 3/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 44 (1)m=3,y=x+2 (2)3 (3)x>3 45. (1)P(2,4);A(6,0) ∫k=-1 2)1b=6 (3)Y:随x的增大而增大，y,随x的增大而减小 46. (1)1;1 (2)见解析 (3)x=-1;-3 (4)x1=-2,X2=2;见解析 【详解】(1)解：m=2×-3+1-3=1,n=2×1+1-3=1 故答案为：1；1 (2)解：如图， (3)解：根据图像得：当x=-1时 函数y=2x+1-3有最小值，最小值为y=-3: (4)解：方程2x+1-3=8+1的解为：X1=-2,82=2, 理由如下： 画出函数y=2x+1-3和y=x+1的图象，如图所示： 4/8 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 y B D 函数y=2x+1-3和y=x+1的图象交点坐标分别为D(-2,-1),E(2,3), ÷关于x的方程2x+1-3=x+1的解为：X1=-2,X2=2. 47. 】(1)a=-1 (2)9 (3)x<1 48 (1)b=2: （x=1 (②)y=2 (3)1 目目 考点05 实际问题与一次函数 49 50 51 52 53 D C C 54 (1)A(10,0),B(0,5) ②)S=-x+25(0<x<10) ③)①0F=AB,理由见解析：②存在，点P的坐标为(，5)或（号，） 【详解】(1)解：y=-x+5, :当x=0时，y=5,当y=0时，-x+5=0,解得：x=10, A(10,0),B(0,5): 5/8 丽学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 (2)解：：点F是线段AB上的一个动点（不与AB重合）， 设点F的横坐标为x,过点F作FE⊥x轴， “F点坐标为(x-x+5), :△0AF的面积：S=0A:EF=专×10×(-x+5)=-x+25(0<x<10) B F E :△0AF的面积S与x之间的函数关系式为S=一x+25(0<x<10); (3)解：①0F=AB 理由如下：当△OAF的面积S=S△0AB时， -号x+25=青××10×5，解得：x=5, ∴F点坐标为(5，)， 0F=562+()-9, :AB=V102+52=5V5, :0F=专AB; ②存在， 过点F作FN⊥x轴交x轴于点E,过点P作PG⊥OA于点G,过点P作P'H⊥FE于点H,分两种情况： A、Gx 情况一：：△APF是等腰直角三角形， ∴AF=PA∠FEA=∠FAP=∠PGA=90°， ∴.∠AFE+∠FAE=∠FAE+∠PAG=90°， 6/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠AFE=∠PAG, 在△FAE和△PAG中， I∠FEA=∠AGP ∠AFE=∠PAG AF-PA ·△AFE≌△PAG(AAS), :.FE=AG=,AE=PG=0A-0E=5. :点P(,5) 情况二：：△APP是等腰直角三角形，同理△PHF≌△FEA(AAS)， :FH=AE=5,HP'=FE=3, :P(5,), 综上所述，点P的坐标为(，5)或（罗，号）： 55. (1)(6,3),(12,0),y=-x+6 (2)(4,2)或(-4-2) (3)P的坐标为(32，-3V2+6),Q(3V2,-3V2) 56. 20x(0<x≤3) (1)V甲= 12x+24(x>3),Yz=16x(x>0)(其中x为整数) (2)0<x<6时到乙商店购买更划算；当x=6时，到甲、乙两个商店购买花费一样；当x>6时，到甲商店 购买更划算 57. (1)C(2,2),△ABC的周长为(6+2W5): (2)存在，P(0,3)或P(0,-1). 58. ay甲=29x(0≤x≤6)，y2=100x-100(1≤x≤5) (2)(3,200) 59. (1)时间t 7/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)5 (3)25 (4)h=-25t+375 60. 】(1)8,40 5(0≤x≤20) 2Ya={0.6x-7x>20):见解析，①当0<x<25时，选择A套餐上网学习省钱：②当x=25时， 选择两种套餐上网学习同样省钱；③当x>25时，选择B套餐上网学习省钱， 8/8命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04 函数与一次函数 ☆5大高频考点概览 考点01函数的概念与表示 考点02一次函数的概念 考点03一次函数的图象和性质 考点04一次函数与方程（组）、不等式 考点05实际问题与一次函数 目目 考点01 函数的概念与表示 一、选择题 1.(24-25八年级下·广西南宁期末)下列图象中，表示y不是x的函数的是() 2.(24-25八年级下·广西贵港期末)函数y=√2x-6中，自变量x的取值范围是() A,x≥3 B.x≠-3 C.x≥-3 D.x>3 3.(24-25八年级下广西钦州期末)下列关系中，y不是x的函数的是() A.y=3x B.y=x+3 C.y=2x+1 D.y=x 4.(24-25八年级下·广西南宁·期末)悦悦同学骑自行车上学，刚开始以某一速度行进，途中因自行车发生 故障停下修车，车修好后加快速度赶往学校.以下四个图象中(s为距离，t为时间)，符合上述情况的是 () 1/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 5.(24-25八年级下，广西南宁期末)目前，南宁地铁6号线一期工程正如火如茶地建设中.现有甲、乙两 个工程队分别同时开挖两条600米长的隧道，所挖隧道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的函数关系如图所 示，下列说法正确的是() /米 甲 600 500 300 6 天 A.甲队每天挖120米 B.乙队开挖2天后，每天挖40米 C.甲队比乙队提前1天完成任务 D.当x=4时，甲、乙两队所挖隧道长度相等 6.(24-25八年级下·广西南宁期末)下列图象中，表示y是x的函数的是() D 7.(24-25八年级下·广西河池·期末)如图，某轮船先从甲地航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙 地航行返回到甲地，则下列说法错误的是() 本s/水km 300----- O 7.511 21m A,轮船从甲地到乙地的平均速度为40km/h B.轮船在乙地停留了3.5h 2/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 C.轮船从乙地返回甲地的平均速度大于去时的速度 D.甲乙两地相距300km 8.(24-25八年级下·广西南宁期末)小刚家、体育馆、文具店在同一条直线上.周六上午，小刚从家跑步 去体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后散步走回家.己知小刚离家的距离y(m)与离开 家的时间x(min)之间)的关系如图所示.则下列说法正确的是（) y/m 2500 1500 0153045 65 95 x/min A.小刚一共走了2500m B.小刚在体育馆锻炼了30min C.体育馆距离文具店1500m D.小刚从文具店回家的平均速度是50m/min 9.(22-23八年级下·广西南宁期末)小王家、食堂、图书馆在同一条直线上，小王从家去食堂吃早餐，接 着去图书馆读报，然后回家，下图反映小王离家的距离y与时间x之间的对应关系，下列说法正确的是() ↑/km 0.8 0.6 2528 58 68 x/min A.小王读报用了58min B.小王吃早餐用了25min C.小王从图书馆回家的平均速度是0.08km/min D.小王家离食堂0.8km 三、解答题 10.（24-25八年级下·广西来宾期末)阅读与理解 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(xy),B(x3y2),如果点H(x,y)满足x=空， y=学，那么称点H是点AB的和谐点 例如A(9,-3),B(1,1),当点H(x,y)满足x=字=2，y==-1,则称点H(2,-1)是点 A,B的“和谐点”. (1)直接写出点M(2,-3),N(-4,7)的和谐点”D的坐标； (2)已知点P是点A(-5,3),B(3,1)的“和谐点”，当点P向左平移3个单位，求点P的像点P'的坐标； 3/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)点D(-2,0),点E(t,-2t+1),点H(x,y)是点D,E的“和谐点”. ①求y与x之间的函数关系式： ②若直线EH交x轴于点Q,当∠HDQ=90°时，求点E的坐标. 11.(24-25八年级下·广西钦州期末)学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象， 进而研究函数的性质.请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y=|x十1|一2的图象和性质， 并解决问题 下面是小萍同学的探究过程，请补充完整： (1)函数y=|x+1|-2的自变量x的取值范围是 (2)下表是y与x的几组对应值 -3 -2 0 4 0 m 表中m= n= 5432-1Q 1?34就 -2 3 +一+-+-+- 4 5 (3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (4)结合画出的函数图象，解决问题： 记所画函数的图象与x轴的交点分别为A,B(A在B的左边)，经过点A的直线y=kx十b(k>O)与所 画函数的图象的另一个交点为C,若△ABC的面积为5，求k,b的值. 目目 考点02 一次函数的概念 一、选择题 12.(24-25八年级下广西南宁期末)下列函数中，y是x的正比例函数的是() A.y=3x+1B.y=-5x C.y=x2 D.y=是 13.(24-25八年级下·广西钦州期末)下列函数中，是正比例函数是() A.y=x B.y=x2 C.y= D.y=x-3 4/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.(24-25八年级下广西软州期末)下列函数是一次函数的是() A.y=3x2+2B.y=3x+2 c.y=是 D.y=是+2 15.(24-25八年级下广西南宁期末)函数y=x中，当x=2时，y的值是() A.-2 B.-1 C.2 D.1 16.（24-25八年级下广西南宁.期末)在关系式y=2x+1中，当自变量x=1时，函数y的值为() A.3 B.1 C.-1 D.4 17.（2425八年级下广西南宁，期末)当x=3时，一次函数y=2x-7的函数值为() A.-1 B.1 C.5 D.13 目目 考点03 一次函数的图象和性质 一、选择题 18.(24-25八年级下·广西河池期末)若点(a,b)在第一象限，则函数y=ax+b的图象大致是() 19.(24-25八年级下广西南宁期末)点A(4,y1),B(-3,y2)是一次函数y=-5x+m图象上的两 个点，则y1,Y2的大小关系是() A.y1<y2 B.y>y2 C.y1-y2 D.无法确定 20.（24-25八年级下·广西南宁·期末)关于一次函数y=x+3,下列说法正确的是() A.图象经过(3,0) B.图象可由直线y=x向上平移3个单位长度得到 C.图象经过第一、二、四象限 D.y随自变量x的增大而减小 21.(24-25八年级下广西来宾期末)已知点(1a),(-1,b),(-2,c)都在直线y=-2x+m上， 则a、b、的值大小关系是() 5/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.c>b>a B.c>a>b C.a>b>c D.b>a>c 22.(24-25八年级下·广西来宾期末)一次函数y=kx+2k-1的图象一定经过定点的坐标是() A.(2,-1)B.（-2,-1 C.（-2,1) D.(2,1 23.(24-25八年级下广西贵港期末)对于一次函数y=一3x+6,说法正确的是() A.点A(1,1)在这个函数图象上 B.y随着x的增大而增大 C.当x>3时，y<0 D.它的图象必过一、三象限 24.(2425八年级下广西防城港期末)已知点A-3,y,B2,y,)都在正比例函数y=-5x的图象上， 则() A.y1<y2 B.y>y2 C.y=y2 D.y2y2 25.(24-25八年级下广西防城港·期末)下列函数的图象与y=3x一6的图象平行的是() A.y=-3x-6 B.y=2x-6 C.y=3x+6D.y=x+6 26.(24-25八年级下，广西钦州期末)在平面直角坐标系中，若将一次函数y=x+m+1的图象向下平 移3个单位得到一个正比例函数图象，则m的值为() A.2 B.-2 C.-3 D.3 27.(24-25八年级下·广西南宁.期末)一次函数y=kx+6(k<0)的图象大致是() B 6 C. D 二、填空题 28.(24-25八年级下广西贵港期末)已知两点(2，m)、(-5,n)都在直线y=3x-b2+1上，则m n.(填“>”、“<”或“=”) 29.(24-25八年级下·广西钦州期末)将直线y=x+4向左平移2个单位长度后，再向下平移4个单位长 度，所得直线表达式为 30.(24-25八年级下广西南宁期末)已知A(xy1),B(x2y2)在一次函数y=3x+1的图象上，当 6/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 1<x2时，y1与y,的大小关系为y y2(填“>”，“=”或“<”)· 三、解答题 31.(24-25八年级下广西来宾期末)已知y+2与x成正比，且x=2时，y=6 (1)求y关于x的函数表达式： (2)当x=-时，求y的值： (3)将所得函数的图象平移，使它过点（一2,1），求平移后图象的表达式。 32.(24-25八年级下广西南宁.期末)已知y关于x的函数y=4x+a一2. (1)若y是x的正比例函数，求a的值； (2)若a=10,求该函数图象与x轴的交点坐标. 33.(24-25八年级下·广西北海期末)一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A2,2,B(0,6). (1)求该一次函数的表达式； (2)在该一次函数图象上有一点P到x轴的距离为10，求点P的坐标。 34.（24-25八年级下·广西南宁期末)学习一次函数后，小宁知道：若已知直线上两个点的坐标，就能用 待定系数法求出该直线的解析式.例如：己知直线1的解析式为y=一2x十4，分别与x轴，y轴交于点A, 点B.求直线关于x轴的对称直线1的解析式.解题思路为： 第一步：求出A,B两点的坐标： 第二步：求出点B关于x轴的对称点C的坐标： 第三步：由A,C两点的坐标，用待定系数法，即可求出直线1的解析式. VA 备用图 阅读以上材料，完成下列任务. (1)直接写出点B的坐标： (2)若直线l2与直线1关于y轴对称； ①求出直线l2的解析式； ②在①的条件下，若点P为直线l2上的一个动点，当点P的横、纵坐标之和为3时，求点P的坐标； 7/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ③在②的条件下，将直线l2向下平移n个单位长度后得到直线l3,若直线l3与x轴的交点为M,且满足 S△Pow=3时，求n的值. 目目 考点04 次函数与方程（组）、不等式 一、选择题 35.(24-25八年级下广西南宁期末)如图，已知直线y=-x+1与直线y=ax+b相交于点P(m,2 ,则关于x的不等式-x+1>ax+b的解集为() y个/y=ax+b 2 A.x>-号B.x<- C.x>2 D.x≤-1 36.(24-25八年级下·广西南宁期末)根据下表中一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量与函数值y部分的 对应值， 2.13 2.14 2.15 2.16 -0.09 -0.02 0.05 0.12 判断方程kx+b=0的一个解x的取值范围是() A.2.13<x<2.16 B.2.13<x<2.15C.2.13<x<2.14D. 2.14<x<2.15 37.(2425八年级下广西来宾期末)已知直线y=kx+b(k≠0)的图象经过点P(0,2),Q(3,0), 则关于x的方程kx+b=0的解为() A.x=0 B.X=1 C.x=2 D.X=3 38.(24-25八年级下·广西钦州期末)如图，直线y=kx+b(k≠0)与x轴交于点(-2,0)，下列叙 述正确的是() 8/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.直线y=kx+b经过第四象限 B.k>0,b<0 C.关于x的不等式的kx十b<0的解集为x<一2 D.若点A-1,y和81，y是直线y=kx+b上的两点，则y1>y2 39.(24-25八年级下广西南宁.期末)如图是一次函数y=kx+b的图像，则关于x的不等式kx+b>0 的解集为() 2 O 3 A.x<3 B.x>3 C.x<2 D.x>2 40.(2425八年级下广西南宁期末)如图，直线y1=kx+2与直线y=mx相交于点A(3,1),则关于 x的不等式kx+2<x的解集是() A y=kx+2 A Y=mx B衣 A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3 二、填空题 41.(24-25八年级下·广西饮州期末)如图，函数y=2x和y=ax+b的图象相交于点A(m,4),则关 于x的不等式2x<ax十b的解集是 y=ax+b V=2x 三、解答题 42.(24-25八年级下·广西河池·期末)在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一利用 函数图象研究其性质一运用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画 a(a20) 出了所学函数的图象.同时，我们也学习了绝对值的意义= -a(a<0)9 9/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 结合上面的学习过程，解决下列问题： 在函数y=|kx-3|十b中，当x=2时，y=-4:当x=0时，y=-1。 6 8-165.43.2q1.2.361.8x -2 (1)求该函数的表达式： (2)在给出的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (3)已知函数y=x一3的图象如图所示，结合(2)中所画函数图象，直接写出不等式 kx一3十b≤x-3的解集 43.(24-25八年级下·广西河池·期末)如图所示，根据图中信息，解决下列问题. V=x+n P 3 y'2=-x+m (I)求直线BP的解析式及点P的坐标： (2)根据图象，直接写出V1>Y2时x的取值范围； (3)连接CB,求S△4cB· 44.(24-25八年级下·广西贵港期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交 点为A(-3,0),与y轴交点为B,且与正比例函数y=x的图象交于点C(m,4). 10/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 4 y=kx+b B A -3 (I)求m的值及一次函数y=kx+b的表达式： (2)求△OBC的面积； (3)观察函数图象，直接写出关于x的不等式x>kx十b的解集. 45.(24-25八年级下-广西防城港期末)如图，函数y1=2x与y2=kx+b的图象相交于点P,且点P的 横坐标为2.△0AP的面积为12. /y,=2x 102 (1)分别求点P,A的坐标； (2)求k,b的值； (3)直接写出：随着x的增大，函数值y1,Y的变化情况. 46.（24-25八年级下·广西河池期末)综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数y=2x十1一3的图象， (1)列表： 8 4 -3 -2 -1 0 2 3 m -1 -3 -1 n 3 表格中m= n= (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； 11/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 y O (3)观察(2)中所画函数的图象，求出当x取何值时该函数的有最小值.最小值是多少？ (4写出关于x的方程2x+1一3=x+1的解，并利用(2)中的图像简单说明此方程的解是如何得到的， 47.(24-25八年级下广西南宁期末)如图，直线y=x+2与直线y=ax+4相交于点P(1,3). y=x+2 y=ax+4 3 A/O (1)求a的值. (2)直线y=x+2与直线y=ax十4与x轴分别相交于A、B两点，求△ABP的面积. (3)直接写出关于x的不等式x+2<ax+4的解集. 48.(24-25八年级下·广西南宁期末)如图，直线1：y=x+1与直线12：y=mx+n相交于点P(1,b), 11,12与y轴分别交于点A,B. B b (1)求b的值； y=x+1 (②)根据以上信息，直接写出关于x,y的方程组y=mx+n的解： (3)当n=3时，求△PAB的面积. 12/17 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点05 实际问题与一次函数 一、选择题 49.(24-25八年级下广西南宁期末)已知直线l1:y=kx+b与直线l2:y=-x+m都经过点 E(-1,3),直线l1交x轴于点A,交y轴于点B(0,4),直线2交y轴于点C,交x轴于点D.直线l3‖直线 1且经过原点，且与直线2交于点F,点P为x轴上任意一点，连接PC,PF,对于以下结论，正确的个数有 () B E D 【y=kx+b x=-1 ①方程组y=-x+m的解为y=3； ②SA0RD=吾， ③ED=35; ④当PF+PC的值最小时，点P的坐标为(1,0). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 50.(24-25八年级下·广西贵港期末)某登山队大本营所在地的气温为12°C,海拔每升高1km,气温下 降6°C.队员由大本营向上登高xkm,气温为y°C,则y与x的函数关系式为() A.y=12+6xB.y=12-6xC.y=6-3x D.y=12-x 51.(24-25八年级下广西河池期末)如图，直线y=-3x+8与x轴、y轴交于A,B两点，∠BA0的 平分线AC交y轴于点C,则直线AC的解析式是() B 13/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.y=-x+2 B.y=-x+C.y=-x+3 D.y=-x+ 52.(24-25八年级下广西桂林期末)小林骑行从A地到B地，设出发xh后，小林距离B地路程为ykm, 己知y与x之间的函数表达式为y=一15x+27,则小林骑行从A地到B地所用时间是() A.2.3h B.2h C.1.8h D.1.5h 53.(24-25八年级下·广西饮州期末)如图，正方形ABCD中，动点P从点B出发沿折线BCDA做匀速运 动，到A点停止，设点P运动的路程为x,△PAB的面积为y,y与x之间函数图象如右图所示，则下列 说法正确的是（) YA P 6 4 p A.正方形ABCD的边长为8 B.当0≤x≤4时，y=4x C.当8≤x≤12时，y=-2x+24 D.点P运动的路程越大，△PAB的面积越大 三、解答题 54.(24-25八年级下广西河池期末)综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数y=-x+5的图 象与x轴、y轴分别交于点AB,点F是线段AB上的一个动点（不与AB重合），连接OF,设点F的横坐 标为X 备用图 (1)直接写出AB两点的坐标： (2)求△OAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)当△0AF的面积S=壹S△0AB时， ①判断此时线段OF与AB的数量关系并说明理由； 14/17 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ②第一象限内是否存在一点P,使△APF是以AF为直角边的等腰直角三角形.若存在，请直接写出点P的 坐标，若不存在，请说明理由 55.(24-25八年级下广西南宁期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=ax+b与x轴交于点B,与y 轴交于点C,且与直线y=x交于点A.己知点A的横坐标为6，点C的坐标为(0,6). v=ax+b (1)点A的坐标是 点B的坐标是 ；直线AC的解析式是 (2)若D是直线y=x上的点，且△C0D的面积为12，求点D的坐标； (3)在(2)的条件下，且当点D在第一象限时，设P是射线CD上的点，当△OCP为等腰三角形时，请求出 点P的坐标.此时在平面内存在点Q,使以0P为对角线的四边形OCPQ是菱形，请直接写出点Q的坐标. 56.(24-25八年级下·广西南宁期末)2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片将封 神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振.哪吒之魔童闹 海人物卡通模型深受青少年喜爱.现有甲、乙商店推出购买优惠活动： 甲商店优惠大放送： 乙商店促销活动： 购买哪吒系列人物卡通模型 原价：20元/个。 20元/个。若购买超过3个，则 现优惠价：八折！ 超过的部分按六折付款！ ()若在甲、乙商店购买哪吒系列人物卡通模型的付款金额分别记为甲，Y乙（元），请分别求出少甲，yz与 购买数量x(个)的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. (2)应选择在哪家商店购买更划算？请通过计算说明. 57.(24-25八年级下广西来宾期末)如图，A(m,0),B(n,0),且m，n满足(m+2)2+n-2=0, 直线AC恰好是一次函数y=x十1的图象，CB⊥x轴于B. 15/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (1)求点C的坐标，并求△ABC的周长； (②)在y轴上是否存在点P,使得S△4c=S△4P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 58.(24-25八年级下·广西贵港期末)南宁、桂林两地相距400千米，甲、乙两人分别开车从南宁出发前 往桂林.甲先出发1小时，下图是甲、乙行驶路程y(单位：千米)随行驶时间x(单位：小时)变化的图 象，请结合图象信息，解答下列问题： y/km 400 56 (1)分别求出甲、乙行驶路程y与时间x之间的函数解析式： (2)求出点C的坐标（即甲、乙相遇的时间和距离）： (3)在乙的行驶过程中，当x为何值时，甲、乙相距50千米？ 59.(24-25八年级下·广西防城港·期末)某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度， 已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h(米)与操控无人机的时间t(分钟)之 间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： 个h米 D 75 50 a 6 12 b 份钟 (1)从图象中可以看出自变量是 点D的坐标为 (2)无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟： (3)在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分钟； (4)求线段DE所在直线的函数表达式. 60.（24-25八年级下·广西软州期末)“数趣研习社”网络学习平台为满足不同用户的学习需求，策划了A、 B两种上网学习的月收费套餐，具体收费标准如下表： 收费套餐 月使用费/元 包时上网时间h 超时费/（元/h) 16/17 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A 5 20 0.6 B m n 0.6 设每月上网学习时间为x小时，套餐A、B对应的收费金额分别为VA元，YB元， 元 24 20 16 12 8 可20254060xi (1)如图是yB与x之间函数关系的图象，结合表格信息与图象特征，填空：m=，=； (2)求出'4与x之间的函数关系式，并在图中画出函数图象，再结合图象分析选择哪种套餐上网学习更节省 费用. 17/17 专题04 函数与一次函数 5大高频考点概览 考点01函数的概念与表示 考点02一次函数的概念 考点03一次函数的图象和性质 考点04一次函数与方程（组）、不等式 考点05 实际问题与一次函数 一、选择题地 城 考点01 函数的概念与表示 1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）下列图象中，表示不是的函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的判断，根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应进行即可，正确理解函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，不符合题意； 、对给定的的值，有几个值与之对应，不是的函数，符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级下·广西贵港·期末）函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据被开方数非负，建立不等式求解． 【详解】函数中，被开方数必须满足非负条件，即 解得． 故选A． 3．（24-25八年级下·广西钦州·期末）下列关系中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是函数的定义．根据函数的定义进行逐一判断即可：对于两个变量x和y，如对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么y就叫做x的函数． 【详解】解：A、，符合函数的定义，本选项不符合题意； B、，符合函数的定义，本选项不符合题意； C、，符合函数的定义，本选项不符合题意； D、，当时，对于一个确定的x的值，y都有两个值与之对应，不符合函数的定义，本选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级下·广西南宁·期末）悦悦同学骑自行车上学，刚开始以某一速度行进，途中因自行车发生故障停下修车，车修好后加快速度赶往学校．以下四个图象中（为距离，为时间），符合上述情况的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象，根据题意可知，整个过程分为三段，分别分析三段过程即可得出答案，读懂题意分析出每一段过程中的图象是解题的关键． 【详解】解：首先一开始以某一速度行进，图象应该是一条逐渐向上的直线，而后停下来修车，图象应该是平行于轴的直线，之后加速也是一条逐渐向上的直线， 所以选项符合， 故选：． 5．（24-25八年级下·广西南宁·期末）目前，南宁地铁号线一期工程正如火如荼地建设中现有甲、乙两个工程队分别同时开挖两条米长的隧道，所挖隧道长度米与挖掘时间天之间的函数关系如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲队每天挖米 B．乙队开挖天后，每天挖米 C．甲队比乙队提前天完成任务 D．当时，甲、乙两队所挖隧道长度相等 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象进行有关计算是解题的关键．根据图象计算即可判断A，B；求出乙队完成任务需要的天数，再计算甲队比乙队提前几天完成任务即可判断C；分别计算当时，甲、乙两队所挖隧道长度即可判断D． 【详解】解：甲队每天挖（米天）， ∴A不正确，不符合题意； 乙队开挖天后，每天挖（米）， ∴B不正确，不符合题意； 乙队完成任务需要（天）， 则甲队比乙队提前（天）完成任务， ∴C不正确，不符合题意； 当时，甲队所挖隧道长度为（米）， 乙队所挖隧道长度为（米）， 当时，甲、乙两队所挖隧道长度相等， D正确，符合题意． 故选：D． 6．（24-25八年级下·广西南宁·期末）下列图象中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查了函数图象和概念．根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故该选项符合题意； ．对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故该选项不符合题意； ．对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故该选项不符合题意； ．对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故该选项不符合题意； 故选：A． 7．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，某轮船先从甲地航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地航行返回到甲地，则下列说法错误的是（   ） A．轮船从甲地到乙地的平均速度为 B．轮船在乙地停留了 C．轮船从乙地返回甲地的平均速度大于去时的速度 D．甲乙两地相距 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象. 根据函数图象逐项分析即可． 【详解】解：、轮船从甲地到乙地的平均速度为，此选项不符合题意； 、轮船在乙地停留了，此选项不符合题意； 、轮船从乙地到甲地的平均速度为，则轮船从乙地到甲地的平均速度小于去时的速度，此选项符合题意； 、根据图象可知：甲、乙两地相距，此选项不符合题意； 故选：． 8．（24-25八年级下·广西南宁·期末）小刚家、体育馆、文具店在同一条直线上．周六上午，小刚从家跑步去体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后散步走回家．已知小刚离家的距离与离开家的时间之间）的关系如图所示．则下列说法正确的是（   ） A．小刚一共走了 B．小刚在体育馆锻炼了 C．体育馆距离文具店 D．小刚从文具店回家的平均速度是 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图像的知识，通过函数图像获得所需信息是解题关键．根据题意可知小刚家到体育馆的距离为，文具店在小刚家和体育馆之间，据此即可确定小刚一共走了多少米，即可判断选项A；根据小刚到达体育馆和离开体育馆的时间，计算在体育馆锻炼时间，可判断选项B；结合图像可知体育馆和文具店距离家分别为和，即可计算体育馆到文具店的距离，可判断选项C；利用“速度距离时间”计算小刚从文具店回家的平均速度，可判断选项D． 【详解】解：A. 小刚一共走了，原说法错误，不符合题意； B. 小刚在体育馆锻炼了，原说法错误，不符合题意； C. 体育馆距离文具店，原说法错误，不符合题意； D. 小刚从文具店回家的平均速度是，该说法正确，符合题意． 故选：D． 9．（22-23八年级下·广西南宁·期末）小王家、食堂、图书馆在同一条直线上，小王从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，下图反映小王离家的距离与时间之间的对应关系，下列说法正确的是（    ） A．小王读报用了 B．小王吃早餐用了 C．小王从图书馆回家的平均速度是 D．小王家离食堂 【答案】C 【分析】本题主要考查的是函数图像的读图能力，根据函数图像的性质得到信息是解题的关键．根据横轴表示时间，纵轴表示路程即可得到答案． 【详解】解：小王读报用了，故选项A错误； 小王吃早餐用了，故选项B错误； 小王从图书馆回家的平均速度是，故选项C正确； 小王家离食堂，故选项D错误； 故选C． 三、解答题 10．（24-25八年级下·广西来宾·期末）阅读与理解 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足，，那么称点是点，的“和谐点”． 例如，，当点满足，，则称点是点，的“和谐点”． (1)直接写出点，的“和谐点”的坐标______； (2)已知点是点，的“和谐点”，当点向左平移3个单位，求点的像点的坐标； (3)点，点，点是点，的“和谐点”． ①求与之间的函数关系式； ②若直线交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)①；②． 【分析】本题考查了直角坐标系下“和谐点”的定义，直角坐标系下点的平移，函数解析式的求解，需理解题目已知的“和谐点”的定义，由“和谐点”的定义求解是解决本题的关键． （1）根据“和谐点”的概念，计算，即可求解． （2）先由“和谐点”的定义求解点P的坐标，再由直角坐标系下点的坐标平移规律，即“左右平移纵坐标不变，横坐标左减右加相应的单位长度”求解即可． （3）①先由“和谐点”的定义表示出x和y，再根据t的表达式求解即可； ②根据点、点的横坐标相同，可求解x的值进而可求解t的值，即可求解点E的坐标． 【详解】（1）解：∵点，， 设点， ∴有，， ∴点的坐标； 故答案为：． （2）解：设， ∵点是点，的“和谐点”， ∴， ∴， ∴点向左平移3个单位的像点的坐标为． （3）①解：∵点是点，的“和谐点”， ； ， ， 即； ②解：∵直线交轴于点，， 点、点的横坐标相同， ， ， ， 故． 11．（24-25八年级下·广西钦州·期末）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． 下面是小萍同学的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是________； (2)下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 1 0 m n 1 2 … 表中________，________； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (4)结合画出的函数图象，解决问题： 记所画函数的图象与x轴的交点分别为A，B（A在B的左边），经过点A的直线与所画函数的图象的另一个交点为C，若的面积为5，求k，b的值． 【答案】(1)全体实数 (2)，0 (3)见解析 (4)， 【分析】（1）函数表达式为整式，自变量的取值范围为全体实数； （2）求出函数在自变量取与1时的函数值即可； （3）根据（2）中的列表，在平面直角坐标系中描点并连线即可得函数图象； （4）由表格知点A、B的坐标及的长度；结合图象可知，点C在第一象限，设点C的纵坐标为h，由面积求得h的值，代入函数中，求得x的值，即可求得点C的坐标；用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：由于函数解析式为整式，故自变量取值为全体实数； 故答案为：全体实数； （2）解：当时，；当时，； 故答案为：，0； （3）解：描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象如下： （4）解：由表格可知，． 结合图象可知，点C在第一象限，设点C的纵坐标为h， 则，． 在函数中，当时，， 当时，得， 直线经过点A、C，有，解得， 即，． 一、选择题地 城 考点02 一次函数的概念 12．（24-25八年级下·广西南宁·期末）下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、，该函数包含一次项和常数项，属于一次函数，但不符合正比例函数无常数项的要求，故本选项不符合题意； B、，该函数符合的形式，其中，满足正比例函数的定义，因此是正比例函数；故本选项符合题意； C、，该函数中的次数为2，不符合正比例函数中次数为1的要求，故本选项不符合题意； D、，该函数可写为，不符合正比例函数的形式，故排本选项不符合题意； 故选：B． 13．（24-25八年级下·广西钦州·期末）下列函数中，是正比例函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义即可求解，解题的关键是理解形如（为常数，且）的函数是正比例函数，需满足自变量的次数为且无常数项． 【详解】解：、，符合的形式，是正比例函数，符合题意； 、，自变量次数为，不符合正比例函数的定义，不符合题意； 、，可写为，自变量次数为，不符合次数为的要求，不符合题意； 、，含常数项，属于一次函数但非正比例函数，不符合题意； 故选：． 14．（24-25八年级下·广西钦州·期末）下列函数是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，形如（、为常数，且）的函数为一次函数．需逐一判断各选项是否符合该形式． 【详解】解：选项A：，其中的次数为2，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意． 选项B：，符合的形式（，），且，因此是一次函数，故本选项符合题意． 选项C：，右边不是整式形式，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意． 选项D：，右边不是整式形式，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意． 故选：B 15．（24-25八年级下·广西南宁·期末）函数中，当时，y的值是（ ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查函数值的计算，将已知的x值代入函数表达式，直接计算对应的y值． 【详解】解：已知函数为，当时，代入得： ， 因此，当时，的值是1， 故选：D． 16．（24-25八年级下·广西南宁·期末）在关系式中，当自变量时，函数的值为（    ） A．3 B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查已知一次函数自变量的值求函数值，把已知自变量的值求函数值，直接将自变量代入一次函数计算即可． 【详解】解：将自变量代入函数关系式中： 因此，当时，函数的值为3， 故选：A 17．（24-25八年级下·广西南宁·期末）当时，一次函数的函数值为（　　） A． B．1 C．5 D．13 【答案】A 【分析】本题考查求函数值，把代入求出函数值即可解题． 【详解】解：当时，， 故选：A． 地 城 考点03 一次函数的图象和性质 一、选择题 18．（24-25八年级下·广西河池·期末）若点在第一象限，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断一次函数的图象所经过的性质，根据点在第一象限，得到，进而判断出直线经过的象限即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴， ∴直线过第一，二，三象限； 故选A． 19．（24-25八年级下·广西南宁·期末）点，是一次函数图象上的两个点，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．也考查了一次函数的性质． 先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随着x的增大而减小， ∵点，是一次函数图象上的两个点，， ∴． 故选：A． 20．（24-25八年级下·广西南宁·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过 B．图象可由直线向上平移个单位长度得到 C．图象经过第一、二、四象限 D．随自变量的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，包括图象经过的点、平移规律、象限分布及增减性，通过对一次函数的图象经过的点、图象的平移、图象经过的象限以及函数的增减性这几个方面进行分析是解题的关键． 【详解】解：选项A：将点代入，得，故图象不经过该点，A错误． 选项B：函数由向上平移3个单位长度得到（平移后解析式为），B正确． 选项C：，图象从左下向右上延伸，经过第一、三象限；，与y轴交于正半轴，故图象经过第一、二、三象限，C错误． 选项D：，故随的增大而增大，D错误． 21．（24-25八年级下·广西来宾·期末）已知点，，都在直线上，则、、的值大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出．牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 【详解】解：， 随的增大而减小， 点，，都在直线上，且， ． 故选：A． 22．（24-25八年级下·广西来宾·期末）一次函数的图象一定经过定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可．熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：一次函数， 当时，， 一次函数的图象一定经过定点的坐标是． 故选：B． 23．（24-25八年级下·广西贵港·期末）对于一次函数，说法正确的是（   ） A．点在这个函数图象上 B．随着的增大而增大 C．当时， D．它的图象必过一、三象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，需结合函数解析式对各选项逐一判断． 【详解】选项A：将点代入函数，计算得，故点A不在函数图象上，选项A错误． 选项B：，因此y随x的增大而减小，选项B错误． 选项C：解不等式，得．当时，必然满足，此时，选项C正确． 选项D：，，经过第一、二、四象限，不经过第三象限，选项D错误． 故选C． 24．（24-25八年级下·广西防城港·期末）已知点，都在正比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的解析式代入点的坐标，计算对应的y值并比较大小，即可作答． 【详解】解：∵点，都在正比例函数的图象上， ∴，， ∵， 即， 故选：B 25．（24-25八年级下·广西防城港·期末）下列函数的图象与的图象平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两直线平行问题：两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同．据此解答即可． 【详解】解：原函数为，自变量系数， 只有选项C：的自变量系数， 则与的图象平行的是． 故选：C． 26．（24-25八年级下·广西钦州·期末）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移3个单位得到一个正比例函数图象，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题．将一次函数向下平移3个单位后得到正比例函数，可得到平移后的函数解析式常数项为0．根据平移规律，原函数表达式调整后求解即可． 【详解】解：原一次函数为，向下平移3个单位后，解析式变为． 因为平移后是正比例函数， 所以， 即． 故选：A 27．（24-25八年级下·广西南宁·期末）一次函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可知该函数图象经过第一、二、四象限，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：一次函数， 该函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：． 二、填空题 28．（24-25八年级下·广西贵港·期末）已知两点都在直线上，则______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵一次函数的， ∴一次函数y随x的增大而增大， ∵， ∴ 故答案为：． 29．（24-25八年级下·广西钦州·期末）将直线向左平移2个单位长度后，再向下平移4个单位长度，所得直线表达式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解． 【详解】解：将直线向左平移2个单位长度后，再向下平移4个单位长度，所得直线表达式为， 故答案为：． 30．（24-25八年级下·广西南宁·期末）已知，在一次函数的图象上，当时，与的大小关系为________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，根据一次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵中， ∴随的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 3、 解答题 31．（24-25八年级下·广西来宾·期末）已知与成正比，且时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)将所得函数的图象平移，使它过点，求平移后图象的表达式． 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2)； (3)平移后图象的表达式为． 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的平移， （1）根据题意设；然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）把代入一次函数解析式可求得； （3）设平移后直线的解析式为，把点代入求出b的值，即可求出平移后直线的解析式． 【详解】（1）解：依题意设 ∵时，， ∴，解得 ∴关于的函数表达式为； （2）解：当时，； （3）解：将函数平移的表达式设为 因为平移后的函数的图象经过点， 所以， 解得 因此，平移后图象的表达式为． 32．（24-25八年级下·广西南宁·期末）已知y关于x的函数． (1)若y是x的正比例函数，求a的值； (2)若，求该函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正比例函数，一次函数与x轴的交点问题． （1）当y是x的正比例函数时，，由此可解； （2）先求出时一次函数解析式，再令，求出对应的x的值即可． 【详解】（1）解：∵y是x的正比例函数， ∴， 解得：； （2）解：当时，该函数的表达式为， 令，得， 解得， ∴当时，函数图象与x轴的交点坐标为． 33．（24-25八年级下·广西北海·期末）一次函数的图象分别与轴、轴交于点． (1)求该一次函数的表达式； (2)在该一次函数图象上有一点到轴的距离为10，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数表达式，以及求一次函数上点的特点来求坐标， （1）点，代入一次函数，就可求出函数的表达式； （2）一次函数图象上P到x轴的距离为10，分两种情况讨论，即可求出P的坐标． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为， 把点代入中， 得， 解得， 该一次函数的表达式为； （2）解：函数的表达式为，该一次函数图象上有一点到轴的距离为10， 当纵坐标为10时，， 解得，此时点的坐标为； 当纵坐标为时，， 解得，此时点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 34．（24-25八年级下·广西南宁·期末）学习一次函数后，小宁知道：若已知直线上两个点的坐标，就能用待定系数法求出该直线的解析式．例如：已知直线的解析式为，分别与轴，轴交于点，点．求直线关于轴的对称直线的解析式．解题思路为： 第一步：求出，两点的坐标； 第二步：求出点关于轴的对称点的坐标； 第三步：由，两点的坐标，用待定系数法，即可求出直线的解析式． 阅读以上材料，完成下列任务． (1)直接写出点的坐标； (2)若直线与直线关于轴对称； ①求出直线的解析式； ②在①的条件下，若点为直线上的一个动点，当点的横、纵坐标之和为3时，求点的坐标； ③在②的条件下，将直线向下平移个单位长度后得到直线，若直线与轴的交点为，且满足时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求解析式，一次函数的平移与轴对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）令，得出，即可求解； （2）①先求出与轴交点坐标为 ， ，则与轴对称的点坐标为，，然后利用待定系数法即可求解； ②设，根据点的横、纵坐标之和为3，求得，即可求解； ③设直线的解析式求得，进而根据，建立方程，即可求解． 【详解】（1）解：直线的解析式为， 当时， ∴ （2）①解：由得，当时，当时，， ∴与轴交点坐标为，， ∴与轴对称的点坐标为，， 设直线关于轴对称的直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线关于轴对称的直线的解析式； ， ②设， ∵点的横、纵坐标之和为3 ∴ 解得： ∴ ③设直线的解析式 当时， ∴ ∵ ∴ 解得： 一、选择题地 城 考点04 一次函数与方程（组）、不等式 35．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，已知直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数的交点与一元一次不等式的关系，先求出点的坐标，然后根据图象即可得到不等式的解集，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直线过点， ∴，解得：， ∴点， 根据图象可知的解集为， 故选：． 36．（24-25八年级下·广西南宁·期末）根据下表中一次函数的自变量与函数值部分的对应值， 判断方程的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由表格可知，当时，；当时，，即可判断方程的一个解的取值范围，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，， ∴方程的解必定在与之间，即， 故选：． 37．（24-25八年级下·广西来宾·期末）已知直线的图象经过点，，则关于的方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关于的方程的解即为直线的图象与轴交点的横坐标．一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程的根就是它所对应的一次函数的函数值为0时，自变量的值．即一次函数图象与轴交点的横坐标． 【详解】解：当时，， 所以关于的方程的解即为直线的图象与轴交点的横坐标． 因为直线的图象经过点， 所以关于的方程的解为． 故选：D． 38．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，直线与轴交于点， 下列叙述正确的是（    ） A．直线经过第四象限 B． C．关于x的不等式的 的解集为 D．若点和是直线上的两点， 则 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，由直线与坐标轴交点求不等式的解集．熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键．由函数图象即可判断A；由直线的图象可知，即可判断B；由当时，直线的图象在x轴下方，可判断C；由一次函数的性质可判断D． 【详解】解：由图象可知直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故A选项错误，不符合题意； ∵直线图象与y轴的交点位于x轴上方， ∴，故B错误，不符合题意； ∵直线与x轴交于点， ∴当时，直线的图象在x轴下方， ∴关于x的不等式 的解集为，故C正确，符合题意； ∵直线经过第第一、二、三象限， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴，故D错误，不符合题意． 故选：C． 39．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图是一次函数的图像，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，由函数表达式可得，其实就是一次函数的函数值，结合图像可以看出答案． 【详解】解：由图像可知，当时，，即， ∴的解集为． 故选：A． 40．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数与不等式关系，利用数形结合得出不等式的解集是解题关键． 根据函数图象交点右侧直线图象在直线图象的下面，即可得出不等式的解集． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴不等式解集为． 故选：C． 二、填空题 41．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是_______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式，求出的值，图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：把代入，得：， 由图象可知，的解集为； 故答案为： 3、 解答题 42．（24-25八年级下·广西河池·期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学函数的图象．同时，我们也学习了绝对值的意义； 结合上面的学习过程，解决下列问题： 在函数中，当时，；当时，． (1)求该函数的表达式； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (3)已知函数的图象如图所示，结合（2）中所画函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式与一次函数的关系． （1）根据在函数中，当时，；当时，，可以求得该函数的表达式； （2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象； （3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集． 【详解】（1）解：∵在函数中，当时，；当时，， ∴， 解得， ∴这个函数的表达式是； （2）解：∵， ∴， 当，函数有最小值， 函数过点和点； 函数过点和点； 画出该函数的图象如下： （3）解：由函数图象可得， 不等式的解集是． 43．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图所示，根据图中信息，解决下列问题． (1)求直线的解析式及点P的坐标； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围； (3)连接，求． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】（）利用待定系数法可求出直线、的解析式，再联立两函数解析式解方程组可求出点的坐标； （）根据点坐标及函数图象解答即可； （）求出，得到，利用三角形面积公式计算即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题，一次函数的几何应用，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式， 由，解得， ∴； （2）解：∵， ∴时的取值范围为； （3）解：如图， 把代入，得， ∴， ∴， ∴． 44．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交点为，且与正比例函数的图象交于点．    (1)求的值及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)观察函数图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式等知识，根据待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数中，计算出k、b的值是解题关键． （1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数中，计算出k、b的值，进而得到一次函数解析式． （2）先求出B点坐标，再利用三角形面积公式计算即可． （3）根据图象解答即可； 【详解】（1）解：∵点代入正比例函数的图象上， ∴， 解得， 即点C坐标为． ∵一次函数经过，， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵一次函数与y轴交于B， ∴， ∵点C坐标为， ∴． （3）解：由图象可得不等式的解为：； 45．（24-25八年级下·广西防城港·期末）如图，函数与的图象相交于点P，且点P的横坐标为2．的面积为12． (1)分别求点P，A的坐标； (2)求k，b的值； (3)直接写出：随着x的增大，函数值，的变化情况． 【答案】(1)； (2) (3)随x的增大而增大，随x的增大而减小 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，直线围成的三角形面积，一次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）先根据点P的横坐标为2，求出其纵坐标，然后根据的面积为12，求出点A的坐标即可； （2）把，代入，求出k，b的值即可； （3）根据一次函数的增减性进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点P的坐标为， ∵的面积为12， ∴， 解得：， ∴； （2）解：把，代入得： ， 解得：； （3）解：∵， ∴随x的增大而增大， ∵， ∴随x的增大而减小． 46．（24-25八年级下·广西河池·期末）综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： … … … … 表格中_______，________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，求出当取何值时该函数的有最小值．最小值是多少？ (4)写出关于的方程的解，并利用（2）中的图像简单说明此方程的解是如何得到的． 【答案】(1)1；1 (2)见解析 (3)； (4)，；见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的意义是解题的关键． （1）分别把和代入函数解析式，即可求解； （2）根据表格选取点，点作射线，选取点，点作射线，即可解答； （3）观察（2）中的函数图象，即可求解； （4）画出函数和的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：1；1 （2）解：如图，    （3）解：根据图像得：当时 函数有最小值，最小值为； （4）解：方程的解为：，， 理由如下： 画出函数和的图象，如图所示：    函数和的图象交点坐标分别为，， 关于的方程的解为：，． 47．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，直线与直线相交于点． (1)求a的值． (2)直线与直线与x轴分别相交于A、B两点，求的面积． (3)直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够根据题意确定直线的解析式，再结合图象解不等式． （1）将代入，得出； （2）分别求得的坐标，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （3）根据函数的图象确定不等式的解集即可． 【详解】（1）解：将代入， ∴ ∴； （2）解：∵，∴， 在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴， 又∵， ∴的面积为； （3）解：根据函数图象可得不等式的解集为． 48．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，直线与直线相交于点，，与y轴分别交于点A，B． (1)求b的值； (2)根据以上信息，直接写出关于x，y的方程组的解； (3)当时，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)1 【分析】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．同时要求利用图象求解各问题，根据图象观察，可以得出结论．要认真体会一次函数与方程组之间的关系． （1）把代入直线即可求出b的值； （2）方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标； （3）先求得，，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵直线过点，∴； （2）解：观察图象得，关于x，y的方程组的解为； （3）解：当时，直线， 令时，， ∴， 令时，， ∴， ∴， ∴的面积． 一、选择题地 城 考点05 实际问题与一次函数 49．（24-25八年级下·广西南宁·期末）已知直线：与直线：都经过点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点直线 直线且经过原点，且与直线交于点点为轴上任意一点，连接，对于以下结论，正确的个数有（   ） ①方程组的解为； ②； ③； ④当的值最小时，点的坐标为． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，轴对称最短路径问题，勾股定理的应用，正确地求得函数解析式是解题的关键．方程组的解为；故符合题意；把，点代入解方程组得到直线：，求得直线的解析式为，把把代入得得到直线，解方程组得到，得到，根据三角形的面积公式得到，故符合题意；解方程得到，根据勾股定理计算可得③符合题意；作点故轴的对称点，连接交轴于，此时，的值最小，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为，当时，，得到，符合题意． 【详解】解：直线：与直线：都经过点， 方程组的解为；故符合题意； 把，点代入得， ， 直线：， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线：， 解；得， ， 在中，令，则， 解得， ， ，故符合题意； ，， ， ∴，故符合题意； 直线交轴于点， ， 作点作轴的对称点，连接交轴于，则， 当共线时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，符合题意； 故选：D． 50．（24-25八年级下·广西贵港·期末）某登山队大本营所在地的气温为，海拔每升高，气温下降．队员由大本营向上登高，气温为，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了一次函数的应用，根据大本营气温为，海拔每升高，气温下降，可得登高后气温下降，从而建立函数关系式． 【分析】解：∵初始气温为，海拔每升高，气温下降， ∴登高时，气温下降量为， ∴气温y与x的关系式为：． 故选B． 51．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，直线与轴、轴交于，两点，的平分线交轴于点，则直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于已知直线，分别令与为0求出对应与的值，确定出与的坐标，在轴上取一点，使，连接，由为的平分线，得到，利用得出两三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，设，可得出，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出坐标，设直线解析式为，将与坐标代入求出与的值，即可确定出直线解析式． 【详解】解：对于直线， 令，则；令，则，则， ，，即，， 根据勾股定理得：， 在轴上取一点，使，连接， 为的平分线， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， 根据勾股定理得：， 解得：， ，即， 设直线解析式为， 将与坐标代入得：， 解得：， 则直线解析式为． 故选：C． 【点睛】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 52．（24-25八年级下·广西桂林·期末）小林骑行从A地到B地，设出发后，小林距离B地路程为，已知y与x之间的函数表达式为，则小林骑行从A地到B地所用时间是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用． 根据“小林距离B地路程为”结合求解即可． 【详解】解：∵小林距离B地路程为， ∴当小林骑行从A地到达B地时，， 此时 解得： 故选：C． 53．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，正方形中，动点P从点B出发沿折线做匀速运动，到A点停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间函数图象如右图所示，则下列说法正确的是（    ） A．正方形的边长为8 B．当时， C．当时， D．点P运动的路程越大，的面积越大 【答案】C 【分析】本题考查的是动点问题的函数图象，根据点P在不同位置上时，边上的高的变化情况得到面积的变化情况是解决本题的关键．结合函数图象的拐点横坐标可知正方形的边长，当和时，只要找到对应图象上的两点坐标，利用待定系数法求出解析式即可判断正误，点P运动的路程越大即表示x越大，的面积即为y的情况，通过图形可知不是一直在增大的． 【详解】解：结合函数图象的两个拐点位置可知正方形的边长为4，故A选项错误； 如图，当时，图象经过和， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， 所以当时，，故B选项错误； 当时，图象经过和， 设直线的解析式为， 把和代入，得解得 所以直线的解析式为，故C选项正确； 根据函数图象可知，点P运动的路程越大，的面积是先增大，后不变，最后变小，故D选项错误． 故选：C． 三、解答题 54．（24-25八年级下·广西河池·期末）综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点是线段上的一个动点（不与重合），连接，设点的横坐标为． (1)直接写出两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①，理由见解析；②存在，点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数解析式的确定和一次函数的应用，勾股定理，全等三角形的判断和性质，三角形的面积等知识．掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键． （1）分别令，，求出两点坐标即可。； （2）写出F点的坐标，然后根据三角形面积公式列函数关系式； （3）①根据三角形面积列方程求点F的坐标，然后利用勾股定理求得与的长，从而求解； ②根据全等三角形的判定和性质求解． 【详解】（1）解：， ∴当时，，当时，，解得：， ∴； （2）解：∵点是线段上的一个动点（不与重合）， 设点的横坐标为，过点作轴， ∴点坐标为， ∴的面积： ∴的面积与之间的函数关系式为； （3）解：①． 理由如下：当的面积时， ，解得：， ∴点坐标为， ∴， ∵， ∴； ②存在， 过点作轴交轴于点，过点作于点，过点作于点，分两种情况： 情况一：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌（AAS）， ∴， ∴点 情况二：∵是等腰直角三角形，同理≌（AAS）， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 55．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线交于点已知点的横坐标为，点的坐标为． (1)点A的坐标是______；点的坐标是______；直线的解析式是______； (2)若是直线上的点，且的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，且当点在第一象限时，设是射线上的点，当为等腰三角形时，请求出点的坐标此时在平面内存在点，使以为对角线的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)的坐标为， 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，菱形判定与等腰三角形判定等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）求出；用待定系数法可得直线的解析式是；再令可得； （2）设，由的面积为，有，即可解得或，故点的坐标为或； （3）当点在第一象限时，点的坐标为，可得直线解析式为，设，其中，分三种情况：当时，有，可解得，此时，故在平面内不存在点，使以为对角线的四边形是菱形，故这种情况不存在；当时，，可解得，根据四边形是以为对角线的菱形，即可得；当时，过作于，可得，即为中点，故，可得，此时，故这种情况不存在． 【详解】（1）解：在中，令得， ； 把，代入得： ， 解得， 直线的解析式是； 令得， ； 故答案为：；；； （2）解：设， ， ， 的面积为， ， 解得或， 点的坐标为或； （3）当点在第一象限时，点的坐标为， 由，可得直线解析式为， 设，其中， 当时，如图： ， 解得此时，重合，舍去或， ， ， ， 在平面内不存在点，使以为对角线的四边形是菱形，故这种情况不存在； 当时，如图： ， 解得舍去或， ， 四边形是以为对角线的菱形，， 将向下平移个单位即得， ； 当时，过作于，如图： ，即为中点， ， ， 解得， ， ， 此时， 在平面内不存在点，使以为对角线的四边形是菱形，故这种情况不存在； 综上所述，的坐标为，的坐标为 56．（24-25八年级下·广西南宁·期末）年春节档电影哪吒之魔童闹海掀起观影热潮，影片将封神神话中的角色如哪吒、敖丙赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振哪吒之魔童闹海人物卡通模型深受青少年喜爱现有甲、乙商店推出购买优惠活动： (1)若在甲、乙商店购买哪吒系列人物卡通模型的付款金额分别记为，（元），请分别求出，与购买数量（个的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (2)应选择在哪家商店购买更划算？请通过计算说明． 【答案】(1)，（其中为整数） (2)时到乙商店购买更划算；当时，到甲、乙两个商店购买花费一样；当时，到甲商店购买更划算 【分析】本题考查一次函数的应用， 根据题意可以求得、与之间的函数关系式； 令，求出的值，再分情况讨论即可； 解题的关键是明确题意，求出、与之间的函数关系式． 【详解】（1）解：根据题意，为整数， 当时，， 当时，， ∴， ， ∴； （2）当， 解得：， ∴当时，到乙商店购买更划算； 当时，到甲、乙两个商店购买花费一样； 当时，到甲商店购买更划算． 57．（24-25八年级下·广西来宾·期末）如图，，且m ，n满足，直线恰好是一次函数的图象，轴于B． (1)求点C的坐标，并求的周长； (2)在y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，的周长为（）； (2)存在，或． 【分析】本题考查坐标与图形，一次函数与几何的综合应用，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）非负性求出的值，进而求出点的坐标，求出点横坐标，代入解析式，进而求出点坐标，勾股定理求出的长，再利用周长公式进行计算即可； （2）设，直线与轴交点为，根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：（1）由得， ∴，， ∵轴于，又点在的图象上， 设， ∴， ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理得， ∴的周长为； （2）如图，假设存在点满足题意，设，直线与轴交点为， ∵， ∴当时，， ∴， ∴． ∵， ∵， ∴，解得或， ∴或． 58．（24-25八年级下·广西贵港·期末）南宁、桂林两地相距400千米，甲、乙两人分别开车从南宁出发前往桂林．甲先出发1小时，下图是甲、乙行驶路程（单位：千米）随行驶时间（单位：小时）变化的图象．请结合图象信息，解答下列问题： (1)分别求出甲、乙行驶路程与时间之间的函数解析式； (2)求出点的坐标（即甲、乙相遇的时间和距离）； (3)在乙的行驶过程中，当为何值时，甲、乙相距50千米？ 【答案】(1)， (2) (3)在乙的行驶过程中，当为或时，甲乙相距50千米 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式，求出公共解即可； （3）分甲在乙前面和乙在甲前面讨论，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：甲的速度为：， 与之间的函数解析式为； 设与之间的函数解析式为， 根据题意得：，解得 ， （2）解：根据题意，得， 解得， ， 点的坐标为； （3）解：甲在乙前面时，， 解得， 当乙在甲前面时，， 解得， 在乙的行驶过程中，当为或时，甲乙相距50千米． 59．（24-25八年级下·广西防城港·期末）某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： (1)从图象中可以看出自变量是________，点D的坐标为________； (2)无人机在75米高的上空停留的时间是________分钟； (3)在上升或下降过程中，无人机的速度为________米/分钟； (4)求线段所在直线的函数表达式． 【答案】(1)时间t (2)5 (3)25 (4) 【分析】本题考查从函数图象获取信息，一次函数的应用，求一次函数解析，结合题意准确识图是解题的关键． （1）根据图象信息得出自变量，写出点D的坐标即可； （2）根据图象信息可得无人机在75米高的上空停留的时间； （3）根据“速度路程时间”计算即可； （4）先求出点E的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； 【详解】（1）解：横轴是时间，纵轴是高度，高度是随时间的变化而变化，所以自变量是时间t，点D的坐标为； （2）解：无人机在75米高的上空停留的时间是（分钟）， （3）解：在上升或下降过程中，无人机的速度为：（米/分）， 故答案为：25； （4）解：图中 b表示的数是， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴线段所在直线的函数表达式为． 60．（24-25八年级下·广西钦州·期末）“数趣研习社”网络学习平台为满足不同用户的学习需求，策划了A、B两种上网学习的月收费套餐，具体收费标准如下表： 收费套餐 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/h） A 5 20 0.6 B 0.6 设每月上网学习时间为小时，套餐A、B对应的收费金额分别为元，元． (1)如图是与之间函数关系的图象，结合表格信息与图象特征，填空：________，________； (2)求出与之间的函数关系式，并在图中画出函数图象，再结合图象分析选择哪种套餐上网学习更节省费用． 【答案】(1)， (2)；见解析，①当时，选择A套餐上网学习省钱；②当时，选择两种套餐上网学习同样省钱；③当时，选择B套餐上网学习省钱． 【分析】本题考查了一次函数的应用，得到两种收费方式的关系式是解决本题的关键．注意数形结合思想的应用． （1）根据函数图象解答即可； （2）根据已知条件即可求得与x之间的函数关系式；进而画出函数图象，观察图象，分段求出哪种方式上网学习合算即可． 【详解】（1）解：由图象可得，，； 故答案为：8；40 （2）解：根据题意，得 套餐A的月使用费为5元，包时上网时间为， 当时，，． 当时，． 综上所述，与之间的函数关系式为 在图中画出函数图象如图所示： 时，， 解得． ①当时，选择A套餐上网学习省钱； ②当时，选择两种套餐上网学习同样省钱； ③当时，选择B套餐上网学习省钱． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $