2026年高考数学仿真模拟卷03（全国二卷通用）

**基本信息** 以ICME-7会徽文化情境与真实问题为载体，覆盖函数、几何、概率等高考核心模块，梯度设计适配模拟预测需求，注重数学眼光与逻辑推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、复数、函数性质、解三角形、统计|单选基础巩固（如集合运算），多选辨析概念（如统计独立性检验）| |非选择题|8/92|立体几何、椭圆、概率统计、导数|解答题综合应用（如翻折问题证明、竞赛得分概率模型），填空聚焦关键能力（如三角函数参数范围）|

2026年高考数学仿真模拟卷03（全国二卷通用) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知合418红】 则A∩B=() A.{x>-号 B 骨 C.-xs D. 1+2i 2.己知i为虚数单位， 则复数=1-3i 的共轭复数在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x,则f A方 B. c. D 4.记三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2W10,c=3,asiC=cosA, 则a=() A.22 B.2V3 C.13 D.15 5.有甲、乙两个袋子，甲袋装有3个红球和2个白球，乙袋装有2个红球和3个白球.现 从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，则从乙袋中取出红球的概 率为() 7 B.15 C. D. 3 10 O 6.如图，矩形ABCD是圆柱OO2的轴截面，点E在圆O2上，若AD=2√2， AB=2√5，∠BAE=60°，则异面直线BD与QE所成角的余弦值为() B A.5 B.V55 c.V②2 D.V②2 24 22 24 22 1。双重线8：号若1a,b>0)的、有焦点为、尽，A、分为双自发8右支上 两点且满足A耳/IBE,,若AF⊥BF时，BF=3a,则双曲线E的离心率为() A.3√2 B.√3 C.25 D.3 8.如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICE-7)的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙 的一连串直角三角形演化而成的.已知 OA=AA=AA=AA4=A4A=AA=AA,=A,A=…=2,A,A,A为直角顶点，设这些 直角三角形的周长从小到大组成的数列为a,令b=,2,S,为数列他，}的前n项和，则 0-2 20=() As ICME-7 图甲 图乙 A.8 B.9 C.10 D.11 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法中不正确的是（) A.一组数据1,1,2,3,5,8,13,21的第60百分位数为4 B.两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数”越接近于1 C.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到X2≈6.852，根据小概率值a=0.005 的x独立性检验：o5=7.879,可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% D.若随机变量X服从正态分布N(3,o),且P(X≤4)=0.7，则P(2<X<4)=0.4 10.如图，在正方体ABCD-ABGD中，E,F分别是AB,B,C的中点，G是棱AD上的动 点，则下列说法正确的有() D C G A B D E A.EF⊥平面ABD B.存在点G,满足CGII平面B,EF C.当且仅当DG=3GA时，GE+GF取得最小值 D.直线BD与平面CDG所成角的正弦值的最大值为 3 11.三次函数∫(x)=x(x-3)的性质，下列说法正确的是() A.函数f(x)在x=0处的切线方程为y=0 B.f(x)的极小值点为x=0 C.当-4<a<0时，方程∫(x)=a有三个实根 D.f(x)的图象关于点(1，-2)对称 第二部分（非选择题共2分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知x>0,y>0,且3x+2y=2,若存在xy,使2+4+2y-2x <m2-2成立，则 实数m的取值范围为· 13.已知随机变量X~N1,σ2)，P(X≥7)=0.2，写出一个满足P(X<a)>0.2的负整数a 的值为一· 14.在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a=√3，且c-2b+2W3cosC=0, 则该三角形外接圆的半径为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 asin B=3(acos B-c). (1)求A: (2)若三角形ABC外接圆半径为2√3，当bc取得最大值时，求△ABC的周长. 16.(15分)如图1，在梯形ABCD中，AD1/BC,∠BAD=30°，BC=1,BP⊥AD于P, BP=2,将△ABP沿BP翻折至△ABP,使得AC=√17，如图2 BC 图1 图2 (1)证明：AP⊥平面BCDP; ②)已知四棱锥A-BCDP的体积为103，若点2在线段4C上，且二面角Q-PD-B的大 3 小为60°，求直线AD与平面QPD所成角的正弦值. 17.（1s分)已知椭圆C若+若=ab>0的窝心率为片，且过点（20. (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的左项点为A,过点P(1,O)的直线I与椭圆C交于M,N两点，直线AM,AN 的斜率分别为k,k2.若k+飞3=-2，求直线1的方程 18.(17分)某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比 赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2 分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级 复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分· 2 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为写：复赛每轮中，第1题答对的概率为 p(0<p<1),第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. (1)求小张同学成功晋级复赛的概率； (2)已知小张同学已晋级复赛. ()若卫=2求小张同学复赛总得分为10分的概率： (i)设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为f(p),求fp)的 最大值 19.(17分)已知函数f)-(c-a)hx+分其中a20. (1)当a=0时， (i)求曲线y=f(x)在点1，f(1)处的切线方程： (ii)求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)≥0，求a的取值范围. 2026年高考数学仿真模拟卷03（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位， 则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 4．记三角形ABC的内角所对的边分别为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 5．有甲、乙两个袋子，甲袋装有3个红球和2个白球，乙袋装有2个红球和3个白球．现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，则从乙袋中取出红球的概率为（   ） A． B． C． D． 6．如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，点E在圆上，若，，，则异面直线BD与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 7．双曲线：（，）的左、右焦点为、，、为双曲线右支上两点且满足，若时，，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D．3 8．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中不正确的是（    ） A．一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% D．若随机变量服从正态分布，且，则 10．如图，在正方体中，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的有（    ） A．平面 B．存在点，满足平面 C．当且仅当时，取得最小值 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 11．三次函数的性质，下列说法正确的是（　　） A．函数在处的切线方程为 B．的极小值点为 C．当时，方程有三个实根 D．的图象关于点对称 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，且，若存在，使成立，则实数的取值范围为______． 13．已知随机变量，，写出一个满足的负整数的值为______． 14．在三角形ABC中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则该三角形外接圆的半径为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知三角形ABC的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若三角形ABC外接圆半径为，当取得最大值时，求的周长． 16．（15分）如图1，在梯形中，，，，于，，将沿翻折至，使得，如图2. (1)证明：平面； (2)已知四棱锥的体积为，若点在线段上，且二面角的大小为60°，求直线与平面所成角的正弦值. 17．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆交于，两点，直线，的斜率分别为，．若，求直线的方程． 18．（17分）某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. (1)求小张同学成功晋级复赛的概率； (2)已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 19．（17分）已知函数，其中. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学仿真模拟卷03（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解出集合、后，利用交集定义即可得. 【详解】，由，则， 即有，解得，故，则. 2．已知为虚数单位， 则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，可得， 则共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 3．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】利用偶函数性质得，得. 周期，，因此.，且， 则。因此. 4．记三角形ABC的内角所对的边分别为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理将边与角的关系转化为关于的三角等式，求出的值，再代入余弦定理计算边． 【详解】由正弦定理得，则，又，所以， 所以，所以为锐角，由，得， 由余弦定理得，所以． 5．有甲、乙两个袋子，甲袋装有3个红球和2个白球，乙袋装有2个红球和3个白球．现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，则从乙袋中取出红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用全概率公式，分从甲袋取出红球、白球两类互斥情形，分别计算对应条件下从乙袋取出红球的概率，求和得到总概率. 【详解】设事件为“从甲袋中取出的球为红球”，事件为“从甲袋中取出的球为白球”，事件为“从乙袋中取出的球为红球”. 显然与为互斥事件，且为样本空间的完备事件组. ，； 若发生，乙袋变为3个红球、3个白球，共6个球，故； 若发生，乙袋变为2个红球、4个白球，共6个球，故； 由全概率公式得： . 6．如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，点E在圆上，若，，，则异面直线BD与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一   首先作辅助线，找到异面直线所成角，然后利用余弦定理解三角形求得；解法二，以点为坐标原点，，所在直线分别为x，z轴，下底面中与AB垂直的直线为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用公式可求 【详解】解法一   如图，设，则F为的中点，连接， 设线段的中点为G，连接FG，BG，则， 故（或其补角）为异面直线BD与所成的角．    因为，所以为等边三角形， ， ， 在中，由余弦定理可得，， 在中，由余弦定理可得， 故异面直线BD与所成角的余弦值为． 解法二     以点为坐标原点，，所在直线分别为x，z轴，下底面中与AB垂直的直线为y轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，． 连接，则，因为，所以是等边三角形， 故，则，， 故， 所以异面直线BD与所成角的余弦值为． 故选：B．    7．双曲线：（，）的左、右焦点为、，、为双曲线右支上两点且满足，若时，，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可得，由几何关系可得，且，利用余弦定理以及勾股定理化简即可求解. 【详解】、为双曲线右支上两点且，所以， 设，可得，由于且，所以，且，在直角三角形中，， 在中由余弦定理，， 由可得，即， 化简得，可得，可得， 所以， 化简得，即，所以， 解得：或（舍去） 所以双曲线的离心率为. 8．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】由题意可得的边长，进而可得周长及，进而可得，可得解. 【详解】由， 可得，，，，所以， 所以， 所以前项和， 所以， 故选：C. 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中不正确的是（    ） A．一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% D．若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】ABC 【详解】对于A，由，所以这组数据的第60百分位数为从小到大排列得到的第五个数5，故A错误； 对于B，两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1，故B错误； 对于C，根据小概率值的独立性检验：，因为，则不能推断出犯错误的概率不超过0.5%，故C错误； 对于D，因为服从正态分布，且， 所以，故D正确； 10．如图，在正方体中，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的有（    ） A．平面 B．存在点，满足平面 C．当且仅当时，取得最小值 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ACD 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，根据线面垂直的判定定理即可判断A；求出平面的法向量，若平面，则，进而可判断B；求出的表达式，进而可判断C；求出直线与平面所成角的正弦值表达式，进而可判断D. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，， 则， ， 对于A，，则， 所以，又平面， 所以平面，故A正确；对于B，， 设平面的法向量为，则有， 取，则，若平面，则，解得， 又因为，所以不存在点，满足平面，故B错误； 对于C，，则， 可看作点到点与到点的距离之和， 点关于轴的对称点， 则当三点共线时，点到点与到点的距离之和最小， 即点到点与到点的距离之和最小，， 因为，所以，解得，所以当时，取得最小值， 此时，即，故C正确； 对于D，， 设平面的法向量为，则有，取，则， 设直线与平面所成的角为，则， 令，则，则， 当，即，即时，取得最大值，最大值为，故D正确.故选：ACD. 11．三次函数的性质，下列说法正确的是（　　） A．函数在处的切线方程为 B．的极小值点为 C．当时，方程有三个实根 D．的图象关于点对称 【答案】ACD 【分析】对于A：求导，根据导数的几何意义求切线方程；对于B：利用导数判断函数的单调性和极值点；对于C：作出函数的图象，结合图象分析判断；对于D：根据对称中心的定义分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为， 且， 可得，即切点坐标为，切线斜率为0， 所以函数在处的切线方程为，故A正确； 对于选项B：令，解得或；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值点为，极大值点为，故B错误； 对于选项C：因为，，结合选项B可得函数的图象： 由图可知：当时，与有三个交点， 即方程有三个实根，故C正确； 对于选项D：因为 ， 所以的图象关于点对称，故D正确.故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，且，若存在，使成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】由基本不等式求得的最小值，再解一元二次不等式即可求解. 【详解】，，且， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为15，由，解得或． 所以实数的取值范围为.故答案为： 13．已知随机变量，，写出一个满足的负整数的值为______． 【答案】（答案不唯一，也可以是中的任何一个） 【详解】，，，， 的负整数的值为. 所以答案不唯一，可以是中的任何一个. 14．在三角形ABC中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则该三角形外接圆的半径为______. 【答案】1 【详解】∵，，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 设该三角形外接圆的半径为，由正弦定理得，∴. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知三角形ABC的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若三角形ABC外接圆半径为，当取得最大值时，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得； （2）利用正弦定理求得，利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，进而求得即可. 【详解】（1）由，结合正弦定理得， 因为，所以， 所以． 而，则，所以，而，故． （2）由题意得，三角形ABC外接圆半径， 由正弦定理得，得． 由余弦定理得，则， 即，当且仅当时等号成立， 此时三角形ABC的周长为． 16．（15分）如图1，在梯形中，，，，于，，将沿翻折至，使得，如图2. (1)证明：平面； (2)已知四棱锥的体积为，若点在线段上，且二面角的大小为60°，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用题设条件先证，结合，利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）根据题意建系，利用四棱锥的体积求出的长，设，根据空间向量的夹角公式列出方程求得，再由线面角的向量解法即可求得答案. 【详解】（1）连接，在梯形中，因，则， ，，则，又，则， 翻折后.在中，，则得， 因，，平面，故平面. （2）由（1）得平面，且， 故可以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系. 设，由，解得， 则， 依题意，设，则，可得， 则，， 设平面的法向量为， 则，故可取. 因平面，则平面的法向量可取为， 依题意， 因，方程化简得，解得，此时， 因，设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆交于，两点，直线，的斜率分别为，．若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件列出关于，，的方程，解方程可得，，，由此可得椭圆的方程； （2）依题意，分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况讨论，再结合韦达定理即可求解． 【详解】（1）因为椭圆过点，所以， 又离心率，得． 所以， 所以椭圆的方程为． （2）由（1）知椭圆的方程为，左顶点为，点在椭圆内部， ①当直线的斜率不存在时，其方程为， 代入椭圆方程得，解得． 不妨设，，则，， 所以，不符合题意． ②当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 设，，联立， 消去，得， 由韦达定理有，， 又，，直线的斜率，直线的斜率， 故， 计算分子， ， 计算分母，， 因此， 又，得，解得， 此时直线的方程为，即． 18．（17分）某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. (1)求小张同学成功晋级复赛的概率； (2)已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设小张同学在初赛的得分为，则，结合二项分布运算求解即可； （2）设在复赛中每轮得分为，并求对应的概率.（i）分析可知2轮4分，1轮2分，进而求概率；（ii）可得，，利用导数求最值即可. 【详解】（1）设小张同学在初赛的得分为，则， 所以小张同学成功晋级复赛的概率. （2）设在复赛中每轮得分为，则有： ；； ， （i）若，则，，， 因为小张同学复赛总得分为10分，则2轮4分，1轮2分， 所以小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）由题意可知：，， 则， 令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在内单调递减，所以取到最大值. 19．（17分）已知函数，其中. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）在上单调递减，在上单调递增. (2). 【分析】（1）（ⅰ）根据导数的几何意义求切线方程； （ⅱ）根据导数的正负求函数的单调区间； （2）首先确定，再根据导数求函数的最小值，根据最小值，结合极值点化简不等式，求和的取值范围. 【详解】（1）当时，，. （ⅰ）因，，所以切线方程为. （ⅱ）由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2） 当时，，不满足题意. 所以，此时. 显然是上的增函数，且时，，时，， 所以存在唯一正实数使得，即. 此时在上单调递减，在上单调递增.由题意. 将代入上式整理得：，解得：. 此时，代入后. 化简得：，解得：.令，其中. 则，所以是区间上的增函数. 所以，代入得到的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考数学仿真模拟卷03(（全国二卷通用) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 则A∩B=(〉 A.{xr>-1} B.4 【答案】D 【分析】解出集合A、B后，利用交集定义即可得. 【详解】A={+1>0以=xx>-,由x-3≥1，则3x-31=x-2之0， 3x-1 3x-1 3x-1 即有 (-x-2)3x-1)≥0 <- 3x-1≠0 解得-2≤<3，故B= S. 则AnB= 2.已知i为虚数单位， 则复数：=1+21 的共轭复数在复平面内对应的点位于() 1-3i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【分加】根据题监，利用复致的运年达则，求得：=一弓，得到：宁之，结合复数 的几何意义，即可求解 【详解】由复数2=1+2-1+201+3列-5+5i。一11， 1-3i(1-3i)1+3i)）10 号+i,可得=-1 22 22 则共钜复数三在复平面内对应的点（行 位于第三象限 2 3.设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x,则 ( ) A.- B 4 D. 【答案】A 【详解】利用偶函数性质得()=)，得J)=() 周期T=2, 2国1)④))+得》[2 4 4.记三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2W10,c=3,asin C=cosA, 则a=() A.2√2 B.2W5 C.3 D.√15 【答案】C 【分析】利用正弦定理将边与角的关系转化为关于A的三角等式，求出c0sA的值，再代入 余弦定理计算边a, 【详解】由正弦定理得a cC,则asinC=csinA,又asinC=cosA,所以csin A=cosA, sinA sinC sinA 1 所以tanA=1-1、 。3>0,所以A为锐角，由eosA3 ，得cosA=30 sin2A+cos2A=1 10 由余弦定理得d=b+c2-2 be=40+9-2×2M0x3x30 13，所以a=√13. 10 5.有甲、乙两个袋子，甲袋装有3个红球和2个白球，乙袋装有2个红球和3个白球.现 从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，则从乙袋中取出红球的概 率为() 13 7 3 A. B. C. D 30 15 10 【答案】A 【分析】运用全概率公式，分从甲袋取出红球、白球两类互斥情形，分别计算对应条件下从 乙袋取出红球的概率，求和得到总概率， 【详解】设事件A为“从甲袋中取出的球为红球”，事件A,为“从甲袋中取出的球为白球”， 事件B为“从乙袋中取出的球为红球” 显然A与A为互斥事件，且{A,A,}为样本空间的完备事件组 0=2房)3异3 置4发生，乙袋变为3个红球、3个白球，共6个球，故P(84)=) 若4发生，乙袋变为2个红球、4个白球，共6个球，故P(B14)=2= 63 由全概率公式得： =aa4+4nB4-高后-品 6.如图，矩形ABCD是圆柱OO2的轴截面，点E在圆O上，若AD=2√2，AB=25,∠BAE=60°， 则异面直线BD与OE所成角的余弦值为() 0 D B E A. V55 B. V55 C. √22 D √22 24 22 24 22 【答案】B 【分析】解法一首先作辅助线，找到异面直线所成角，然后利用余弦定理解三角形求得； 解法二，以点O为坐标原点，O,A,OO所在直线分别为x,z轴，下底面中与AB垂直的 BD.OE 直线为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用公式cos BD,OE BD.OE 可求 【详解】解法一 如图，设OO2∩BD=F,则F为OO2的中点，连接O,E, 设线段OE的中点为G,连接G,BG,则FG‖OE, 故∠BFG(或其补角)为异面直线BD与OE所成的角， 01 D B G E 因为O,A=O,E,∠BAB=60°，所以△AOE为等边三角形， FG=FO:+ 在△BO,G中，由余弦定理可得， 0.B+0.G-208-0.G.COs/BO.G=3x 21 4 2（ 5+ 1121 在△BFG中，由余弦定理可得cOS∠BFG= BF2+FG-BG 4455 2BF.FG 2x5x122, 2 故异面直线BD与Q8所成角的余弦值为55 22 解法二 以点O为坐标原点，OA,OO所在直线分别为x,z轴，下底面中与AB垂直的直线为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(-V5,0,0)，0(0,0,22),D(5,0,22). 连接O,E,则O,A=OE,因为∠BAE=60°，所以△AOE是等边三角形， 故 BD.OE 故cos BD,O,E √55 BD.OE 22 所以异面直线BD与QΞ所成角的余弦值为y 22 故选：B. ZA D B E 7.双曲线E: x y 2 =1(a,b>0)的左、右焦点为R、风，A、B为双曲线B右支上 两点且满足A耳I/BE,若AF⊥BE时，BF=3a,则双曲线E的离心率为() A.3√2 B.3 C.2W5 D.3 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可得B耳=5a,由几何关系可得A?⊥AF,且∠耳EB=∠A耳乃， 利用余弦定理以及勾股定理化简即可求解 【详解】A、B为双曲线E右支上两点且BF引=3a,所以BR=BF+2a=3a+2a=5a, 设AF引=m,可得A=m+2a,由于AE/1BF且AE⊥BF,所以A⊥AE,且 ∠B=∠ARB,在直角三角形A5R中，c0s∠ARR=2+心 2c 在△BR中由余弦定理，c0s∠B5B=(2c+9a-25dc2-4、 2.2c.3a 3ac 由∠BBB=∠AR乃可得cos∠ARg=cos∠RRB,即2a+m=2-4a 2c 3ac 化简得m=2c2-14 工>0，可得e=C>√万，AR⊥A可得(2c}=2+(2a+m), 3a 化简得2c4-31a2c2+65a=0,即2e4-31e2+65=0,所以(2e2-5)(e2-13)=0, 解得：e=3或e=0<万（合去） 2 0 F B 所以双曲线的离心率为e=√3 8.如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICMB-7)的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙 的一连串直角三角形演化而成的.已知 OA=A4A=AA=AA4=AA=AA=AA=A,A==2,A,A,A…为直角顶点，设这些 直角三角形的周长从小到大组成的领列为风}，令么。2。又为数列级子的前项和。则 S20=() A ICME-7 图甲 图乙 A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】C 【分析】由题意可得OA,的边长，进而可得周长a及b,进而可得S,可得解 【详解】由OA=AA=AA3=AA=A,A=4A=AA=A,A=…=2, 可得0A2=2V2,OA=23,…,OA=2Nn,所以a,=QA+QA+AA=2Nn+2n+1+2, 所以6=2」 &-2n+n+ih+1-h, 1 所以前n项和Sn=+b++b=√2-1+5√2+Nn+√nn+1-1, 所以S0=V120+1-1=10, 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法中不正确的是() A.一组数据1,1,2,3,5,8,13,21的第60百分位数为4 B.两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数”越接近于1 C.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到X≈6.852，根据小概率值a=0.005 的x2独立性检验：5=7.879，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% D.若随机变量X服从正态分布N(3,σ)，且P(X≤4)=0.7，则P(2<X<4)=0.4 【答案】ABC 【详解】对于A,由60%×8=4.8，所以这组数据的第60百分位数为从小到大排列得到的 第五个数5，故A错误： 对于B,两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数~越接近于1，故B错误： 对于C,根据小概率值a=0.005的x2独立性检验：%5=7.879，因为X2≈6.852<7.879， 则不能推断出犯错误的概率不超过0.5%，故C错误； 对于D,因为X服从正态分布N(3,o),且P(X≤4)=0.7， 所以P(2<X<4)=2P(3≤X<4)=2P(X<4)-P(X<3)=2(0.7-0.5)=0.4,故D正确： 10.如图，在正方体ABCD-ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，G是棱AD上的动 点，则下列说法正确的有() D G B A.EF⊥平面ABD B.存在点G,满足CGI/平面B,EF C.当且仅当DG=3GA时，GE+GF取得最小值 D.直线BA与平面CDG所成角的正弦值的最大值为V 3 【答案】ACD 【分析】以点D为原点建立空间直角坐标系，根据线面垂直的判定定理即可判断A;求出平 面B,EF的法向量m,若Cc平面BEF,则m.CG=0,进而可判断B:求出GE+GF的 表达式，进而可判断C;求出直线BD与平面CDG所成角的正弦值表达式，进而可判断D. 【详解】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，DG=a(0≤a≤2)， 则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A（2,0,2),B（2,2,2),C1(0,2,2), D(0,0,2),E(2,1,0),F(1,2,1),G(a,0,2), D B D E 对于A,EF=（-1,1,1),DA1=(2,0,2)DB=(2,2,0),则EF.DA=0,EF.DB=0, 所以EF⊥DA,EF⊥DB，又DA ODB=D,DA,DBC平面ABD, 所以EF⊥平面ABD,故A正确：对于B,CG=(a-2,0),B,E=(0,-1,-2), 设平面B,EF的法向量为m=(:以，名)，则有 EF.i=-x1+y+1=0 BEi=-4-2☑1=0 取y=2,则i=(1,2,-1),若CG∥平面BEF,则m.CG=a-4=0,解得a=4, 又因为0≤a≤4，所以不存在点G,满足CGW平面BEF,故B错误： 对于C,GE=(2-a,1,-2),G丽=1-a,2-1),则GE+G丽=V(2-a+5+V1-a2+5, V(2-a+5+V1-a+5可看作点M(a0)到点N(2,5)与到点T(1,5)的距离之和， 点N(2,5)关于x轴的对称点N(2,-5), 则当M,T,N”三点共线时，点M(a,O)到点N(2,-5)与到点T(1,5)的距离之和最小， 即点M(a,0)到点N(2,5)与到点T(1,5)的距离之和最小，MT=(1-a,5),W'=1,-10), 因为近N,所以-101-0-5=0，解得a=子所以当a=时，c24G球取得最小值， 3 此时PG-号4-即BG-3G4,故c正确： 对于D,BD=(-2,-2,2),DC=(0,2,0,DG(a0,, DC.i=2y2=0 设平面CDG的法向量为=(x1,y2,22),则有 ,取x3=2,则i=(2,0-a), DG.i=a2+2z2=0 设直线BD与平面CDG所成的角为a,则sma=cos(元B四F i.BD4-2d a+2 B25Vt+4V3+12 令t=a+2te[24l,则a=t-2,则smna= V3(t-2)2+12 24_12+3' VP 1 当}行即1=4，即a=2时。血心取得大位，是大值为 ,故D正确故选：ACD. 3 11.三次函数f(x)=x2(x-3)的性质，下列说法正确的是() A.函数f(x)在x=0处的切线方程为y=0 B.f(x)的极小值点为x=0 C.当-4<a<0时，方程f(x)=a有三个实根 D.f(x)的图象关于点(1，-2)对称 【答案】ACD 【分析】对于A:求导，根据导数的几何意义求切线方程：对于B:利用导数判断函数∫(x) 的单调性和极值点；对于C:作出函数∫(x)的图象，结合图象分析判断：对于D:根据对 称中心的定义分析判断： 【详解】对于选项A:因为f(x)=x(x-3)=x-3x的定义域为R, 且f'(x)=3x2-6x=3x(x-2), 可得f(0)=0,f'(0)=0,即切点坐标为(0,0)，切线斜率为0， 所以函数f(x)在x=0处的切线方程为y=0,故A正确： 对于选项B:令f'(x)>0,解得x>2或x<0:令(x)<0,解得0<x<2: 可知f(x)在(2，+∞)，(-∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减， 所以∫(x)的极小值点为x=2,极大值点为x=0,故B错误： 对于选项C:因为f(2)=4,f(0)=0,结合选项B可得函数f(x)的图象： 珠 2 -2 y=a ly=f(x) 由图可知：当-4<a<0时，y=f(x)与y=a有三个交点， 即方程f(x)=a有三个实根，故C正确： 对于选项D:因为f1+x)+f1-x)=(1+x)3-3(1+x)2+(1-x)3-31-x)月 =1+3x+3x2+x3-3(1+2x+x2)+1-3x+3x2-x3-3(1-2x+x2)=-4, 所以f(x)的图象关于点(1，-2)对称，故D正确.故选：ACD. 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知x>0,y>0,且3x+2y=2,若存在x,y,使2+4+2少-2 -<m2-2成立，则 xV 实数m的取值范围为 【答案】(（-0，-3)儿U(5,+∞) 【分析】由基本不等式求得2+4+2少-2江的最小值，再解一元二次不等式即可求解 x y 【详解】x〉0，y>0,且3x+2y=2, 2,4,2y2-2x2 x V xV 日}3x-2”4斗7+红7- 4x4y=15 x y x v 当且仅当等华，即x=y=号时等号成立， 2.42y2-2x2 的最小值为15，由2-2m>15,解得m>5或m<-3. 所以实数的取值范围为(-o,-3)U(5,+o)故答案为：（-o,-3)U(5,+o) 13.已知随机变量X~N(1,σ2)，P(X≥7)=0.2，写出一个满足P(X<@>0.2的负整数a 的值为 【答案】-4（答案不唯一，也可以是-3，-2，-1中的任何一个） 【详解】X~N(1,o2),u=1,P(X≥7)=0.2，P(X≤-5)=0.2， ·.P(X<a>0.2的负整数a的值为-4，-3，-2，-1 所以答案不唯一，可以是-4，-3，-2，-1中的任何一个 14.在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a=√5，且c-2b+2√3cosC=0, 则该三角形外接圆的半径为 【答案】1 【详解】a=√5，c-2b+2W5cosC=0,.c-2b+2 acosC=0, .'sinc-2sinB +2sinAcosC=0,.'.sinC-2sin(A+C)+2sinAcosC=0, .'sinC-2sinAcosC-2sinCcosA+2sinAcosC=0,.'sinC-2sinCcos4=0, :smC>0,co1=分4(0网，÷A 1 3 a3 设该三角形外接圆的半径为R,由正弦定理得siA√3 =2=2R,R=1 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 asin B=√3(acos B-c). (1)求A: (2)若三角形ABC外接圆半径为2W3,当bc取得最大值时，求△ABC的周长， 【答案】（①）4=2π (2)6+4V5 3 【分析】(1)利用正弦定理、三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得A: (2)利用正弦定理求得a,利用余弦定理和基本不等式求得bc的最大值，进而求得b,c即 可 【详解】(1)由asin B=V3(acos B-c),结合正弦定理得sin Asin B=VB(sin Acos B-sinC), 因为C=元-(A+B),所以sinC=sin(A+B)=sin AcosB+cosAsin B, 所以sin Asin B=-√3 cos Asin B. 而0<B<元，则sinB≠0，所以taA=-5,而0<A<元，故A=2 (2)由题意得，三角形ABC外接圆半径R=2√3， 由正弦定理得a=2R,得a=2 Rsin A=2×25×sim2=6. sin A 3 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bc cosA,则36=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc, 即bc≤12，当且仅当b=c=2√5时等号成立， 此时三角形ABC的周长为a+b+c=6+2V5+2V5=6+4B. 16.(15分)如图1，在梯形ABCD中，AD1/BC,∠BAD=30°，BC=1,BP⊥AD于P, BP=2,将△ABP沿BP翻折至△ABP,使得AC=√17，如图2. BC 图1 图2 (I)证明：AP⊥平面BCDP; (2)已知四棱锥A-BCDP的体积为10W5 若点Q在线段AC上，且二面角Q-PD-B的大 小为60°，求直线AD与平面QPD所成角的正弦值， 【答案】(1)证明见解析 o 【分析】(1)利用题设条件先证AP⊥PC,结合AP⊥BP,利用线面垂直的判定定理即可 得证： (2)根据题意建系，利用四棱锥A'-BCDP的体积求出PD的长，设CO=tCA,t∈[0,1]，根 据空间向量的夹角公式列出方程求得1一方再由线面角的向量解法即可求得答案 1 【详解】(I)连接CP,在梯形ABCD中，因BP⊥AD,则BP⊥BC, 2 BC=1,BP=2,则CP=V12+22=√5，又∠BAD=30°，则AP =25, tan30° 翻折后AP=2√5.在△APC中，AP2+CP2=17=AC2,则得AP⊥PC, 因AP⊥BP,BP∩PC=P,BP,PCC平面BCDP,故AP⊥平面BCDP (2)由(1)得AP⊥平面BCDP,且BP⊥DP, 故可以点P为坐标原点，分别以PB,PD,PA'为x,y,z轴，建立空间直角坐标系 ZA 设D-=,由e=片0+功226-10 ,解得x=4, 3 则P(0,0,0),D0,4,0),B(2,0,0),C(2,1,0),A(0,0,2√3) 依题意，设C9=tCA,te[0,1],则C9=(-2t,-t,2W3t),可得(2-2t,1-t,2W3t), 则P0=(2-2t,1-t,2√3t),PD=(0,4,0), 设平面PD2的法向量为=(x,y,z), mP0=(2-2y)x+0-1y+2z=0,故可取m=(W5z0,1-1）. m.PD=4y =0 因A'P⊥平面BCDP,则平面BDP的法向量可取为=(O,0,1), 依题意cos60°cosm, t-1 V302+t-1y, 周训，方爬化得专￥=宁时-停a与 因AD=(0,4,-2√3)，设直线AD与平面QPD所成角为0， 则sinB=|cosA'D,m)上 ADm√3√21 |ADm2√7×114' 即直线AD与平面QPD所成角的正弦值为√21 14 1715分)日刻圆c号+号=a6>0的高心丰为，且过点20. (1)求椭圆C的方程： (2)设椭圆C的左顶点为A,过点P(1,O)的直线1与椭圆C交于M,N两点，直线AM,AN 的斜率分别为k,飞2，若k+飞=-2，求直线l的方程. 【答案】①)+兰-1 43 (2)x-2y-1=0 【分析】(1)由条件列出关于a,b,c的方程，解方程可得a,b,c,由此可得椭圆C的 方程： (2)依题意，分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况讨论，再结合韦达定理即 可求解。 【详解】(1)因为椭圆过点(2,0)，所以α=2， 又实心率e=台号有c1 所以b2=2-c2=4-1=3, 所以椭圆C的方程为士+少 =1. 43 (2)由（1)知椭圆c的方程为+上=1，左顶点为A-2,0),点P1,0)在椭圆内部， 43 ①当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1, 代入辆圆方程得才了 上+上=1，解得y=± 2 3 不妨设1引1-引 2 所以k+飞=0≠-2，不符合题意 ②当直线的斜率存在时，设斜率为k,则直线1的方程为y=k(x-1), y=k(x-1) 设M(s,y),N(5乃)，联立x2 (4*31” 消去y,得(3+4k2)x2-8k2x+(42-12)=0, 8k2 由韦达定理有玉+工4号 又片=(：-)：为=（伍-1少，直线AM的斜率光本2，直线AN的斜幸k=习 x2+2 故k+店=为+少=4（西+2）+与（伍+2） x+2x3+2(G+2)6+2) 计算分子，(6+2)+为(5+2)=k(x-1)(5+2)+k(63-1)(:+2) =k[(-1)(3+2)+(3-1)(3+2)]=k[2x,+(+)4] =k2x4k2-128k2 3+423+424=-36脉 」3+4k2 计算分母，(3+2)(3+2)=x+26+x2片4= 4k2-122× 8k2 +424- 36k2 3+4k2 3+4k2 36k 因此片+名=3+4农 =-36k。1 36k2 36k=-, 3+42 又欢+转=-2，得专-之，解得在=分 1 此时直线1的方程为y=(x-1),即x-2y-1=0. 2 18.(17分)某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比 赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2 分方可晋级复赛：复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级 复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分， 2 已知小张同学在初赛中每思答对的概率均为写：复赛每轮中，第1题答对的概率为 p(0<p<1),第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. (1)求小张同学成功晋级复赛的概率； (2)已知小张同学己晋级复赛 1 (《)若卫=2求小张同学复赛总得分为10分的概率： (iⅱ)设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为f(D),求f(p)的 最大值 【管109 27 4 (2)(i) 800:(i) 【分析】(1)设小张同学在初赛的得分为X,则X 结合二项分布运算求解即可： (2)设在复赛中每轮得分为Y∈{0,2,4}，并求对应的概率.()分析可知2轮4分，1轮2 进而求概率；()可得∫(p)=1001-p)3+7p,0<p<1,利用导数求最值即面 【详解】1)设小张同学在初赛的得分为X,则X~83号》】 所以小张同学成功晋级复赛的概率P=P(X=2)+P(X=3)=C引 09 (2)设在复赛中每轮得分为Y∈{0,2,4}，则有： pr=o=0-p0-0)品0p:pY=2y--p*03p10)高： 2V=4到=px03=品2， 若P分则Pg-0)0PW2)号g到动 Γ20 因为小张同学复赛总得分为10分，则2轮4分，1轮2分， 所以小张同学复赛总得分为10分的概率P=C× 3 127 0 2800 国由题：o=-2少i--pj-高-p-.og1, 则/o[-3+7pj+-2+7pk%+7p0i-2p). 令)0，解得0<p引令f(p<0,解得 21 <p<1: 内单调递增，在 内年调递减。所以)取到最大值 19.(17分)已知函数f四=（化-a血c+号其中a≥0 (1)当a=0时， (i)求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (i)求函数f(x)的单调区间： (2)若f(x)≥0，求a的取值范围. 【答案】0①y=-1:(国在0}上单调速减，在怎 上单调递增， 【分析】(1)()根据导数的几何意义求切线方程： (ⅱ)根据导数的正负求函数的单调区间： (2)首先确定a>0,再根据导数求函数的最小值，根据最小值/()=(，-ax+号之0。 结合极值点化简不等式，求x,和α的取值范围， 【详解】(1)当a=0时，f(x)=xnx,f'(x)=1+nx. (i)因f'()=1,f(1)=0,所以切线方程为y=x-1 (i)由f(e)>0得x>},由f()<0得0<x<是 所以f(y在0)上单调递减，在。+o上单调递啦 ②)当a=0时，日)-0，不满足题意 e 所以a>0,此时f'(x)=lnx-c+l. 显然∫'(x)是(0，+o)上的增函数，且x→0时，f'(x)→-o,x→+四时，'(x)→+∞， 所以存在唯一正实数使得f'()=0,即n6-a+1=0 此时f四在(Q6)上单调递减，在（化，+o)上单调递增由影意f)=(化-a血+子之0 将此l代入上式整理得：发+≤0，解得：号与≤2a 5 此时a=+n)飞，代入后+ln)西s名≤21+) 2 化简得：子s1,解得：店5元sc,令（四=(+m),共中 1 ≤x≤e. 则g'(x)=2+nx>0,所以g(x)是区间 1 ve.c 上的增函数 ≤a≤8(e),代入得到a的取值范围是 ,2e 2ve