第03讲 三角恒等变换的综合灵活应用（8大重难点题型）讲义-2025-2026 学年高一下学期数学期末必考重难点题型归纳及检测（苏教版必修第二册）

第03讲 三角恒等变换的综合灵活应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1：两角和与差的正余弦与正切 3 知识点2：二倍角公式 3 知识点3：降次（幂）公式 3 知识点4：半角公式 3 知识点5、两角和与差正切公式变形 3 知识点6、和化积公式 4 知识点7、积化和公式 4 解析错误: 下标越界 5 题型一：已知角度的三角函数求值问题 5 题型二：已知三角值的间接求值问题 5 题型三：依托三角值的角度求解问题 6 题型四：三角函数式的恒等化简与等式证明 6 题型五：三角恒等变换与三角函数性质综合问题 8 题型六：三角恒等变换与平面向量综合问题 9 题型七：三角恒等变换的实际场景应用问题 11 题型八：辅助角公式的拓展深化应用 13 04 过关检测 15 知识点1：两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 知识点2：二倍角公式 ①； ②； ③； 知识点3：降次（幂）公式 知识点4：半角公式 知识点4：辅助角公式 （其中）． 知识点5、两角和与差正切公式变形 ； ． 知识点6、和化积公式 知识点7、积化和公式 题型一：已知角度的三角函数求值问题 例1．（24-25高一下·湖北·期中）年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（   ） A． B． C． D． 例2．（23-24高一下·江苏徐州·月考）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”又称黄金分割法在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用经研究，黄金分割比还可以表示成，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 例3．（21-22高一上·广东茂名·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 变式1．（21-22高一上·山西·期末）（ ） A． B． C． D． 题型二：已知三角值的间接求值问题 例4．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 例5．（22-23高一下·北京·阶段检测）已知，则（   ） A．1 B． C． D． 例6．（2026·重庆·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·山东德州·期中）若，且，则（    ） A． B． C． D． 题型三：依托三角值的角度求解问题 例7．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 例8．（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 例9．（24-25高一下·四川内江·期中）已知，，且、是方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（24-25高一上·福建福州·期末）若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型四：三角函数式的恒等化简与等式证明 例10．（25-26高一上·广东广州·期末）学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．请你结合相关内容回答以下问题： (1)证明：； (2)已知，求的值； (3)若，证明：． 例11．（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 例12．（23-24高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明： . ②在中，求证:.   （2）若，，求的值. 变式5．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）盐城中学某数学兴趣小组在学习三角函数的过程中发现一个规律： ， ， ， 据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式对猜想进行了证明．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“发电叶片恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“发电叶片恒等式”的结论能否得到推广呢？根据以上信息，回答下列问题： (1)证明：； (2)解关于的方程：，其中； (3)求的值，其中，且． 题型五：三角恒等变换与三角函数性质综合问题 例13．（25-26高一下·四川内江·阶段检测）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及函数单调递增区间； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围； (3)将函数的图象向右平移，再向上平移（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围． 例14．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）已知函数． (1)已知为偶函数，设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 例15．（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知函数． (1)求函数的单调增区间； (2)求函数的对称轴方程； (3)若函数在区间上恰有2个零点，，求的值． 变式6．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）已知函数，． (1)求在的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)若，，求的值． 题型六：三角恒等变换与平面向量综合问题 例16．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）已知向量，. (1)若，求； (2)若，已知，求. 例17．（25-26高一下·上海闵行·期中）定义平面向量的向量积：对于两个起点相同的平面向量，记，其中是由逆时针旋转到的最小角（）． (1)已知，求； (2)证明：对任意，有； (3)已知为不共线的单位向量，，且为锐角，为平面向量且，求的取值范围． 例18．（25-26高一下·江苏泰州·期中）（1）已知对任意平面向量，将绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做将点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.请解决下列问题： ①若，且点坐标为，求点的坐标； ②若，求证：. （2）如图，中，，在平面内将点绕点沿顺时针方向旋转得到点，记. ①若，求的长度； ②若，求长度的取值范围. 变式7．（25-26高一下·北京海淀·期中）已知向量. (1)若且，求的值； (2)若，求的值. 变式8．（25-26高一下·重庆·阶段检测）向量，函数． (1)求的最小正周期和单调减区间； (2)函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求的解析式，若，且，求的值． 题型七：三角恒等变换的实际场景应用问题 例19．（25-26高一下·山东日照·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中，，阴影部分是一个半径为的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积的表达式为． (1)当时，设，求的值域； (2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值． 例20．（25-26高一上·湖南常德·期末）某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带，，，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设. (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用. 例21．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过、分别作于，于． (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示、两点的坐标； (2)求四边形面积的最大值． 变式9．（25-26高一上·浙江·期末）如图，某游乐场的摩天轮半径为，圆心距离地面，设置有个座舱（逆时针编号号号），摩天轮每逆时针转动一圈，游客在座舱转到距离地面最近的位置（点位置）进舱.现甲、乙两人先后分别进入号舱和号舱. (1)游客甲从坐上号舱起，经过后距离地面高度为（单位：），求（单位：）关于时间（单位：）的函数； (2)在运行一周的过程中，求甲、乙两人距离地面的高度差的最大值. 变式10．（25-26高一上·广东东莞·期末）如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上的动点，且的周长为2. (1)证明为定值，并求出该定值； (2)求面积的最小值. 题型八：辅助角公式的拓展深化应用 例22．（24-25高一下·上海·期中）函数的值域为_____． 例23．（25-26高一下·上海普陀·期末）锐角三角形ABC中，若，则的取值范围是__________. 例24．（25-26高一下·北京西城·期中）已知函数． ①若，则______； ②若，使成立，则的最小值是______． 变式11．（25-26高一下·上海宝山·期中）若函数的最大值为13，则常数__________. 变式12．（25-26高一下·上海·阶段检测）将函数的图像关于对称，则实数______. 变式13．（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）若时，取得最大值，则______． 1．（25-26高一下·江苏南通·期中）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·北京延庆·期中）若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）若，则（    ） A． B． C． D．2 4．（25-26高一上·天津·期末）已知，则（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·广东佛山·期中）已知为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南永州·三模）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知，，且，，则为（    ） A． B． C． D．或 8．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高一下·江苏扬州·期中）下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（25-26高一下·湖南永州·开学考试）已知函数的图象关于点对称，则的值可以是（   ）. A． B． C． D． 11．（多选题）（25-26高一下·贵州毕节·期中）下列关于函数的说法正确的是（） A．直线是函数图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到 D．若函数在区间上恰有三个零点，则实数m的取值范围为 12．（多选题）（25-26高一下·全国·阶段检测）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则有（ ） A． B．函数的对称中心为 C．若，则 D．若，则的最大值为 13．（25-26高一下·上海·期中）函数的最小正周期是，则的值________； 14．（25-26高一下·上海·期中）函数的值域为______； 15．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知，且，则______. 16．（2026·江西·三模）已知，且，则______，______． 17．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知 (1)求 的值; (2)求的值. 18．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）（1）已知，求的值； （2）化简：. 19．（25-26高一下·上海·期中）某地区要设计建造一个自然保护区，如图所示，在一块矩形区域ABCD中（其中AB为60米，AD为30米），过道EF将其分为两个主要区域，休闲区为以D为圆心，AD为半径的四分之一圆，绿化区为四边形BEFC，且EF与圆弧相切，记切点为G.（计算结果保留两位小数） (1)若，求EF的长； (2)E点在线段AB上何处时，才能使绿化区的面积最大，求出最大值. 20．（25-26高一下·上海·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期、对称轴和零点； (2)若，，求的值； (3)若关于x的方程在上有两个不同的解、，求实数m的取值范围及的值． 21．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象，求函数在上的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $第03讲三角恒等变换的综合灵活应用 目录 01题型归纳目录… 2 02知识点梳理… 知识点1：两角和与差的正余弦与正切 3 知识点2：二倍角公式 知识点3：降次（幂）公式 知识点4：半角公式 知识点5、两角和与差正切公式变形 知识点6、和化积公式 ...4 知识点7、积化和公式... 解析错误：下标越界 5 题型一：已知角度的三角函数求值问题 .5 题型二：已知三角值的间接求值问题 题型三：依托三角值的角度求解问题 ·> 题型四：三角函数式的恒等化简与等式证明 10 题型五：三角恒等变换与三角函数性质综合问题 15 题型六：三角恒等变换与平面向量综合问题 19 题型七：三角恒等变换的实际场景应用问题 。。 26 题型八：辅助角公式的拓展深化应用 32 04过关检测 36 1/46 01 题型归纳目录 题型五：三角恒等变换与三角函数性质综合问题 题型一：已知角度的三角函数求值问题 题型六：三角恒等变换与平面向量综合问题 题型二：已知三角值的间接求值问题 题型归纳 题型七：三角恒等变换的实际场景应用问题 题型三：依托三角值的角度求解问题 题型八：辅助角公式的拓展深化应用 题型四：三角函数式的恒等化简与等式证明 2/46 知识点梳理 知识点1：两角和与差的正余弦与正切 ①sin(a±B)=sina cosB±cosa sin B; ②cos(a±β)=cosa cos B干sina sin阝； ③tan(a±β)= tana±tanB l千tan a tan B 知识点2：二倍角公式 ①sin2a=2 sina cosa; 2 cos 2a cos2 a-sin2a =2cos2a-1=1-2sin2a ③tan2a= 2tana 1-tan'o 知识点3：降次（幂）公式 sina cosa=sin 2a;sina1-cos2a 1 icos2a 1+cos 2a 2 2 知识点4：半角公式 1-cosa 1+cosa sin =士 ；c0S 2 2 2 2 sin a 1-cosa tan- "21+c0sa sina 知识点4：辅助角公式 asina+bcosa=Va2+b2sim(a+p)(其中sinp=- b ，c0sp= a。,tamp=). a2+b2 va2+b2 a 知识点5、两角和与差正切公式变形 tana±tanB=tan(a±B)千tana tan B); tand.tanB=1-tanc +tanB=tanc-tan B-1. tan(a+B)tan(a-B) 3/46 知识点6、和化积公式 sina+sinB=2sincos 2 2 sin aB sina-sinB-2cos 2 2 cosa+cosB=2 cosB a-B -cos- 2 2 cosa-cosB=-2sin2sin aB 2 知识点7、积化和公式 sina-c[sin(+)+sin()] cosa-cos=cos(a+B)+cos(a-B)] sina.sin-cos(a-B)-cos(a+)] 4/46 重难点题型 题型一：已知角度的三角函数求值问题 例1.（24-25高一下·湖北期中)1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准测》中首次用直角 三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割， 用sC(角)表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用CsC（角)表示，则 cscl0°-V3secl0°=() A.-4 B.2W5 C.4 D.-2W5 【答案】C 【解析】csc10-V5sec10=1- 3 cos10-3 sin 103 sin10-cos10' sin10°cos10°sinl0°cosl0° sin10°cos10 2sin(10°-30）_4sin20=4 1 -sin 20 sin20° 2 故选：C. 例2.(23-24高一下·江苏徐州月考)著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的0.618 优选法”又称黄金分制法在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用经研究，黄金分割比1=√5-」0.618还 2 可以表示成2sin18°，则t cos12+5an12'-() A.4 B.2 C.1 D.2 【答案】C 【解析】由题意知，t=2sin18, co1+2sinsi2 则、1 cos12 cos12 -2sn60-25sn1224cos12-9sa12)+5n12 =1 cos12' cos12 故选：C 例3.(21-22高一上广东茂名期末)sin110cos250 的值为() cos225°-sin2155° A.2 1 B.2 c.3 D.- 2 【答案】A 【解析】原式_-sin70cos70°」 2sin140 、2in40 1 c0s225°-sin225° cos50° sin40° 2 5/46 故选：A 变式1.(21-22高一上山西期末)sin20(V3+tan50）=() A. B.2 C.5 D.1 【答案】D sin20°(sin50°+V3cos50）2sin20°sin(50°+60）2sin20°sin90°+20°） 【解析】原式 cos50 c0s50 cos90°-50°) 2sin 20cos20sin 40=1. sin 40 sin40° 故选：D 题型二：已知三角值的间接求值问题 例4.《2526商一下江苏扬州期中)已知su；,a∈0引，则sna+() 2 A.2 B. C.72 D. 7W2 5 10 【答案】D 【解析】因为a∈0， 因此cosa>0,由同角三角函数基本关系式sin2a+cos2a=1, 且sina= 3 得cosa=V1-sin2a 5 -5 π 根据正弦和角公式sina+ π3V2,4√2_7W2 sinacos-+cosasin- 二一X 十一X 4 “4525210 例5.(22-23高一下北京阶段检测)已知sinB=3cos(a+B)=-l,则sin(a+2B)=（) 1 1 A.1 B.-1 c. D.3 【答案】D 【解析】由cos(a+β)=-l,得sin(a+β)=0， 又snB-所以sa+2B)=ma+B+B)=smu+-es月+cma+)-s如B=-号 例6.(2026重庆模拟预测)已知0<a<3江，9 π）72 4,sin a 4=0,则cos8= A.② B. c.25 D.V5 10 5 5 5 【答案】D 【解析】已知0<a<好，因此子<a子←受 42 6/46 所mo引ma引y吕 4 42 -(sina+cosa)- 10 化简得sina+cosa=兮0， =sina coscosasinsina-cosa)= W2 而sina- 4 4 42 0 化简得sin&-cosa=2②， 5 8 联立①②，相加得：2sina=兮，sina=5 =4相减得：2c0sa=-6,c 5,c0sa=-3 由0<a< ，得0<83m 3π 4 2<8 根据半角公式cos +coso,代入cosa=-号得s -V2 5 5 5 高下-山东德州期中)若sin(&+B-,且tana=3ap,则sm 1 B. 3 C. D.3 【答案】B 【解析】因为tana=3tanB,所以sina cos B=3 cosa sin B, sin(B)=sina cos+cossinB 2 所以o=号oinB-名 所以sin(a-B)=sina cosB-cosasinB=} 题型三：依托三角值的角度求解问题 例7.（25-26商-上安藏合肥期末)已知a、Be0,刘，且am(B-a=ana=),则2B-a的值 是() A日 B c D.I 4 【答案】B 7/46 11 所以tamB=tan[(B-a)+a]=amB-a+iana 27 1V3 1-tan(B-a)tana 1-x133, 27 又因为a、B∈0，，所以5红<a<元，0<B< 6 6 则0<2B< ，-π<-0<- 5π 3 6 ，所以-π<2B-a<-元 2× 因为tan2p- 2tan B 3 3 1-tanβ -g 4 31 tan2β-tana 所以tan(2B-a)= 47 =1, 1+tan2βtana 31 故2B-a= 3π 1 4 4 7 故选：B 例8.(25-26高一上湖南郴州期末)已知a,B都是锐角，sina- 10,cos(a+B)=5 ,则B=() A君 B D. 5π 12 【答案】B 【解析】因为，B都是锐角， 所以0<a+B<π，又因为sina= V1 10 .cos(a+)-5 10310 所以cosa=1-sin2a=1-100=10 dintT 因此cosB=cos(a+B)-a=cosa+β)cosa+sin(a+β)sina 5x30,25x0-2 5105102 因为β是锐角， 所以B=工 4 故选：B 例9.(24-25高一下·四川内江期中)已知a,B∈(0，π，且tana、tanB是方程x2-3x-2=0的两根，则 +B的值为() 8/46 A月 B.4 π c好 D. 7π 4 【答案】C 【解析】由条件可知，tana+tanB=3>0,tana tan B=-2<0,且a,B∈(0，π， 所以不设ama>0mB<0,则ae0引Be行则a+Be行 tan(+B)=1-tanc tan B tana+aP=l,所以a+B= 故选：C 变式3.2425高-上广东深圳期末)已知a∈0.x.BE0.元sima+BE2cosa-B.ana+an5三专 则a+B=() A牙 3π B. C.Sx D. 7π 4 4 4 【答案】C 【解析】由tana+ianB=sina+sinE-_sinacosB+sin Bcos-sin(a+B) cosa cos B cosa cos B cosa cosB' 得sina+B)、4 手oo-号所以snma+B)=o月， 4 3 又sna+B)=2cosa-B),所以号=2coe-Am. 即月=2月+2 insin, 整理得-aaem月=namp,即tang tanp=- 所以a,B一个钝角一个锐角，所以<a+B< 3π 2 所以tan(a+B)= tana+tanβ 3 tan B =1, 所以a+B= 5π 4 故选：C 变式4.(24-25高一上福建福州期末)若a,B∈ 2π， cos B 且tano= 1+sinB’ 则下列结论正确的是() A.2a-B=5B.2a+B= C.2a-B=5 D.2a+B=5π 2 【答案】D 9/46 cos2B -sin2B cos 1-tan B cos B 2 2 2 -sin B 2 2 πB 【解析】tana= tan 1+sin B B B 42 cos +sin cos 1+tan 2 2 2 +sin 2 2 因为a,B∈ 所以 424 45,得2a+B= 所以a=元+-E 2 故选：D 题型四：三角函数式的恒等化简与等式证明 例10.(25-26高一上·广东广州期末)学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以 下三角恒等式：sineos=sna+)+smna-B],cosip=sma+j-sn(a-], +B)+cosfa-B],insn=cosa+l-cosa-B],请你结合相关内容回答 1 以下问题： (I)证明：cosacosB= oof)+cs( (@已知cosa+例easa-l=片求cosa-snB的值， (3)若a+阝+y+o=π，证明：sina+B)sina+y）=sinasin@+sinBsiny. 【解析】(1)利用余弦的和角、差角公式： cos(a +B)=cosa cos B-sina sin B, cos(a-B)=cosa cos B+sina sin B, 将两式相加：cos(a+β)+cos(a-B)=2 cosa cos B 两边同时除以2，得： cosa cos B= los(+B)+cos(a-B)]. (2)已知cos(a+B)cos(a-B)=3' 1 利用(1)的恒等式，令A=a+B,B=a-阝，则： cos(a+B)cos(a-B)=[cos((a+B)+(a-B))+cos((a+B)-(a-B))] -eas2a+es2-[2casa-4l-2sl =52cosa-2sin2B]-6os'a-simB 结合已知条件cos(a+B)cos(a-B)=3,得： 10/46 cwa-sna-号 (3)sin(a+B)sin(a+y)=sina sin@+sin B siny, 由a+B+y+0=π，得o=π-(@+B+Y), 故sino=sin(π-(a+B+y)=sin(a+B+y）. 因为sn45sm月=co4+月-co4-B: 令A=a+B,B=a+Y,则： sin(a+B)sin(a+)）=- osa+B+a+y》-cos(a+f)-a+7月 化简角，左边=-2[os(2a+B+)-cos(B-] 令A=a,B=a+B+Y, sinasin(++)o(++-cos(++ 化简得sin sin(a+B+)=-2[cos(2a+B+Y)-cos(B+y刃 再处理sin Bsiny,用sin Asin B公式： sin sinco 将两部分代入右边： 右边=-cos(2a+B+)-cosB+7】+（eos(B+7)-cosB-y】 1 1 --c(2@+B+7)+cos(B+Y)-cos(B+7)+cos(B-7) =-2[cos2a+B+7）-cos(B-Y】 左边与右边表达式完全相同，故： sin(a+β)sina+y=sina sin+sinβsiny. 例11.(24-25高一下·辽宁.期中)已知sina sinB≠0，且sin(a-阝=2 sinasinB,证明： 11 (1 tang tand =2 2 pcoxfa+j=vico年+a-B 【解析】(1)因为sina-B)=2 sinasinB,所以sinacosB-cosasinB=2 sinasinB, 两边同时除以sinasinB,得 osB_cosQ=2,即8 1 1-2 sinB sina tanB tano 11/46 (2)因为sina-B)=2 sinasinB,所以sin(a-B)=cosa-B)-cosa+B), 所以cosa+B)=cosa-B)-sin(a-B), 所以aa+l-万兽owa-9ne- 所以co+l=cos任+a-P 例12.(23-24高一下·四川凉山期末)(1)①借助两角和差公式证明： cosa+cosB=2coscos 2 2 A8C中，求证：cosA+cosB+c0sCI+4 sin sin 2 （2)若osa+osB-手sna-i如B-子，求na-的值 【解折10)0a2,B-““。 2 22 .cos+cosBcscosB) 2 2 22 -coscosininccossisin 2 2 2 2 2 2 2 2 cosa+cosB-2cosBcos 2 2 ②在ABC中，A+B+C=元，则C=元-(A+B), ..cos A+cos B+cos C cos A+cos B+cos[-(A+B)] 即cosA+cosB+cosC=CosA+cosB-cos(A+B),结合①结论， )A十Bc0s—-(2C0s-1小 2 (cos 4-B =1+2cos 4+B 2 --Cos 4+B 2 ) A-BA+B A-B A+B A.B, Xcos 453-cos 4+8=-2sin-2 2-sin-2 2-=2sin-sin- 2 2 2 2 2 'cos 4+cos B+cosC=1+4cos-2sin sin 21 又：s45B-6ms号-9=sinS: 2 22 cos4+cosB+cosC=1+4sinsin sin C 2 21 2 ②0有a-m8=me,m2片 12/46 -simcosBcosinsincoscossinB 2 2 2 2 2 2 2 2 =2cos+B Psin a-B 2 2 又：cosa+cosB= 5'sina-sinB=2 2cosa+Bcos-B_40,2cosa+B sin-B-2②， 2 25 2 23 ②÷①式得tana-B_5 26 2sin a-B a-B cos- 2 2tana-B 2x5 2 2 6 60 ..sin(a -B)=- sin2a-B +cos2a-B 1+tan2a-B= 5 21+ 61 2 2 6 即sin(a-B)=60 61 变式5.(25-26高一下江苏盐城阶段检测)盐城中学某数学兴趣小组在学习三角函数的过程中发现一个规 律： c0s0°+c0sl20°+c0s240°=0， c0s30°+c0s150°+c0s270°=0， c0s45°+c0sl65°+c0s285°=0， 据此规律提出猜想：c0s6+c0s(0+120)+cos0+240°)=0，并用两角和与差的余弦公式对猜想进行了证明. 当O、0+120°、0+240°有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于风力发电机叶片之间的关系，因此 该兴趣小组的同学称这个恒等式为“发电叶片恒等式”.同时，小组同学也提出疑问：对于更多叶片”的“风 力发电机”，这样的“发电叶片恒等式”的结论能否得到推广呢？根据以上信息，回答下列问题： (1)证明：sin0+sin(0+120)+sin0+240）=0: (2)解关于0的方程：sin0+40）+sin(240°-0)+sin(0-80）=0,其中0°≤0≤180°； +n+cos0+4红） 3)求cos0+cos9+2π+ 2(n-1)π +…+C0s0+ 的值，其中neN,且n≥2. n n 【解析】(1)因为sin(0+120)=sin0cosl20°+cos0sin120°， sin0+240）=sin0cos240°+cos0sin240°=sin0cos120°-cos0sin120°， 所以sin0+sin0+120°)+sin0+240°）=sin0+(sin0cosl20°+cos0sin120）+sin0cos120°-cos0sin120) =sin0+2sin0cosl20°=sin0+2sin0× =sin0-sin=0, 即sin0+sin0+120）+sin0+240）=0; (2)由(1)知sin(0-80)+sin(0-80°+120°）+sin0-80°+240）=0， 13/46 即sin0-80°)+sin0+40°+sin0+160)=0, 又sin0+40）+sin(240°-0）+sin(0-80）=0, 所以sin0-80）+sin0+40）+sin0+160) =sin0+40）+sin240°-0）+sin(0-80）, 所以sin0+160）=sin240°-0)， 所以0+160°=240°-0+k360(k∈Z) 或0+160°+240°-0)=180°+k.360°(k∈Z), 当0+160°=240°-0+k,360°(k∈Z)时，解得0=40°+k180(k∈Z), 又0°≤0≤180°，所以0=40°； 当6+160°+(240°-0)=180°+k360°(k∈Z)时，k无解， 综上，方程的解为0=40°： 该s=o0 lo0贤4om0+20] n 则2m5=2如co0÷2smem0+}2sn经car0+日 n n n +…+2sin2cos9+2n-1x] n 由积化和差公式得2 sin0=sin9+- n )-sin 0- n 2 sin cos0+2）=sin0+2红+-sim0+2红. n nn nn n 2mcf0+}m0:m0+} =m0-2m0-+ 将上面个式子相加得 2sin.cos0+2sin元.cos0+2π+2sin工.cos9+4r n n n 14/46 ++.sin cos+) n n 所以2sinT.S=0. n 又neN,且a2≥2，所以牙∈0月 所以sin严>0，所以S=0, n 即cos0+cos0+ +2]+cos0+4++cos9+2m-=0 n n n 题型五：三角恒等变换与三角函数性质综合问题 例13.(25-26高一下.四川内江阶段检测)已知函数f(x)=Asi(@x+p)(其中A>0,o>0,<2)的 部分图象如图所示. 11元 (1)求函数∫(x)的解析式及函数∫(x)单调递增区间； (2)若ABC为锐角三角形，且f(A)=1,求sinB+sinC的取值范围； (⑧将函数了（国的图象向右平移云再向上平移m(m>0,得到函数8（国的图象。若对任意的 ππ x1,x2∈ 6’2 都有∫(x)<gx2成立，求实数m的取值范围. 【解所1由图聚特4=2，手7-吕君7=，所以。=弘-2 T 所以1=2sm2o,又}-2(2名+p (6+p2, 所以肾+p=2m+受本eZ,又<经，所以p=君 6 故f到=2sm2x+ 令2kπ- s2x+亚s2kx+,k∈Z,解得m-≤x≤m+刀，keZ, 6 3 6 所以函数f()的单调递增区间为k红-刀，k杯+ ,k∈Z 31 6 15/46 2由题意得4利=2sm24+-1,则m2+引分 因为48C为锐角三角形，所以0<4<分，则？<2A+名<酒 6 66 则24名名将4号 则sinB+sinC=si血B+simg+）-3sinB+5cosB=5sing+ 32 2 6 3 631 则3 故s如B+s如C的取值范围为[？ (3)由题意可得gx)=2sin 2-君引引m=22r君引+m 因为对于任意的x,出-石都 都有∫(x)<gx2成立， 即当-名引时f<g恒立 ,元「元7π 可得2x+二∈ 6L6’6 ，此时f(xm=2, ]可得2x-[ 由xe62 62’6 此时gx)n=-2+m, 所以2<-2+m,解得m>4, 故实数m的取值范围为(4，+0)） 例14.(25-26高一下江苏扬州阶段检测)已知函数f(x)=sin2x+p)(0<p<π). 0已知国为面数，校到国=+君若行在[0引，仅不等式+2度立，求实数 m的取值范围； @已加屏数国的图象过点得》设创-om2x+2amx+分若发任意的5e[吾引 总存在 e0,, 使h(x)<∫(x2)+2成立，求实数a的取值范围. 2 【解析】1)因为)=s血2x+o)是偶函数，且0<p<,所以p-号，f升=sm2x+=cos2x, 16/46 =C0s2x+ 2c0s2x-3 sin2x= 2 sin 2x=3 2cos2x-号sin2y 2 2 =5cos(2x+), 61 当x∈0，]时，2x+e及，7马] 66 所以当2x+=元，即x=5时，g)在0， 6 12 2 上取得最小值g(x)。=-V5 若存在x∈0， 2 使不等式gx)+m<2成立，则2-m>g(x)mm,即2-m>-√3，解得m<2+√3， 所以实数m的取值范围是(-0,2+√5)： (2)若对任意的x∈ ππ 2'2 总有在气0引 使hx)<f(x)+2成立， 则h(x)max<f(x)max+2, 函数的图象过点[》则sn2×写+p)- 又0<9<元，所以2n<2红+。 5π 33 所以20+0 3 ,-5红，解得0-6 6 6 所以f(x)=sin(2x+), 当xe0孕时，2x+e后得，所以当2x+名受，即x=名时，八y取等最大值f=1, 6 11 1 h(x)=cos2x+2asin+(1-2sinx)+2asinx+=-sinx+2asinx+1 22 2 =-(sinx-a)2+1+a2 当引时.-1n1 若-1≤a≤1，则当sinx=a时，h(x)取得最大值h(x)max=1+a, 由h(x)mx<f(x)max+2得1+a2<1+2,解得-√2<a<√互，所以-1≤a≤1； 若a>1,则当sinx=1时，h(x)取得最大值h(x)max=2a, 由Am<+2将2a1+2,a号所以1<a< 若a<-1,则当sinx=-1时，h(x取得最大值h(x)max=-2a, 17/46 3 由h(x)mx<f(x)max+2得-2a<1+2,a>- 所以 3<a<-1 3 3 综上，一 -<a< 2 所以实数4的取值范围是（多 22 例15.(25-26高一下辽宁大连·期中)已知函数f(x)=sin2x+cos2x. (1)求函数f(x)的单调增区间； (2)求函数∫(x)的对称轴方程； 6诺的数g=-15在区间0引上恰有2个零点，女，求0西-的值 8 【解折】1)f到=sn2x+eos2x=sn2x+} 令-元+2km≤2x+TsT+2 kr(kEZ), 2 42 解得-证+km≤x≤及+m(k∈Z, 8 8 即函数到的单调蜡区间为[亚+：，及+akeZ 8 8 (2)令2r+交-+m(keZ,解得x=及+(ke乙， 42 82 所以函数f的对称轴方程为x=及+(k∈乙： 82 》=-75-,博a+}2.所2引 由xe0引则2x+e年） 444 若g树=5在区间0受 上恰有2个零点x,, 8 则2+经+2+异=，即写+%=子故写= 元 π -X2 又国为m2+号引}名所以em-=ca任-2西)=2+引-号 π）7 变式6.(25-26高一下·湖北荆州阶段检测)已知函数f(x)=sinx+sinxcosx- 1 2'ER. (I)求∫(x)在[0，π的单调递减区间； 回当xQ时，求=升的最大值和最小值： 18/46 元3π ③若fa,a8p 求sin2a的值. 6 【解】dEnx+sinreost-cos2+小2x29s2Gh 22 22 是sn2r-孕 由经+2版≤2骨经+2eZ,解将设+asx+ae2, 2 8 8 又x0,,所以f()的单调递减区间为江，7]. 8’8 (2)因为x∈ 引所以-子r骨经，则9m2x-s1 4 所以-s2 n2r-s2 4 2 所以y=到的破大值为号，最小值为号 2 (3)由fa)=5 所以2 n2a-乃=2 4 6 又a∈ π3π】 8'8 所以2a- 4(22 所以cos(2a-孕-=1-sin22a-马-2y2 421 43 所以sin2a=sin(2a-T+=sin(2a-乃cosT+cos(2a-sinT 44 41 4 1,√22W222+4 32326 题型六：三角恒等变换与平面向量综合问题 例16.（25-26高一下·江苏扬州阶段检测)己知向量ā= 12 b=(sina,cosa) (I)若a/b,求tana; 2)若1a-6i ,己知a∈ 2π求cos2a 5 （12,sin 【解析】(1)因为a/仍，a=cos 2 b=(sina,cosa), $12 cosa-sin 所以cos工 2 -sina =0, 1+tan tan 所以tana= 3 4=1+5 =2+V5 2anπ、元 tan an-tan ta πV3-1 (34 4 19/46 (2)因为sina+12)厂5 π4 所以由sin2 12 因为a后小所以a+合（侣劉】 所以os+) 令a+ 12 =t,则a=t- 12 sint=4 5 cost=-3 所以sin2t-2 sintcost=- 25’cos21=1-2sin2t=-7 24 5 所以cos2a=cos21- 6/ =cos 2rco+sin 2rsinx_24x124+7 6 6=25×2+25×2 50 例17.(25-26高一下·上海闵行期中)定义平面向量的向量积：对于两个起点相同的平面向量a,五，记 [a,]=a5sina,其中a是由a逆时针旋转到z的最小角(0≤a<2π). ()已知a=(1,0),6=(0,,c=(0,-1),求[c,a],[c,b],[c,a+]: (2)证明：对任意a=(x,y),石=(x,y2),有[a,=y2-出： ⑧已知a6为不类线的单位应虽，【2]-点，且a为锐角，而为平面月量且网=2，求 [m,a]+[m+a,m-]的取值范围。 【解析】(1)ā=(1,0)，b=(0,1),c=(0,-1), 因为a=(1,0),b=(0,1,c=(0,-1),则a+b=(1,1), 易得或-号=：在a+-经 所以ed-lsin经=1，[e]-55n=0,[c,a+5]-+sn=k反x5-1 2 (2)若a,i中有d,不妨取万=(0,0)，则a,6=0,[a,6]=la5sin(a,b=0, 而xy2-=x0-0y=0,所以ā，]=xy2-y成立： 若a,b都不是d,则cosa,b= xx2+yiy2 V+听V写+好， 所以na.y--a可-+g x x2+yy2 20/46 (x+)x号+)-xx号-层-2xyy2 (+)(+) x+x++好-xx--2x出4丛2 (x+)(号+) x+x-2xxy丛 xy2-x2y)月 x当2-2y V(x+)号+) +号+)x+)号+) 所以[a,6]=sin(a,=+)v号+) x y2-x2y =xy2-x2, x+)+) 设a=(5cos0,sin0）,则万=(2cos(0+a,3sin(0+a)月， cos0 sin(0+a)-sine cos(0+a)sina, 当E在a的逆时针方向，即0<a<元，sina>0,此时a,万>0，且x2-xy>0, 当z在a的顺时针方向，即元<a<2π，sina<0,此时[a,]<0,且xy2-xy<0, 所以[ā，]=xy-x (3)由题可知，[a,6]=5sn&-5 a= 如图建立平面直角坐标系，则m的起点为原点，终点落在以原点为圆心，半径为2的圆上， 设的终点为A(1,0),的终点为B 1V5 22 ∠M0A=0e[0,2π， =OM=(2cos0,2sin0), 因为a=(1,0),6= 13 22m=(2c0s0,2sin0), 所以m+a=(2cos0+l,2sin0),m-b= 2co0-2sin) 2 =4sin0 cos0-5cos0+sin -4sin0 cos+sin0 -3sin0-3cos0-3 所以[m,d+[m+a,m-6]-2sin0+3sin0-5cos0-5 2 21/46 =sino-3cos0-13=2sino 2 321 国为9o,所以0-骨[号则m0-引-训 所ari-ao-兽-5-哥 BB头M 例18.(25-26高一下·江苏泰州期中)(1)己知对任意平面向量M示，将M示绕其起点沿逆时针方向旋转0 角得到向量M心，叫做将点N绕点M沿逆时针方向旋转O角得到点P.请解决下列问题： D ①若MN=1,V3,且点M坐标为(0,0)，0=30°，求点P的坐标： ②若MN=(x,y),求证：MP=(xcos0-sin0,xsin0+ycos0) (2)如图，。4CD中，4D=1CD=2,在平面4CD内将点C绕点A沿颗时针方向旋转写得到点8，记 LADC =a. ,求BD的长度， ①若a=2π】 ②若a∈ 2,求BD长度的取值范围 【解析】(1)①由MN=山，V5),所以MN=2+(V5=2, 设M瓜N与x轴的正方向的夹角为P, 1 所以cosp=2sin9= ,所以0=60， 2 将MN绕起点M逆时针旋转30得到M匝， 22/46 所以MP=MN=2,且MD与x轴正方向的夹角为60+30°=90°， 设点P(x,y),，所以x=MPcos90°=2x0=0,y=MPsin90=2×1=2,所以P(0,2), ②设MN=r,M瓜与x轴正方向的夹角为B, 所以x=r cos B,y=rsin B,将MN绕其起点沿逆时针方向旋转O角得到向量MP, 所以MP=M=r,MP与x轴正方向的夹角为B+0, 设MP=(x,y）,所以x'=rcos(B+0)=rcos B cos0-rsinB sin0=xcos0-ysin0, y'=rsinβ+0)=rsinβcos0+rcosβsin0=ycos0+xsin0, 所以MP=(xcos0-sin0,xsin0+cos0); (2)以D为原点，DA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， VA D 则D(0,0,A1,0),①由CD=2,∠ADC=2 所以c2cos2sin2） 3 即C-1,5),所以AC=(-2,5, 将点C绕点A沿顺时针方向旋转？得到点B,即向量AC绕点A顺时针旋转无得到B, 由1中@海-（-2os(}5sm（到-2sm（到}+5cos(》 对599} 3 x-1= x= 2 → y=2 .351 y= 2 所以3 22 所以BD ②由CD=2,LADC=a, 所以C(2cosa,2sina),所以AC=(2cosa-l,2sina), 23/46 将点C绕点A沿顺时针方向旋转工得到点B,即向量AC绕点A顺时针旋转买得到B, 由(1)中②得AB 2casa-lea到}-2nasm}2asa-小s}2 os (2cosa-l)×7 cosa++sin 设B(x2,y2),所以AB=(x2-1,y2)= cosa+sioin 1 x2-1=cosa+3sina- 2 =cosa+3sina+ 所以 2=-V3 cosa+sina+3,得到 2 sina-3cosa 所以BD=V+片= π =23 sina-2cosa+5=4sin a- +5, 6 又ae(月 所以7<4sma-君}+5s9,所以V万<BDs3, 所以BD∈V7,3] 变式7.(25-26高一下北京海淀期中)已知向量a=-1,V5),6=(cos0,sin0) (1)若a⊥b且0e(元，2π，求cos0的值： ②+-州，求co0-的值 【解析】(1)因为向量a=-l,V5,i=(cos0,sin0),且a1, 所以(-l×cos0+5×sin9=0,即an0=5,0,又0e,2x, 3 所以0=石，所以cos0=cos 7π5 62 (2)因为a=(-l,V5,i=(cos0,sin0),所以a+i=-1+cos0,W5+sin0, 24/46 a+=-1+cose)+(3+sin)=5-2cos0+23sin0,B=cos0+sin20 =1. 且la+l=b,所以V5-2cos0+2√3sin0=1,即5-2cos0+2W5sin9=1, 化简得：sn(0-君=-1，所以0-吾=-+2keZ,即0=-号+2keZ 62 所以cos0-到-o骨+2a-}-eorg+4 cos cos开-sin是sinI-x巨.V5x2_VE-v6 4 3 42222 4 变式8.(25-26高一下.重庆·阶段检测)向量m=cosx+sinx,V3sinx,i=(cosx-sinx,2cosx,函数 f(x)=mi. ()求∫(x)的最小正周期和单调减区间： 的图象向右平移个单位得到函数8的图象，求8的解析式，若2 gx小-25.求o2的值 【解析】(1)f(x)=m:i=(cosx+sinr)(cosx-sinx)+2W3 sinxcosx =cosix-sinr+25sinosr=cos2r+5in2r=23n2x+g} 故八到的最小正调期为T-经： 令经+2版≤2x++2keZ.解得n≤x≤2+红.eZ, 6-2 6 3 故∫(x)的单调减区间为 6 2π+km,k∈Z: +k 3 (2)函数∫(x)的图象向右平移严个单位得到函数g(x)的图象， e=2m[2-日-2sm2x-引 3 [股引，24小引-9-9 改m个2}-ow2x引--m2引msm2}m月 25/46 =-6.反52 3232 2V5+6 6 题型七：三角恒等变换的实际场景应用问题 例19.(25-26高一下山东日照期中)如图，有一块矩形铁皮ABCD,其中AB=t(t≥4)，AD=4,阴影部 分AMN是一个半径为3的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐 蚀的部分截下一块其边落在BC与CD上的矩形铁皮POCR,使点P在弧N上.设∠MP=90≤0≤》】 矩形PQCR的面积的表达式为f(O). D R O M B ()当1=6时，设g0-f0)-9sin6cos0+18sin8-sin20,求g0)的值域； 12 (②)当t=4时，求f(9)的最小值，并求出当f(θ)取得最小值时，所对应的sin0的值. 【解析】(1) D R C EM B 过P作PE⊥AB,垂足为E,由题意可得：PE=3sin0,AE=3cos0, 所以PQ=AB-AE=t-3cos0,PR=AD-PE=4-3sin0 所以矩形PQcR的面积fo)=PRP0=-4-3snj:-3o:0(0s0≤引 当t=6时， )-(4-3sin0)(6-3cos0)-9sin0 cos0+18sim -sin20 12 24-12cos0-18sin0+9sine cos0-9sin0 cos0+18sin0 -sin20 12 =2-cos0-1-coms0)=cos20-co0+10≤0≤} 令os0:,图为0e0引， 所以u∈[0,1， 26/46 则函数y=u2-u+1,其对称轴为4=2， 当u=0或1时，ymx=1，,所以g(θ) [,即数1的值为 (2)国为f10)=(4-3sn0u-3cos00s0s引 当t=4时，f(0)=(4-3sin0)(4-3cos0)=16-12(sin0+cos0)+9sin0cos0 16-12(sim+co)(sim+c((i 90 当且仅当sin0+cos0= 即n0+-n0-1-n20-(传sn0j 4 2sin20-8in0+了-0，解得sin9=4+v5或sin6=4-5时，等号成立. 8 6 6 所以了1)的最小值是了，当/9)取得最小值时。所对应的sn9的值是4+或4 6 6 例20.（25-26高一上·湖南常德·期末)某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD,如图所示，AB=40米， BC=20√3米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE,EF, 0P,考虑到整休规划，要求0是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边4D上，且∠E0F-号，设 ∠BOE=au D E 人C (I)试将△OEF的周长I表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域： 回当ana=时，求加温节EF的长： (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和0F上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米 增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最 低费用 【解析】(1)在RtABOE,RtaAOF中，由∠BOE=∠AFO=, 27/46 得0E=20 OF=. 20 cosa sina 2 又Rt△EOF中，由勾股定理得EF=VOE2+OF2 20 20 20 cosa sina sina·cosa 2020 20 20(1+sina +cosa) 因I=OE+OF+EF= cosa sina sina·coso sina·coso 当点F在点D时，此时a的值最小，a= 6 当点E在点C时，此时a的值最大，a= 3， 所以函数关系式为1= 20(1+sina+cosa】 定义域为 π元 Sina·coso 63 20 (2)由(1)知EF= sina·cosa 2’ sina·cosa 因此sina·cos= tana 2 sin'a+cos'a tan'a+15' 于是EF=50. (3)依题意，要使费用最低，只需0E+OF最小即可， 由(1)得，0E+0F=20(sina+cosa ππ sina·cosc 6’3 2-1 设sina+cosa=t,则sina.cosa= 2 20t40t40 OE+OF=- -1-1t-1 1, 2 =a+引，由a[引将晋sa+子设 412 6 4222 4 sin 12 3 4 344 于是5+1≤1s2, 2 令f)=1函数=1在(0，+)上为墙函数， 则当1=反时，0E+0F最小，且最小值为40w反，此时a= 所以当BE=AF=20米时，照明装置费用最低，最低费用C=500(OE+OF)=20000W2元 例21.(25-26高一下湖南长沙期末)如图，AB为半圆的直径，AB=6,O为圆心，P是半圆上的一点， ∠BOP=0(0°<0<90），将射线OP绕O逆时针旋转90°到O0,过P、Q分别作PM⊥AB于M,QN⊥AB 28/46 于N. ■ (1)建立适当的直角坐标系，用O的三角函数表示P、Q两点的坐标： (2)求四边形PQNM面积的最大值 【解析】(1)如图，以AB所在直线为x轴，O为原点建立平面直角坐标系xOy, 0 NO MB :∠B0P=0,圆的半径为3， :点P坐标为(3cos0,3sin0),点Q的坐标为 3co+sin+ ∴9坐标为-3sin0,3cos0）. (2)0°<0<90°，.0°<20<180°， :四边形P0vM的面积S=Mr+NO)-MN=3sin0+3cos6)×3cos0+3sin0)-91+2sin6cos0) =91+sin291, :当20=90时，即0=45时，Smax=9, :四边形PQNM的面积的最大值为9. 变式9.(25-26高一上浙江·期末)如图，某游乐场的摩天轮半径为10m,圆心0距离地面15m,设置有30 个座舱（逆时针编号1号~30号），摩天轮每10mi逆时针转动一圈，游客在座舱转到距离地面最近的位置（点 P位置)进舱现甲、乙两人先后分别进入1号舱和6号舱. 777777777777777777777 (1)游客甲从坐上1号舱起，经过tmin后距离地面高度为H(单位：m),求H(单位：m)关于时间t(单 位：min)的函数； (2)在运行一周的过程中，求甲、乙两人距离地面的高度差的最大值 29/46 【解析】(1)以水平面所在直线为x轴，OP。所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系， 根据题意，设H=Asin(ot+p+b(A>0,o>0,-π≤g<π)， 由题意知旋转周期T-2-10mim,得o-ad/mi),4=10, Hmax=10+b=25,解得b=15, 777777777777777777 当1=0min时，影客甲位于R(0,列，则p=受 由题意可得：H=l0sin (②)设甲、乙两人所在号舱分别为A、日，则∠40B-治<5=号 经过tmin后，甲乙距离地面的高度分别为H,、H2, H,=-10cos21+15,H,=-10cos -5 则甲、乙的高度差 h=-H=10os-co-=10lcos-os-5 3 sin (53 5 2 51 2 5 -10cossin π.πt 2 s 5-2 sin 5 =10 coscos- 0cos元cost-sinsin5 3 5 当0≤t≤10时， ππt,π7π 3533 ≤ 十 所当号+骨或号+骨=2时，即-9m或-华mm时。 53 3 h取最大值为10m,即甲、乙两人距离地面的高度差h的最大值为l0m 变式10.(25-26高一上·广东东莞期末)如图，正方形ABCD的边长为1，P,Q分别为AB,DA上的动点， 且△APQ的周长为2. 30/46 D A P B (I)证明LPC)为定值，并求出该定值； (2)求△PCQ面积的最小值 【解折】1D设∠PcB=a,∠QcD=Ba,Be0, 由已知可得，PB=BC.tana=tana,DQ=CD.tanB=tanB, AP=1-tan a 40=1-tan B,PO=(1-tana)2+(1-tan B)2 因为△APQ的周长为2， 所以2=1-tana+1-tanB+V-tana)2+(1-tanβ)2， Etana +tan B=/(1-tana)2+(1-tan B)2, 所以tana+tanB=l-tan a tan B 所以，tan(a+B)= tand+tan B=1 1-tan a tan B xu.). 所以0<a+B<π，a+B= 4 所以∠PCQ= 〔经a-小至为定值 (2)方法一： 1 S.cro-CQh-CO-CPsin- 元√211 2 "44cosβcosa 1 1 4。 元】 2 cos2a+sina cosa sin 2a+cos 2a+1 cos -a cosa 4 1 2sin 2++1 4 :ae0,,2a+e，3x 4 44’4 31/46 ma+91 5.ne-) 所以S△c0最小值为√2-1. 方法二： S.cPQ=1-S.CDQ-S.CBP-S.4PQ s1 t-(-tcXI-tB)--tatnB. 11 由tan(a+B)=tana+ang=tan买-l, 1-tana tanβ 4 化简得l-tana-tanB=tana tan B 因为tanu+tanB≥2 tan a tan B,当且仅当tana=tanB=√2-l时，等号成立 所以，tan a tan B=l-tana-tanB≤l-2 tan a tan B, 整理可得tan a tan B+2 tan a tan B-1≤0， 所以tan a tan B≤√2-l, 整理得tan a tan B≤3-2V2, 所以8m号0-2-=5-1 方法三： AP=x,A0=y,(1>x,y>0) 2=AP+AQ+PQ=x+y+x+y2 y-2x-20<r<0 x-2 2920-0-=+-列=2+2 S=1- 1 22-x 令t=2-x∈(1,2)， 则s号2--0-*2-+13--1 2 t 当且仅当t=√2时，S的最小值为√2-1 题型八：辅助角公式的拓展深化应用 例22.(24-25高一下·上海期中)函数y=c0s2x-5sinx的值域为， 【答案】[-6,4 【解析】使用二倍角公式cos2x=1-2sin2x,将原函数化为y=1-2sin2x-5sinx, 32/46 整理为关于sinx的二次函数y=-2sin2x-5sinx+1, 令t=sinx,可知t∈[-l1,], 因此y=-22-51+1,te[-1,1, 易知该抛物线的对称轴为1=-力。。-5。一5 2a2×(-2)4' 因此函数y=-22-51+1,1∈[-1,1在区间[-1,1]上是单调递减的， 所以函数最大值在1=-1处取得，即ymax=-2(-1)2-5(-1)+1=-2+5+1=4, 最小值在1=1处取得，即ymm=-2(1)2-5(1)+1=-2-5+1=-6, 因此，该函数的值域为[-6,4]. 例23.(25-26高一下上海督陀期末)锐角三角形4BC中，若C-号，则2m4-mB的取值范国是 【答案】 0n 0<A<π 【解析】因为C-行所以4+8-行，且4BC为悦角三角形，所以 <B号 所以0<A<，解得4 2 所以2sinA-sin 3sin 4-3 cos 3. 3 2 因为”<A< 所以0<A-π<π 63 所以04-引9所以05m4-} C2sinA-simB的取值范围是0， 例24.(25-26高一下.北京西城期中)已知函数f(x)=√3 sin@x+cosox((o>0). ①若o=1, 则 12 ②若x∈R,使f(x+2)-f(x=4成立，则o的最小值是 【答案】 √2 【解析】'f(x=V3 sinox+COS@X=2 3 inox+1 -2sin ox+(o>0) 6 33/46 ①当o=1时，f八=2snc+君》： =2sin 元.元 =2sn=2x5-N2 12 6 2 ②：f(x)的最大值为2，最小值为-2， .f(x+2)-f(x)的最大值为2-（-2)=4 要使3xeR,f(x+2)-f(x)=4成立，则需满足∫(x+2)=2且f(x)=-2 此时可得： a(x+2)+z-T+2kak∈Z), 62 ox+T=-T+2mm(m∈Z), 62 两式作差得20=x+2k-mx,令n=k-m,AeZ,即0=2n+l(neZ) 2 又：0>0， ：当a=0时，o取得最小值为号 变式11.(25-26高一下·上海宝山期中)若函数f(x=12sinx+acosx的最大值为13，则常数a= 【答案】±5 【解析】已知函数fx)=12sinx+acosx的最大值为13， 则V122+a2=13,解得a2=25,进而a=±5 变式12.(25-26高一下.上海阶段检测)将函数y=asin2x+cos2x的图像关于x=元对称，则实数a=」 12 【答案】因 【解析】函数y=asin2x+cos2x=1+a2sin2x+9),其中tan9号 由函数图象关于=对称，可知2×没+9+红keZ, 解得0=子+机，故a0=5,所以a=5 3 变式13.(25-26高一下·河南商丘·阶段检测)若0=0，时，f(0=2sin20-2cos20取得最大值，则 sin(20。+7)= 4 【答案】00 1010 34/46 【解析】依题意，f(0)=2sin20-(2cos20-1)-1=2sin20-cos20-1=√5sin(20-o)-1, 其中锐角9由sn0=5cosp店确定，当且仅当20-9=了+2a,keZ时，f)取得最大值， 1 2 因此20，-9=7+2ka,keZ,即20，=9++2k,keZ,则sin28,=c0s9=5cos28。=-sin0=-、 2 1 5' cos28,=5(2-1-V10 2 25=10 35/46 过关检测 1.(25-26高一下江苏南通期中)已知角a的终边经过点P(-2,),则sin2a=() A B. 5 c.5 4 D 【答案】D 【解析】因为角a的终边经过点P(-2,),所以r=oP=V-2)2+1P=5, 所以sina= .cosa=- 1 ，所以m2a2mama-2x3号 2 2.(25,26高-下北京延庆期中）若cosa-写，且a（0,则0s号的能为() A.-6 B. D.3 3 3 3 【答案】B 【解析】因为a∈ 故c0sg>0, 2 所以2cos2 -1= a√6 2 3故cos9 23 3.(2026新疆乌鲁木齐三模)若日∈0， ”2 ,c0s20=3 ,则tan0=() A.月 B. 4 C.4 D.2 3 【答案】A 【解析】由二倍角的余弦公式c0s28=2cos20-1,得2c0s20-1= 59c0920=4 由于0∈0,2 期56,9>t,因tos0-25,sm0=小-m9=5 5 因此tan0=sin6_ 5 os日2V52故A正确 5 4.(25-26商一上：天津期未)已知ana=号，则a2a=（) A号 B.4 c D.3 【答案】B 36/46 2tana 3x1 【解析】因为tana=3,所以tan2a= 33 1-tan2a 5.(25-26高-下广东佛山期中)已知a为锐角，且sina=6,则m2a的值为() A.2W2 B.-2√2 C.v2 4 D.- 4 【答案】B 【解析】因为a为锐角，且sina= 3 √ 所以cosa=V1-sin2a= -2-5,则ana=sin=3=2, 1 33 cosa 3 3 所以tan2a= 2tana-2×V2 =-22, 1-tan2a1-2 6.(2026湖南永州，三模)已知a,B∈0，，2sinB=cosa+B)sina,则amB的最大值为() 2 A.6 B. 6 12 C.v6 6 4 【答案】A 【解析】因为2sinB=cosa+β)sina,所以2sinf=(cosa cos B-sina sinβ)sina, 两边同除以cosB,得2tanB=cosa sina-tan Bsin'a, 所以(2+sin'a)tanB=cosa sina,因为a∈0， 2 所以tana>0, 所以tanB=Cosa sina cosa sina tan a 1 2+sin'a 3sin'a +2 cos2 a 3tan'a +2 2 3tana + tand 1V6 2 2612, 2,3tana× tang 当且仅当3tana= 2 ,即ana=6时取等号， tang 3 所以anB最大值为y6 12 7.(25,26商-下江苏南京期中)已知ac(0,,月eQ,,且mu=方cosB=-,则a+B为() 10 37/46 A,3 B.4 π c D. 3或4 π 4 【答案】A 【解析】因为B∈(0，π，cosB= 0<0,所以<B< 10 2 由同角三角函数的基本关系得anB=-3, 1 -3 由两角和的正切公式得tan(a+β)= tana +tan B=2 1-tana tan B 3=-1 2 而a∈(0，m,tana-，>0,可得0<a< 2 2 故经a+B<经，因此a+B= 3π 4· 1 1 8.2526高安微阳期末)设a卡，♪中07,3m则 A.c<b<a B.a<b<c C.b<a<c D.a<c<b 【答案】B 【解析】如图： A -1 当∠A0p=a∈0， 2 时，sina=MP,tana=AT, 设劣弧AP的长为l,则1=a 因为MP1<4r,所以证a<a<na,a∈0引 所以-6时是--2m-2m66-如。8m6 因为后0引所以sm。名<0，所以。-<0放<6， 66 38/46 因为兮0引所以m所以6-c<0<e 综上，a<b<c 9.(多选题)(25-26高一下·江苏扬州期中)下列等式正确的是() A.sin26cos34+cos26in3 2 B.2sin22.5°-1= 2 C.sin75°c0s75°=-4 1 tan71°-tan26° D. =1 1+tan71°tan26° 【答案】AD 【解折】对于A,sin26°c0s34+c0s26°sin34=sin(26°+349)=si血60°=5，A正确： 2 对于B,2sin22.50-1=-c0s450=- 2,B错误 2 1 冠于Csin75°c0s75°)nl50°=sm180°-30=，sin304'C错误！ 对于D, 1+1an71°an26=an(71-26）=tan45°=1，D正确 tan71°-tan26o 10.(多选题)(25-26高一下·湖南永州开学考试)已知函数f(x)=2sin2x+2V3 sin xcosx-1的图象关于点 (p,0)对称，则P的值可以是(). B.2 7π c D. 【答案】BD 【解析】依题意，函数f)=V3sin2x-cos2x=2sin(2x-), 6 由2x-见=km,keZ,得x=12+2,e乙， 6 则函数d的图象关于点（合经0，eZ对系，即p-召+经eZ, 122 当=0时，9=没：当k=1时，p=a 2,BD是， 不存在整数k,使得9三6pT 12 ，AC不是 11.(多选题)(25-26高一下·贵州毕节期中)下列关于函数f(x=2sinx(sinx+cosx-1的说法正确的是() A.直线x=-不是函数y=f(x图象的一条对称轴 8 B.f(x)在区间 π2π 9’9 上单调递增 39/46 C.f(x)的图象可通过y=√2sin2x的图象上所有点向左平移汇个单位长度得到 P 9π13π D.若函数y=f(x)在区间(0，m上恰有三个零点，则实数m的取值范围为 88 【答案】AB 【解析】f(x)=2sinx(sinx+cosx)-1=2sin2x+2 sinxcosx-1 =1-cos2x+sin2x-1=sin2x-cos2x=2sin 2x- 选项A:令2x-1舌+，解得x-及+，当大=-1时，=令A正确 42 82 选项B:-T+2km≤2x-Ts+2km即-T+kmSx≤3π +m,令k=0, 42 8 _π2π 上单调递增，B正确 选厦c:=5n2x左移爱得y=5,m2r+引产f,C错误 选项D:令)=0，得x=爱+经，函数在区同0，川上恰有三个零点 则三个零点只为受，设受≤m货至-1，D错误 8 12.(多选题)(25-26高一下·全国·阶段检测)在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确 性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1-cos0为角O的正矢，记作versint0;定义1-sin0为角O的余矢， 记作vercose0,则有() .16π3 A.versin- 32 B.函数f(x)=versinx--vercosx+1的对称中心为km+元，0k∈Z 43 C.若versinx-l1 vercosx1vercos2x-versin2x+1-- 5 D.若g=versinx.vereosx-1,则g的最大值为V2+ 【答案】ACD 【解1对于A选项.esm1-1-os1-o5x写引-1+co=1+号夜A正确 。13 3 3 3 对于B选项f)=1-cosx-(1-sinx)+1=sinx-cosx+1=V2sin(x-)+1 令x-晋k红3x=+红，eZ,故对称中心为红+孕小上eZ,B选项错误： 4 4 40/46 对于C选项， versinx-11-cosx-1_cosx 11_ vercosx-1 1-sinx-1 sinx tanx 2 →tanx=2, vercos2x-versin2x+1=1-sin 2x-(1-cos 2x)+1=cos 2x-sin 2x+1=2cos2 x-2sin x cos x 2cox-2snc0s=2n2子敌C选项正确一 sin2x+cos2x 对于D选项，g(x)=(1-cosx:(1-sinx-1=-(sinx+cosx+sinx.cosx, inx+oms-V2sine 则g(t)=-t+ -[i 22° 对称轴为1=1，所以当1=-V反时，取到最大值，此时g()=V2+}故D选项正确 13.(25-26高一下·上海·期中)函数y=1-2c0s2wx0>0)的最小正周期是刀，则ω的值 【答案】1 【解析】因为y=1-2c0s0x=-c0s2ax,又0>0，则2红=元，解得0=1. 20 14.(25-26高一下.上海期中)函数y=sinx+cosx(xeR)的值域为； 【答案】[-√2,2] 【解析】因为y=sinx+cosx(x∈R),由辅助角公式得y=sinx+cosx=√2 2 2-cosr 4 4 因为xeR,+导eR,所以-1ssm+4}s1,-5s5sm+}55, π 4 所以y=sinx+cosx(xeR)的值域为[-V2,2] 15.2526商-下费州毕节期)）已知c0a-号且0<a<,则sm2a引- 【答案】 338 12 【解析】由0<<π，cosa= 5,可得sina=V-osa= 1445 16913 则c0s2a=2cos2a-1=2×14 1s119 512_120 .x 169 169 sin2a=2sinacosa=2x 1313169 n元12021192√2 则sm2a-4=sin2acos子cs2asn169x169x号-58 41/46 162as江西三模)已知oma+司-3la0到引，则ma+引一，sm如+ 【答案】 1-0.28 31V2 25 50 【解析】因为a∈0， 所以a+∈2π 6 (6’3 4 6 因为2a+=2a+ 3 6 所以owa+引=o心a+}ma+看引3 因为2a+元=2a+ ππ 12 34 24x5_7x5_31w2 25225250 17.（25-26高一下-江西赣州期中)已知sina=5 ,cosB=3,,B∈O}. 10 (I)求sina-B)的值； (2)求a+B的值 【解新1a-0引且a-5,iowa=-a-25 5 “B∈0， 2 且cosB=3 10 ,∴simB=V-cosB=而 10 因此，sin(a-B)=sio-o=5x3i0_25xV0_2 X 51051010 (2)由(1)知sina=5 ,osa=25,】 5，cosB=3i0 10 sinB=i0, 10 cos(a+B)-cosacosB-sina sim B255 X 5105102 a、Be0}a+Be0, 42/46 因此，a+B=至 c0s20 ② cos0、π） 18.(25-26高一下·江苏盐城阶段检测)(1)已知。 2,求sin20的值； 4 cos10°1+√3tanl0°）-2sin50 (2)化简： v1-cos10 【解析】(1)由二倍角公式：cos20=cos20-sin20=(cos0-sin0)(cos0+sin0), 由余弦差角公式：cos日-刀 π√2 cos0 cos+sin sin (cosθ+sinθ) 4 42 由于原式分母不为0，故cos0+sin0≠0，则 (cos0sincoin)sin) 2 2, 2 (cos0+sin0) 化简得cos0-sin6= 2,两边平方得 (cos0-sin)2=cos20-2sin0 cos0+sin20=1-sin20-1 解得sin20=3 (2)将am10-sim10代入cos101+5an10')得 cos10° cos101+V3tan10=cos10°+V3sin10°=2sin(30°+10)=2sin40°， 则分子cosl0°1+V3tanl0°）-2sin50°=2sin40°-2sin50°=2(cos50°-sin50) =2V2cos(50°+45)=2W2c0s95°=-2V2sin5°， 由降幂公式可知分母V1-cos10°=V2sin25°=√2sin5°(sin5°>0)， 从而原式=-25sim5=-2 √2sin5° 19.(25-26高一下·上海·期中)某地区要设计建造一个自然保护区，如图所示，在一块矩形区域ABCD中（其 中AB为60米，AD为30米)，过道EF将其分为两个主要区域，休闲区为以D为圆心，AD为半径的四分 之一圆，绿化区为四边形BEFC,且EF与圆弧相切，记切点为G.(计算结果保留两位小数) D G E B (I)若∠ADE=25°，求EF的长； (②)E点在线段AB上何处时，才能使绿化区的面积最大，求出最大值 43/46 【解析】(1)连接DE,因为DA⊥AB,DG⊥EF, 所以ADE和△DEG为直角三角形， 在RtAADE和RtAGDE中， DE=DE DA=DG· 所以RtAADE兰RtAGDE, 所以∠ADE=∠GDE,∠AED=∠GED, 又∠ADE=25°，所以∠ADG=∠ADE+∠GDE=2∠ADE=50°， 故∠AED=180°-25-90°=65， 所以LBEF:50,EF=，AD≈30 =39.16449≈39.16（米） sin∠BEF0.766 (2)设LADE=a,则由(1)得，∠BEF=2a,a∈0，T 4 S能oESe+SBAD·4E土EP:DG 1 =二AD·AD.tana+ +1AD·DG=x30x30tana+2×g 130 ×30 2 2 sin2a 2 sin2a 1 2sin'a +1 3sin'a +cos'a =450 tana+ =450 =450 sin2a 2sinacosa 2sinacosa =2253tan+ 1 1 ≥225×2， =450√5（平方米） tand tand 1 当且仅当3tana= tan o 时等号成立，解得α= 6 此时AE=AD.iana=30x5 =103≈17.32（米）， 3 S四边形8CFE=S矩形HBcD-S边形4BFD=60×30-450W5=1800-450V5≈1020.58 所以点E距离点A为17.32米时，绿化区面积最大，最大值为1020.58平方米 20.(25-26高一下·上海·期中)己知函数f(x)=2sin2 +-5cos2x (1)求函数的最小正周期、对称轴和零点： axf8=君a0引 求cosa的值； (3)若关于x的方程f(x)-m=2在x∈[0，上有两个不同的解x1、x2,求实数m的取值范围及x+x,的值. 【解折】1）f)=2sm(任+小-5cos2x=1-cos径+2x-5cos2x =1+sm2-5cas2x=2sm2x-}+1, 44/46 函数的最小正周期为T=2红-2红=元， 02 令2x-π不+k,解得对称轴为x三2+2，k∈Z, 32 令0，即m2x-引-日则2x号-+2a或2x号-1+2ke7, 36 36 解得x=kπ+ 径或x=a+keZ rae0, 3 a-(》，则a位于第四象限，oa-》0, 3 a-小a哥引-- 3 10 (3)方程f(x)-m=2在x∈[0，]上有两个不同的解x1、x3,等价于f(x)与y=m+2 在x∈[0，]有两个不同交点， f到=2sm2x-+1 当xe0,可时，fx)在0，江] 11π 5π11π 12 12,π 和 上单调递增，在 1212 上单调递减， 最大值为f 5π 12 -3,最小馆为/=-1，且/0=网-1-5， 作出函数大致图象如下： 3-- 11π 5π π衣 12 由图象可知，-1<m+2<3且m+2≠1-√3时，直线与∫(x)有两个交点， 45/46 解得-3<m<1且m≠-1-√5， 当m+2e-5,)即m∈1-5，刂时，两交点关于对称辅：对称， 则x+5=2x5r=5m 126 当m+2(1,1-),即m∈(-3，-1-)时，两交点关于对称轴x= π对称， 12 则x+x=2×11n=1π 126 21.(25-26高一下·海南省直辖县级单位·阶段检测)已知函数f(x)=2V3 sinxcosx-2cos2x(x∈R) (1)求函数∫(x)的最小正周期及单调递增区间： 2)将函数f(x)的图象向左平移工个单位长度，再向上平移1个单位长度得到gx)的图象，求函数gx)在 12 0上的取值范围 【解析】(1)因为f(x)=2V3 sinxcosx-2cos2x=√3sin2x-(cos2x+1)=√3sin2x-cos2x-1 =22-}1, 所以函数f(x)的最小正周期为T=2红 =兀， 由2-受52x-若52a+引keZ可得a-名55红+骨keZ, 2 6 6 故函数f(x)的单调递增区间为k红-工，店 ,kπ+ 6 3(kez) (2)将函数f(x)的图象向左平移元个单位长度，再向上平移1个单位长度得到gx)的图象， 12 则=+1=2m+ -1+1=2sin2x, 当xe0 时，0≤2x≤元，则sin2xe[0,l,故gx=2sin2xe[0,2 故函数g(x在0， 2 上的取值范围为[0,2] 46/46