第02讲 平面向量常考压轴题（6大重难点题型）讲义-2025-2026 学年高一下学期数学期末必考重难点题型归纳及检测（苏教版必修第二册）

第02讲 平面向量常考压轴题 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1：奔驰定理---解决面积比例问题 3 知识点2：三角形四心与推论： 4 知识点3：极化恒等式 4 知识点4：等和线 5 03 重难点题型 6 题型一：坐标法解决平面向量范围与最值问题 6 题型二：不等式法解决平面向量范围与最值问题 6 题型三：参数法解决平面向量范围与最值问题 7 题型四：极化恒等式问题 8 题型五：等和线问题 9 题型六：四心问题 10 题型七：斜坐标系问题 11 题型八：新定义问题 13 04 过关检测 16 知识点1：奔驰定理---解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点. 已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为. 注意：（1）在中，若为重心，则． （2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等． 重心的向量表示：． 奔驰定理：，则、、的面积之比等于 奔驰定理证明：如图，令，即满足 ，，，故. （3）为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为. 即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比. 结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为. 即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形. 知识点2：三角形四心与推论： （1）是的重心：． （2）是的内心：． （3）是的外心： ． （4）是的垂心： ． 知识点3：极化恒等式 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： （2）极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. ②三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 知识点4：等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 题型一：坐标法解决平面向量范围与最值问题 例1．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的范围是（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·甘肃·一模）已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）已知正方形的边长为，点在线段上，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的范围是___________． 题型二：不等式法解决平面向量范围与最值问题 例4．（24-25高一下·浙江·阶段检测）已知，，则的范围为（   ） A． B． C． D． 例5．（24-25高一下·北京朝阳·阶段检测）已知、为同一平面中两个向量，满足，，则的范围为（   ） A． B． C． D． 例6．（25-26高一下·重庆·期中）已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图，在中，点是线段上的动点（端点除外），且，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 题型三：参数法解决平面向量范围与最值问题 例7．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上运动．若．其中，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 例8．（多选题）（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知O为坐标原点，点，，，，，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则， C．点绕点O逆时针旋转90°后得到的点与点关于y轴对称 D．若点E、F分别是线段OA、OB上（含端点）的动点，点P在以O为圆心的劣弧上（含端点）运动，且，则的范围为 例9．（多选题）（25-26高一下·广东梅州·阶段检测）如图，圆内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则下列正确的是（    ） A．，则的最大值为2 B．的最大值为 C．的最大值为1 D．点为正方形ABCD内一点，则最小值为 题型四：极化恒等式问题 例10．（25-26高一下·四川攀枝花·阶段检测）在中，且，，，若动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 例11．（23-24高一下·江苏南京·月考）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 例12．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）（1）已知向量满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）如图，半圆的直径为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，求的最小值． 题型五：等和线问题 例13．（25-26高一下·陕西铜川·阶段检测）如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点. (1)若，求实数的值； (2)若，且满足， ①求实数的值； ②如图2，过点的直线与边分别交于点，设，，（，），求的最小值. 例14．（多选题）（25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．的最大值为 D．若，则的最大值为 例15．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图四边形是边长为1的正方形，点在的延长线上且，点是内（含边界）的动点，设. (1)当在边上运动，若时会使，求的值. (2)若在线段上运动时，求证：. (3)求的最大值. 题型六：四心问题 例16．（多选题）（25-26高三·全国·二轮复习） “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 例17．（23-24高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（    ）    A． B． C． D． 例18．（25-26高一下·山西太原·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·广西崇左·期中）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 变式4．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在△ABC所在平面内有一点P，满足，则△PAB与△ABC的面积之比是（   ） A． B． C． D． 题型七：斜坐标系问题 例19．（25-26高一下·江苏泰州·期中）如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，、分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中，若，则记． (1)-仿射坐标系中，，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由） (2)在-仿射坐标系中，若，，且与的夹角恰为，求； (3)如图所示，在-仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值． 例20．（25-26高一下·江苏常州·期中）如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．    (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 例21．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的斜坐标． (1)若，求； (2)若，且与的夹角为，求； (3)若，，求的面积的取值范围． 变式5．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做在仿射坐标系中的斜坐标． (1)若，，求； (2)若，，，求在上的投影向量的斜坐标； (3)若，，，，求的最小值． 题型八：新定义问题 例22．某广场地面上有一条直线轨道与两个固定反光点和（为灯光照射的角度参数），一移动激光灯P沿轨道l移动，激光灯P发出的光线会同时照射到A和B，形成两个光斑．为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个反光点之间的能量耦合值W，W定义为与的数量积．则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W的最小值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 例23．已知平面内的非零向量，，定义运算：.对平面内任意非零向量，，，则（   ） A． B．若与不垂直，则 C． D．若，则 例24．（多选题）定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角.对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 变式6．在平面直角坐标系中，对于非零向量 和角，定义变换如下：，且 ． (1)若，求的值； (2)求证：与的面积相等； (3)设，，是否存在，使得 ，不等式恒成立．若不存在，说明理由；若存在，求出的取值范围． 变式7．对于给定正整数n，称有序实数组为一个n维向量，记作．特别地，称为零向量，记作．记集合．设，，若对任意，都有，则称等于，记作．对，按如下方式定义n维向量的数乘和加法：，．对一组向量，若存在一组不全为零的实数，使得，则称这组向量线性相关．否则，称这组向量线性无关． (1)对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，无需说明理由； ①，； ②，，； ③，，，； (2)若，，线性无关，判断、、是线性相关还是线性无关，并说明理由； (3)已知个向量线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①若存在等式，则这些系数或者全为零，或者全不为零； ②如果，，其中，则． 1．（25-26高一下·湖北·期中）如图，在中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 2．（25-26高一下·浙江·期中）如图，已知中，，点D，E分别为边，上的两个动点，且满足，若点M，N分别为，的中点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在四边形中，，，是线段上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·安徽合肥·期中）已知为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为4，则的值为（    ） A．4 B．5 C．2 D．3 5．（25-26高一下·重庆·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知平面向量，，，，且，已知向量与所成的角为，对任意实数恒有，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．若，则的最大值为 7．（多选题）（25-26高一下·四川达州·期中）已知圆半径为，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A． B．的最大值为 C． D．满足的点仅有一个 8．（多选题）（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）如图，P为内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下正确的命题为（    ） A．若P是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若P是的外心，，，则的最小值是 D．若，则 9．（多选题）（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）三角形中的奔驰定理是指：是内一点，，，的面积分别为，，，则．若，则以下命题正确的有（   ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 10．（多选题）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（   ） A．若为的垂心，且，则 B．若，则的面积与的面积之比为 C．若，则动点的轨迹经过的外心 D．若，且，则的面积是面积的 11．（25-26高一下·山东枣庄·期中）在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______. 12．（25-26高一下·江苏盐城·期中）设非零向量，满足，，，设，夹角的最小值为，则______. 13．（25-26高一下·浙江温州·期中）已知平面向量，满足，与的夹角为，且，则的最小值为____________． 14．（25-26高一下·贵州毕节·期中）点F在边长为2正方形ABCD区域内（包含边界），点E为正方形ABCD对角线交点．若，则的最大值为______． 15．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的最大值是________． 16．（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知向量，满足，且，则的最大值是________． 17．（24-25高一下·河北保定·阶段检测）如图，点分别是矩形的边上的两点，，． (1)若是线段靠近的三等分点、是的中点，求； (2)若，求的范围； 18．（25-26高一下·河南洛阳·期中）如图，在中，是BC的中点，是的重心，过点的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.设. (1)若，求的值； (2)求的最小值； (3)若是边长为1的等边三角形，求的最小值. 19．（25-26高一下·山东菏泽·期中）如图，在等边中，，点在边上，且，过点的直线分别交射线于不同的两点. (1)设，试用表示，并求； (2)若，求的最小值. 20．（25-26高一下·江西萍乡·期中）在边长为的等边三角形中，为线段上的动点（不含端点），于点，且交于点． (1)求的值； (2)求的最小值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 平面向量常考压轴题 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1：奔驰定理---解决面积比例问题 3 知识点2：三角形四心与推论： 4 知识点3：极化恒等式 4 知识点4：等和线 5 03 重难点题型 6 题型一：坐标法解决平面向量范围与最值问题 6 题型二：不等式法解决平面向量范围与最值问题 10 题型三：参数法解决平面向量范围与最值问题 12 题型四：极化恒等式问题 15 题型五：等和线问题 17 题型六：四心问题 21 题型七：斜坐标系问题 26 题型八：新定义问题 33 04 过关检测 39 知识点1：奔驰定理---解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点. 已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为. 注意：（1）在中，若为重心，则． （2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等． 重心的向量表示：． 奔驰定理：，则、、的面积之比等于 奔驰定理证明：如图，令，即满足 ，，，故. （3）为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为. 即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比. 结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为. 即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形. 知识点2：三角形四心与推论： （1）是的重心：． （2）是的内心：． （3）是的外心： ． （4）是的垂心： ． 知识点3：极化恒等式 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： （2）极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. ②三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 知识点4：等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 题型一：坐标法解决平面向量范围与最值问题 例1．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段AB（除）、线段BC、线段CD，线段DE，线段EF（除）上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，AB、AF分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知到AF的距离为， 则， 直线GF的方程为，直线GH的方程为，直线AH的方程为， 当在线段GF（除）上运动时，设， 所以， 当在线段GH上运动时，设， 所以， 当在线段AH（除）上运动时，设， 所以． 的最小值为； 由投影向量的定义可知，当在CD上时，取得最大值， 延长DC交AB的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，故， 故， 故， 所以最大值为 故选：D 例2．（2025·甘肃·一模）已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示建立平面直角坐标系，则 ，， 设，则，， ， 令，则， ， 可得， 故选:D. 例3．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）已知正方形的边长为，点在线段上，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 已知正方形，以建立平面直角坐标系， ，，，， 设，点在线段上，， 则，， ， 时，的最大值为. 变式1．（25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的范围是___________． 【答案】 【解析】设的夹角为，当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段、线段、线段（除）点上运动时， ，，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知， 到的距离为， 则， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 所以的最小值为； 由投影向量的定义可知，当在线段上时，取最大值， 延长交的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，由， 故，， 故， 所以的最大值为 则的范围是. 题型二：不等式法解决平面向量范围与最值问题 例4．（24-25高一下·浙江·阶段检测）已知，，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知，得，变形得， 设，则，变形得， 因为，所以，因为，所以， 解不等式组，当时，解得. 故选：D. 例5．（24-25高一下·北京朝阳·阶段检测）已知、为同一平面中两个向量，满足，，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】, 因为，则， 所以， 所以的范围为. 故选：D 例6．（25-26高一下·重庆·期中）已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知 ，得，又 ，故 ， 设，，为中点，则，得， ，已知，又， 故，得， 到直线的距离： ， ，因为 ， 所以是直线上任意点对应向量，其模长最小值就是点到直线的距离， 因此： ​，即最小值为. 变式2．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图，在中，点是线段上的动点（端点除外），且，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由点是线段上的动点（端点除外），且， 所以，且，， 因此， 当且仅当，即，时，等号成立，此时取最小值为. 题型三：参数法解决平面向量范围与最值问题 例7．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上运动．若．其中，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、，设点， 由于，即， 所以，为锐角，且. ，则，当时，取得最大值. 例8．（多选题）（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知O为坐标原点，点，，，，，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则， C．点绕点O逆时针旋转90°后得到的点与点关于y轴对称 D．若点E、F分别是线段OA、OB上（含端点）的动点，点P在以O为圆心的劣弧上（含端点）运动，且，则的范围为 【答案】ACD 【解析】对于选项A：，， ，， 故，A正确； 对于选项B：，， 由得 或 ， 若，可为任意值；若，则，B错误； 对于选项C：点绕原点逆时针转后变为，故旋转后得到点， 点关于轴对称的点为，与旋转结果一致，C正确； 对于选项D：设，，由得； 设，则， ， 其中，因为分别是线段上（含端点）的动点， 所以，又，所以，， 又，且 ，所以， 即的范围是，D正确. 例9．（多选题）（25-26高一下·广东梅州·阶段检测）如图，圆内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则下列正确的是（    ） A．，则的最大值为2 B．的最大值为 C．的最大值为1 D．点为正方形ABCD内一点，则最小值为 【答案】ABD 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则，. 圆的方程为，在弧上. 选项A.因为，所以. 设，则. 则. 因为最大值为，故最大值为，正确. 选项B.，在的最大值为​​， 故​，正确. 选项C.， 则. 因为，所以的最大值为，错误. 选项D.由三角不等式，对任意点：，​， 故 等号在为正方形中心时取到，最小值为，正确. 题型四：极化恒等式问题 例10．（25-26高一下·四川攀枝花·阶段检测）在中，且，，，若动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取中点，连接， 则 ， 因为，所以点在以为圆心，1为半径的圆上，如图， 则， 所以的最大值是. 例11．（23-24高一下·江苏南京·月考）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取中点为，连接，显然， 则 . 故选：A. 例12．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）（1）已知向量满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）如图，半圆的直径为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，求的最小值． 【解析】（1）由题意： ， 又， 由题意，解得， 又当时，即时，与共线， 所以与的夹角为钝角时，实数的取值范围为； （2）由题意：由为圆心，得，所以， 则， 由，， 所以， 即，当且仅当时，等号成立， 所以， 即的最小值为. 题型五：等和线问题 例13．（25-26高一下·陕西铜川·阶段检测）如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点. (1)若，求实数的值； (2)若，且满足， ①求实数的值； ②如图2，过点的直线与边分别交于点，设，，（，），求的最小值. 【解析】（1）因为，所以， 所以， 又，且与不共线，由平面向量基本定理得，； （2）①因为三点共线，所以存在实数使得（）， 所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以，且与不共线， 所以，解得． 所以. ②由①可知，，且，， 所以， 因为三点共线，所以，且，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 例14．（多选题）（25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．的最大值为 D．若，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】对于A，由题意得 ，故A正确； 对于B，由A知，， 则 ，故B正确； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意得， 设， 所以， 当时，的最大值为5，故C错误； 对于D，由题意得， 可得， 因为，所以 ， ， 因为， 所以当时，取得最大值，故D正确． 例15．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图四边形是边长为1的正方形，点在的延长线上且，点是内（含边界）的动点，设. (1)当在边上运动，若时会使，求的值. (2)若在线段上运动时，求证：. (3)求的最大值. 【解析】（1）由题意，，，. 当在边上运动，由， 所以，. 由， 所以 即. （2）由， 即， 因为点在线段上运动，所以，且， 所以，即. （3）由（2）得，当点在线段上运动时，； 当点在线段上运动时，，其中，，所以； 当点在线段上运动时，因为三点共线， 可设，. 所以，，所以； 当点与点重合时，，此时. 所以的最大值为. 题型六：四心问题 例16．（多选题）（25-26高三·全国·二轮复习） “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 【答案】ABC 【解析】A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线， 所以M为的重心，A正确； B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； C选项，若M为的垂心，， 则， 如图，⊥，⊥，⊥，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， 同理可得，即，故， ，则， 故， ，则， 故， ， 故， 同理可得， 故，C正确； D选项，若，，M为的外心， 则， 设的外接圆半径为，故， ， 故，，， 所以，D错误. 故选：ABC 例17．（23-24高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，所以， 又，则，同理可得，所以， 设，，则，， 所以，即，， 所以， 所以. 故选：B. 例18．（25-26高一下·山西太原·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，又， 则，，所以， 设，，则,即，， 所以，即，则， 所以， 则. 变式3．（25-26高一下·广西崇左·期中）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【解析】如图，向量，分别表示在边和上取同方向的单位向量和， 则， 由可得， 因，则平分， 同理由，可知平分， 故为的内心. 变式4．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在△ABC所在平面内有一点P，满足，则△PAB与△ABC的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， ∴， ∴， 设AC中点为D，如图所示， 所以，， 因为、、、四点不共线，连接， ∴四边形为平行四边形， 所以 ∴. 题型七：斜坐标系问题 例19．（25-26高一下·江苏泰州·期中）如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，、分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中，若，则记． (1)-仿射坐标系中，，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由） (2)在-仿射坐标系中，若，，且与的夹角恰为，求； (3)如图所示，在-仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值． 【解析】（1）①成立，②不成立． 若，则存在非零实数满足， 因此可得，即，所以①成立， 若，可得则，因此不成立，即②不成立 （2）由，，得，，且， 所以，， 则， 故， 因为与的夹角为，则， 解得，或（舍去） （3）依题意设、，且，，， 因为F为BC的中点，则， 因为E为BD中点，同理可得， 所以 由题意可知，，， 则 在中，由余弦定理得，所以， 代入上式得 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以，， 因为，则， 故当时，取最大值， 则的最大值为． 例20．（25-26高一下·江苏常州·期中）如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．    (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 【解析】（1）由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则， 所以． （2）由，，得，，且， 所以，，                   则， ， 因为与的夹角为，所以， 解得． （3）依题意，设、（，），且，，， 因为为的中点，则 ， 因为为中点，同理可得， 所以， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，所以， 代入上式得，． 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以，， ，为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则． 例21．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的斜坐标． (1)若，求； (2)若，且与的夹角为，求； (3)若，，求的面积的取值范围． 【解析】（1）， 所以， ， . （2） ， 解得. （3）， ， ， 设的夹角为， . 变式5．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做在仿射坐标系中的斜坐标． (1)若，，求； (2)若，，，求在上的投影向量的斜坐标； (3)若，，，，求的最小值． 【解析】（1）由题意得，，， 因为，则存在实数使得，即， 整理得：，即， 因为为单位向量且不共线，所以，，得，； （2）由题意得，，，且，则 ； 因为在上的投影向量为， 因为， 故， 故在上的投影向量的斜坐标为； （3）由题意得，，，， 设夹角为，则，则： ； ， ，则 因为， 且，故，即， 因为，故； 解得：；故； 则，故； 即，故， 则的最小值为． 题型八：新定义问题 例22．某广场地面上有一条直线轨道与两个固定反光点和（为灯光照射的角度参数），一移动激光灯P沿轨道l移动，激光灯P发出的光线会同时照射到A和B，形成两个光斑．为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个反光点之间的能量耦合值W，W定义为与的数量积．则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W的最小值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B 【解析】设，坐标原点为 ， 则，， 即 ， 即，当最小时W最小， 而直线与轴的交点坐标为，两交点与原点围成了等腰直角三角形， 则，所以. 例23．已知平面内的非零向量，，定义运算：.对平面内任意非零向量，，，则（   ） A． B．若与不垂直，则 C． D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，由定义得与共线，与共线，所以，故A错误. 对于B，不妨取，，，则，所以. 因为，所以， 故，故B错误. 对于C，，故C正确. 对于D，若，则，即. 因为为非零向量，所以，所以或当时，，故D错误. 例24．（多选题）定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角.对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】BCD 【解析】对于A：由的定义知，当时，；当，. 若，由于是非零向量，所以当时，， 故，，所以，所以，故，A正确. 对于B：设有非零向量，则，所以，而， 故，故B错误. 对于C：由B知，，故，C错误. 对于D：若，，，则，D错误. 变式6．在平面直角坐标系中，对于非零向量 和角，定义变换如下：，且 ． (1)若，求的值； (2)求证：与的面积相等； (3)设，，是否存在，使得 ，不等式恒成立．若不存在，说明理由；若存在，求出的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，， 所以 ，所以． （2）证明与面积相等首先证明所有为定值： 因此， ， 所以， 故， 三角形面积公式：， 因此：, , 故面积相等，得证. （3）， ， 不等式等价于， 代入得：， 整理化简得：， 因为，故， 上式是关于的一次函数， 一次函数在恒非负只需端点满足：恒成立； ，解得， 因此存在满足条件的，取值范围为或. 故. 变式7．对于给定正整数n，称有序实数组为一个n维向量，记作．特别地，称为零向量，记作．记集合．设，，若对任意，都有，则称等于，记作．对，按如下方式定义n维向量的数乘和加法：，．对一组向量，若存在一组不全为零的实数，使得，则称这组向量线性相关．否则，称这组向量线性无关． (1)对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，无需说明理由； ①，； ②，，； ③，，，； (2)若，，线性无关，判断、、是线性相关还是线性无关，并说明理由； (3)已知个向量线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①若存在等式，则这些系数或者全为零，或者全不为零； ②如果，，其中，则． 【解析】（1）对于（ⅰ），，； 设，可得， 则可得，取，满足， 所以线性相关. 对于（ⅱ），，，； 设， 可得， 则， 所以线性无关. 对于（ⅲ），，，，， 设， 则可得， 解得，不妨取， 所以线性相关. （2）设， 则， 因为向量线性无关，所以解得， 所以向量线性无关. （3）（ⅰ），如果某个， 则. 因为任意个都线性无关，所以都等于0， 所以这些系数要么全为零，要么全不为零. （ⅱ）因为，所以全不为零， 所以由，可得， 代入， 可得， 所以， 所以， 所以. 1．（25-26高一下·湖北·期中）如图，在中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】四点共线，可设，其中，， 分别是的中点，，， ， ，，， 是线段上两个动点，，， ， 当且仅当，结合，，即时取等号， 的最小值为. 2．（25-26高一下·浙江·期中）如图，已知中，，点D，E分别为边，上的两个动点，且满足，若点M，N分别为，的中点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，线段的中点分别为， 记， 则，， ∴，， ∴两边平方得： ∵，， ， ， ∴ ， 当时，等号成立，所以最小值为，即的最小值为. 3．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在四边形中，，，是线段上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 设，则，解得， 又因为， 且、不共线，所以，这两个等式相加得， 因为，，由基本不等式可得，解得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为. 4．（25-26高一下·安徽合肥·期中）已知为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为4，则的值为（    ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由于，即. 如图所示，分别是对应边的中点， 由平行四边形法则知， 故， 在正中，， ，则. 故选D. 5．（25-26高一下·重庆·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得． 又因为为三角形内心时，，，， 所以． 故可设，，，， 故三角形为直角三角形．为直角边，为斜边， 由三角形面积 得，又． 故． 6．（多选题）（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知平面向量，，，，且，已知向量与所成的角为，对任意实数恒有，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】由题意得，不妨设， 原不等式表示当时取最小值， 对于A，设， 为开口向上的二次函数，当时，取最小值，即取最小值， 即，进而，解得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， 不妨用点代表向量，点代表向量，点代表向量， 由几何意义可将原式转化为动点到定点的距离之和， 由两点间线段最短，当且仅当点位于线段上时，距离之和取最小值， 即， ，故C正确； 对于D，设坐标原点为，点分别代表向量， 由上知，所以为边长为1的等边三角形，其中为定点， 因为，则有，且的三个内角均为且内接于某圆， 所以点所在的轨迹为与相对的劣弧， 边长为1的等边三角形外接圆半径， 表示点到原点的距离，因为原点恰好也在此圆上， 所以，故D正确. 7．（多选题）（25-26高一下·四川达州·期中）已知圆半径为，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A． B．的最大值为 C． D．满足的点仅有一个 【答案】AB 【解析】对于A， 圆半径为，弦，故为等边三角形， 所以，， 所以，A正确； 对于B， 过点作，交圆于点，过点作，并交的延长线于点，连接，取中点，连接， 因为，且，所以是平行四边形， 又，所以是菱形， 由投影向量可知，当两点重合时，取得最大值， 此时， 所以的最大值，B正确； 对于C， 因为是菱形，， 因为，， 所以当与平行且方向相同时，取最大值为， 当与平行且方向相反时，取最小值为， 所以，C错误； 对于D，因为点为圆上任意一点，故当重合时，， 又当时，满足，故满足的点有2个，D错误． 8．（多选题）（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）如图，P为内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下正确的命题为（    ） A．若P是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若P是的外心，，，则的最小值是 D．若，则 【答案】ABC 【解析】选项A：若是的重心，根据重心性质，三个小三角形面积相等：， 代入奔驰定理得：，即，A正确； 选项B：若，结合奔驰定理， 得面积比. 又，，，可得， 即到三边距离相等，故是的内心，B正确； 选项C：是外心，故（为外接圆半径）， 由，得圆心角. 由，得， 代入，，化简得. 因为在内，结合奔驰定理系数为正，得， 故， 所以，即，当且仅当时取等号， 最小值为，C正确； 选项D：由，整理得：， 即，根据奔驰定理， 所以，D错误. 9．（多选题）（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）三角形中的奔驰定理是指：是内一点，，，的面积分别为，，，则．若，则以下命题正确的有（   ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【解析】根据奔驰定理：的系数之比等于对应三角形的面积之比，即. 若是的重心，则，与，所以不是的重心. 当为的外心时，， 所以，即. 当为的内心时，，其中为内切圆半径，所以，因此，所以为直角三角形. 10．（多选题）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（   ） A．若为的垂心，且，则 B．若，则的面积与的面积之比为 C．若，则动点的轨迹经过的外心 D．若，且，则的面积是面积的 【答案】ACD 【解析】选项A.，故A正确； 选项B.设中点为，中点为， ， 即，所以点为中线靠近点的三等分点，所以，故B错； 选项C.设中点为，则， 结合题设. 所以，所以， 又的中点为，所以在的中垂线上，所以动点的轨迹经过的外心，故C正确； 选项D.设为中点，，所以， 即，由，所以，所以，，三点共线， 所以．故D正确． 11．（25-26高一下·山东枣庄·期中）在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】如下图所示： 因为，易知， 又，所以， 易知三点共线，利用共线定理可得， 又，， 所以； 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 12．（25-26高一下·江苏盐城·期中）设非零向量，满足，，，设，夹角的最小值为，则______. 【答案】/ 【解析】当时，题中不等式自然满足，所以只要考虑的情形， 将不等式两边同时除以， 得，，，其中为单位向量， 因此题设不等式等价于， 记夹角为， 那么， 即， 从而，得， 由于，在上单调递减， 因此的最小值对应的最大值， 当时，二次函数有唯一零点， 此时，即， 满足不等式的等号条件，说明最小值是可取的， 则，夹角的最小值为时，则. 13．（25-26高一下·浙江温州·期中）已知平面向量，满足，与的夹角为，且，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】，，因为，所以， ，，则要求的最小值等价于求的最大值， 因为与的夹角为，所以，令，， 则，整理后得， 令，则，该方程有正实数解， 故，解得， 又因为，所以，故的最大值为， 即的最大值为，此时， 所以的最小值为. 14．（25-26高一下·贵州毕节·期中）点F在边长为2正方形ABCD区域内（包含边界），点E为正方形ABCD对角线交点．若，则的最大值为______． 【答案】/ 【解析】设正方形中，，，，，则对角线交点坐标为， 设，其中，则，，点积得： ， 因此的轨迹是正方形内的线段， ，将代入得： ， 这是开口向上的二次函数，定义域，对称轴为， 所以最大值在端点或处取得， 代入得，因此. 15．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的最大值是________． 【答案】 【解析】由题意得，，则 ， 由最小值为，且由二次函数分析可知， 当时，取得最小值， 所以 ，解得， 又与的夹角为锐角，则，此时， 所以，设， 由, 又，故． 16．（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知向量，满足，且，则的最大值是________． 【答案】4 【解析】因为，所以，即，① 又，即，② 所以，③ 又由①②可得，解得，代入③可得， 所以的最大值是4. 17．（24-25高一下·河北保定·阶段检测）如图，点分别是矩形的边上的两点，，． (1)若是线段靠近的三等分点、是的中点，求； (2)若，求的范围； 【解析】（1）以点为坐标原点，、所在的直线为轴､轴建立直角坐标系， 则，，，， 所以， ，， ． （2）由，， 故，则， 所以 ， 由，故． 18．（25-26高一下·河南洛阳·期中）如图，在中，是BC的中点，是的重心，过点的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.设. (1)若，求的值； (2)求的最小值； (3)若是边长为1的等边三角形，求的最小值. 【解析】（1）为BC中点， 又为的重心，， . （2）由（1）得， 三点共线， 又 （当且仅当，即时取等号） 的最小值为3. （3） ， 由（2）知，，即. 又， （当且仅当时取等号） 当时，取得最小值： 即的最小值为. 19．（25-26高一下·山东菏泽·期中）如图，在等边中，，点在边上，且，过点的直线分别交射线于不同的两点. (1)设，试用表示，并求； (2)若，求的最小值. 【解析】（1） ， 所以， 因为，， 所以， 因为， 所以， 所以； （2）由（1）知， 又， 所以，又三点共线， 所以， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 20．（25-26高一下·江西萍乡·期中）在边长为的等边三角形中，为线段上的动点（不含端点），于点，且交于点． (1)求的值； (2)求的最小值． 【解析】（1）取的中点，的中点，连接，则，     所以，     则； （2）如图，以为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 因为，所以，     已知 ， ，得 ，     设 ，则 ， ，     则， 当且仅当时，取得最小值为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $